重点高中数学:函数解析式的十一种方法
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高中数学:函数解析式的十一种方法
一、定义法 二、待定系数法 三、换元(或代换)法 四、配凑法 五、函数方程组法
七、利用给定的特性求解析式.
六、特殊值法 八、累加法 九、归纳法 十、递推法 十一、微积分法
一、定义法:
【例1】设23)1(2+-=+x x x f ,求)(x f .
2]1)1[(3]1)1[(23)1(22+-+--+=+-=+x x x x x f Θ =6)1(5)1(2++-+x x 65)(2+-=∴x x x f
【例2】设2
1
)]([++=
x x x f f ,求)(x f . 【解析】设x
x x x x x f f ++=+++=++=
11111
11
21)]([Θ
x
x f +=
∴11)(
【例3】设33221
)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++=+,求)]([x g f .
【解析】2)(2)1(1)1(2222
-=∴-+=+=+x x f x x x x x x f Θ
又x x x g x x x x x
x x x g 3)()
1(3)1(1)1(3333
-=∴+-+=+=+Θ 故2962)3()]([24623-+-=--=x x x x x x g f
【例4】设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=.
【解析】
)2
(17cos )]2[cos()(sin x x f x f -=-=π
π
x x x 17sin )172
cos()1728cos(=-=-+
=π
π
π.
二、待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。
【例1】 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f 【解析】设b ax x f +=)( )0(≠a ,则
b
ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([
∴???=+=342b ab a ∴?
????
?=-===32
12b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或
【例2】已知1392)2(2
+-=-x x x f ,求)(x f .
【解析】显然,)(x f 是一个一元二次函数。设)0()(2≠++=a c bx ax x f
则c x b x a x f +-+-=-)2()2()2(2 )24()4(2c b a x a b ax +-+-+= 又
1392)2(2+-=-x x x f
比较系数得:?????=+--=-=1324942c b a a b a 解得:??
???=-==312
c b a 32)(2
+-=∴x x x f
三、换元(或代换)法:已知复合函数[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化。
【例1】 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f 【解析】令1+=
x t ,则1≥t ,2)1(-=t x
Q x x x f 2)1(+=+
∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f
1)(2-=∴x x f )1(≥x
x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x
【例2】 已知
,11)1(2
2x x
x x x f ++=+求)(x f . 【解析】设,1t x x =+则1
1
-=
t x 则x x x x x x x f t f 11111)1()(222++=++=+= 1)1()1(11
11
)11(11222+-=-+-+=-+-+
=t t t t t t 1)(2+-=∴x x x f 【例3】 设x x f 2
cos )1(cos =-,求)(x f .
解:令1cos ,1cos +=∴-=t x x t
又0201cos 2,1cos 1≤≤-≤-≤-∴≤≤-t x x 即
]0,2[,)1()()02(,)1()(22-∈+=≤≤-+=∴x x x f t t t f 即
【例4】 若x x
x f x f +=-+1)1
(
)( (1) 在(1)式中以x
x 1-代替x 得x x x
x x x f x x f 11)11
1
()1(-+=---+-
即x x x f x x f 12)11()1(-=
--+- (2) 又以11--x 代替(1)式中的x 得:1
2
)()11(--=
+--x x x f x f (3) )1(112121)(2:)2()3()1(23---=----++=-+x x x x x x x x x x f 得)
1(21)(23---=∴x x x x x f
【例5】设)0,,()1()()(b a ,c b a cx
x
bf x af x f ±≠=+且均不为其中满足,求)(x f 。
【解析】cx x bf x af =+)1(
)( (1)用x 1来代替x ,得x
c x bf x af 1
)()1(?=+ (2) 由x
bc
acx x f b a b a -=-?-?22
2
)()(:)2()1(得x
b a bc
acx x f b
a )()(2
2
2--=∴±≠Θ
【例6】已知2)(21
+=-x a
f x ,求)(x f .
【解析】设01φ-=x a t
,则t x a log 1=- 即1log +=t x a
代入已知等式中,得:
3log 2log 2)1(log )(22++=++=t t t t f a a a
3log 2log )(2++=∴x x x f a a
四、配凑法
已知复合函数[()]f g x 的表达式,要求()f x 的解析式时,若[()]f g x 表达式右边易配成()g x 的运算形式,则可用配凑法,使用配凑法时,要注意定义域的变化。
【例1】已知(1)2,f x x x +=+求()f x 的解析式。
【解析】2x x +Q 可配凑成 ∴可用配凑法
由2(1)2()1f x x x x +=+=+- 令1t x =+
1
x t ≥∴≥Q
则2()1f t t =- 即2()1(1)f x x x =-≥ 当然,上例也可直接使用换元法 令1t x =+ 则1t x =+ 得
2
22(1)()(1)2(1)1
x t f t t t t =-∴=-+-=- 即 2()1(1)f x x x =-≥
由此可知,求函数解析式时,可以用配凑法来解决的,有些也可直接用换元法来求解。
【 例 2】已知2
211(),f x x x x
-=+求()f x .
【解析】此题直接用换元法比较繁锁,而且不易求出来,但用配凑法比较方便。
由222111
()()2f x x x x x x
-=+=-+
令21
10t x x tx x =-?--=
由0?≥即240t +≥得t R ∈ 2()2f t t ∴=+
即:2()2()f x x x R =+∈
实质上,配凑法也缊含换元的思想,只是不是首先换元,而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的内函数来表示出来,在通过整体换元。和换元法一样,最后结果要注明定义域。
五、函数方程组法。
函数方程组法适用的范围是:题高条件中,有若干复合函数与原函数()f x 混合运算,则要充分利用变量代换,然后联立方程组消去其余部分。
【 例1】设()f x 满足1()2(),f x f x x
-=求()f x 的解析式。
【解析】要求()f x 可消去1()f x ,为此,可根据题中的条件再找一个关于()f x 与1
()f x
的等式,
通过解方程组达到消元的目的。
Q 1
()2()f x f x x
-=………………………①
显然,0x ≠,将x 换成1
x
得
11
()2()f f x x x
-=……………………………..②
由1()2()11()2()f x f x x f f x x
x ?-=????-=??
消去1
()f x
,得
12
()33f x x x
=--
小结:函数方程组法适用于自变量的对称规律。互为倒数,如f(x)、1
()f x
;互为相反数,如f(x)、f(-x),通过对称代换构造一个对称方程组,解方程组即得f(x)的解析式。
【 例 2】已知2)(21
+=-x a
f x ,求)(x f .
【解析】设01φ-=x a t
,则t x a log 1=- 即1log +=t x a
代入已知等式中,得:
3log 2log 2)1(log )(22++=++=t t t t f a a a
3log 2log )(2++=∴x x x f a a
【例 3】设)(x f 为偶函数,)(x g 为奇函数,又,1
1
)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 【解析】)(x f 为偶函数,)(x g 为奇函数,
)()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴
又1
1
)()(-=
+x x g x f ① , 用x -替换x 得:1
1)()(+-=-+-x x g x f 即1
1
)()(+-
=-x x g x f ② 解① ②联立的方程组,得
11)(2-=
x x f , x
x x g -=2
1
)( 六、特殊值法:(赋值类求抽象函数)
【例1】设)(x f 是定义在N 上的函数,满足1)1(=f ,对于任意正整数y x ,,均有xy y x f y f x f -+=+)()()(,
求
)(x f .
解:由1)1(=f ,xy y x f y f x f -+=+)()()(
设
1=y 得:x x f x f -+=+)1(1)(
即:
1)()1(+=-+x x f x f
在上式中,x 分别用1,,3,2,1-t Λ代替,然后各式相加
可得:
t t t t t f 21
211)1)(2(21)(2+=+-+=
)(21
21)(2*∈+=∴N x x x x f
【例2】 已知:1)0(=f ,对于任意实数x 、y ,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,求)(x f
【解析】对于任意实数x 、y ,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,
不妨令0x =,则有1)1(1)1()0()(2
+-=-+=+--=-y y y y y y f y f 再令 x y =- 得函数解析式为:1)(2
++=x x x f
七.利用给定的特性求解析式.
【例1】设)(x f 是偶函数,当x >0时, x
e x e x
f +?=2
)(,求当x <0时,)(x f 的表达式.
【解析】对x ∈R , )(x f 满足)1()(+-=x f x f ,且当x ∈[-1,0]时, x x x f 2)(2
+=求当x ∈[9,10]时)(x f 的表达式.
七.利用给定的特性求解析式.
八、累加法:(核心思想与求数列的通项公式相似)
【例1】若a
f 1lg
)1(=,且当),0(,lg )()1(,21
*∈-=-≥-N x a a x f x f x x φ满足时,求)(x f . 【解析】),0(lg )1()(1
*-∈+-=N x a a x f x f x φΘ
递推得:2lg )2()1(-+-=-x a x f x f
3lg )3()2(-+-=-x a x f x f
…… ……
2lg )2()3(a f f +=
a f f lg )1()2(+=
以上)1(-x 个等式两边分别相加,得:
122lg lg lg lg )1()(--+++++=x x a a a a f x f Λ )1()2(21lg )1(-+-++++=x x a f Λ
12
)
1(2
)1(lg lg 1
lg ---=+=x x x x a
a
a
a x x lg ]12
)
1([
--= 九、归纳法:
【例1】已知
a f N x x f x f =*∈+
=+)1()(),(2
1
2)1(且,求)(x f . 【解析】a a f f a f 2
1
24212)1(212)2(,)1(+-=+=+==Θ
a a f f 2021
24)212(212)2(212)3(+-=++=+=
a a f f 3121
24)413(212)3(212)4(+-=++=+=-
a a f f 422
1
24)81213(212)4(212)5(+-=++=+=-
………………………………,依此类推,得
a x f x x 1
32
124)(--+
-=
再用数学归纳法证明之。
十、递推法:若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭
代等运算求得函数解析式。 【例1】 设)(x f 是定义在+N 上的函数,满足1)1(=f ,对任意的自然数b a , 都有
ab b a f b f a f -+=+)()()(,求)(x f
【解析】+∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(,,
∴不妨令1,==b x a ,得:x x f f x f -+=+)1()1()(,
又1)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故 ① 分别令①式中的1,21x n =-L 得:
(2)(1)2,
(3)(2)3,()(1),
f f f f f n f n n -=-=--=L L
将上述各式相加得:n f n f Λ++=-32)1()(,
2
)
1(321)(+=+++=∴n n n n f Λ +∈+=
∴N x x x x f ,2
1
21)(2 十一、微积分法:(当你学了导数和微积分之后,就会用到,不过平时的考题还
是比较少出现的,多见识下各种题型对你有帮助的。)
【例1】设2)1(,
cos )(sin 2
2
=='f x x f ,求)(x f .
【解析】x x x f 222sin 1cos )(sin -=='Θ
)1|(|1)(≤-='∴x x x f
因此
??+-
=-='=c x x dx x d x f x f 2
2
1)1()()(23
22112)1(=∴=+-
∴=c c f Θ )1|(|2
321)(2≤+-
=∴x x x x f A 、)()(x f T x f -=+ B 、)
(1
)()(1)(x f T x f x f T x f -
=+=+或
高中数学必修一求函数解析式解题 方法大全及配套练习 一、 定义法: 根据函数的定义求解析式用定义法。 【例1】设23)1(2 +-=+x x x f ,求)(x f . 2]1)1[(3]1)1[(23)1(22+-+--+=+-=+x x x x x f =6)1(5)1(2 ++-+x x 65)(2+-=∴x x x f 【例2】设2 1 )]([++= x x x f f ,求)(x f . 解:设x x x x x x f f ++=+++=++=11111 11 21)]([ x x f += ∴11)( 【例3】设3 3 22 1)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++ =+,求)]([x g f . 解:2)(2)1 (1)1(2222-=∴-+=+=+ x x f x x x x x x f 又x x x g x x x x x x x x g 3)()1(3)1(1)1(3333-=∴+-+=+=+ 故2962)3()]([2 4 6 2 3 -+-=--=x x x x x x g f 【例4】设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=. 解:)2 ( 17cos )]2 [cos()(sin x x f x f -=-=π π x x x 17sin )172 cos()1728cos(=-=-+ =π π π.
二、 待定系数法:(主要用于二次函数) 已知函数解析式的类型,可设其解析式的形式,根据已知条件建立关于待定系数的方程, 从而求出函数解析式。 它适用于已知所求函数类型(如一次函数,二次函数,正、反例函数等)及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法:已知所求函数类型,可预先设出所求函数的解析式,再根据题意列出方程组求出系数。 【例1】 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f 【解析】设b ax x f +=)( )0(≠a ,则 b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([ ∴???=+=342b ab a ∴????? ?=-===32 1 2b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 【例2】已知二次函数f (x )满足f (0)=0,f (x+1)= f (x )+2x+8,求f (x )的解析式. 解:设二次函数f (x )= ax 2+bx+c ,则 f (0)= c= 0 ① f (x+1)= a 2 )1(+x +b (x+1)= ax 2+(2a+b )x+a+b ② 由f (x+1)= f (x )+2x+8 与①、② 得 ?? ?=++=+8 2 2b a b b a 解得 ?? ?==. 7, 1b a 故f (x )= x 2+7x. 【例3】已知1392)2(2 +-=-x x x f ,求)(x f . 解:显然,)(x f 是一个一元二次函数。设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 则c x b x a x f +-+-=-)2()2()2(2 )24()4(2c b a x a b ax +-+-+= 又1392)2(2 +-=-x x x f 比较系数得:?????=+--=-=1324942c b a a b a 解得:?? ???=-==312c b a 32)(2 +-=∴x x x f
函数解析式的表示形式及五种确定方式 函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法,本文重点研究函数的解析式的表达形式与解析式的求法。 一、解析式的表达形式 解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。 1、一般式是大部分函数的表达形式,例 一次函数:b kx y += )0(≠k 二次函数:c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数:x k y = )0(≠k 正比例函数:kx y = )0(≠k 2、分段式 若函数在定义域的不同子集上对应法则不同,可用n 个式子来表示函数,这种形式的函数叫做分段函数。 例1、设函数(]() ???+∞∈∞-∈=-,1,log 1,,2)(81x x x x f x ,则满足41)(=x f 的x 的值为 。 解:当(]1,∞-∈x 时,由4 12= -x 得,2=x ,与1≤x 矛盾; 当()+∞∈,1x 时,由4 1log 81=x 得,3=x 。 ∴ 3=x 3、复合式 若y 是u 的函数,u 又是x 的函数,即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==,那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例2、已知3)(,12)(2 +=+=x x g x x f ,则[]=)(x g f ,[]=)(x f g 。 解:[]721)3(21)(2)(2 2+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g 二、解析式的求法 根据已知条件求函数的解析式,常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值(式)法、方程法等。 1待定系数法 若已知函数为某种基本函数,可设出解析式的表达形式的一般式,再利用已知条件求出系数。
求函数解析式的几种常 用方法 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
求函数解析式的几种常用方法 一、高考要求: 求解函数解析式是高考重点考查内容之一,需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上,掌握求函数解析式的几种方法,并形成能力,并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力. 重难点归纳: 求解函数解析式的几种常用方法主要有: 1.待定系数法,如果已知函数解析式的构造时,用待定系数法; 2.换元法或配凑法,已知复合函数f [g (x )]的表达式可用换元法,当表达式较简单时也可用配凑法; 3.消参法,若已知抽象的函数表达式,则用解方程组消参的方法求解f (x ); 另外,在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法. 二、题例讲解: 例1.(1)已知函数f (x )满足f (log a x )= )1 (1 2x x a a --.(其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式. (2)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (-1)|=|f (0)|=1,求f (x )的表达式. 命题意图:本题主要考查函数概念中的三要素:定义域、值域和对应法则,以及计算能力和综合运用知识的能力. 知识依托:利用函数基础知识,特别是对“f ”的理解,用好等价转化,注意定义域. 错解分析:本题对思维能力要求较高,对定义域的考查、等价转化易出错. 技巧与方法:(1)用换元法;(2)用待定系数法. 解:(1)令t=log a x (a >1,t >0;01,x >0;0 AVERAGE函数 主要功能:求出所有参数的算术平均值。 使用格式:AVERAGE(number1,number2,……) 参数说明:number1,number2,……:需要求平均值的数值或引用单元格(区域),参数不超过30个。 应用举例:在B8单元格中输入公式:=AVERAGE(B7:D7,F7:H7,7,8),确认后,即可求出B7至D7区域、F7至H7区域中的数值和7、8的平均值。 特别提醒:如果引用区域中包含“0”值单元格,则计算在内;如果引用区域中包含空白或字符单元格,则不计算在内。 COUNTIF函数 主要功能:统计某个单元格区域中符合指定条件的单元格数目。 使用格式:COUNTIF(Range,Criteria) 参数说明:Range代表要统计的单元格区域;Criteria表示指定的条件表达式。 应用举例:在C17单元格中输入公式:=COUNTIF(B1:B13,">=80"),确认后,即可统计出B1至B13单元格区域中,数值大于等于80的单元格数目。 特别提醒:允许引用的单元格区域中有空白单元格出现 DATEDIF函数 主要功能:计算返回两个日期参数的差值。 使用格式:=DATEDIF(date1,date2,"y")、=DATEDIF(date1,date2,"m")、=DATEDIF(date1,date2,"d") 参数说明:date1代表前面一个日期,date2代表后面一个日期;y(m、d)要求返回两个日期相差的年(月、天)数。 应用举例:在C23单元格中输入公式:=DATEDIF(A23,TODAY(),"y"),确认后返回系统当前日期[用TODAY()表示)与A23单元格中日期的差值,并返回相差的年数。 特别提醒:这是Excel中的一个隐藏函数,在函数向导中是找不到的,可以直接输入使用,对于计算年龄、工龄等非常有效。 IF函数 主要功能:根据对指定条件的逻辑判断的真假结果,返回相对应的内容。 使用格式:=IF(Logical,Value_if_true,Value_if_false) 参数说明:Logical代表逻辑判断表达式;Value_if_true表示当判断条件为逻辑“真(TRUE)”时的显示内容,如果忽略返回“TRUE”;Value_if_false表示当判断条件为逻辑“假(FALSE)”时的显示内容,如果忽略返回“FALSE”。 应用举例:在C29单元格中输入公式:=IF(C26>=18,"符合要求","不符合要求"),确信以后,如果C26单元格中的数值大于或等于18,则C29单元格显示“符合要求”字样,反之显示“不符合要求”字样。 特别提醒:本文中类似“在C29单元格中输入公式”中指定的单元格,读者在使用时,并不需要受其约束,此处只是配合本文所附的实例需要而给出的相应单元格,具体请大家参考所附的实例文件。 INDEX函数 主要功能:返回列表或数组中的元素值,此元素由行序号和列序号的索引值进行确定。 使用格式:INDEX(array,row_num,column_num) 参数说明:Array代表单元格区域或数组常量;Row_num表示指定的行序号 函数解析式的求解方法 1.配凑法 例1.已知f (x + x 1)=2x +21x ,求()f x 的解析式 例2.已知3311()f x x x x +=+ ,求()f x 例3.已知f(x+1)=x-3, 求()f x 2.换元法(整体思想) 已知形如[()]y f x ?=的函数求解()f x 的解析式:令()x t ?=,反解()x t φ=,代入[()]y f x ?=,即可求解出。 例4.已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f 例5.22)1(2++=+x x x f 求)3()(),3(+x f x f f 及 3.构造方程组法 若式子中,同时含有()f x 与()f x -,或者同时含有()f x 与1()f x ,那么将式子中的x 用x -替换,或是x 用1x 替换,得到另一个方程,通过求解方程组求解()f x 例6.设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 例7.设)(x f 满足关系式x x f x f 3)1(2)(=+求函数的解析式 4.特殊值法 当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式。 例8.已知:1)0(=f ,对于任意实数x 、y ,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立, 求)(x f 例9.已知函数)(x f 对于一切实数 x,y 都有x y x y f y x f )12()()(++=-+成立,且0)1(=f 1.求)0(f 的值 2.求)(x f 的解析式 5.待定系数法(知道函数类型) 例10已知函数f(x)是一次函数,且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式。 例11 已知f(x)是二次函数,且442)1()1(2 +-=-++x x x f x f ,求)(x f 求函数解析式的六种常用方法 一、换元法 已知复合函数f [g (x )]的解析式,求原函数f (x )的解析式.令g (x )= t ,求f (t )的解析式,再把t 换为x 即可. 例1 已知f (x x 1+)= x x x 1122++,求f (x )的解析式. 解: 设x x 1+= t ,则 x= 1 1-t (t ≠1), ∴f (t )= 1 11)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +(t -1)= t 2-t+1 故 f (x )=x 2-x+1 (x ≠1). 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法 例2 已知f (x +1)= x+2 x ,求f (x )的解析式. 解: f (x +1)= 2)(x +2 x +1-1=2)1(+x -1, ∴ f (x +1)= 2)1(+x -1 (x +1≥1),将x +1视为自变量x , 则有 f (x )= x 2-1 (x ≥1). 评注: 使用配凑法时,一定要注意函数的定义域的变化,否则容易出错. 三、待定系数法 例3 已知二次函数f (x )满足f (0)=0,f (x+1)= f (x )+2x+8,求f (x )的解析式. 解:设二次函数f (x )= ax 2+bx+c ,则 f (0)= c= 0 ① f (x+1)= a 2)1(+x +b (x+1)= ax 2+(2a+b )x+a+b ② 由f (x+1)= f (x )+2x+8 与①、② 得 ???=++=+822b a b b a 解得 ???==. 7,1b a 故f (x )= x 2+7x. 评注: 已知函数类型,常用待定系数法求函数解析式. 1 / 4 张喜林制 [选取日期] 高三数学第二轮专题讲座复习:求解函数解析式的几种常用方法 高考要求 求解函数解析式是高考重点考查内容之一,需引起重视 本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上,掌握求函数解析式的几种方法,并形成能力,并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力 重难点归纳 求解函数解析式的几种常用方法主要有 1 待定系数法,如果已知函数解析式的构造时,用待定系数法; 2 换元法或配凑法,已知复合函数f [g (x )]的表达式可用换元法,当表达式较简单时也可用配凑法; 3 消参法,若已知抽象的函数表达式,则用解方程组消参的方法求解f (x ); 另外,在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法 典型题例示范讲解 例1 (1)已知函数f (x )满足f (log a x )=)1(1 2x x a a -- (其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式 (2)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (-1)|=|f (0)|=1,求f (x ) 命题意图 本题主要考查函数概念中的三要素 定义域、值域和对应法则,以及计算能力和综合运用知识的能力 知识依托 利用函数基础知识,特别是对“f ”的理解,用好等价转化,注意定义域 错解分析 本题对思维能力要求较高,对定义域的考查、等价转化易出错 技巧与方法 (1)用换元法;(2)用待定系数法 解 (1)令t=log a x (a >1,t >0;01,x >0;0 目录 一、IF函数——————————————————————————————————2 二、ASC函数—————————————————————————————————4 三、SEARCH函数——————————————————————————————4 四、CONCATENATE函数———————————————————————————4 五、EXACT函数———————————————————————————————5 六、find函数—————————————————————————————————5 七、PROPER函数——————————————————————————————7 八、LEFT函数————————————————————————————————7 九、LOWER函数———————————————————————————————7 十、MID函数————————————————————————————————8 十一、REPT函数———————————————————————————————8 十二、Replace函数——————————————————————————————9 十三、Right函数———————————————————————————————10 十四、UPPER函数——————————————————————————————10 十五、SUBSTITUTE函数———————————————————————————10 十六、VALUE函数——————————————————————————————12 十七、WIDECHAR函数———————————————————————————12 十八、AND函数———————————————————————————————12 十九、NOT函数———————————————————————————————13 二十、OR函数————————————————————————————————13 二十一、COUNT函数—————————————————————————————14 二十二、MAX函数——————————————————————————————15 二十三、MIN函数——————————————————————————————15 二十四、SUMIF函数—————————————————————————————16 二十五、OFFSET函数————————————————————————————17 二十六、ROW函数——————————————————————————————20 二十七、INDEX 函数————————————————————————————21 二十八、LARGE函数—————————————————————————————22 二十九、ADDRESS函数————————————————————————————23 三十、Choose函数——————————————————————————————24 三十一、HLOOKUP函数———————————————————————————24 三十二、VLOOKUP函数———————————————————————————26 三十三、LOOKUP函数————————————————————————————29 三十四、MATCH函数————————————————————————————29 三十五、HYPERLINK函数——————————————————————————30 三十六、ROUND函数————————————————————————————31 三十七、TREND函数—————————————————————————————32 课题:___函数的解析式___ 教学任务 教 学 目 标 知识与技能目标会求简单函数的解析式 过程与方法目标 学生通过“回顾-反思-巩固-小结”的过程中 总结简单函数的解析式三种类型及解法。理解掌握 换元法、待定系数法,体会建立数学模型。培养学 生分类讨论的数学思想。 情感,态度与价值 观目标 使学生认识到数学与生活紧密相连,数学活动充满着探索与创 造,让他们在学习活动中培养独立的分析和建模的能力。 重点理解掌握应用换元法、待定系数法求简单函数的解析式 难点能初步掌握用数学模型解决实际问题,并能注意实际问题中的定义域 教学过程设计 问题与情境 设计 意图 活动1课前热身(资源如下) 1、设 ? ? ? ? ? < = > + = )0 (0 )0 ( )0 (1 ) ( x x x x x fπ,则f{f[f(-1)]}=_______ ___ 2、若一次函数f(x),使f[f(x)]=9x+1,则() f x= 3、已知:) (x f=x2-x+3 ,则 f(x+1) = , f( x 1 )= 4、若 x x x f - = 1 ) 1 (求f(x) = 5、客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地,在乙 地停留了半小时,然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙 地,下列描述客车从甲地出发.经过乙地,最后到达丙地所经过 的路程s与时间t之间关系的图象中,正确的是(). A. B. C. D. . 从正 反两 种情 况出 发,让 学生 回忆 体会 函数 解析 式用 法和 求法。 活动2类型解法 函数的解析式的几种类型及解法: 1、已知所要求的函数类型(一次、二次、反比例、指对数等), 利用待定系数法来求; 2、已知复合函数一般用变量代换(换元)法; 3、涉及实际问题求解析式,需建立数学模型即:把实际问题转 化为数学问题。 培 养学 生用 自己 的语 言来 总结 类型 与解 法 活动3提高探究 资源1、求满足下列条件的函数() f x的解析式: ①已知一次函数() f x,满足3(1)2(1)217 f x f x x +--=+. ②若二次函数满足(0)0 f=,且(1)()1 f x f x x +=++ ③设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且图象在y轴上的截距为1,在x轴上截得 的线段长为2 2. 掌 握利 用待 定系 数法 求解 析式。 excel常用函数及使用方法 一、数字处理 (一)取绝对值:=ABS(数字) (二)数字取整:=INT(数字) (三)数字四舍五入:=ROUND(数字,小数位数) 二、判断公式 (一)把公式返回的错误值显示为空: 1、公式:C2=IFERROR(A2/B2,"") 2、说明:如果是错误值则显示为空,否则正常显示。 (二)IF的多条件判断 1、公式:C2=IF(AND(A2<500,B2="未到期"),"补款","") 2、说明:两个条件同时成立用AND,任一个成立用OR函数。 三、统计公式 (一)统计两表重复 1、公式:B2=COUNTIF(Sheet15!A:A,A2) 2、说明:如果返回值大于0说明在另一个表中存在,0则不存在。 (二)统计年龄在30~40之间的员工个数 公式=FREQUENCY(D2:D8,{40,29} (三)统计不重复的总人数 1、公式:C2=SUMPRODUCT(1/COUNTIF(A2:A8,A2:A8)) 2、说明:用COUNTIF统计出每人的出现次数,用1除的方式把出现次数变成分母,然后相加。 (四)按多条件统计平均值 =AVERAGEIFS(D:D,B:B,"财务",C:C,"大专") (五)中国式排名公式 =SUMPRODUCT(($D$4:$D$9>=D4)*(1/COUNTIF(D$4:D$9,D$4:D$9))) 四、求和公式 (一)隔列求和 1、公式:H3=SUMIF($A$2:$G$2,H$2,A3:G3) 或=SUMPRODUCT((MOD(COLUMN(B3:G3),2)=0)*B3:G3) 2、说明:如果标题行没有规则用第2个公式 (二)单条件求和 1、公式:F2=SUMIF(A:A,E2,C:C) 2、说明:SUMIF函数的基本用法 (三)单条件模糊求和 说明:如果需要进行模糊求和,就需要掌握通配符的使用,其中星号是表示任意多个字符,如"*A*"就表示a前和后有任意多个字符,即包含A。 (四)多条求模糊求和 1、公式:=SUMIFS(C2:C7,A2:A7,A11&"*",B2:B7,B11) 2、说明:在sumifs中可以使用通配符* (五)多表相同位置求和 1、公式:=SUM(Sheet1:Sheet19!B2) 2、说明:在表中间删除或添加表后,公式结果会自动更新。 函数解析式 1、已知2(21)42f x x x +=-,求()f x 表达式。 2、已知1()2()23f x f x x +=+,求()f x 表达式。 3、已知2(1)21f x x +=+,求(1)f x -,()f x 。 4、已知23()2()23f x f x x --=-,不求()f x 的解析式,直接求(0)f ,(2)f 。 5、已知2 211()11x x f x x --=++,求()f x 解析式。 6、设()f x 是R 上的函数,且满足(0)1f =,并且对任意的实数x,y 都有()()(21)f x y f x y x y -=--+,求()f x 。 7、若函数2 2()1x f x x =+,求111(1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++。 8、已知函数()x f x ax b =+,(2)1f =且方程()0f x x -=有唯一解,求()f x 表达式。 9、设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f 。 10、已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式。 11、已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式。 12、已知函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式。 13、设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 。 14、设)(x f 为偶函数,)(x g 为奇函数,又,1 1)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式。 15、设)(x f 是定义在+N 上的函数,满足1)1(=f ,对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(,求)(x f 。 16、已知f (x +1)=x +2x ,求()f x 的解析式。 17、已知f (x + x 1)=x 3+31x ,求()f x 的解析式。 18、已知函数()f x 是一次函数,且满足关系式3(1)2(1)217f x f x x +--=+,求()f x 的解析式。 19、已知2(1)lg f x x +=,求()f x 。 20、已知()f x 满足1 2()()3f x f x x +=,求()f x 。 高考求函数解析式方法 及例题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 函数专题之解析式问题 求函数解析式的方法 把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫函数的解析式,简称解析式。 求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法; (2)已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x :换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式; (4)()f x 满足某个等式,这个等式除()f x 外还有其他未知量,需构造另个等式:解方程组法; (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。 ,求f(x)的解, 待定系数法 ()f x 22(2)f x -=(2)f x --设二次函数满足且图象在轴上的截距为1,在轴截得的线段长为,求的解析式。 x y ()f x 例题: 解法一、 1222x x a ? -= =2248b ac a ∴-=21 ()21 2f x x x ∴=++1 c =又1 ,2,12a b c = ==解得2 ()(0)f x ax bx c a =++≠设(2)(2)f x f x -=--由40 a b -=得 解法二、 (0)1f =41 a k ∴+=12 22x x -=222k a -∴=1 ,12 a k ∴= =-22 1 ()(2)121212 f x x x x ∴= +-=++()y f x =2 x =-得的对称轴为 (2)(2)f x f x -=--由∴2()(2)f x a x k =++设 二 【换元法】(注意新元的取值范围) 已知))((x g f 的表达式,欲求)(x f ,我们常设)(x g t =,从而求得)(1t g x -=,然后代入 ))((x g f 的表达式,从而得到)(t f 的表达式,即为)(x f 的表达式。 三【配凑法(整体代换法)】 若已知))((x g f 的表达式,欲求)(x f 的表达式,用换元法有困难时,(如)(x g 不存在反函数)可把)(x g 看成一个整体,把右边变为由)(x g 组成的式子,再换元求出)(x f 的式子。 1、ABS函数 函数名称:ABS 主要功能:求出相应数字的绝对值。 使用格式:ABS(number) 参数说明:number代表需要求绝对值的数值或引用的单元格。 应用举例:如果在B2单元格中输入公式:=ABS(A2),则在A2单元格中无论输入正数(如100)还是负数(如-100),B2中均显示出正数(如100)。 特别提醒:如果number参数不是数值,而是一些字符(如A等),则B2中返回错误值“#VALUE!”。 2、AND函数 函数名称:AND 主要功能:返回逻辑值:如果所有参数值均为逻辑“真(TRUE)”,则返回逻辑“真(TRUE)”,反之返回逻辑“假(FALSE)”。 使用格式:AND(logical1,logical2, ...) 参数说明:Logical1,Logical2,Logical3……:表示待测试的条件值或表达式,最多这30个。 应用举例:在C5单元格输入公式:=AND(A5>=60,B5>=60),确认。如果C5中返回TRUE,说明A5和B5中的数值均大于等于60,如果返回FALSE,说明A5和B5中的数值至少有一个小于60。 特别提醒:如果指定的逻辑条件参数中包含非逻辑值时,则函数返回错误值“#VALUE!”或“#NAME”。 3、AVERAGE函数 函数名称:AVERAGE 主要功能:求出所有参数的算术平均值。 使用格式:AVERAGE(number1,number2,……) 参数说明:number1,number2,……:需要求平均值的数值或引用单元格(区域),参数不超过30个。 应用举例:在B8单元格中输入公式:=AVERAGE(B7:D7,F7:H7,7,8),确认后,即可求出B7至D7区域、F7至H7区域中的数值和7、8的平均值。 特别提醒:如果引用区域中包含“0”值单元格,则计算在内;如果引用区域中包含空白或字符单元格,则不计算在内。 4、COLUMN 函数 函数名称:COLUMN 主要功能:显示所引用单元格的列标号值。 使用格式:COLUMN(reference) 参数说明:reference为引用的单元格。 应用举例:在C11单元格中输入公式:=COLUMN(B11),确认后显示为2(即B列)。 特别提醒:如果在B11单元格中输入公式:=COLUMN(),也显示出2;与之相对应的还有一个返回行标号值的函数——ROW(reference)。 5、CONCATENATE函数 函数名称:CONCATENATE 主要功能:将多个字符文本或单元格中的数据连接在一起,显示在一个单元格中。 使用格式:CONCATENATE(Text1,Text……) 参数说明:Text1、Text2……为需要连接的字符文本或引用的单元格。 应用举例:在C14单元格中输入公式:=CONCATENATE(A14,"@",B14,".com"),确认后,即可将A14单元格中字符、@、B14单元格中的字符和.com连接成一个整体,显示在C14单元格中。 特别提醒:如果参数不是引用的单元格,且为文本格式的,请给参数加上英文状态下的双引号,如果将上述公式改为:=A14&"@"&B14&".com",也能达到相同的目的。 6、COUNTIF函数 函数名称:COUNTIF 主要功能:统计某个单元格区域中符合指定条件的单元格数目。 使用格式:COUNTIF(Range,Criteria) 参数说明:Range代表要统计的单元格区域;Criteria表示指定的条件表达式。 函数解析式的求法大盘点 函数解析式的求解方法较多,在此,我归纳了几类供大家学习,希望对大家有所帮助。 一. 方程组法 型型和此法主要适用(x) )()()()()(c tx bf x af x c x t bf x af =+=+。 。即函数的解析式为得:替换为解析:把。 联立方程组,即可解出替换为分析:把的解析式。 ,求满足函数例3)(3)(-)(2)-()(2)(,)(,)()(2)()(.1x x f x x f x x f x f x x f x f x x x f x x x f x x f x f x f ==????=-=----=-- 。即函数的解析式为得:替换为解析:把。联立方程组,即可解出替换为分析:把的解析式。,求满足函数例)2(31)()2(31)(1 )(2)1()1(2)(,1)(,1)()1(2)()(.2x x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x f x x x f x x f x f x f +--=+--=???? ????-=--=----=-- 点评:方程组法求函数解析式关键是根据所给表达式列出方程组。 )()()()()()()()()()(x f x t c x bf x t af x c x t bf x af x t x x c x t bf x af 即可解出,即替换为型需把???????=+=+=+, ).()()()()()()((x) )()(x f tx c x bf tx af x c tx bf x af tx x c tx bf x af 即可解出,即替换为型需把???=+=+=+ EXCEL中常用函数及使用方法 Excel函数一共有11类:数据库函数、日期与时间函数、工程函数、财务函数、信息函数、逻辑函数、查询和引用函数、数学和三角函数、统计函数、文本函数以及用户自定义函数。 1.数据库函数 当需要分析数据清单中的数值是否符合特定条件时,可以使用数据库工作表函数。例如,在一个包含销售信息的数据清单中,可以计算出所有销售数值大于1,000 且小于2,500 的行或记录的总数。Microsoft Excel 共有12 个工作表函数用于对存储在数据清单或数据库中的数据进行分析,这些函数的统一名称为Dfunctions,也称为D 函数,每个函数均有三个相同的参数:database、field 和criteria。这些参数指向数据库函数所使用的工作表区域。其中参数database 为工作表上包含数据清单的区域。参数field 为需要汇总的列的标志。参数criteria 为工作表上包含指定条件的区域。 2.日期与时间函数 通过日期与时间函数,可以在公式中分析和处理日期值和时间值。 3.工程函数 工程工作表函数用于工程分析。这类函数中的大多数可分为三种类型:对复数进行处理的函数、在不同的数字系统(如十进制系统、十六进制系统、八进制系统和二进制系统)间进行数值转换的函数、在不同的度量系统中进行数值转换的函数。 4.财务函数 财务函数可以进行一般的财务计算,如确定贷款的支付额、投资的未来值或净现值,以及债券或息票的价值。财务函数中常见的参数: 未来值(fv)--在所有付款发生后的投资或贷款的价值。 期间数(nper)--投资的总支付期间数。 付款(pmt)--对于一项投资或贷款的定期支付数额。 现值(pv)--在投资期初的投资或贷款的价值。例如,贷款的现值为所借入的本金数额。 利率(rate)--投资或贷款的利率或贴现率。 类型(type)--付款期间内进行支付的间隔,如在月初或月末。 5.信息函数 可以使用信息工作表函数确定存储在单元格中的数据的类型。信息函数包含一组称为IS 的工作表函数,在单元格满足条件时返回TRUE。例如,如果单元格包含一个偶数值,ISEVEN 工作表函数返回TRUE。如果需要确定某个单元格区域中是否存在空白单元格,可以使用COUNTBLANK 工作表函数对单元格区域中的空白单元格进行计数,或者使用ISBLANK 工作表函数确定区域中的某个单元格是否为空。 6.逻辑函数 使用逻辑函数可以进行真假值判断,或者进行复合检验。例如,可以使用IF 函数确定条件为真还是假,并由此返回不同的数值。 求函数解析式的几种基本方法及例题: 1、凑配法:已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式,[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时,常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域,而是()g x 的值域。 此法较适合简单题目。 例1、(1)已知f(x+1)=x 2+2x,求f(x)及f(x-2). (2) 已知2 2 1)1(x x x x f + =+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式 解:(1)f(x+1)=(x+1)2-1,∴f (x )=x 2-1.f(x-2)=(x-2)2-1=x 2-4x+3. (2) 2)1()1(2 -+ =+ x x x x f , 21≥+ x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x 2、换元法:已知复合函数[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化。 例2 (1) 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f (2)如果).(,,)(x f x x x x f 时,求则当1011≠-= 解:(1)令1+= x t ,则1≥t ,2)1(-=t x x x x f 2)1(+=+ ∴,1)1(2)1()(2 2 -=-+-=t t t t f 1)(2 -=∴x x f )1(≥x x x x x f 21)1()1(2 2 +=-+=+∴ )0(≥x (2)设 .)(,,,1 11 1111 11-= ∴-= - = = =x x f t t t f t x t x t )(代入已知得则 3、待定系数法:当已知函数的模式求解析式时适合此法。应用此法解题时往往需要解恒等式。 例3、已知f(x)是二次函数,且满足f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解:设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0),∴f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c +a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x, 则应有.)(12121 0224 2222 --=∴?? ???-=-==∴?????=+-==x x x f c b a c a b a 四、构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式。 例4 设,)1 (2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 解 x x f x f =-)1 (2)( ① 显然,0≠x 将x 换成 x 1,得: x x f x f 1 )(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组,得: x x x f 323)(-- = 五、赋值法:当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式。 例5 已知:1)0(=f ,对于任意实数x 、y ,等式 求函数解析式常用的方法 求函数解析式常用的方法有:待定系数法、换元法、配凑法、消元法、特殊值法。 以下主要从这几个方面来分析。 (一)待定系数法 待定系数法是求函数解析式的常用方法之一,它适用于已知所求函数类型(如一次函数,二次函数,正、反例函数等)及函数的某些特征求其解析式的题目,它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。其方法:已知所求函数类型,可预先设出所求函数的解析式,再根据题意列出方程组求出系数。 例1:已知()f x 是二次函数,若(0)0,f =且(1)()1f x f x x +=++试求()f x 的表达式。 解析:设2()f x ax bx c =++ (a ≠0) 由(0)0,f =得c=0 由(1)()1f x f x x +=++ 得 22(1)(1)1a x b x c ax bx c x ++++=++++ 整理得22(2)()1ax a b x a b c ax b c x c +++++=++++ 得 212211120011()22 a a b b a b c c b c c f x x x ?=?+=+????++=+?=????=?=??? ∴=+ 小结:我们只要明确所求函数解析式的类型,便可设出其函数解析式,设法求出其系数即可得到结果。类似的已知f(x)为一次函数时,可设f(x)=ax+b(a≠0);f(x)为反比例函数时,可设f(x)= k x (k≠0);f(x)为 二次函数时,根据条件可设①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ②顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) ③双根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) (二)换元法 换元法也是求函数解析式的常用方法之一,它主要用来处理不知道所求函数的类型,且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式,但使用换元法时要注意新元定义域的变化,最后结果要注明所求函数的定义域。 例2 :已知1)1,f x =+求()f x 的解析式。 解析: 1视为t ,那左边就是一个关于t 的函数()f t , 1t =中,用t 表示x ,将右边化为t 的表达式,问题即可解决。 1t = 2220 1 ()(1)2(1)1()(1)x t f t t t t f x x x ≥∴≥∴=-+-+=∴=≥ 小结:①已知f[g(x)]是关于x 的函数,即f[g(x)]=F(x),求f(x)的解析式,通常令g(x)=t ,由此能解出x=(t),将x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中,求得f(t)的解析式,再用x 替换t ,便得f(x)的解析式。 注意:换元后要确定新元t 的取值范围。 ②换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的解题方法,它的基本功能是:化难为易、化繁为简,以快速实现未知向已知的转换,从而达到顺利解题的目的。常见的换元法是多种多样的,如局部换元、整体换元、三角换元、分母换元等,它的应用极为广泛。 (三)配凑法 已知复合函数[()]f g x 的表达式,要求()f x 的解析式时,若[()]f g x 表达式右边易配成()g x 的运算形式,则可用配凑法,使用日常工作中常用函数
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