第一章
晶体结构
思 考 题
1. 以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比.
[解答] 设原子的半径为R , 体心立方晶胞的空间对角线为4R , 晶胞的边长为3/4R , 晶胞的体积为()3
3/4R , 一个晶胞包含两个原子, 一个原子占的体积为()2/3/43
R ,单位体积晶体中的原子数为()3
3/4/2R ; 面心立方晶胞的边长为2/4R , 晶胞的体积为()3
2/4R , 一个晶胞包含四个原子, 一个原子占的体积为()4/2/43
R , 单位体积晶体中的原子数为()3
2/4/4R . 因此, 同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比为
2/323
???? ??=0.272.
2. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？
[解答]
晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面.
3. 基矢为=1a i a , =2a aj , =3a ()k j i ++2a
的晶体为何种结构? 若
=3a ()k j +2a
+i 23a , 又为何种结构? 为什么?
[解答]
有已知条件, 可计算出晶体的原胞的体积
23
321a =
??=a a a Ω.
由原胞的体积推断, 晶体结构为体心立方. 按照本章习题14, 我们可以构造新的矢量
=-=13a a u 2a
()k j i ++-,
=-=23a a v 2a
()k j i +-,
=-+=321a a a w 2a
()k j i -+.
w v u ,,对应体心立方结构. 根据14题可以验证, w v u ,,满足选作基矢的充分条件.可见基矢为=1a i a , =2a aj , =3a ()
k j i ++2a
的晶体为体心立方结构.
若
=3a ()k j +2a
+i 23a ,
则晶体的原胞的体积
23321a Ω=
??=a a a ,
该晶体仍为体心立方结构.
4. 若321l l l R
与hkl R 平行, hkl R 是否是3
21l l l R 的整数倍? 以体心立方和面心立方结构证明
之.
[解答] 若
3
21l l l R 与hkl R 平行, hkl R 一定是321l l l R
的整数倍. 对体心立方结构, 由(1.2)式可知
32a a a +=,13a a b +=, 21a a c +=,
hkl R =h a +k b +l c =(k+l )+1a (l+h )+2a (h+k )3a =p 321l l l R =p (l 11a +l 22a +l 33a ), 其中p 是(k+l )、(l+h )和(h+k )的公约(整)数.
对于面心立方结构, 由(1.3)式可知,
321a a a a ++-=, =b 321a a a +-, =c 321a a a -+,
hkl R =h a +k b +l c =(-h+k+l )1a +(h-k+l )2a +(h+k-l )3a =p ’321l l l R = p ’(l 11a +l 22a +l 33a ), 其中p ’是(-h+k+l )、(-k+h+l )和(h-k+l )的公约(整)数.
5. 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基矢1a 、2
a 和3a 重合，除O 点外,OA 、OB 和OC 上是否有格点？ 若ABC 面的指数为（234），情况又如何？
[解答]
晶面族（123）截1a 、2a 和3a 分别为1、2、3等份，ABC 面是离原点O 最近的晶面，OA 的长度等于1a 的长度，OB 的长度等于2a 的长度的1/2，OC 的长度等于3a 的长度的1/3，所以只有A 点是格点. 若ABC 面的指数为(234)的晶面族, 则A 、B 和C 都不是格点. 6. 验证晶面（102），（111）和（012）是否属于同一晶带. 若是同一晶带, 其带轴方向的晶列指数是什么?
[解答] 由习题12可知,若（102），（111）和（012）属于同一晶带, 则由它们构成的行列式的值必定为0.可以验证
2
101110
12=0,
说明(102），（111）和（012）属于同一晶带.
晶带中任两晶面的交线的方向即是带轴的方向. 由习题13可知, 带轴方向晶列[l 1l 2l 3]的取值为
l 1=110
1 =1, l 2=
1120=2, l 3=1
112=1.
7．带轴为[001]的晶带各晶面，其面指数有何特点？
[解答]
带轴为[001]的晶带各晶面平行于[001]方向，即各晶面平行于晶胞坐标系的c 轴或原胞坐标系的3a 轴，各晶面的面指数形为（hk0）或（h 1h 20）, 即第三个数字一定为0. 8. 与晶列[l 1l 2l 3]垂直的倒格面的面指数是什么?
[解答]
正格子与倒格子互为倒格子. 正格子晶面(h 1h 2h 3)与倒格式=h K h 11b +h 22b +h 33b 垂直, 则倒格晶面(l 1l 2l 3)与正格矢=l R l 11a + l 22a + l 33a 正交. 即晶列[l 1l 2l 3]与倒格面(l 1l 2l 3) 垂直.
9. 在结晶学中, 晶胞是按晶体的什么特性选取的?
[解答]
在结晶学中, 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性.
10.六角密积属何种晶系? 一个晶胞包含几个原子?
[解答]
六角密积属六角晶系, 一个晶胞(平行六面体)包含两个原子.
11.体心立方元素晶体, [111]方向上的结晶学周期为多大? 实际周期为多大?
[解答]
结晶学的晶胞,其基矢为c b a , ,,只考虑由格矢=R h a +k b +l c 构成的格点. 因此, 体心立方元素晶体[111]方向上的结晶学周期为a 3, 但实际周期为a 3/2. 12.面心立方元素晶体中最小的晶列周期为多大? 该晶列在哪些晶面内?
[解答]
周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面内. 若以密堆积模型, 则原子面密度最大的晶面就是密排面. 由图 1.9可知密勒指数(111)[可以证明原胞坐标系中的面指数也为(111)]是一个密排面晶面族, 最小的晶列周期为2/2a . 根据同族晶面族的性质, 周期最小的晶列处于{111}面内.
13. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？ [解答]
晶体中原子间距的数量级为10
10
-米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长
应小于10
10-米. 但可见光的波长为7.6?4.0710-?米, 是晶体中原子间距的1000倍. 因此, 在晶体衍射中，不能用可见光.
14. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同级衍射, 哪一晶面族衍射光弱? 为什么?
[解答]
对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强. 低指数的晶面族面间距大, 晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强. 相反, 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱. 另外, 由布拉格反射公式
λθn sin 2=hkl d 可知, 面间距hkl d 大的晶面, 对应一个小的光的掠射角θ. 面间距hkl d 小的晶面, 对应一
个大的光的掠射角θ. θ越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱. 15. 温度升高时, 衍射角如何变化? X 光波长变化时, 衍射角如何变化?
[解答]
温度升高时, 由于热膨胀, 面间距hkl d 逐渐变大. 由布拉格反射公式
λθn sin 2=hkl d 可知, 对应同一级衍射, 当X 光波长不变时, 面间距hkl d 逐渐变大, 衍射角θ逐渐变小.所以温度升高, 衍射角变小.
当温度不变, X 光波长变大时, 对于同一晶面族, 衍射角θ随之变大.
16. 面心立方元素晶体, 密勒指数(100)和(110)面, 原胞坐标系中的一级衍射, 分别对应晶胞坐标系中的几级衍射?
[解答]
对于面心立方元素晶体, 对应密勒指数(100)的原胞坐标系的面指数可由(1.34)式求得为(111), p ’=1. 由(1.33)式可知, hkl h K K 2=; 由(1.16)和(1.18)两式可知, 2
/321hkl h h h d d =; 再由(1.26)和(1.27)两式可知, n ’=2n . 即对于面心立方元素晶体, 对应
密勒指数(100)晶面族的原胞坐标系中的一级衍射, 对应晶胞坐标系中的二级衍射.
对于面心立方元素晶体, 对应密勒指数(110)的原胞坐标系的面指数可由(1.34)式求得
为(001), p ’=2. 由(1.33)式可知, hkl h K K =; 由(1.16)和(1.18)两式可知, hkl
h h h d d =321; 再由(1.26)和(1.27)两式可知, n ’=n , 即对于面心立方元素晶体, 对应密勒指数(110)晶面族的原胞坐标系中的一级衍射, 对应晶胞坐标系中的一级衍射.
17. 由KCl 的衍射强度与衍射面的关系, 说明KCl 的衍射条件与简立方元素晶体的衍射条件等效.
[解答]
Cl 与K 是原子序数相邻的两个元素, 当Cl 原子俘获K 原子最外层的一个电子结合成典
型的离子晶体后, -
Cl 与+
K 的最外壳层都为满壳层, 原子核外的电子数和壳层数都相
同, 它们的离子散射因子都相同. 因此, 对X 光衍射来说, 可把-
Cl 与+
K 看成同一种原子. KCl 与NaCl 结构相同, 因此, 对X 光衍射来说, KCl 的衍射条件与简立方元素晶体等效.
由KCl 的衍射强度与衍射面的关系也能说明KCl 的衍射条件与简立方元素晶体的衍射条
件等效. 一个KCl 晶胞包含4个+K 离子和4个-
Cl 离子，它们的坐标
+K ：（000）（02121）（21021）（21
210
）
-Cl ：（0021）（0210）（21
00）（212121）
由（1.45）式可求得衍射强度I hkl 与衍射面(hkl )的关系
I hkl ={+K f
[1+cos ++++++)](cos )(cos )(h l n l k n k h n πππ
)]}
(cos cos cos cos [-Cl l k h n nl nk nh f +++++ππππ
由于
+
K f 等于
-
Cl f , 所以由上式可得出衍射面指数nl nk nh , ,全为偶数时, 衍射强度才极大.
衍射面指数的平方和2
22)()()(nl nk nh ++: 4, 8, 12, 16, 20, 24…. 以上诸式中的n 由
λ
θ=++sin )()()(2
2
2
2
nl nk nh a
决定. 如果从X 光衍射的角度把KCl 看成简立方元素晶体, 则其晶格常数为='a 2/a , 布拉格反射公式化为
λ
θ=++sin )'()'()'('
22
22l n k n h n a
显然'2n n =, 衍射面指数平方和2
22)'()'()'(l n k n h n ++: 1, 2, 3, 4, 5, 6…. 这正是简
立方元素晶体的衍射规律.
18. 金刚石和硅、锗的几何结构因子有何异同?
[解答]
取几何结构因子的(1.44)表达式
)
(21
j j j lw kv hu n i t
j j hkl e
f F ++=∑=π,
其中u j ,v j ,w j 是任一个晶胞内,第j 个原子的位置矢量在c b a , ,轴上投影的系数. 金刚石和硅、锗具有相同的结构, 尽管它们的c b a , ,大小不相同, 但第j 个原子的位置矢量在c b a , ,轴上投影的系数相同. 如果认为晶胞内各个原子的散射因子j
f 都一样, 则几何结构因子化
为
∑=++=t
j lw kv hu n i hkl j j j e
f F 1
)
(2π. 在这种情况下金刚石和硅、锗的几何结构因子的求和部分相同. 由于金刚石和硅、锗原子中的电子数和分布不同, 几何结构因子中的原子散射因子f 不会相同.
19. 旋转单晶法中, 将胶片卷成以转轴为轴的圆筒, 胶片上的感光线是否等间距?
[解答]
旋转单晶法中, 将胶片卷成以转轴为轴的圆筒, 衍射线构成了一个个圆锥面. 如果胶
tg
R md m =
?.
其中R 是圆筒半径, d 是假设等间距的感光线间距, ?是各个圆锥面与垂直于转轴的平面的夹角. 由该关系式可得
sin 2
2
21R d m R md
m +=
?, 即
m ?sin 与整数m 不成正比. 但可以证明
222sin l k h a mp m ++=
λ?.
即
m ?
sin 与整数m 成正比(参见本章习题23). 也就是说, 旋转单晶法中, 将胶片卷成以转轴为轴的圆筒, 胶片上的感光线不是等间距的.
20. 如图1.33所示, 哪一个衍射环感光最重? 为什么?
[解答]
最小衍射环感光最重. 由布拉格反射公式
θn
λ
d
sin
2=
hkl
可知, 对应掠射角θ最小的晶面族具有最大的面间距. 面间距最大的晶面上的原子密度最大, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用最强. 最小衍射环对应最小的掠射角,它的感光最重.
第2章晶体的结合
思考题
1.是否有与库仑力无关的晶体结合类型?
[解答]
共价结合中, 电子虽然不能脱离电负性大的原子, 但靠近的两个电负性大的原子可以各出一个电子, 形成电子共享的形式, 即这一对电子的主要活动范围处于两个原子之间, 通过库仑力, 把两个原子连接起来. 离子晶体中, 正离子与负离子的吸引力就是库仑力. 金属结合中, 原子实依靠原子实与电子云间的库仑力紧紧地吸引着. 分子结合中, 是电偶极矩把原本分离的原子结合成了晶体. 电偶极矩的作用力实际就是库仑力. 氢键结合中, 氢先与电负性大的原子形成共价结合后, 氢核与负电中心不在重合, 迫使它通过库仑力再与另一个电负性大的原子结合. 可见, 所有晶体结合类型都与库仑力有关.
2.如何理解库仑力是原子结合的动力?
[解答]
晶体结合中, 原子间的排斥力是短程力, 在原子吸引靠近的过程中, 把原本分离的原子拉近的动力只能是长程力, 这个长程吸引力就是库仑力. 所以, 库仑力是原子结合的动力.
3.晶体的结合能, 晶体的内能, 原子间的相互作用势能有何区别?
[解答]
自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量, 或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量, 称为晶体的结合能.
原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能.
在0K时, 原子还存在零点振动能. 但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多. 所以, 在0K时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能.
4.原子间的排斥作用取决于什么原因?
[解答]
相邻的原子靠得很近, 以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时, 相邻的原子间便产生巨大排斥力. 也就是说, 原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合壳层电子云的重叠.
5.原子间的排斥作用和吸引作用有何关系? 起主导的范围是什么?
[解答]
在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为0r , 当相邻原子间的距离r >0r 时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离r <0r 时, 排斥力起主导作用. 6.共价结合为什么有 “饱和性”和 “方向性”?
[解答]
设N 为一个原子的价电子数目, 对于IV A 、V A 、VI A 、VII A 族元素，价电子壳层一共有8个量子态, 最多能接纳(8- N )个电子, 形成(8- N )个共价键. 这就是共价结合的 “饱和性”.
共价键的形成只在特定的方向上, 这些方向是配对电子波函数的对称轴方向, 在这个方向上交迭的电子云密度最大. 这就是共价结合的 “方向性”.
7. 共价结合, 两原子电子云交迭产生吸引, 而原子靠近时, 电子云交迭会产生巨大的排斥力, 如何解释?
[解答]
共价结合, 形成共价键的配对电子, 它们的自旋方向相反, 这两个电子的电子云交迭使得体系的能量降低, 结构稳定. 但当原子靠得很近时, 原子内部满壳层电子的电子云交迭, 量子态相同的电子产生巨大的排斥力, 使得系统的能量急剧增大. 8.试解释一个中性原子吸收一个电子一定要放出能量的现象.
[解答]
当一个中性原子吸收一个电子变成负离子, 这个电子能稳定的进入原子的壳层中, 这个电子与原子核的库仑吸引能的绝对值一定大于它与其它电子的排斥能. 但这个电子与原子核的库仑吸引能是一负值. 也就是说, 当中性原子吸收一个电子变成负离子后, 这个离子的能量要低于中性原子原子的能量. 因此, 一个中性原子吸收一个电子一定要放出能量. 9.如何理解电负性可用电离能加亲和能来表征?
[解答]
使原子失去一个电子所需要的能量称为原子的电离能, 电离能的大小可用来度量原子对价电子的束缚强弱. 一个中性原子获得一个电子成为负离子所释放出来的能量称为电子亲和能. 放出来的能量越多, 这个负离子的能量越低, 说明中性原子与这个电子的结合越稳定. 也就是说, 亲和能的大小也可用来度量原子对电子的束缚强弱. 原子的电负性大小是原子吸引电子的能力大小的度量. 用电离能加亲和能来表征原子的电负性是符合电负性的定义的.
10.为什么许多金属为密积结构?
[解答]
金属结合中, 受到最小能量原理的约束, 要求原子实与共有电子电子云间的库仑能要尽可能的低(绝对值尽可能的大). 原子实越紧凑, 原子实与共有电子电子云靠得就越紧密, 库仑能就越低. 所以, 许多金属的结构为密积结构. 11.何为杂化轨道?
[解答]
为了解释金刚石中碳原子具有4个等同的共价键, 1931年泡林(Pauling)和斯莱特(Slater)提出了杂化轨道理论. 碳原子有4个价电子, 它们分别对应s 2?、
x
p 2?、
y
p 2?、
z
p 2?量子态, 在构成共价键时, 它们组成了4个新的量子态
).
(21
),
(21
),
(21
),
(2122221222212222122221z y x z y x z y x z y x p p p s p p p s p p p s p p p s ????ψ????ψ????ψ????ψ+--=-+-=--+=+++=，
4个电子分别占据1ψ、2ψ、3ψ、4ψ新轨道， 在四面体顶角方向(参见图1.18)形成4个共价键.
12.你认为固体的弹性强弱主要由排斥作用决定呢, 还是吸引作用决定?
[解答]
如上图所示, 0r 附近的力曲线越陡, 当施加一定外力, 固体的形变就越小. 0r 附近力曲线的斜率决定了固体的弹性性质. 而0r 附近力曲线的斜率主要取决于排斥力. 因此, 固体的弹性强弱主要由排斥作用决定. 13.固体呈现宏观弹性的微观本质是什么?
[解答]
固体受到外力作用时发生形变, 外力撤消后形变消失的性质称为固体的弹性. 设无外力时相邻原子间的距离为0r , 当相邻原子间的距离r >0r 时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离r <0r 时, 排斥力起主导作用. 当固体受挤压时, r <0r , 原子间的排斥力抗击着这一形变. 当固体受拉伸时, r >0r , 原子间的吸引力抗击着这一形变. 因此, 固体呈现宏观弹性的微观本质是原子间存在着相互作用力, 这种作用力既包含着吸引力, 又包含着排斥力.
14.你是如何理解弹性的, 当施加一定力, 形变大的弹性强呢, 还是形变小的强?
[解答]
对于弹性形变, 相邻原子间的距离在0r 附近变化. 令r r r ?+=0, 则有
).
1(),
1()1()(0
00
00
00r r
n
r r r r
m
r r r
r r r r n n m m m m m ????-≈-≈+=+=-------
因为0/r r ?是相对形变, 弹性力学称为应变, 并计作S , 所以原子间的作用力
.)(0
00000S r Bn r Am r BnS r AmS r B r A r B r A f n m n m n m n m -=-++-=+-
=
再令
c r Bn
r Am n m =-0
0,
cS f =.
可见, 当施加一定力, 形变S 大的固体c 小, 形变S 小的固体c 大. 固体的弹性是固体的属性, 它与外力和形变无关. 弹性常数c 是固体的属性, 它的大小可作为固体弹性强弱的度量. 因此, 当施加一定力, 形变大的弹性弱, 形变小的强. 从这种意义上说, 金刚石的弹性最强.
15.拉伸一长棒, 任一横截面上的应力是什么方向? 压缩时, 又是什么方向?
[解答]
如上图所示, 在长棒中取一横截面, 长棒被拉伸时, 从截面的右边看, 应力向右, 但从截面的左边看, 应力向左. 压缩时, 如下图所示, 应力方向与拉伸时正相反. 可见, 应
16.固体中某一面积元两边的应力有何关系?
[解答
以上题为例, 在长棒中平行于横截面取一很薄的体积元, 拉伸时体积元两边受的应力如图所示.
压缩时体积元两边受的应力如下图所示.
当体积元无限薄, 体积元将变成面积元. 从以上两图可以看出, 面积元两边的应力大小相等方向相反.
17.沿某立方晶体一晶轴取一细长棒做拉伸实验, 忽略宽度和厚度的形变, 由此能否测出弹性劲度常数11c ?
[解答]
立方晶体c b a , ,轴是等价的, 设长棒方向为x (a , 或b , 或c )轴方向, 做拉伸实验时若忽略宽度和厚度的形变, 则只有应力1T 应变1S 不为0, 其它应力应变分量都为0. 由(2.55)可得 1111S c T =. 设长棒的横截面积为A , 长度为L , 拉伸力为F , 伸长量为L ?, 则
有: L L S A F T / ,/11?==. 于是, L A FL c ?/11=.
18.若把上题等价成弹簧的形变, 弹簧受的力kx F -=, k 与11c 有何关系?
[解答]
上题中长棒受的力
L c L A
F ?11=
,
长棒的伸长量L ?即是弹簧的伸长量x . 因此,
.11c L A k =
可见, 弹簧的弹性系数k 与弹性劲度常数的量纲是不同的.
19.固体中的应力与理想流体中的压强有何关系?
[解答]
固体受挤压时, 固体中的正应力
321 , ,T T T 与理想流体中的压强是等价的, 但
654 , ,T T T 不同于理想流体中的压强概念. 因为压强的作用力与所考虑截面垂直, 而
654 , ,T T T 与所考虑截面平行. 也就是说, 理想流体中不存在与所考虑截面平行的作用力.
这是因为理想流体分子间的距离比固体原子间距大得多, 流层与流层分子间不存在切向作用力.
20.固体中的弹性波与理想流体中的传播的波有何差异? 为什么?
[解答]
理想流体中只能传播纵波. 固体中不仅能传播纵波, 还能传播切变波. 这是因为理想流体分子间距离大, 分子间不存在切向作用力, 只存在纵向作用力;而固体原子间距离小, 原子间不仅存在纵向作用力, 还存在切向作用力.
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
思 考 题
1. 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 其最大振幅是否相同? [解答]
以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子的振幅A, 另一个原子振幅B, 由本教科书的(3.16)可得两原子振幅之比
iqa e m A B -+-+=212
21ββωββ (1)
其中m 原子的质量. 由本教科书的(3.20)和(3.21)两式可得声学波和光学波的频率分别为
??????????????????? ??+--+=2
/122
212
12122sin )(411)(qa m A ββββββω, (2)
??????????????????? ??+-++=2
/122
212
12122sin )(411)(qa m O ββββββω. (3)
将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为
iqa
e qa A B -+????????? ??+-+=
212
/122
2121212sin )(41)(ββββββββ, (4)
iqa
e qa A B -+????????? ??+-+-=
212
/122
2121212sin )(41)(ββββββββ. (5)
由于
)
cos -(12)()sin ()cos (212212222121qa qa qa e iqa βββββββββ-+=++=+-
=
2
/122
2121212sin )(41)(????????? ??+-+qa ββββββ，
则由(4)(5)两式可得, 1=A B
. 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常
数倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的. 2. 引入玻恩卡门条件的理由是什么? [解答]
(1) (1) 方便于求解原子运动方程.
由本教科书的(3.4)式可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.
(2) (2) 与实验结果吻合得较好.
对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定0 ,01==N u u 的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么
边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(参见本教科书§3.2与§3.4). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.
3. 什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ [解答]
为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由N 个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成3N 个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线形迭加.
简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和, 即等于3N .
4. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别?
[解答]
长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波. 5. 晶体中声子数目是否守恒? [解答]
频率为i ω的格波的(平均) 声子数为
11
)(/-=
T k i B i e n ωω ,
即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量.
按照德拜模型, 晶体中的声子数目N’为
ωνπωωωωωωωd 2311d )()('0
3
22
/0
?
?????
????? ??-==D
B i D p
c
T k V e D n N .
作变量代换
T k x B ω =
，
?
Θ-=
T
x p
B c D e x x T k V N /0
23323
31
d 23'νπ .
其中D Θ是德拜温度. 高温时, x e x
+≈1
T
k V N p
D
B c 3322
343'νπΘ =,
即高温时, 晶体中的声子数目与温度成正比.
低温时, ∞→)/(T D Θ,
3
133323102332330
23323
3)2(23)d (231d 23'T n k V x e x T k V e x x T
k V N n p B c n nx
p B c x p
B c ∑∑??∞=∞=∞-∞
==-=
νπνπνπ ,
即低温时, 晶体中的声子数目与T 3成正比.
6. 温度一定，一个光学波的声子数目多呢, 还是声学波的声子数目多? [解答]
频率为ω的格波的(平均) 声子数为
11
)(/-=T
k B
e n ωω .
因为光学波的频率O ω比声学波的频率A ω高, (1/-T
k B O e ω )大于(1/-T
k B A e ω ), 所以在温度
一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.
7. 对同一个振动模式, 温度高时的声子数目多呢, 还是温度低时的声子数目多? [解答]
设温度T H >T L , 由于(1/-H B T k e
ω )小于(1/-L
B T
k e ω ), 所以温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目.
8. 高温时, 频率为ω的格波的声子数目与温度有何关系?
[解答]
温度很高时, 1/-≈ωω T
k B e
, 频率为ω的格波的(平均) 声子数为 11)(/-=T k B
e n ωω ω T
k B ≈.
可见高温时, 格波的声子数目与温度近似成正比.
9. 从图3.6所示实验曲线, 你能否判断哪一支格波的模式密度大? 是光学纵波呢, 还是声学纵波? [解答]
从图 3.6所示实验曲线可以看出, 在波矢空间内, 光学纵波振动谱线平缓, 声学纵波振动谱线较陡. 单位频率区间内光学纵波对应的波矢空间大, 声学纵波对应的波矢空间小. 格波数目与波矢空间成正比, 所以单位频率区间内光学纵波的格波数目大. 而模式密度是单位频率区间内的格波数目, 因此光学纵波的模式密度大于声学纵波的模式密度. 10. 喇曼散射方法中，光子会不会产生倒逆散射？ [解答]
晶格振动谱的测定中, 光波的波长与格波的波长越接近, 光波与声波的相互作用才越显著. 喇曼散射中所用的红外光，对晶格振动谱来说, 该波长属于长波长范围. 因此, 喇曼散射是光子与长光学波声子的相互作用. 长光学波声子的波矢很小, 相应的动量q 不大. 而能产生倒逆散射的条件是光的入射波矢k 与散射波矢'k 要大, 散射角θ也要大. k 与'k 大要求波长小, 散射角θ大要求q 大(参见下图), . 但对喇曼散射来说, 这两点都不满足. 即喇曼散射中，光子不会产生倒逆散射.
11. 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化? [解答]
长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化, 其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子)产生了相对位移. 长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此, 长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化.
12. 金刚石中的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率是否相等? 对KCl 晶体, 结论又是什么? [解答]
长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移, 离子的相对位移产生出宏观极化电场, 电场的方向是阻滞离子的位移, 使得有效恢复力系数变大, 对应的格波的频率变高. 长光学格横波不引起离子的位移, 不产生极化电场, 格波的频率不变. 金刚石不是离子晶体, 其长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率相等. 而KCl 晶体是离子晶体, 它的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率不相等, 长光学纵波频率大于同波矢的长光学格横波频率.
13. 何谓极化声子? 何谓电磁声子? [解答]
长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移, 离子的相对位移产生出宏观极化电
场, 称长光学纵波声子为极化声子.
由本教科书的(3.103)式可知, 长光学横波与电磁场相耦合, 使得它具有电磁性质, 人们称长光学横波声子为电磁声子.
14. 你认为简单晶格存在强烈的红外吸收吗？ [解答]
实验已经证实, 离子晶体能强烈吸收远红外光波. 这种现象产生的根源是离子晶体中的长光学横波能与远红外电磁场发生强烈耦合. 简单晶格中不存在光学波, 所以简单晶格不会吸收远红外光波.
15. 对于光学横波, 0→T ω对应什么物理图象?
[解答]
格波的频率ω与β成正比. 0→T ω说明该光学横波对应的恢复力系数0→β. 0=β时, 恢复力消失, 发生了位移的离子再也回不到原来的平衡位置, 而到达另一平衡位置, 即离子晶体结构发生了改变(称为相变). 在这一新的结构中, 正负离子存在固定的位移偶极矩, 即产生了自发极化, 产生了一个稳定的极化电场. 16. 爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么? [解答]
按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型的格波的频率大约为Hz 1013
, 属于光学支频率. 但光学格波在低温时对热容的贡献非常小, 低温下对热容贡献大的主要是长声学格波. 也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源.
17. 在甚低温下, 不考虑光学波对热容的贡献合理吗? [解答]
参考本教科书（3.119）式, 可得到光学波对热容贡献的表达式
2//2
)1(d )(max
min
-???? ??=?
T k O T k B B VO B B O O e D e T k k C ωωωωωωω . 在甚低温下, 对于光学波, T
k B e
/ω 1>>, 上式简化为 ωωωωωωd )(/2
max
min
O T k B B VO D e T k k C B O O -?
???? ??=.
以上两式中)(ωO D 是光学波的模式密度, 在简谐近似下, 它与温度无关. 在甚低温下,
0)/(/→-T e T k B ω , 即光学波对热容的贡献可以忽略. 也就是说, 在甚低温下, 不考虑光学
波对热容的贡献是合理的.
从声子能量来说, 光学波声子的能量O ω 很大(大于短声学波声子的能量), 它对应振幅
很大的格波的振动, 这种振动只有温度很高时才能得到激发. 因此, 在甚低温下, 晶体中不存在光学波.
18. 在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符? [解答]
在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 在甚低温下, 德拜模型与事实相符, 自然与实验相符. 19. 在绝对零度时还有格波存在吗? 若存在, 格波间还有能量交换吗?
[解答]
频率为i ω的格波的振动能为
i
i i n ωε ??
? ??+=21,
其中i i n ω 是由i n 个声子携带的热振动能, (2/i ω )是零点振动能, 声子数
11
/-=T
k i B i e n ω .
绝对零度时, i n =0. 频率为i ω的格波的振动能只剩下零点振动能.
格波间交换能量是靠声子的碰撞实现的. 绝对零度时, 声子消失, 格波间不再交换能量. 20. 温度很低时, 声子的自由程很大, 当0→T 时, ∞→λ, 问0→T 时, 对于无限长的晶体, 是否成为热超导材料? [解答]
对于电绝缘体, 热传导的载流子是声子. 当0→T 时, 声子数n 0→. 因此, 0→T 时, 不论晶体是长还是短, 都自动成为热绝缘材料.
21. 石英晶体的热膨胀系数很小, 问它的格林爱森常数有何特点? [解答] 由本教科书(3.158)式可知, 热膨胀系数V α与格林爱森常数γ成正比. 石英晶体的热膨胀系数很小, 它的格林爱森常数也很小. 格林爱森常数γ大小可作为晶格非简谐效应大小的尺度. 石英晶体的格林爱森常数很小, 说明它的非简谐效应很小.
第四章 晶体的缺陷
思 考 题
1.设晶体只有弗仑克尔缺陷, 填隙原子的振动频率、空位附近原子的振动频率与无缺陷时原子的振动频率有什么差异？
[解答]
正常格点的原子脱离晶格位置变成填隙原子, 同时原格点成为空位, 这种产生一个填隙原子将伴随产生一个空位的缺陷称为弗仑克尔缺陷. 填隙原子与相邻原子的距离要比正常格点原子间的距离小，填隙原子与相邻原子的力系数要比正常格点原子间的力系数大. 因为原子的振动频率与原子间力系数的开根近似成正比, 所以填隙原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要高. 空位附近原子与空位另一边原子的距离, 比正常格点原子间的距离大得多, 它们之间的力系数比正常格点原子间的力系数小得多, 所以空位附近原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要低.
2.热膨胀引起的晶体尺寸的相对变化量L L /?与X 射线衍射测定的晶格常数相对变化量a a /?存在差异， 是何原因？
[解答]
肖特基缺陷指的是晶体内产生空位缺陷但不伴随出现填隙原子缺陷, 原空位处的原子跑到晶体表面层上去了. 也就是说, 肖特基缺陷将引起晶体体积的增大. 当温度不是太高
时, 肖特基缺陷的数目要比弗仑克尔缺陷的数目大得多. X 射线衍射测定的晶格常数相对变化量a a /Δ, 只是热膨胀引起的晶格常数相对变化量. 但晶体尺寸的相对变化量L L /Δ不仅包括了热膨胀引起的晶格常数相对变化量, 也包括了肖特基缺陷引起的晶体体积的增大. 因此, 当温度不是太高时, 一般有关系式
L L Δ>a a Δ.
3.KCl 晶体生长时，在KCl 溶液中加入适量的CaCl 2溶液，生长的KCl 晶体的质量密度比理论值小，是何原因？
[解答]
由于+2Ca 离子的半径(0.99o A )比+
K 离子的半径(1.33o
A )小得不是太多, 所以+2Ca
离子难以进入KCl 晶体的间隙位置, 而只能取代+K 占据+K 离子的位置. 但+2Ca 比+
K 高一价, 为了保持电中性(最小能量的约束), 占据+
K 离子的一个+
2Ca
将引起相邻的一个
+K 变成空位. 也就是说, 加入的CaCl 2越多, +K 空位就越多. 又因为Ca 的原子量(40.08)
与K 的原子量(39.102)相近, 所以在KCl 溶液中加入适量的CaCl 2溶液引起+
K 空位, 将导致KCl 晶体的质量密度比理论值小.
4.为什么形成一个肖特基缺陷所需能量比形成一个弗仑克尔缺陷所需能量低?
[解答]
形成一个肖特基缺陷时，晶体内留下一个空位，晶体表面多一个原子. 因此形成形成一个肖特基缺陷所需的能量, 可以看成晶体表面一个原子与其它原子的相互作用能, 和晶体内部一个原子与其它原子的相互作用能的差值. 形成一个弗仑克尔缺陷时，晶体内留下一个空位，多一个填隙原子. 因此形成一个弗仑克尔缺陷所需的能量, 可以看成晶体内部一个填隙原子与其它原子的相互作用能, 和晶体内部一个原子与其它原子相互作用能的差值. 填隙原子与相邻原子的距离非常小, 它与其它原子的排斥能比正常原子间的排斥能大得多. 由于排斥能是正值, 包括吸引能和排斥能的相互作用能是负值, 所以填隙原子与其它原子相互作用能的绝对值, 比晶体表面一个原子与其它原子相互作用能的绝对值要小. 也就是说, 形成一个肖特基缺陷所需能量比形成一个弗仑克尔缺陷所需能量要低. 5.金属淬火后为什么变硬?
[解答]
我们已经知道 晶体的一部分相对于另一部分的滑移, 实际是位错线的滑移, 位错线的移动是逐步进行的, 使得滑移的切应力最小. 这就是金属一般较软的原因之一. 显然, 要提高金属的强度和硬度, 似乎可以通过消除位错的办法来实现. 但事实上位错是很难消除的. 相反, 要提高金属的强度和硬度, 通常采用增加位错的办法来实现. 金属淬火就是增加位错的有效办法. 将金属加热到一定高温, 原子振动的幅度比常温时的幅度大得多, 原子脱离正常格点的几率比常温时大得多, 晶体中产生大量的空位、填隙缺陷. 这些点缺陷容易形成位错. 也就是说, 在高温时, 晶体内的位错缺陷比常温时多得多. 高温的晶体在适宜的液体中急冷, 高温时新产生的位错来不及恢复和消退, 大部分被存留了下来. 数目众多的位错相互交织在一起, 某一方向的位错的滑移, 会受到其它方向位错的牵制, 使位错滑移的阻力大大增加, 使得金属变硬.
6.在位错滑移时, 刃位错上原子受的力和螺位错上原子受的力各有什么特点?
[解答]
在位错滑移时, 刃位错上原子受力的方向就是位错滑移的方向. 但螺位错滑移时, 螺位错上原子受力的方向与位错滑移的方向相垂直. 7.试指出立方密积和六角密积晶体滑移面的面指数.
[解答]
滑移面一定是密积面, 因为密积面上的原子密度最大, 面与面的间距最大, 面与面之间原子的相互作用力最小. 对于立方密积, {111}是密积面. 对于六角密积, (001)是密积面. 因此, 立方密积和六角密积晶体滑移面的面指数分别为{111}和(001). 8.离子晶体中正负离子空位数目、填隙原子数目都相等, 在外电场作用下, 它们对导电的贡献完全相同吗?
[解答]
由(4.48)式可知, 在正负离子空位数目、填隙离子数目都相等情况下, -
+B A 离子晶体的热缺陷对导电的贡献只取决于它们的迁移率μ. 设正离子空位附近的离子和填隙离子的
振动频率分别为+
v
A ν和
+
i
A ν, 正离子空位附近的离子和填隙离子跳过的势垒高度分别为
+
v
A E 和
+
i
A E , 负离子空位附近的离子和填隙离子的振动频率分别为
-
v
B ν和
-
i
B ν, 负离子空位附近
的离子和填隙离子跳过的势垒高度分别
-
v
B E 为
-
i B E , 则由(4.47)矢可得
T
k E
B A A B v
A v
v
e
T
k ea /2+++-=
νμ,
T
k E
B A A B i A i
i
e
T k ea /2+
++-=
νμ,
T
k E
B B B B v
B v
v
e
T k ea /2--
--=
νμ,
T
k E
B B B B i B i
i
e
T
k ea /2-
-
--=
νμ.
由空位附近的离子跳到空位上的几率, 比填隙离子跳到相邻间隙位置上的几率大得多, 可以推断出空位附近的离子跳过的势垒高度, 比填隙离子跳过的势垒高度要低, 即
+v
A E <
+
i
A E ,
-v
B E <
-
i
B E . 由问题 1.已知, 所以有
+v
A ν<
+
i
A ν,
-v
B ν<
-
i
B ν. 另外, 由于+A 和-
B 的离子半
径不同, 质量不同, 所以一般
-
+≠B A E E ,
-
+≠B A νν.
也就是说, 一般-
-
+
+
≠≠≠i
v i v B B A A μ
μμ
μ
. 因此, 即使离子晶体中正负离子空位数目、填隙离子数目都相等, 在外电场作用下, 它们对导电的贡献一般也不会相同. 9.晶体结构对缺陷扩散有何影响?
[解答]
扩散是自然界中普遍存在的现象, 它的本质是离子作无规则的布郎运动. 通过扩散可实现质量的输运. 晶体中缺陷的扩散现象与气体分子的扩散相似, 不同之处是缺陷在晶体中运动要受到晶格周期性的限制, 要克服势垒的阻挡, 对于简单晶格, 缺陷每跳一步的间距等于跳跃方向上的周期.
10.填隙原子机构的自扩散系数与空位机构自扩散系数, 哪一个大? 为什么？
[解答]
填隙原子机构的自扩散系数
T
k E u B ae D /)(0222221
+-=ν,
空位机构自扩散系数
T
k E u B ae D /)(0111121
+-=ν.
自扩散系数主要决定于指数因子, 由问题4.和8.已知, 1u <2u ,1E <2E , 所以填隙原子机
构的自扩散系数小于空位机构的自扩散系数.
11.一个填隙原子平均花费多长时间才被复合掉? 该时间与一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间相比, 哪个长?
[解答]
与填隙原子相邻的一个格点是空位的几率是N n /1, 平均来说, 填隙原子要跳1/n N 步才遇到一个空位并与之复合. 所以一个填隙原子平均花费
T k E u B e n N t /)(02
21211+==ντ
的时间才被空位复合掉.
由(4.5)式可得一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间
T k E u u B e
n n N P /)(02
212222111++===νττ.
由以上两式得
2/2n N
e t T k u B =
=τ
>>1.
这说明, 一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间, 比一个填隙原子从出现到被空位复合掉所需要的时间要长得多. 12.一个空位花费多长时间才被复合掉？
[解答]
对于借助于空位进行扩散的正常晶格上的原子, 只有它相邻的一个原子成为空位时, 它才扩散一步, 所需等待的时间是1τ. 但它相邻的一个原子成为空位的几率是N n /1, 所
以它等待到这个相邻原子成为空位, 并跳到此空位上所花费的时间
T k E u B e n N t /)(01
11111+==ντ. 13.自扩散系数的大小与哪些因素有关?
[解答]
填隙原子机构的自扩散系数与空位机构自扩散系数可统一写成
RT
N T k e a e a D B /20/20021
21εενν--==.
可以看出, 自扩散系数与原子的振动频率0ν, 晶体结构(晶格常数a ), 激活能(ε0N )三因
素有关.
14.替位式杂质原子扩散系数比晶体缺陷自扩散系数大的原因是什么?
[解答]
占据正常晶格位置的替位式杂质原子, 它的原子半径和电荷量都或多或少与母体原子半径和电荷量不同. 这种不同就会引起杂质原子附近的晶格发生畸变, 使得畸变区出现空位的几率大大增加, 进而使得杂质原子跳向空位的等待时间大为减少, 加大了杂质原子的扩散速度.
15.填隙杂质原子扩散系数比晶体缺陷自扩散系数大的原因是什么?
[解答]
正常晶格位置上的一个原子等待了时间τ后变成填隙原子, 又平均花费时间
21τn N
后被空位复合重新进入正常晶格位置, 其中2τ是填隙原子从一个间隙位置跳到相邻间隙位置所要等待的平均时间. 填隙原子自扩散系数反比于时间
2
1ττn N t +=. 因为
τ>>21τn N ,
所以填隙原子自扩散系数近似反比于τ. 填隙杂质原子不存在由正常晶格位置变成填隙原子的漫长等待时间τ, 所以填隙杂质原子的扩散系数比母体填隙原子自扩散系数要大得多. 16.你认为自扩散系数的理论值比实验值小很多的主要原因是什么？
[解答]
目前固体物理教科书对自扩散的分析, 是基于点缺陷的模型, 这一模型过于简单, 与晶体缺陷的实际情况可能有较大差别. 实际晶体中, 不仅存在点缺陷, 还存在线缺陷和面缺陷, 这些线度更大的缺陷可能对扩散起到重要影响. 也许没有考虑线缺陷和面缺陷对自扩散系数的贡献是理论值比实验值小很多的主要原因.
17.-
+B A 离子晶体的导电机构有几种?
[解答]
离子晶体导电是离子晶体中的热缺陷在外电场中的定向飘移引起的. -
+B A 离子晶体中有4种缺陷: +A 填隙离子, -B 填隙离子, +A 空位, -
B 空位. 也就是说, -+B A 离子晶体的导电机构有4种. 空位的扩散实际是空位附近离子跳到空位位置, 原来离子的位置变成了空位. -+B A 离子晶体中, +A 空位附近都是负离子, -
B 空位附近都是正离子. 由此
可知, +A 空位的移动实际是负离子的移动, -
B 空位的移动实际是正离子的移动. 因此, 在外电场作用下, +
A 填隙离子和-
B 空位的漂移方向与外电场方向一致, 而-
B 填隙离子和
+A 空位的漂移方向与外电场方向相反.
第五章
晶体中电子能带理论
思考题
1. 将布洛赫函数中的调制因子)(r k u 展成付里叶级数, 对于近自由电子, 当电子波矢远离和在布里渊区边界上两种情况下, 此级数有何特点? 在紧束缚模型下, 此级数又有什么特点? [解答] 由布洛赫定理可知, 晶体中电子的波函数
)()(r r k.r k i k u e =ψ,
对比本教科书(5.1)和(5.39)式可得
)(r k u =r
K
K .)(1
m i m
m e a N ∑Ω
.
对于近自由电子, 当电子波矢远离布里渊区边界时, 它的行为与自由电子近似, )(r k u 近似一常数. 因此, )(r k u 的展开式中, 除了)0(a 外, 其它项可忽略.
当电子波矢落在与倒格矢K n 正交的布里渊区边界时, 与布里渊区边界平行的晶面族对布洛赫波产生了强烈的反射, )(r k u 展开式中, 除了)0(a 和)(n a K 两项外, 其它项可忽略. 在紧束缚模型下, 电子在格点R n 附近的几率)(r k ψ2大, 偏离格点R n 的几率)(r k ψ2小. 对于这样的波函数, 其付里叶级数的展式包含若干项. 也就是说, 紧束缚模型下的布洛赫波函数要由若干个平面波来构造.. 2. 布洛赫函数满足
)(n R r +ψ=)(r n k.R ψi e ,
何以见得上式中k 具有波矢的意义? [解答]
人们总可以把布洛赫函数)(r ψ展成付里叶级数
r
K k'h K k r ).()'()(h i h
e a +∑+=ψ,
其中k ’是电子的波矢. 将)(r ψ代入
)(n R r +ψ=)(r n k.R ψi e ,
得到
n k'.R i e =n k.R i e .
其中利用了πp n h 2.=R K (p 是整数), 由上式可知, k =k ’, 即k 具有波矢的意义. 3. 波矢空间与倒格空间有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? [解答]
波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为321 b b b 、、
, 而波矢空间的基矢分别为32N N / / /321b b b 、、
1N , N 1、N 2、N 3分别是沿正格子基矢321 a a a 、、方向晶体的原胞数目.
倒格空间中一个倒格点对应的体积为
*321) (Ω=??b b b ,
波矢空间中一个波矢点对应的体积为
N N b N b N b *
332211)(Ω=??,
即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N . 由于N 是晶体的原胞数目, 数目巨大, 所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的. 也就是说, 波矢点在倒格空间看是极其稠密的. 因此, 在波矢空间内作求和处理时, 可把波矢空间内的状态点看成是准连续的.
4. 与布里渊区边界平行的晶面族对什么状态的电子具有强烈的散射作用？ [解答]
当电子的波矢k 满足关系式
)2(=+?n n K
k K
时, 与布里渊区边界平行且垂直于n K 的晶面族对波矢为k 的电子具有强烈的散射作用. 此
2008年全国硕士研究生招生学科、专业索引 06历史学 060101 史学理论及史学史060102 考古学及博物馆学060103 历史地理学060104 历史文献学 060105 专门史060106 中国古代史060107 中国近现代史060108 世界史 门类：06历史学 一级学科：0601历史学 060101史学理论及史学史 北京大学中国人民大学北京师范大学首都师范大学南开大学天津师范大学辽宁大学东北师范大学黑龙江大学哈尔滨师范大学复旦大学华东师范大学上海师范大学扬州大学安徽大学淮北煤炭师范学院福建师范大学山东大学曲阜师范大学河南师范大学武汉大学华中师范大学广西师范大学四川大学云南大学兰州大学 060102考古学及博物馆学 北京大学北京师范大学首都师范大学中央民族大学中国社科院研究生院南开大学山西大学吉林大学东北师范大学复旦大学南京大学南京师范大学徐州师范大学浙江大学安徽大学中国科学技术大学厦门大学景德镇陶瓷学院山东大学烟台大学郑州大学武汉大学湖南大学中山大学广西师范大学重庆师范大学四川大学西南民族大学云南大学云南民族大学西北大学陕西师范大学 060103历史地理学 北京大学中国人民大学南开大学东北师范大学复旦大学浙江大学山东大学中国海洋大学武汉大学华中师范大学西南大学四川大学云南大学陕西师范大学西北师范大学060104历史文献学 北京大学中国人民大学清华大学北京师范大学首都师范大学中央民族大学南开大学内蒙古大学内蒙古师范大学辽宁师范大学吉林大学东北师范大学哈尔滨师范大学复旦大学上海师范大学南京师范大学浙江大学安徽大学厦门大学江西师范大学山东大学鲁东大学郑州大学河南大学河南师范大学武汉大学华中师范大学中南民族大学湖南师范大学暨南大学广西师范大学四川大学西华师范大学西南民族大学贵州师范大学云南大学云南民族大学西北大学陕西师范大学兰州大学西北师范大学西北民族大学宁夏大学新疆大学 060105专门史 北京大学中国人民大学清华大学北京工商大学北京师范大学首都师范大学北京语言大学中央民族大学北京联合大学中国社科院研究生院南开大学天津师范大学河北大学山西大学山西师范大学内蒙古大学内蒙古科技大学内蒙古师范大学辽宁大学辽宁师范大学大连大学吉林大学延边大学东北师范大学吉林师范大学北华大学长春师范学院黑龙江大学黑龙江省社会科学院复旦大学上海交通大学华东师范大学上海师范大学上海财经大学上海大学上海社会科学院南京大学苏州大学南京农业大学南京师范大学徐州师范大学苏州科技学院浙江大学浙江师范大学杭州师范大学温州师范学院浙江工商大学宁波大学安徽大学安徽师范大学安徽财经大学厦门大学华侨大学福建师范大学景德镇陶瓷学院江西师范大学赣南师范学院南昌大学山东大学山东师范大学曲阜师范大学聊城大学鲁东大学烟台大学青岛大学郑州大学河南大学河南师范大学河南科技大学中原工学院武汉大学华中科技大学长江大学华中师范大学湖北大学中南财经政法大学中南民族大学湖北省社会科学院湘潭大学吉首大学湖南大学中南大学湖南师范大学湖南科技大学中山大学暨南大学华南师范大学广州大学广西师范大学
《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3r 3 4π，Vc=a 3 ，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062r 224r 346x 3 3 ≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3
《固体物理学》概念和习 题答案 The document was prepared on January 2, 2021
《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。 答：最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面为什么 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式）
16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式） 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。
1。晶体结构中，常见的考题是正格子和倒格子之间的相互关系， 布里渊区的特点及边界方程，原胞和晶胞的区别，晶面指数和晶向指数，面间距的计算，比如面心立方的倒格子是体心立方，算 晶体结构中a/c，求米勒指数，以及表面驰豫和重构等等， 拔高一点的话，可以考二维或三维的对称性操作，叫你写出点群， 空间群甚至磁群。也可以考原子形状因子和几何结构因子。 要特别注意x射线衍射得到的是倒空间中的照片。 再拔高一点，可以考你准长程序的作用范围。让你求 径向分布函数，回答测量非晶的实验方法，以及准晶 和非晶的问题（penrose堆砌等，一般是定性的问答题） 2。固体的结合是主要做化学键和弱的非键电磁相互作用 （注意不是弱相互作用！！）的计算，注意马德隆能的计算 和晶体结构中计算次序的画法，然后要牢记born-mayer势 和lenard-johns势等。并用它来计算一些物理量如分子间的 平衡位置，分子间力和弹性模量甚至摩擦力等，并不容易。 3。晶格动力学和晶格热力学是晶格理论的核心和灵魂。 求解一维单原子链最简单。一般考试时会让我们算质量不一样， 或弹性系数不一样，或两者都不一样的一维双原子链，还会要 我们回答声学波和光学波的特点，并让我们做色散关系的图的。 拔高一点的话，可以出带电荷的一维双原子链，以及二三维 和多原子链的情形，不过考的可能性不是太大，如果两节课 算不完的话。 双原子链可以退化为单原子链，这个很基本，几乎必考。 晶格振动谱有一本专著，就叫《晶格振动光谱学》，高教出的。 声子的正过程和倒逆过程是德文，这个记不住就对不住观众了， 一般会问他们之间的差别，那个过程对热导没有贡献。 计算晶体热容时，重点掌握debye模型和einstein模型，后者 最基本，前者考试考得最多。用德拜模型算态密度，零点能， 比热，声速以及其高低温极限是必考内容，注意死背debye积分 （由Reman积分和Zeta积分构成），一定要记得结果。 热膨胀是非线性作用的后果，会计算格林爱森常数。 4。晶体中的缺陷理论也很重要。 缺陷的分类，0，1，2维缺陷的实例； 小角晶界与刃位错，晶体生长与螺位错 之间的关系需要熟练掌握。可能还要掌握 伯格斯矢量，伯格斯定理和位错， 位错线的画法。这都是很基本的内容。 一般认为，扩散的主导因素是填隙原子。 扩散的分类和扩散方程的求解，可能会结合 点缺陷的寿命来出题。 有时也可能考考色心,主要是F心，画图或问答题。 以上讲的是晶格理论。一般认为 固体物理可以分为晶格理论（含理想晶格理论， 晶格结构，晶格动力学，晶格热力学以及
【以史为鉴】浅论山东大学历史上的四次灭亡危机 开端：新政遗产，光绪御批，时代产物 如果说戊戌变法留下了唯一遗产是一个京师大学堂，清末新政留下了的就是山东大学堂。戊戌变法的失败实际上已经宣布了清政府的灭亡，可怜光绪也算得上一代明君，终究没能扛得住历史的车轮。慈禧虽然平定变法，但是变法已经深入人心。无奈之下，慈禧玩了个换汤不换药，实行所谓的“新政”，“内阁”清一色的王爷贝勒，咱们不提此节。但是这个“新政”给中国留下了几许遗产，山东大学就是其一。 袁世凯担任山东巡抚是被派来平定义和团运动的，“袁大总统”也确实有几把刷子，三下五除二干掉了几个义和团“大师兄”。袁世凯一到山东就请义和团几个大师兄吃饭，酒过三巡，问道：尔等真个刀枪不入？答：然！老袁说：那好，咱们到后院试试吧。几声枪响，大师兄们死了。义和团的真实面目这里也不再细谈，卸磨杀驴的活计清政府还是干的很漂亮的。 回归正题，袁世凯担任山东巡抚，一听上面要玩“新政”，好家伙，走着……一纸奏章直达天庭：咱们建个山东大学堂吧？光绪这点权利还是有点：准奏！ 实际上，山东大学堂创办就是为了迎合清政府的“新政”，但是山东大学却结结实实的就此扎根，谁能想，这一走就是一个世纪。 第一回：辞旧迎新，远走岛城 山东大学建立起来了，但是此后的20多年风风雨雨，其实并不如意。先后有六个专门学校和山大分分合合，一所大学的能量是抗不过乱世的风风雨雨的。 1928年，北伐大军终于基本上统一了全国。翻看历史书，似乎这就是第一次国共合作。国民政府干掉北洋政府，山大归属也跟着转移到国民政府手里。 山大校史是这样写的“1928年，国民北伐军进抵山东，奉系军阀败逃。日本帝国主义借口保护侨民出兵济南，制造了“五、三”惨丅案。在动乱中，学校经费无着，随即停办。”一同停办的还有私立青岛大学。 “8月，南京国民政府教育部根据山东省教育厅的报告，下令在省立山东大学的基础上筹建国立山东大学。” 蔡元培不愧是中国大学办学行家，力主山东大学搬到青岛筹备，与私立青岛大学合为一处。当时的教育部长蒋梦麟也不愧为著名教育家，这事就这么定下了。 “1929年6月，国立山东大学筹备委员会奉令改为国立青岛大学筹备委员会，除接收省立山东大学外，并将私立青岛大学校产收用，筹备国立青岛大学。” “1930年4月，国丅民党政府任命杨振声为校长，9月21日，举行开学典礼，国立青岛大学正式成丅立。” 很多人污蔑山大校史不清都提这么一段，说山大真正的历史就是从30年开始。但是我们说话要有证据，山大从济南到青岛，两年时间虽然已经停办，但是人员师资教学物资都在，而且山东大学筹办委员会和后来的国立青岛大学筹办委员会也是和山大前后相承，所以山大并没有断。
第一章 金属自由电子气体模型习题及答案 1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？ [解答] 自由电子论只考虑电子的动能。在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。 2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？ [解答] 费米能级 3/222 )3(2πn m E o F = ， 其中n 单位体积内的价电子数目。晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。 3． 为什么温度升高，费米能反而降低？ [解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。 4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？ [解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。 价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必 然结果。在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。由式 3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能 就越大。这一点从3 /2220)3(2πn m E F =和3/222)3(10353πn m E E o F ==式看得更清楚。电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度3 2l n 。所以价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大。 5． 两块同种金属，温度不同，接触后，温度未达到相等前，是否存在电势差？为什么？ [解答] 两块同种金属，温度分别为1T 和2T ，且21T T >。在这种情况下，温度为1T 的金属高于费米能o F E 的电子数目，多于温度为2T 的金属高于费米能o F E 的电子数目。两块同种金属接触后，系统的能量要取最小值，温度为1T 的金属高于o F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属。温度未达到相等前，这种流动一直持续，期间，温度为1T 的金属失去电子，带正电；温度为2T 的金属得到电子，带负电，两者出现电势差。
固体物理练习题 1.晶体结构中，面心立方的配位数为 12 。 2.空间点阵学说认为 晶体内部微观结构可以看成是由一些相同的点子在三维空间作周期性无限分布 。 3.最常见的两种原胞是 固体物理学原胞、结晶学原胞 。 4.声子是 格波的能量量子 ，其能量为 ?ωq ，准动量为 ?q 。 5.倒格子基矢与正格子基矢满足 正交归一关系 。 6.玻恩-卡曼边界条件表明描述有限晶体振动状态的波矢只能取 分立的值 ， 即只能取 Na 的整数倍。 7.晶体的点缺陷类型有 热缺陷、填隙原子、杂质原子、色心 。 8.索末菲的量子自由电子气模型的四个基本假设是 自由电子近似、独立电子近似、无碰撞假设、自由电子费米气体假设 。 9.根据爱因斯坦模型，当T→0时，晶格热容量以 指数 的形式趋于零。 10.晶体结合类型有 离子结合、共价结合、金属结合、分子结合、氢键结合 。 11.在绝对零度时，自由电子基态的平均能量为 0F 5 3E 。 12.金属电子的 B m ,23nk C V = 。 13.按照惯例，面心立方原胞的基矢为 ???? ?????+=+=+=)(2)(2) (2321j i a a k i a a k j a a ，体心立方原胞基矢为 ???? ?????-+=+-=++-=)(2)(2) (2321k j i a a k j i a a k j i a a 。 14 .对晶格常数为a 的简单立方晶体,与正格矢k a j a i a R ???22++=正交的倒格子晶面族的面
指数为 122 , 其面间距为 a 32π 。 15.根据晶胞基矢之间的夹角、长度关系可将晶体分为 7大晶系 ，对应的只有14种 布拉伐格子。 16.按几何构型分类，晶体缺陷可分为 点缺陷、线缺陷、面缺陷、体缺陷、微缺陷 。 17. 由同种原子组成的二维密排晶体，每个原子周围有 6 个最近邻原子。 18.低温下金属的总摩尔定容热容为 3m ,bT T C V +=γ 。 19. 中子非弹性散射 是确定晶格振动谱最有效的实验方法。 1.固体呈现宏观弹性的微观本质是什么？ 原子间存在相互作用力。 2.简述倒格子的性质。 P29~30 3. 根据量子理论简述电子对比热的贡献，写出表达式，并说明为什么在高温时可以不考虑电子对比热的贡献而在低温时必须考虑？ 4.线缺陷对晶体的性质有何影响？举例说明。 P169 5.简述基本术语基元、格点、布拉菲格子。 基元：P9组成晶体的最小基本单元，整个晶体可以看成是基元的周期性重复排列构成。 格点：P9将基元抽象成一个代表点，该代表点位于各基元中等价的位置。 布拉菲格子：格点在空间周期性重复排列所构成的阵列。 6.为什么许多金属为密积结构?
山东大学物理学院凝聚态史 山东大学凝聚态物理学科是在早期的博士点学科磁学和固体物理基础上合并而成。磁学和固体物理分别于1981年和1985年获得博士学位授予权，1987年固体物理专业就已被评为国家重点学科。1991年磁学和固体物理合并为凝聚态物理国家重点学科，1997年被列为“211工程”首批重点建设项目。2007年顺利通过国家重点学科点的评估。经过“211工程”和“985工程”的重点投资建设，本学科点已成为晶体材料国家重点实验室、低维物理省级重点实验室及国家物理学基础研究与教学人才培养基地的有力支撑。 山东大学凝聚态物理研究所现由5个研究所组成：磁学与自旋电子学研究室、电介质物理研究室、凝聚态物理理论研究室、离子束应用研究室、仿生声物理研究室 电介质物理，源于1969年——全国最早的压电铁电物理专业之一。山东大学物理系电介质物理教研室成立于二十世纪七十年代，早期以压电陶瓷的制备和电学性能研究为主要内容,所以原教研室的名称是压电铁电物理专业教研室。随着研究工作的拓宽和发展,于1980年更名为电介质物理教研室。 电介质物理研究室在压电铁电陶瓷研究等相关领域取得了突出的成绩。一些国内外知名的学者例如钟维烈教授等曾在本研究室工作过，为研究室的发展奠定了良好的工作基础。研究室先后出版了深受欢迎的《铁电体物理学》、《铁电体及其材料的原理和应用》、《压电材料与器件物理》、《压电石英晶体》、《压电陶瓷及其应用》、《压电测量》、
《压电与铁电材料的测量》、《压电振动》、《压电陶瓷滤波器》等十多部压电铁电方面的专著, 在国内外重要学术刊物上发表了300多篇学术论文，获得授权发明专利十余项。先后承担过多项国家和省部级科研项目十数项（其中863项目3项，973项目2项）。曾获国家科技进步三等奖1项，教育部科技进步一等奖2项以及多项省部级奖励。在全国具有开创性的研究工作有：压电变压器、钪钽酸铅-钛酸铅-锆酸铅三元系陶瓷、PYNTZ三元系压电陶瓷、多层高压介电陶瓷、导电陶瓷－银复合电接触材料、SnO2 和TiO2压敏陶瓷、钛酸铋钠基无铅压电陶瓷、钛酸銅钙基高介电陶瓷、铁电体的第一性原理计算等。 山东大学物理学院离子束应用实验室主要从事离子辐照微纳光电子器件的应用基础研究、离子束材料改性的微观设计与模拟以及聚变结构材料的辐照效应等研究。 仿生声物理研究室组建于2005年10月，为全国首家物理声学与仿生学相结合的创新型研究室。是一个新兴的物理学与生命科学的交叉学科，仿生声物理主要研究动物的声学物理特性，研究生物感应系统怎样用一种节能的方式解决困难的感应任务。
山东大学共青团荣誉体系 一、先进集体类： 山东大学红旗团委 山东大学十佳团支部 山东大学先进团支部 山东大学青年文明号 山东大学共青团组织建设工作先进集体 山东大学共青团宣传调研与网络建设工作先进集体 山东大学学生科技创新工作先进集体 山东大学学生校园文化活动先进集体 山东大学学生志愿服务工作先进集体 山东大学学生社会实践工作先进集体 山东大学学生社会实践活动优秀团队 山东大学青年志愿服务十佳团队 山东大学精品（优秀）社团 二、先进个人类： 山东大学优秀青年工作者； 山东大学共青团组织建设工作先进个人; 山东大学共青团宣传调研与网络建设工作先进个人（教师）; 山东大学学生志愿服务工作优秀指导教师; 山东大学学生创新创业教育工作优秀指导教师;
山东大学学生校园文化活动优秀指导教师; 山东大学学生社会实践活动优秀指导教师； 山东大学学生社团优秀指导教师； 山东大学十佳共青团员； 山东大学优秀学生团干部； 山东大学模范团干部； 山东大学优秀团员； 山东大学青年岗位能手； 山东大学共青团宣传调研与网络建设工作先进个人；山东大学科技创新活动先进个人； 山东大学学生学术文化活动组织工作先进个人； 山东大学学生校园文体活动先进个人； 山东大学学生志愿服务先进个人； 山东大学学生社团活动先进个人； 山东大学学生社会实践活动先进个人； 山东大学青年志愿服务十佳志愿者； 三、活动比赛类： 山东大学科技文化艺术节系列比赛（展演） 山东大学学生五四青年科学奖评选活动 山东大学“挑战杯”及“创青春”系列竞赛活动 山东大学“启蒙杯”科普作品系列大赛 山东大学合唱（小合唱）比赛
山东大学学生优秀社会实践报告评选山东大学“山大杯”辩论赛 山东大学“山大杯”球类系列比赛山东大学求职训练营 山东大学校园十大歌手比赛 山东大学记者文化节系列活动 山东大学社团文化节系列活动 山东大学社团达人秀评选
1. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ [解答] 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 2. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？ [解答] 晶体中原子间距的数量级为10 10 -米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长 应小于10 10-米. 但可见光的波长为7.6?4.07 10-?米, 是晶体中原子间距的1000倍. 因此, 在晶体衍射中，不能用可见光. 3. 原子间的排斥作用和吸引作用有何关系? 起主导的范围是什么? [解答] 在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为0r , 当相邻原子间的距离r >0r 时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离r <0r 时, 排斥力起主导作用. 4. 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么? [解答] 以s 态电子为例. 由图5.9可知, 紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分s J 的大小, 而积分 r R r R r r r d )()]()([)(* n at s n at N at s s V V J ----=???Ω 的大小又取决于) (r at s ? 与相邻格点的)(n at s R r -?的交迭程度. 紧束缚模型下, 内层电子的 )(r at s ?与)(n at s R r -?交叠程度小, 外层电子的)(r at s ?与)(n at s R r -?交迭程度大. 因此, 紧 束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 外层电子的能带宽. 5. 在布里渊区边界上电子的能带有何特点? [解答] 电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢n K 正交, 则禁带的宽度 )(2n K V E g =, )(n K V 是周期势场的付里叶级数的系数. 不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交. 6. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同级衍射, 哪一晶面族衍射光弱? 为什么? 对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强. 低指数的晶面族面间距大, 晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强. 相反, 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱. 另外, 由布拉格反射公式 λθn sin 2=hkl d 可知, 面间距hkl d 大的晶面, 对应一个小的光的掠射角θ. 面间距hkl d 小的晶面, 对应一个大的光的掠射角θ. θ越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱.
山东大学试题 一. 填空(20分, 每题2分) 1.对晶格常数为a的SC晶体,与正格矢R=a i+2a j+2a k正交的倒格子晶面族的面指数为( 122 ), 其面间距为 ( ). 2.典型离子晶体的体积为V, 最近邻两离子的距离为R, 晶体的格波数目为( ), 长光学波的( 纵 )波会引起离子晶体宏观上的极化. 3. 金刚石晶体的结合类型是典型的(共价结合)晶体, 它有( 6 )支格波. 4. 当电子遭受到某一晶面族的强烈反射时, 电子平行于晶面族的平均速度(不为 )零, 电子波矢的末端处在(布里渊区)边界上. 5. 两种不同金属接触后, 费米能级高的带(正)电.对导电有贡献的是 (费米面附近)的电子. 二. (25分) 1. 证明立方晶系的晶列[hkl]与晶面族(hkl)正交. 1.设为晶面族的面间距为, 为单位法矢量, 根据晶面族的定义, 晶面族将分别截为 等份，即 (,)==a(,)=, (,)= a(,) =, (,)= a(,) =. 于是有 =++ =(++). (1) 其中, 、、分别为平行于三个坐标轴的单位矢量. 而晶列的方向矢量为 ++ =(++). (2) 由(1)、（2）两式得
=, 即与平行. 因此晶列与晶面正交. 2. 设晶格常数为a, 求立方晶系密勒指数为(hkl)的晶面族的面间距. 2. 立方晶系密勒指数为(hkl)的晶面族的面间距 三. (25分) 设质量为m的同种原子组成的一维双原子分子链, 分子内部的力系数为β1, 分子间相邻原子的力系数为β2, 分子的两原子的间距为d, 晶格常数为a, 1. 列出原子运动方程. 2. 求出格波的振动谱ω(q). 1. 原子运动方程 1.格波的振动谱ω(q)＝ 四. (30分) 对于晶格常数为a的SC晶体 1. 以紧束缚近似求非简并s态电子的能带. 2. 画出第一布里渊区[110]方向的能带曲线, 求出带宽. 3.当电子的波矢k=i+j时,求导致电子产生布拉格反射的晶面族的面指数 1. 紧束缚近似非简并s态电子的能带 2. 第一布里渊区[110]方向的能带曲线
历史学考研学校排名推荐 历史学考研学校排名 （一）、历史学一级学科最新排行：重点优势学科单位： 1北京大学2南开大学 （二）、历史学一级学科中的专业排行 史学理论及史学史 研究范围包括历史哲学研究、中国古代史学史、中国近现代史学史、现代史学思潮、现当代史学研究、史学名著研读、学术大师研究、方志学、历史研究法、西方史学理论与方法、西方史学史等。 培养适应我国社会主义建设事业需要的、具有面向现代化、面向世界、面向未来的高层次的史学理论和史学史专门人才。最终成为掌握本学科基本理论、方法和最新学术动态，具有独立从事学术研究能力，毕业后能够胜任历史学相关学科的教学、科研与管理工作，并能够在本学科做出具有理论和实践意义的探索和研究成果的高级人才。可在高等院校、科研部门、国家机关、新闻出版等文化机构、文物考古研究机构、博物馆等单位任职。 重点优势学科单位：北京师范大学 目前国内开设本专业的院校：北京大学、吉林大学、复旦大学、北京师范大学、中国人民大学、南开大学、华东师范大学等，天津师范大学等。 考古学及博物馆学 研究范围包括考古学和博物馆学基本理论和方法、北方民族历史与考古，人类学和环境考古等。 培养适应我国社会主义建设事业需要的、具有面向现代化、面向世界、面向未来的高层次的考古学与博物馆学专门人才。考古学与博物馆学专业硕士研究生，需要掌握本学科基本理论、方法和最新学术动态，具有独立从事田野考古发掘和研究、博物馆陈列设计、保护与管理能力，毕业后能够胜任中国考古学、博物馆学及文物学等相关学科的教学、科研与管理工作，并能够在本学科做出具有理论和实践意义的探索和研究成果。 重点优势学科单位：吉林大学 目前国内开设本专业的院校：北京大学、中国社会科学院、吉林大学、南开大学、四川大学、中国人民大学、浙江大学、西北大学、郑州大学等。 历史地理学
一·简答题 1.晶格常数为a 的体心立方、面心立方结构，分别表示出它们的基矢、原胞体积以及最近邻的格点数。（答案参考教材P7－8） （1）体心立方基矢：123() 2()2() 2 a i j k a i j k a i j k ααα=+-=-++=-+，体积：31 2a ，最近邻格点数：8 （2）面心立方基矢：123() 2()2() 2 a i j a j k a k i ααα=+=+=+，体积：31 4a ，最近邻格点数：12 2.习题、证明倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。 证明： 因为33121323 ,a a a a CA CB h h h h = -=-，112233G h b h b h b =++ 利用2i j ij a b πδ?=，容易证明 12312300 h h h h h h G CA G CB ?=?= 所以，倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。
3.习题、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(,,)h k l 的晶面系，面间距d 满足： 22222()d a h k l =++，其中a 为立方边长； 解：简单立方晶格：123a a a ⊥⊥，123,,a ai a aj a ak === 由倒格子基矢的定义：2311232a a b a a a π ?=??，3121232a a b a a a π?=??，123123 2a a b a a a π?=?? 倒格子基矢：123222,,b i b j b k a a a πππ = == 倒格子矢量：123G hb kb lb =++，222G h i k j l k a a a πππ =++ 晶面族()hkl 的面间距：2d G π= 2221 ()()()h k l a a a = ++ 4.习题、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110）面的交线的晶向。 解：(111) （1）、(111)面与(100)面的交线的AB ，AB 平移，A 与O 点重合，B 点位矢：B R aj ak =-+， (111)面与(100)面的交线的晶向AB aj ak =-+，晶向指数[011]。 （2）、(111)面与(110)面的交线的AB ，将AB 平移，A 与原点O 重合，B 点位矢：
一、 填空题 （共20分，每空2分） 目的:考核基本知识。 1、金刚石晶体的结合类型是典型的 共价结合 晶体, 它有 6 支格波。 2、晶格常数为a 的体心立方晶格，原胞体积Ω为 23a 。 3、晶体的对称性可由 32 点群表征，晶体的排列可分为 14 种布喇菲格子，其中六角密积结构 不是 布喇菲格子。 4、两种不同金属接触后,费米能级高的带 正 电，对导电有贡献的是 费米面附近 的电子。 5、固体能带论的三个基本近似：绝热近似 、_单电子近似_、_周期场近似_。 二、 判断题 （共10分，每小题2分） 目的:考核基本知识。 1、解理面是面指数高的晶面。 （×） 2、面心立方晶格的致密度为π61 （ ×） 3、二维自由电子气的能态密度()1~E E N 。 （×） 4、晶格振动的能量量子称为声子。 （ √） 5、 长声学波不能导致离子晶体的宏观极化。 （ √） 三、 简答题（共20分，每小题5分） 1、波矢空间与倒格空间（或倒易空间）有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? 波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为, 而波矢空间的基矢分别为, N1、N2、N3分别是沿正格子基矢方向晶体的原胞数目. 倒格空间中一个倒格点对应的体积为 , 波矢空间中一个波矢点对应的体积为 , 即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N. 由于N 是晶体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的。 也就是说，波矢点在倒格空间看是极其稠密的。因此, 在波矢空间内作求和处理时，可把波矢空间内的状态点看成是准连续的。 2、在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符? 在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 321 b b b 、、 32N N / / /321b b b 、、 1N 321 a a a 、、*321) (Ω=??b b b N N b N b N b * 332211)(Ω=??
社会形态与历史规律再认识笔谈 纪初),500来年才得恢复。人口恢复到汉代水平,金属货币又代替布帛。 这情况,不是战争所能解释的。战国是战争最多的时期,但战国时期却是中国历史上经济发展最快的时期。简单的讲,汉魏之际的社会经济的变化应从战国秦汉的社会生产结构中去找原因。交换经济的发展,促使土地兼并、农民破产流亡,变为奴隶。我虽不愿称我国秦汉为奴隶社会,但我承认汉代是中国历史上奴隶数量最多的时代。大量劳动力离开土地,使 耕者不能半 ,大量游手集中在城市,必然导致农业衰落。我们在这方面的发掘、研究是不够的。 我认为,我们对殷周之际的社会变化发展的长期性和复杂情况,战国秦汉城市经济繁荣的情况以及汉魏之际的社会变动情况的认识和估计,都是不足的,或不够重视的,这都影响了我们对中国古代社会发展变化的认识。 中国历史发展体系的新构想 山东大学历史系教授田昌五 用五种生产方式斧削中国历史,是不适宜的。首先,五种生产方式是按照欧洲的历史提出来的,所以只适用欧洲的历史,与中国历史是不切合的。其次,五种生产方式只是一种逻辑概念,与实际的历史是有出入的。如所周知,马克思着力研究的是资本主义社会,资本主义破坏了或改造了以前的各种生产方式,把这些生产方式按历史顺序排列下来,就构成了五种生产方式。其实,任何社会的经济形态都不是由单一的生产方式构成的,而是由多种所有制、多种经济成分、多种分配方式构成的。例如,马克思还提到过一种手艺人或小农的生产方式,就未包括在五种生产方式中。再说,马克思对生产方式有两种不同的说法:一种是上述生产方式,另一种是劳动力和生产手段的结合方式和方法。如用不同的工具和技术进行生产就有不同的生产方式。现在我们所说生产方式多半具有这种含义。因此,我们不能简单地用五种生产方式作为划分社会形态、甚至社会经济形态的工具。第三,我们现在所说五种生产方式的含义是由斯大林定下来的,未必符合马克思和恩格斯的原意。例如,马恩说的古代社会的生产方式就不能和奴隶制画等号,更不能把古代社会简单地说成什么奴隶社会。诚然,古代社会中包含着奴隶制,但由此称之为奴隶社会,那就错了。这种说法出自列宁,而尽情予以发挥的则是斯大林,严格地说,斯大林的奴隶制定义也是不准确的。此外,斯大林对农奴制生产方式和资产阶级生产方式的解释,以及对生产力和生产关系的解说,也是大成问题的。例如,马克思所说生产力原本包括劳动力、生产手段、生产资料、生产管理、科学技术等诸多因素,他却简化为劳动力和生产工具两种因素。这样,当我们用他说的五种生产方式解决中国历史问题和现实问题的时候,歧义百出,久拖不决,也就不足为奇了。有鉴于此,我们必须放弃用五种生产方式套改中国历史的做法,另行考虑解决中国历史发展体系的途径和方法。 怎么解决中国历史发展体系的问题呢?我认为,关键在于正确把握和运用马克思主义的世界观和方法论,考察中国历史的辩证的发展过程。我们以往的错误,就在于离开马克思主义的世界观和方法论,把五种生产方式作为公式和套语,强加于中国历史和世界历史。这样,表面上看似马克思主义,实际上是缺乏马克思主义的科学精神的。 我过去也是信奉五种生产方式,以此来研究中国历史的。但在 文革 后我改变了,改变的原因在于接受了小平同志提出的解放思想、实事求是的理论,用马克思主义的认识论和方法 ! ! 7
一、简答题 1.理想晶体 答：内在结构完全规则的固体是理想晶体，它是由全同的结构单元在空间 无限重复排列而构成的。 2.晶体的解理性 答：晶体常具有沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，这称为晶体的解理性。 3.配位数 答: 晶体中和某一粒子最近邻的原子数。 4.致密度 答：晶胞内原子所占的体积和晶胞体积之比。 5.空间点阵(布喇菲点阵) 答：空间点阵(布喇菲点阵)：晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的 点子在空间有规则地做周期性无限重复排列，这些点子的总体称为空间点阵(布喇菲点阵)，即平移矢量123d 、d 、h h h d 中123,,n n n 取整数时所对应的点的排列。空间点阵是晶体结构周期性的数学抽象。 6.基元 答：组成晶体的最小基本单元，它可以由几个原子(离子)组成，整个晶体 可以看成是基元的周期性重复排列而构成。 7.格点(结点) 答: 空间点阵中的点子代表着结构中相同的位置，称为结点。 8.固体物理学原胞 答：固体物理学原胞是晶格中的最小重复单元，它反映了晶格的周期性。 取一结点为顶点，由此点向最近邻的三个结点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作的平行六面体即固体物理学原胞。固体物理学原胞的结点都处在顶角位置上，原胞内部及面上都没有结点，每个固体物理学原胞平均含有一个结点。 9.结晶学原胞 答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为 边作的平行六面体称为结晶学原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性，
它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n Ω，其中n 是结晶学原胞所包含的结点数, Ω是固体物理学原胞的体积。 10.布喇菲原胞 答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为 边作的平行六面体称为布喇菲原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性，它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n Ω,其中n 是结晶学原胞所包含的结点数, Ω是固体物理学原胞的体积 11.维格纳-赛兹原胞(W-S 原胞) 答：以某一阵点为原点，原点与其它阵点连线的中垂面(或中垂线) 将空间 划分成各个区域。围绕原点的最小闭合区域为维格纳-赛兹原胞。 一个维格纳-赛兹原胞平均包含一个结点,其体积等于固体物理学原胞的体积。 12. 简单晶格 答：当基元只含一个原子时，每个原子的周围情况完全相同，格点就代表 该原子，这种晶体结构就称为简单格子或Bravais 格子。 13.复式格子 答：当基元包含2 个或2 个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格 点相同的网格，这些格子相互错开一定距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。显然，复式格子是由若干相同结构的子晶格相互位移套构而成。 14.晶面指数 答：描写晶面方位的一组数称为晶面指数。设基矢123,,a a a r u u r u u r ，末端分别落 在离原点距离为123d 、d 、h h h d 的晶面上，123、、h h h 为整数，d 为晶面间距，可以证明123、、h h h 必是互质的整数，称123、、h h h 3为晶面指数，记为()123h h h 。用结晶学原胞基矢坐标系表示的晶面指数称为密勒指数。 15.倒格子(倒易点阵)
山东大学学报(哲社版)1999年第4期司马迁、班固著史宗旨比异 王 萍 内容提要:本文主要从天道观、历史观和治史态度等几个方面,对司马迁和班固撰著史书的宗旨进行了分 析。司马迁注重天的自然属性,较少天人感应之说的影响;班固则以宣传刘汉皇朝承自天命为己任。司 马迁致力于 通古今之变 ,探寻历史发展规律;而班固强调 洽通 的目的则在于证明 汉绍尧运 ,为现实 政治服务。司马迁追求独立人格和风格,以一种实录精神完成 史记 的撰著;班固在 汉书 中虽对司马 迁实录精神多有继承,但又本于儒家之说,为尊者讳,为亲者讳,为贤者讳,多有曲笔。二人的这些相异之 处,既反映了不同时代思潮的濡染,又反映了不同家学渊源的影响。 关键词:司马迁 班固 史记 汉书 司马迁 史记 和班固 汉书 是我国史学史上的辉煌巨著,被称作汉代的双子星座。 史记 是纪传体通史的鼻祖, 汉书 则首创纪传体断代史,它们对后世都产生了巨大影响。刘知几在 史通 六家 中,将古今史书的体裁分为六家,其中 五曰 史记 家,六曰 汉书 家 ,并且强调, 自是为国史者,皆用斯法 。后人往往马班并列, 史 汉 并举,且考其异同,论其高下,以认识、评判这两部巨著的成就和历史地位。本文试图在前贤时哲研究成果的基础上,对 史记 、 汉书 的著述宗旨进行比较研究。不妥之处,敬请方家教正。 一 在人类历史上,除了时代氛围等因素,一定的家庭环境、家学渊源对人的思想观念、成长道路具有巨大影响。作为知识阶层重要成员、肩负着文化传承重要职责的史官或者说史学家更是如此。郑樵有言: 古者修书,出于一人之手,成于一家之学,班马之徒是也。 (凌稚隆 汉书评林 汉书总评 引)关于司马迁及其家世,司马迁本人在 太史公自序 中追述道: 昔在颛顼,命南正重以司天,北正黎以司地。唐虞之际,绍重黎之后,使复典之,至于夏商,故重黎氏世序天地。其在周,程伯休甫其后也。当周宣王时,失其守而为司马氏。司马氏世典周史。 可见,司马迁先祖是世传的史学家和天文学家,这成为司马迁著史的一个得天独厚的条件,造就了他良好的史学修养。 对司马迁影响最大的,是他的父亲司马谈。司马谈生活在由文景到武帝的过渡时期,但他接受的主要是文景时代的思想,即道家黄老思想。他曾 学天官于唐都,受 易 于杨何,习道论于黄子 。在著名的 论六家要旨 中,他对上古学术特别是先秦诸子思想进行了总结,创造性地把战国以来的学术思想归纳为阴阳、儒、墨、名、法、道六家,并比较客观地对其加以评论,指出其优劣长短,而独钟情于道家。在他看来, 道家使人精神专一,动合无形,赡足万物。其为术也,因阴阳之大顺,采儒墨之善,撮名法之要,与时迁移,应物变化 , 其辞难知 ,却又 其实易行 ( 史记 太史公自序 )。在这里,司马谈所表现出的道家思想倾向,对司马迁颇有启示和濡染。除此之外,司马谈还以 世典周史 的家学传统来教育司马迁,使