切线长定理及弦切角练习题
（一）填空
1．已知：如图7－143，直线BC切⊙O于B点，AB=AC，AD=BD，那么∠A=____．
2．已知：如图7－144，直线DC与⊙O相切于点C，AB为⊙O直径，AD⊥DC于D，∠DAC=28°侧∠CAB=____ ．
3．已知：直线AB与圆O切于B点，割线ACD与⊙O交于C和D
4．已知：如图7－145，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于B和C两点，∠P=15°，∠ABC=47°，则∠C= ____．
5．已知：如图7－146，三角形ABC的∠C=90°，内切圆O与△ABC的三边分别切于D，E，F三点，∠DFE=56°，那么∠B=____．
6．已知：如图7－147，△ABC内接于⊙O，DC切⊙O于C点，∠1=∠2，则△ABC为____ 三角形．
7．已知：如图7－148，圆O为△ABC外接圆，AB为直径，DC切⊙O 于C点，∠A=36°，那么∠ACD=____．
（二）选择
8．已知：△ABC内接于⊙O，∠ABC=25°，∠ACB= 75°，过A点作⊙O的切线交BC的延长线于P，则∠APB等于
[ ] A．62.5°；B．55°；C．50°；D．40°．
9．已知：如图7－149，PA，PB切⊙O于A，B两点，AC为直径，则图中与∠PAB相等的角的个数为
[ ]
A．1 个；B．2个；C．4个；D．5个．
10．已知如图7－150，四边形ABCD为圆内接四边形，AB是直径，MN 切⊙O于C点，∠BCM=38°，那么∠ABC的度数是
[ ]
A．38°；B．52°；C．68°；D．42°．
11．已知如图7－151，PA切⊙O于点A，PCB交⊙O于C，B两点，且PCB 过点O，AE⊥BP交⊙O于E，则图中与∠CAP相等的角的个数是
[ ]
A．1个；B．2个；C．3个；D．4个．
（三）计算
12．已知：如图7－152，PT与⊙O切于C，AB为直径，∠BAC=60°，AD为⊙O一弦．求∠ADC与∠PCA的度数．
13．已知：如图7－153，PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，C，PD平分∠APC．求∠ADP的度数．
14．已知：如图7－154，⊙O的半径OA⊥OB，过A点的直线交OB于P，交⊙O于Q，过Q引⊙O的切线交OB延长线于C，且PQ=QC．求∠A的度数．
15．已知：如图7－155，⊙O内接四边形ABCD，MN切⊙O于C，∠BCM=38°，AB为⊙O直径．求∠ADC的度数．
16．已知：如图7－156，PA，PC切⊙O于A，C两点，B点
17．已知：如图7－157，AC为⊙O的弦，PA切⊙O于点A，PC过O 点与⊙O交于B，∠C=33°．求∠P的度数．
18．已知：如图7－158，四边形ABCD内接于⊙O，EF切⊙O
19．已知BA是⊙O的弦，TA切⊙O于点A，∠BAT= 100°，点M在圆周上但与A，B不重合，求∠AMB的度数．
20．已知：如图7－159，PA切圆于A，BC为圆直径，∠BAD=∠P，PA=15cm，PB=5cm．求BD的长．
21．已知：如图7－160，AC是⊙O直径，PA⊥AC于A，PB切⊙O于B，BE⊥AC于E．若AE=6cm，EC=2cm，求BD的长．
22．已知：如图7－161所示，P为⊙O外一点，PA切⊙O于A，从PA 中点M引⊙O割线MNB，∠PNA=138°．求∠PBA的度数．
23．已知：如图7－162，DC切⊙O于C，DA交⊙O于P和B两点，AC 交⊙O于Q，PQ为⊙O直径交BC于E，∠BAC=17°，∠D=45°．求∠PQC 与∠PEC的度数．
24．已知：如图7－163，QA切⊙O于点A，QB交⊙O于B
25．已知：如图7－164，QA切⊙O于A，QB交⊙O于B和C
26．已知：在图7－165中，PA切⊙O于A，AD平分∠BAC，PE平分∠APB，AD=4cm，PA=6cm．求EP的长．
27．已知；如图7－166，PA为△ABC外接圆的切线，A 为切点，DE∥AC，PE=PD．AB=7cm，AD=2cm．求DE的长．
28．已知：如图7－167，BC是⊙O的直径，DA切⊙O于A，DA=DE．求∠BAE的度数．
29．已知：如图7－168，AB为⊙O直径，CD切⊙O于CAE∠CD于E，交BC于F，AF=BF．求∠A的度数．
30．已知：如图7－169，PA，PB分别切⊙O于A，B，PCD为割线交⊙O于C，D．若AC=3cm，AD=5cm，BC= 2cm，求DB的长．
31．已知：如图7－170，ABCD的顶点A，D，C在圆O上，AB的延长线与⊙O交于M，CB的延长线与⊙O交于点N，PD切⊙O于D，∠ADP=35°，∠ADC=108°．求∠M的度数．
32．已知：如图7－171，PQ为⊙O直径，DC切⊙O于C，DP交⊙O于B，交CQ延长线于A，∠D=45°，∠PEC=39°．求∠A的度数．
33．已知：如图7－172，△ABC内接于⊙O，EA切⊙O于A，过B作BD ∥AE交AC延长线于D．若AC=4cm，CD= 3cm，求AB的长．
34．已知：如图7－173，△ABC内接于圆，FB切圆于B，CF⊥BF于F交圆于E，∠1=∠2．求∠1的度数．
35．已知：如图7－174，PC为⊙O直径，MN切⊙O于A，PB⊥MN于B．若PC=5cm，PA=2cm．求PB的长．
36．已知：如图7－175，AD为⊙O直径，CBE，CD分别切⊙
37．已知：如图7－176，圆内接四边形ABCD的AB边经过圆心，AD，BC的延长线相交于E，过C点的切线CF⊥AE于F．求证：
（1）△ABE为等腰三角形；
（2）若BC=1cm，AB=3cm，求EF的长．
38．已知：如图7－177，AB，AC切⊙O于B，C，OA交⊙O于F，E，交BC于D．
（1）求证：E为△ABC内心；
（2）若∠BAC=60°，AB=a，求OB与OD的长．
（四）证明
39．已知：在△ABC中，∠C=90°，以C为圆心作圆切AB边于F点，AD，BC分别与⊙C切于D，E两点．求证：AD∥BE．
40．已知：PA，PB与⊙O分别切于A，B两点，延长OB到C，
41．已知：⊙O与∠A的两边分别相切于D，E．在线段AD，AE（或在它们的延长线）上各取一点B，C，使DB=EC．求证：OA⊥BC．
⊥EC于H，AO交BC于D．求证：
BC·AH=AD·CE．
*43．已知：如图7－178，MN切⊙O于A，弦BC交OA于E，过C点引BC的垂线交MN于D．求：AB∥DE．
44．已知：如图7－179，OA是⊙O半径，B是OA延长线上一点，BC切⊙O于C，CD⊥OA于D．求证：CA平分∠BCD．
45．已知：如图7－180，BC是⊙O直径，EF切⊙O于A点，AD⊥BC于D．求证：AB平分∠DAE，AC平分∠DAF．
46．已知：如图7－181，在△ABC中，AB=AC，∠C= 2∠A，以AB为弦的圆O与BC切干点B，与AC交于D点．求证：AD=DB=BC．
47．已知：如图7－182，过△ADG的顶点A作直线与DG的延长线相交于C，过G作△ADG的外接圆的切线二等分线段AC于E．求证：AG2=DG·CG．
48．已知：如图7－183，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，PCD为割线．求证：AC·BD=BC·AD．
BC=BA，连结AC交圆于点E．求证：四边形ABDE是平行四边形．
50．已知：如图7－185，∠1=∠2，⊙O过A，D两点且交AB，AC于E，F，BC切⊙O于D．求证：EF∥BC．
51．已知：如图7－186，AB是半圆直径，EC切半圆于点C，BE⊥CE交AC于F．求证：AB=BF．
52．已知：如图7－187，AB为半圆直径，PA⊥AB，PC切半圆于C点，CD⊥AB于D交PB于M．求证：CM=MD．
（五）作图
53．求作以已知线段AB为弦，所含圆周角为已知锐角∠α（见图7－188）的弧（不写作法，写出已知、求作，答出所求）．
54．求作一个以α为一边，所对角为∠α，此边上高为h的三角形．
55．求作一个以a为一边，m为此边上中线，所对角为∠α的三角形（不写作法，答出所求）．
切线长定理及弦切角练习题(答案)
（一）填空
1．36°2．28°3．50°4．32°
5．22°6．等腰7．54°
（二）选择
8．C 9．D 10．B 11．C
（三）计算
12．30°，30°．
13．45°．提示：连接AB交PD于E．只需证明∠ADE=∠AED，证明时利用三角形外角定理及弦切角定理．
14．30°．提示：因为PQ=QC，所以∠QCP=∠QPC．连接OQ，则知∠POQ与∠QCP互余．又∠OAQ=∠OQA与∠QPC互余，所以∠POQ=∠OAQ=∠OQA．而它们的和为90°（因为∠AOC=90°）．所以∠OAQ=30°
16．67.5°．提示：解法一连接AC，则∠PAC=∠PCA．又∠P=45°，所以∠PAC=∠PCA=67.5°．从而∠B=∠PAC=67.5°．
解法二连接OA，OC，则∠AOC=180°－∠P=135°，所以
17．24°．提示：连接OA，则∠POA=66°．
18．60°．提示：连接BD，则∠ADB=40°，∠DBC=20°．设∠ABD=∠BDC（因为AB//CD）=x°，则因∠B+∠D=180°，所以2x°+60°=180°，x°=60°，从而∠ADE=∠ABD=60°．
19．100°或80°．提示：M可在弦AB对的两弧的每一个上．
从而
22．42°．提示：∠ABM=∠NAM．于是显然△ABM∽△NAM，
NMP，所以△PMB∽△NMP，从而∠PBM=∠NPM．再由∠ABM=∠NAM，就有
∠PBA=∠PBM+∠NAM=∠NPM+∠NAM
=180°－∠PNA=42°．
23．28°，39°．提示：连接PC．
24．41°．提示：求出∠QAC和∠ACB的度数．
25．100°．
以DB=9．因为2DP2=2×9，由此得DP2=9．又DP＞0，所以DP=3，从而，DE=2×3=6（cm）．
28．45°．提示：连接AC．由于DA=DE，所以∠ABE+∠BAE=∠AED=∠EAD=∠CAD+∠CAE，但∠ABE=∠CAD，所以∠BAE=∠CAE．由于∠BAE+∠CAE=90°，所以∠BAE=45°．
29．60°．提示：解法一连接AC，则AC⊥BC．又AF⊥CE，所以∠ACE=∠F．又DC切⊙O于C，所以∠ACE=∠B．所以∠F=∠B．因为AF=BF，所以∠BAF=∠B=∠F．所以∠BAF=60°．
数学课本中的定理、公式、结论的证明 数学必修一 第一章 集合（无） 第二章 函数（无） 第三章 指数函数和对数函数 1．对数的运算性质： 如果 a > 0 ， a 1， M > 0 ，N > 0， 那么 （1）log ()log log a a a MN M N =+； （2）log log -log a a a M M N N =； （3）log log ()n a a M n M n R =∈． 根据指数幂的运算性质证明对数的运算性质 证明：（性质1）设log a M p =，log a N q =，由对数的定义可得 p M a =，q N a =， ∴p q p q MN a a a +=?=， ∴log ()a MN =p q +， 即证得log log log a a a MN M N =+． 证明：（性质2）设log a M p =，log a N q =， 由对数的定义可得 p M a =，q N a =， ∴ q p q p a a a N M -==， ∴q p N M a -=log ， 即证得log log -log a a a M M N N =． 证明（性质3）设log a M p =，由对数的定义可得 p M a =， ∴n np M a =， ∴log n a M np =， 即证得log log n a a M n M =．
第四章函数应用（无） 数学必修二 第一章立体几何初步 直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理的证明． 1、直线与平面平行的判定定理 若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行． 2、平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
弦切角定理及其推论 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. 证明：设圆心为O，连接OC，OB,。 ∵∠TCB=90°-∠OCB ∵∠BOC=180°-2∠OCB ∴∠BOC=2∠TCB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍） ∴∠TCB=∠CAB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角） 弦切角定理推论：两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等。 应用举例：
第一个算出地球周长的人 ──埃拉托色尼 2000多年前，有人用简单的测量工具计算出地球的周长。这个人就是古希腊的埃拉托色尼。 埃拉托色尼博学多才，他不仅通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史学家、语言学家、哲学家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长。 细心的埃拉托色尼发现：离亚历山大城约800公里的塞恩城(今埃及阿斯旺附近)，夏日正午的阳光可以一直照到井底，因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子。但是，亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子。他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成。从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角。按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出地球的圆周长。埃拉托色尼测出夹角约为7度，是地球圆周角(360度)的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万公里，这与实际地球周长(40076公里)相差无几。他还算出太阳与地球间距离为1.47亿公里，和实际距离1.49亿公里也惊人地相近。这充分反映了埃拉托色尼的学说和智慧。 埃拉托色尼是首先使用“地理学”名称的人，从此代替传统的“地方志”，写成了三卷专著。书中描述了地球的形状、大小和海陆分布。埃拉托色尼还用经纬网绘制地图，最早把物理学的原理与数学方法相结合，创立了数理地理学。
(经典)高中数学正弦定理的五种全证明方法
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高中数学正弦定理的五种证明方法 ——王彦文 青铜峡一中 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD⊥BC,垂足为D 则Rt△ADB 中,AB AD B =sin ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21= ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21== 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==即C c B b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与 CB 的夹角为90°-C 由向量的加法原则可得 AB CB AC =+ a b D A B C A B C D b a D C B A
弦切角定理证明方法 弦切角定理证明方法连oc、oa，则有oc⊥cd于点c。得oc‖ad，知∠oca=∠cad。 而∠oca=∠oac，得∠cad=∠oac。进而有∠oac=∠bac。 由此可知，0a与ab重合，即ab为⊙o的直径。 连接bc，且作ce⊥ab于点e。立即可得△abc为rt△，且∠acb=rt∠。 由射影定理有ac2=ae*ab。又∠cad=∠cae，ac公用，∠cda=∠cea，得△cea ≌△cda，有ad=ae，所以，ac2=ab*ad。 第一题重新证明如下： 首先证明弦切角定理，即有∠acd=∠cba。
连接oa、oc、bc，则有 ∠acd+∠aco=90° = = =∠aco+∠aoc, 所以∠acd=∠aoc， 而∠cba=∠aoc， 得∠acd=∠cba。 另外，∠acd+∠cad=90°，∠cad=∠cab， 所以有∠cab+∠cba=90°，得∠bca=90°，进而ab为⊙o的直径。 2 证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。 ∵∠tcb=90-∠ocb ∵∠boc=180-2∠ocb ∴,∠boc=2∠tcb ∵∠boc=2∠cab ∴∠tcb=∠cab 证明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o 的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.
求证： 证明：分三种情况： 圆心o在∠bac的一边ac上 ∵ac为直径，ab切⊙o于a， ∴弧cma=弧ca ∵为半圆, ∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角圆心o在∠bac的内部. 过a作直径ad交⊙o于d, 若在优弧m所对的劣弧上有一点e 那么，连接ec、ed、ea 则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab ∴∠cea=∠cab ∴ 圆心o在∠bac的外部, 过a作直径ad交⊙o于d 那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90 ∴∠cda=∠cab ∴ 编辑本段弦切角推论 推论内容 若两弦切角所夹的弧相等，则这两
高中数学相关定理、公式及结论证明 汉阴中学正弦定理证明 内容：在ABC ?中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，则.sin sin sin C c B b A a == 证明： 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ， 根据锐角三角函数的定义，有sin CD b A ==sin CD a B 。 由此，得 sin sin a b A B = ， 同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = . 从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高， 交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义， 有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。 由此，得 =∠sin sin a b A ABC ，同理可得 =∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . （3）在ABC Rt ?中，,sin ,sin c b B c a A == ∴ c B b A a ==sin sin ， .1sin ,90=?=C C Θ.sin sin sin C c B b A a ==∴ 由(1)(2)（3）可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 2.外接圆证明正弦定理 在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心, 连结BO 并延长交圆于B ′,设BB ′=2R.则根据直径所对的圆周 角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB ′=90°，∠C =∠B ′， ∴sin C =sin B ′=R c B C 2sin sin ='=. ∴R C c 2sin =. 同理,可得R B b R A a 2sin ,2sin ==.∴R C c B b A a 2sin sin sin ===. 3.向量法证明正弦定理 a b D A B C A B C D b a
高中数学证明公式数学公式 抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a(x+h)* + k 就是y等于a乘以(x+h)的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi)(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 (一)椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。 (二)椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 半角公式
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段 ［学习目标］ 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。（PA 长） 2.切线长定理 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 直线AB 切⊙O 于P ，PC 、PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。 6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。 7.与圆有关的比例线段 定理 图形 已知 结论 证法 相交弦定理 ⊙O 中，AB 、CD 为弦，交于P. PA·PB＝PC·PD . 连结AC 、BD ，证：△APC∽△DPB . 相交弦定理的推论 ⊙O 中，AB 为直径，CD⊥AB 于P. PC 2 ＝PA·PB . （特殊情况） 用相交弦定理.
切割线定理 ⊙O 中，PT 切⊙O 于T ，割线PB 交⊙O 于A PT 2 ＝PA·PB 连结TA 、TB ，证：△PTB∽△PAT 切割线定理推论 PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、C PA·PB＝PC·PD 过P 作PT 切⊙O 于T ，用两次切割线定理 （记忆的方法方法） 圆幂定理 ⊙O 中，割线PB 交⊙O 于A ，CD 为弦 P'C·P'D ＝r 2 －OP'2 PA·PB＝OP 2－r 2 r 为⊙O 的半径 延长P'O 交⊙O 于M ，延 长OP'交⊙O 于N ，用相交 弦定理证；过P 作切线用切割线定理勾股定理证 8.圆幂定理：过一定点P 向⊙O 作任一直线，交⊙O 于两点，则自定点P 到两交点的两条线段之积为常数||（R 为圆半径），因为叫做点对于⊙O 的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。 【典型例题】 例1.如图1，正方形ABCD 的边长为1，以BC 为直径。在正方形内作半圆O ，过A 作半圆切线，切点为F ，交CD 于E ，求DE ：AE 的值。 图1 解：由切线长定理知：AF ＝AB ＝1，EF ＝CE 设CE 为x ，在Rt△ADE 中，由勾股定理 ∴， ，
(经典)高中数学正弦定理的五种最全证明方法
高中数学正弦定理的五种证明方法 ——王彦文 青铜峡一中 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD⊥BC,垂足为 D.则Rt△ADB 中,AB AD B =sin ,∴AD=AB·sinB=csinB. ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?.同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21=. ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21==.∴absinc=bcsinA=acsinB, 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==.即C c B b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与 CB 的夹角为90°-C .由向量的加法原则可得 AB CB AC =+, a b D A B C B C D b a D C B A
中考复习专题——切线长定理与弦切角定理 【知识要点】 1.切线长定理：过圆外一点P做该圆的两条切线，切点为A、B。AB交PO于点C，则有如下结论： （1）PA=PB （2）PO⊥AB,且PO平分AB （3）APO BPO OAC OBC ∠=∠=∠=∠;AOP BOP CAP CBP ∠=∠=∠=∠ 2.弦切角定理：弦切角（切线与圆的夹角）等于它所夹的弧所对的圆周角 推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 【典型例题】 【例1】如图1，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C、D是优弧BC上的点，已知∠BAC=800，那么∠BDC =______. 图1 图2 图3 举一反三： 1.如图2，AB是⊙O的弦，AD是⊙O的切线，C为AB上任一点，∠ACB=1080，那么∠BAD =______. 2.如图3，PA，PB切⊙O于A，B两点，AC⊥PB，且与⊙O相交于D，若∠DBC=220，则∠APB=________.【例2】如图，已知圆上的弧AC BD =，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明： (1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE×CD. 举一反三： 1.如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB C B O A D C B A D P O
P B A O 的延长线于点C ，若DA ＝DC ，求证：AB ＝2BC . 【例3】已知：如图 7－149，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，AC 为直径，则图中与∠PAB 相等的角的个数为 A ．1 个； B ．2个； C ．4个； D ． 5个． 【例4】如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长． 举一反三： 1. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°． （1）求∠APB 的度数； （2）当OA ＝3时，求AP 的长． 2．已知：如图，⊙O 内切于△ABC ，∠BOC =105°，∠ACB =90°，AB =20cm ．求BC 、AC 的长．
弦切角定理证明 弦切角定理证明弦切角定理 编辑本段弦切角定义 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角） 如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都为弦切角。 编辑本段弦切角定理 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明： 证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。 ∵∠TCB=90-∠OCB ∵∠BOC=180-2∠OCB ∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半） ∵∠BOC=2∠CAB(圆心角等于圆周角的两倍) ∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧. 求证：(弦切角定理) 证明：分三种情况：
(1)圆心O在∠BAC的一边AC上 ∵AC为直径，AB切⊙O于A， ∴弧CmA=弧CA ∵为半圆, ∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角(2)圆心O在∠BAC的内部. 过A作直径AD交⊙O于D, 若在优弧m所对的劣弧上有一点E 那么，连接EC、ED、EA 则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB ∴∠CEA=∠CAB ∴(弦切角定理) (3)圆心O在∠BAC的外部, 过A作直径AD交⊙O于D 那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90 ∴∠CDA=∠CAB ∴(弦切角定理) 编辑本段弦切角推论 推论内容 若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 应用举例 例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60°, AB=a 求BC长.
1三角函数的定义证明. 已知锐角△ABC中，AB=c，AC=b,BC=a，利用三角函数的定义证明：c=acosB+bcosA解：作CD⊥AB于点D 在Rt△BCD中，由cosB=BD/BC，得BD=acosB,在Rt△ACD中，由cosA=AD/AC，得AD=bcosA，所以c=AB=BD+AD=acosB+bcosA 逐步提示： 1、根据待证明的条件中存在三角函数，而题目本身图形为锐角三角形，所以要在原图形中通过添加辅助线来构造直角三角形。 2、根据求【c的表达式，既是求AB的三角函数表达式】，因此添加辅助线时考虑【将AB 线段变为直角三角形的边】，可以作【CD⊥AB 于点D，】接下来考虑如何在在直角三角形中利用直角三角形三角函数来求解边角关系。 3、接下来分别在Rt△ACD和Rt△BCD中利用三角函数来表示AD的长度向待证靠近 2点P为△ABC内任意一点，求证点P到△ABC距离和为定值点P为△ABC外时,上述结论是否成立,若成立，请证明。若不成立h1,h2,h3与上述定值间有何关系【设点p 到AB,BC,CA三边距离为h1,h2,h3】 证明：连接ＰＡ、ＰＢ、ＰＣ，过Ｃ作ＡＢ上的高ＡＤ，交ＡＢ于Ｇ。 过Ｐ作ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ的重线交ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ于Ｄ、Ｅ、Ｆ 三角形ＡＢＣ面积＝ＡＢ＊ＣＧ／２ 三角形ＡＢＣ面积＝三角形ＡＢＰ＋ＢＣＰ＋ＣＡＰ面积 ＝AB*PD/2+BC*PE/2+CA*PF/2 =AB(PD+PE+PF)/2 故：AB*CG/2=AB*(PD+PE+PF)/2 CG=PD+PE+PF 即：点P到△ABC距离和为三角形的高，是定值。 （２） 若Ｐ在三角形外，不妨设h1>h3,h2>h3，则有： h1+h2-h3=三角形边上的高 3棱长为的正四面体内任意一点到各面距离之和为定值，则这个定值等于多少？ 简证如下： 设Ｍ为正四面体Ｐ-ＡＢＣ内任一点， Ｍ到面ＡＢＣ，面ＰＡＢ，面ＰＡＣ，面ＰＢＣ的距离分别为ｈ1，ｈ2，ｈ3，ｈ4． 由于四个面面积相等， 则ＶＰ-ＡＢＣ＝ＶＭ-ＡＢＣ＋ＶＭ-ＰＡＢ＋ＶＭ-ＰＡＣ＋ＶＭ-ＰＢＣ
Gerrald 加油坚持住 Gerrald 加油坚持住 Gerrald 加油坚持住 莫利定理：将任意三角形的各角三等分，则每两个角的相邻三等分线的交点构成 一个正三角形。 設△ABC中的∠B,∠C的两条三等分角线分別交于P, D两个点（图1），按照莫利定理，D是莫莱三角形的一個頂点，当然D就是△BPC的內心，因為BD, CD正好是∠CBP, ∠BCP的角平分线。 莫利三角形的另两个頂点E, F应该分別落在CP和BP上，因此我们产生了一个念头，如果能夠在CP, BP上找到E, F这两个点，使△DEF是个正三角形，再证AE、AF正好是∠BAC的三等分线就行了 为此，先把DP连起來，在CP, BP上分別取两点E, F使∠EDP＝∠FDP＝30°,于是就得到一个三角形△DEF。为什么它是一个正三角形呢？因为D是△BPC的內心，所以DP是∠BPC的角平分线，即∠DPE＝∠DPF，由作图知∠EDP＝∠FDP ＝30°,在△DPE和△DPF中，DP是公共边，而夹此边的两角又是对应相等的，所以△DPE≌△DPF。于是DE＝DF,即△DEF是个等腰三角形，它的腰是DE和DF，而它的頂角又是60°，所以它当然是个正三角形。 接下來，我们的目标就是希望能证明△DEF真的是莫利三角形，亦即AE, AF 的确会三等分∠BAC。
如图2所示，在AB, AC上各取一点G,H,使得BG＝BD, CH＝CD，把G、F、E、H各点依次连起來，根据△BFD≌△BFG，△CED≌△CEH，我们就得到GF ＝FD＝FE＝ED＝EH。 下面，如果能夠证明G,F,E,H，A五点共圆，則定理的证明就完成了，因为∠GAF,∠FAE,∠EAH这三个圆周角所对的弦GF, FE, EH都等長，因而这三个圆周角也就都相等了。 为了证明G,H,E,F，A共圓，必须证明∠FGE＝∠FHE＝∠A/3。 看图2，首先我们注意到△GFE是个等腰三角形，∠GFE是它的顶角，如果这个角能求出來，其底角∠FGE也就能求出来了。 △PFE也是一个等腰三角形，这是因为△PDF≌△PDE，（PD是公用边，∠DPF＝∠DPE，∠PDF＝∠PDE＝30°），所以PF=PE。等腰三角形△PFE的顶角大小为： ∠FPE=π-2/3（∠ABC+∠ACB）=π-2/3（π-∠BAC）=π/3+2/3∠BAC (1) ∠BFD=∠PDF+∠DPF=π/6+1/2∠FPE=π/6+π/6+1/3∠BAC=π/3+1/3∠BAC (2) ∠GFE=2π-∠EFD-2∠BFD=2π-π/3-2π/3-2∠BAC/3=π-2/3∠BAC (3) 最后得到：∠FGE=∠FEG=1/2(π-∠GFE)=1/3∠BAC...（4）同理可证：∠FHE=∠HFE=1/3∠BAC (5) 至此可知G,H,E,F，A五点共圓。 因GF=FE=EH，所以∠GAF=∠FAE=∠EAH=1/3∠BAC (6) 即AE和AF恰好是∠BAC的三等分线，所以△DEF是莫利三角形。 AB是圆的一条弦，中点记为S，圆心为O，过S作任意两条弦CD、EF，分别交圆于C、D、E、F，连接CF,ED分别交AB于点M、N，求证：MS=NS。
1 高中数学常用公式与证明专题 本专题由北京大学教材研究所审定 依据《普通高中课程标准》编写 1.不等式的基本性质： （1）对称性：b a >?a b < （2）传递性：b a >，c b >?c a > （3）可加性：b a >?c b c a +>+ （4）加法：b a >，d c >?d b c a +>+ （5）保号性：b a >，0>c ?bc ac >；0 怎样证明弦切角 怎样证明弦切角设圆心为o，连接oc，ob，oa。过点a作tp的平行线交bc于d， 则∠tcb=∠cda ∵∠tcb=90-∠ocd ∵∠boc=180-2∠ocd ∴,∠boc=2∠tcb ∵∠boc=2∠cab ∴∠tcb=∠cab 2 接oboc过o做oe⊥bc 所以∠a=1/2 又因为∠oct=90° ∠oec=90° 所以∠eoc=∠tcb 所以∠tcb=∠a 3 温馨提示 设切点为a切线ab弦ac圆心为o 过a作直径ad连oc 角cab等于90度减角dac 因为oa等于oc所以角aoc等于180度减去二倍的角dac 即可证明角aoc等于二倍的角cab 参考资料：弦切角是这弦所对的圆心角的一半 4 线段ad与线段ef互相垂直平分。 证明:设ad交ef于点g. 因为ap为切线，所以弦切角等于所对的圆周角，即∠pac=∠b， 又因为ad平分∠bac，所以∠dac=∠bad， 从而∠pac+∠dac=∠b+∠bad, 而∠pac+∠dac=∠pad， ∠b+∠bad=∠pda，所以 ∠pad=∠pda，则△pad为等腰三角 形， 因pm平分∠apd，所以pm垂直平分ad，则ef垂直平分ad， 从而ad垂直ef， 则∠age=∠agf=90°， 再由∠gaf=∠gae，得到 △eag≌△fag， 从而eg=fg，从而ad也垂直平分ef。 5 圆心o在∠bac的一边ac上 ∵ac为直径，ab切⊙o于a， ∴弧cma=弧ca ∵为半圆, ∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角圆心o在∠bac的内部. 过a作直径ad交⊙o于d, 若在优弧m所对的劣弧上有一点e 那么，连接ec、ed、ea 则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab ∴∠cea=∠cab ∴ 圆心o在∠bac的外部, 高中数学定理证明 高中数学定理证明数学公式 抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c a > 0时开口向上 a c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a(x+h)* + k 就是y等于a乘以(x+h)的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi)(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 (一)椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2π b)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。 (二)椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota 高中数学例题：利用平面向量基本定理证明三点共线问题 例3．设OA u u u r 、OB uuu r 、OP uuu r 是三个有共同起点的不共线向量，求证： 它们的终点A 、B 、P 共线，当且仅当存在实数m 、n 使m+n=1且OP mOA nOB ==u u u r u u u r u u u r ． 【思路点拨】本题包含两个问题：（1）A 、B 、P 共线?m+n=1，且OP mOA nOB ==u u u r u u u r u u u r 成立；（2）上述条件成立?A 、B 、P 三点共线． 【证明】（1）由三点共线?m 、n 满足的条件． 若A 、B 、P 三点共线，则AP u u u r 与AB u u u r 共线，由向量共线的条件知存 在实数λ使AP AB λ=u u u r u u u r ，即()OP OA OB OA λ-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴(1)OP OA OB λλ=-+u u u r u u u r u u u r ． 令1m λ=-，n=λ，则OP mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r 且m+n=1． （2）由m 、n 满足m+n=1?A 、B 、P 三点共线． 若OP mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r 且m+n=1，则(1)OP mOA m OB =+-u u u r u u u r u u u r ． 则()OP OB m OA OB -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，即BP mBA =u u u r u u u r ． ∴BP u u u r 与BA u u u r 共线，∴A 、B 、P 三点共线． 由（1）（2）可知，原命题是成立的． 【总结升华】 本例题的结论在做选择题和填空题时，可作为定理使用，这也是证明三点共线的方法之一． 举一反三： 【变式1】设e 1，e 2是平面内的一组基底，如果124AB e e =-u u u r ， 12BC e e =+u u u r ，1269CD e e =-u u u r ，求证：A ，C ，D 三点共线． 【解析】 因为1212121(4)()233AC AB BC e e e e e e CD =+=-++=-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以AC u u u r 与CD uuu r 共线． 弦切角定理及其应用 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角） 弦切角定义 图1 如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。 弦切角定理 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. 如上图，∠PCA=1/2∠COA=∠CBA 弦切角定理证明： 证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。 ∵∠TCB=90°-∠OCB ∵∠BOC=180°-2∠OCB ∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍） ∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角） 证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧. 求证：（弦切角定理） 证明：分三种情况： （1）圆心O在∠BAC的一边AC上 ∵AC为直径，AB切⊙O于A， ∴弧CmA=弧CA ∵为半圆, ∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角 （2）圆心O在∠BAC的内部. (B点应在A点左侧) 过A作直径AD交⊙O于D, E 若在优弧m所对的劣弧上有一点 那么，连接EC、ED、EA 则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB ∴∠CEA=∠CAB ∴（弦切角定理） （3）圆心O在∠BAC的外部, 过A作直径AD交⊙O于D 那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90° ∴∠CDA=∠CAB ∴（弦切角定理） 3弦切角推论 推论内容 若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 应用举例 例1：如图，在⊙O中，⊙O的切线AC、BC交与 点C，求证：∠CAB=∠CBA。 解：⊙O的切线AC、BC交与点C，∴AC=BC（切线长定理）。∴∠CAB=∠CBA。（等腰三角形“等边对等角”）。 例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A 的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求 证：EF//BC. 证明：连接DF AD是∠BAC的平分线 ∠BAD=∠DAC ∠EFD=∠BAD ∠EFD=∠DAC ⊙O切BC于D ,∠FDC=∠DAC ∠EFD=∠FDC EF∥BC 例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB 于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD. 证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90 ∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠B， 高中数学常用公式及定理 1．熟悉这些解题小结论，启迪解题思路、探求解题佳径，防止解题易误点的产生，对提升数 学成绩将会起到很大的作用。 2．所有定义、概念、公式、解题方法都须熟记，且应在弄清它们的来龙去脉后再熟记。 1.元素与集合的关系：U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式：();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ????U A C B ?=Φ()U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n －1个；非空子集有2n －1个；非 空的真子集有2n －2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠； (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠； (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式：()N f x M < 高中数学正弦定理的五种证明方法 ——王彦文 青铜峡一中 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义， 有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD⊥BC,垂足为 D.则Rt△ADB 中,AB AD B =sin ,∴AD=AB·sinB=csinB. ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?.同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21=. ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21==.∴absinc=bcsinA=acsinB, 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==.即C c B b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与 CB 的夹角为90°-C .由向量的加法原则可得 AB CB AC =+, a b D A B C A B C D b a D C B A怎样证明弦切角
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