二次函数
知识回顾
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如2
y ax bx c
=++（a b c
，，是常数，0
a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0
a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数2
y ax bx c
=++的结构特征：
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
⑵a b c
，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
例1（基础）.二次函数2
365
y x x
=--+的图像的顶点坐标是（）
A．（-1，8） B.（1，8） C（-1，2） D（1，-4）
习题精练
1、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝a
x
与
正比例函数y＝（b＋c）x在同一坐标系中的大致图象可能是（）
2、若二次函数5
2+
+
=bx
x
y配方后为k
x
y+
-
=2)2
(则b、k的值分别为（）
A .0 5
B .0. 1 . 5 . 1 3、图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A ．22y x =-
B ．22y x =
C ．2
1
2y x =- D ．212
y x =
4、已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）
A ．223y x x =-+
B ．223y x x =--
C ．223y x x =+-
D ．223y x x =++
5. 若2y ax bx c =++，则由表格中信息可知y 与x 之间的函数关系式是（ ）
x
1- 0 1
2ax
1
2ax bx c
++
8 3
Ａ．243y x x =-+Ｂ．234y x x =-+Ｃ．233
y x x =-+ Ｄ．248y x x =-+
6、巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高为1米的喷水管喷水最大高度为3米，此时喷水水平距离为
12
米，在如图4所示的坐标系中，这支喷泉满足的函数关系式是（ ）A ）21()32
y x =--+ （B ）213()12
y x =-+（
C ）218()32y x =--+ （
D ）218()3
2
y x =-++
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：2
=的性质：
y ax
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2
=+的性质：
y ax c
上加下减。
3. ()2
=-的性质：
y a x h
左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：
三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；
⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：
⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成
m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）
⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 考点1.二次函数的平移
例 2 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x
=与二次函
数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，．
（1）求m 、c 的值；
（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.
例 3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
=3（x+2）2 =3（x-2）2 =3x 2+2 =3x 2-2 专题练习一
1.对于抛物线y=13
-x 2+
103x 16
3
-，下列说法正确的是（ ） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3）
C.开口向下，顶点坐标为（-5，3）
D.开口向上，顶点坐标为（-5，3）
2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ）
A.抛物线开口向上
B.抛物线的对称轴是x=1
C.当x=1时，y 的最大值为-4
D.抛物线与x轴交点为（-1，0），（3，0）
3.将二次函数y=x2的图象向左平移1个单位
长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的Array函数表达式是________.
4.小明从图2所示的二次函数2
=++
y ax bx c
的图象中，观察得出了下面五条信息：①0
c<；
②0
c b
-=；⑤40
->，你认为其中正确
a b
abc>；③0
a b c
-+>；④230
信息的个数有_______.（填序号）
考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式
1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax2+bx+c（a ≠0）；
2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）；
3.若已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.
例2 已知抛物线的图象以A（-1，4）为顶点，且过点B（2，-
5），求该抛物线的表达式.
例3 已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），
且经过点C（2，8）.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标.
专项练习二
1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了
盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次
降价.若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价
为a元，则y与x之间的函数表达式为（）
=2a（x-1） =2a（1-x） =a（1-x2） =a（1-x）2
2.如图2，在平而直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x
轴交于A、B两点，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y
图
，CO=BO，AB=3，则这条抛物线的函
轴交于点C，且tan∠ACO=1
2
数解析式是．
3.对称轴平行于y轴的抛物线与y轴交于点（0，-2），且x=1
时，y=3；x=-1时y=1，
求此抛物线的关系式.
4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，
(10)C -，．
（1）求此二次函数的关系式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标；
（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位，使得该图象的顶点在原点．
四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较
从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即
2
2424b ac b y a x a a -?
?=++
???
，其中
2
424b ac b h k a a
-=-=
，．
五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式
2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对
称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
六、二次函数2y ax bx c =++的性质
1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b
x a
=-
，顶点坐标为
2424b ac b a a ??-- ???
，． 当2b x a
<-
时，y 随x 的增大而减小；当2b x a
>-
时，y 随x 的增大而
增大；当2b
x a
=-时，y 有最小值
244ac b a -．
2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b
x a
=-
，顶点坐标为
2424b ac b a
a ??-- ?
??，．当2b
x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a
>-
时，y 随
x 的增大而减小；当2b
x a
=-时，y 有最大值
244ac b a -．
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；
2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；
3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点
的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非
所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交
点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
专项练习三
1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是________.
2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．
3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示，那么关于x 的方程2
20ax bx c +++= 的根的情况是（ ）
A.无实数根
B.有两个相等实数根
C.有两个异号实数根
D.有两个同号不等实数根
4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根． （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．
图2
图
3
（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．
（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．
八、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于x 轴对称
2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；
()2
y a x h k
=-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；
2. 关于y 轴对称
2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；
()2
y a x h k
=-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；
3. 关于原点对称
2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是
2
2
2b y ax bx c a
=--+-；
()2
y a x h k
=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．
5. 关于点()m n ，对称
()2
y a x h k
=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是
()222y a x h m n k =-+-+-
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
十、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）： 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.
图象与x 轴的交点个数：
① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间
的距离21AB x x =-.
② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点.
1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有
0y >；
2'
当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有
0y <．
2. 抛物线2
=++的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c；
y ax bx c
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶根据图象的位置判断二次函数2
=++中a，b，c的符号，
y ax bx c
或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知
一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)
++≠
ax bx c a
本身就是所含字母x的二次函数；下面以0
a>时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
二次函数图像参考：
课后巩固练习： 1、把抛物
线2
x y =向
右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ）
A 12+=x y
B ()21+=x y
C 12-=x y
D ()21-=x y 2、在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为( )
A ．222-=x y
B ．222+=x y
C ．2)2(2-=x y
D ．2)2(2+=x y
3、把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）.
y=3(x+4)2
2
y=3x 2
y=-2x 2
y=-2(x-3)2
2-3
2
A．2
=-+-
(1)3
y x
y x
(1)3
=--- B．2
C．2
y x
=-++
(1)3
(1)3
y x
=--+ D．2
4、抛物线2
=-+的顶点坐标是（）
y x
(2)3
A．(23)， B．(23)
-，D．(23)
，
-
D．(23)
，
--
5、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若点A(1,y1)、B(2,y2)是
它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）
(A) y1＜y2 (B) y1=y2 (C) y1＞y2 (D)不能确定
6、函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（）
7、根据下表中的二次函数2
=++的自变量x与函数y的对应值，
y ax bx c
可判断该二次函数的图象与x轴（）．
A．只有一个交点 B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧
C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧
D ．无交点
8、已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表：
x
…
1
-0
1 3 …
y
…
3
-1 3 1 …
则下列判断中正确的是（ ）
A ．抛物线开口向上
B ．抛物线与y 轴交于负半轴
C ．当x ＝4时，y ＞0
D ．方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间
9、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：
0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大
而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
10、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论：
①a ＞0.②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当
13x x =-=或时，函数
y 的值都等于0.其中正确结论的个数是
（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
11、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（ ）.
A ．a ＜0 B.abc ＞0
C.c b a ++＞0
D.ac b 42-＞
12、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0
②2a+b ＜0 ③4a －2b+c ＜0 ④a+c ＞0，其中正确结论的个数为（ ）