第三章 模型的初步识别与参数的矩估计
前言：第二章，我们讨论了ARMA 序列的自相关与偏相关函数的性质，及其与模型参数之间的关系，在第二章§1又曾指出实际中的大量随机序列，并不能用直接方法（或称物理方法）建立它们的模型，从物理意义上看甚至于它们本身并不是线性模型. 这时，所谓根据它们的样本数据建立线性模型，不如说是寻找一种与它们尽可能“等价”的
ARMA 序列，作为实际序列的近似模型. 原因在于①由于ARMA 序列的谱密度是有理谱
密度，它们能逼近任何连续谱密度；②由于在实际应用中，这类模型有很多方便之处. 下面三章内容都是围绕这样问题展开的：若t w 是某一未知其模型的ARMA 序列，现在获得了它的一段样本数据12,,
,N w w w ，如何根据这N 个数值对t w 的模型做出估计，或者说
得更具体些，对模型的阶数,p q 和参数,?θ与2
a
σ做出判断与估计. 模型识别：一般，我们把对,p q 的判断称为模型识别，也就是初步确定序列模型的形
状；在,p q 被判定后，估计相应的,
?θ和2
a
σ，称为参数估计. 解决这些问题的方法属于时间序列的内容. 一旦做出了序列模型的识别和估计，序列的自相关、偏相关函数及谱密度的估计就可以由这个模型算出. 另外，ARIMA 序列经过某种处理（如差分或“季节型”差分VI 章）后，可看作ARMA 序列，同样用上述手法，并以估计所得的模型作为真实序列的近似描述.
解决上述识别与估计问题，主要依据第二章理论分析结果. 本章将介绍一种初步识别方法和参数的矩估计，它们简单易懂，但是其精度稍差. 为提高精度，可用第四章方法求参数的精估计，再由V 章，检验和改进初步识别的结果，但其程序较繁且计算量也大得多.
§1 样本自相关与样本偏相关函数
假定得到了数据12,,,N z z z ，它们是随机序列t z 的一段样本值，N 称为样本长度，
为要根据这段样本数据估计t z 的模型，先要设法消去t z 的均值项，至于去均值方法，今后讨论（P 79~82，§4 P 98~102）暂时假定0t Ez =. 这时定义t z 的样本自协方差k r 与样本自相关函数k ρ分别为：
1
1,0,1,2,,1N k k k
l l k
l r r z z
k N N
--+==≡=-∑ （I ）
,0,1,2,,1k k k r k N r ρρ-=≡
=- （II ）
有时，也采用如下定义：
**1
1,0,1,2,,1N k k
k
l l k
l r r
z z
k N N k
--+==≡
=--∑ （III ）
*
**
*0
,0,1,2,,1k k k r k N r
ρρ-=≡
=- （IV ）
易知*
k k N k r r N
-=
. 因此，k r 与*k r 是渐近相等的. 但是k r 是非负定列，*k r 则不一定如此. （为证明此，对于l N >或0l ≤暂记0l z ≡，于是对任意m 个实数12,,,m g g g ， ||
||,1,11
1N j i m
m
j i i j i j l l j i i j i j l g g r g g z z N ---+-====∑∑∑ ||,1,111m m
i j l l j i i j l l j i i j l i j l g g z z g g z z N N ∞∞
+-+-==-∞==-∞
==∑∑∑∑（l N >或0l ≤时0l z ≡） 2,1111()0m m
i j l i l j i l i i j l l i g g z z g z N N ∞
∞+++==-∞
=-∞===≥∑∑∑∑ 这就证明了k r 序列的非负定性. ） 反例*
k r 的不为正定性.
设{}t w 是长度为3的样本例{},0,a a -，经计算得
**22
20
1121(()),[00()]030331
r a a a r a a =+-==?+?-=--
22**22232220312[()] 00323203a a r a a a a a a ??- ? ?
?=?-=-Γ= ?- ?
?- ??
?
若取100ξ??
?= ? ?
??，则*23203a τ
ξξΓ=>
若取101ξ??
?= ? ?
??
，则*23203a τ
ξξΓ=-<
*
{}k r ∴不为正定列.
另证k r 为（正定）非负定列且为正定序列.
若令12
1
2
(1)
00N
N N m m N w w w F w w w ?+-??
?
=
?
??
? 它是一个(1)m m N ?+-阶矩阵，m 为任一给定正整数，则显然样本自协方差阵可以
表示成：
1()N ij m m N N r F F N
τ
?Γ==
其中第i 行第j 列为
||
||
||1
1N i j ij i j t t i j i r r w w N
---+-===∑
设1 m ξξξ?? ?
= ? ???
是任一非零向量，则由{}t w 样本值不全为0，易证N F τξ的(1)m N +-个分
量中，至少有一个不为0，于是
1()()0N N N F F N
ττ
ττξξξξΓ=
> {}k r ∴为正定列.
Theorem ：设t w 为正态(,)ARMA p q 序列，即为方程()()t t B w B a ?θ=的正态平稳解，
令1
1()n
k k t t k t r r n w w
n +==≡∑. 则对?固定的正整数k ，当n →∞时，随机变量
0101),(),,()k k r r n r r n r r ---联合分布为渐近正态(0,)N G ，
其中i t t i r Ew w +=，G 为1k +阶方阵，其i 行j
列元素为(),,0,1,,ij i r j r
i r j r r g r
r
r r i j k ∞
++-+=-∞
=+=∑，ij g 是
（ 2.4）（P 273）中i j nEr r 的主项.
推论1 设t w 为正态平稳白噪声序列，则随机向量0101),(),,())k k r r n r r n r r ---
的极限分布为(0,)N G
，其中20200k G r I ??
=
??
?. k I 表k 阶单位阵. 推论2 设t w 为正态ARMA 序列，k ρ为其自相关函数，0/k k r r ρ=为其样本自相关函数，k k k ρρρ=-12,,k n ρ联合分布渐近于k 维正态分布(0,)N B ，
其中()ij B b =，
2[22()],,1,,ij i r
j r i r j r i j r r i j r j i r r b i j k ρ
ρρρρρρρρρρρ∞
++-+++=-∞
=
++-+=∑
即为（P 280）中i j nE ρρ的主项. 特别t w 为正态白噪声序列，B I =. ,
k k k k k k r r r ρρρ≡-≡-
Theorem ：设t w 为正态ARMA 序列，则
211
()0()m n l m l n l m l n l Er r r r r r N N
∞---+=-∞=++∑ （2.4）
推论3 在Th 条件下，对?非零整数,m n 有：
211
{22()}0()l m l n l m l n m n l n l l m m l l n m n l E N N
ρρρρρρρρρρρρρρρ∞---+++=-∞=++-++∑（2.14）
称上式为Bartlett 公式.
Theorem ：正态(,0)AR p 序列参数的Yule-Walker 估计12 p a ?α?σ??
? ?= ? ? ???
，当样本长度N →∞时有性质即：当k p ≥时
11()()()0()k k k k k k k E E M N N
ττψψψψψψ≡--=+
其中11,k k k k k r b b r ψ-??
?=Γ= ? ???，k Γ是k 阶方阵，其i 行j 列元为i j r -，1
k k k b ψ-=Γ，k Γ为
Toeplitz 阵，21
k a k M σ-=Γ.
Theorem ：在上述条件下，则当n m p >≥时1,1(0)k k k p ?++=≥
10(
)mm nn mm nn E E N
????== Theorem ：在上述条件下α的Yule-Walker 估计为α，
分布渐近正态1
(0,)N J -.
1
2002p
a M J
σ-??= ???
21
p a p M σ-=Γ. 若t z 是ARMA 序列（注意若不加特别说明，恒假定随机序列是正态的），那么k r 和k ρ作为k r 和k ρ的估计量，具有以下性质： 1．它们是相容估计和渐近无偏估计，即
lim ,lim p p
k k k k N N r r ρρ→∞→∞== （I ）
lim ,lim k k k k N N Er r E ρρ→∞
→∞
== （II ）
（I ）式中""
p =表示依概率相等.
2．它们具有渐近正态性，即存在两个趋于∞的数列(1)(2)
,N N
b b ，分别使得： (1)(2)
()~(0,1),()~(0,1)k N k N k k b r r N b N ρρ--
3．它们的误差方差分别渐近为
2
2Var()()k k k k r Er E r r ≡≡-
2
1()l l k l k l r r r N ∞+-=-∞
≈+∑ （III ） 2
2
Var()()k k k k E E ρρρρ≡≡-
2221(24)l l k l k k l k l l k l N ρρρρρρρρ∞
+--=-∞
≈++-∑ （IV ） （IV ）式称为Bartlett 公式，这些公式的证明可见安鸿志书附录§2，特别由（III ）式知，当t z 为白噪声时，0(0)k r k =≠ （V ）
22
0002Var(),Var(),0k r r r r k N N
≈≈>
0l k l k r r +-??
?=??
当t z 为(0,)MA q 序列时，
2
2001
2Var()(12)q
l l r r N ρ=≈+∑
2
201
V a r ()(12),q
k l l r r k q N ρ=≈+>∑
1
22
20011Var()(22)q l l l l l q
r r r r N =-==-=++∑∑
2201
2(12)q l l r N ρ==+∑ （VI ） 2
201
1Var()[2]q
k l l r r r N =≈+∑
0l k
r +=（0l >时） 0l k r -=（0l <时）
当t z 为(1,0)AR 序列时，||
01l l r r ?=，以此代入（VI ）式得
22
01021
2222011121
21Var()1(1)(1)Var()(2),0
1k
k k r r N r r k k N ???????+≈?-??++?≈+>?-? （VII ） 1
22
20011Var()(2)l l l l r r r r N ∞-==-∞
≈++∑∑
1
222220010111[2]l l
l l r r r N ??∞-==-∞
≈++∑∑
222222*********
1
112221?Var()[12][12][]11l
l r r r r N N N ?????∞
=+=+=+=--∑ 2
1Var()() 0k l l k l k l r r r r k N ∞+-=-∞
=+>∑
22
011
1[22]l l k l k k k l l r r r r r r N ∞∞
+--===+++∑∑
2222||||
220010110111
1[22]l l k l k k l l r r r r N ????∞∞
+-===+++∑∑
22201111112
11
1[122()]1k k l k k l l k l k
l l k r N ???????∞+-+-==+=+?+++-∑∑ 222(1)220111122112[122]11k k k
r k N ??????+=+?+++--
2222220111122
11
22[12]11k k k
r k N ??????+=++++-- 222201112
1(1)(1)[2]1k k r k N ????++=+-
从上述式子知，k r 和k ρ渐近误差方差都与
1
N
成正比例，而其比例常数又和真值l r 或l ρ有关. 易知当N →∞时，诸误差方差都趋于0，由此可推出（I ）
、（II ）式. （利用||
01l l l r r r ?-==）
对于(0,1)MA 序列，11
||,0,12
k k ρρ<
=>. 0Var()r ∴和Var()(1)k r k >的主项分别为22200231(12())2r r N N +??=，22222
001.51(12[()00])2r r N N +?+++=. 即它们趋于零的速度
不会比203r N 和2
01.5r N
更慢. 对于(1,0)AR 序列，由（VII ）式易知，Var()k ρ显著地依赖于
参数1?，1?愈接近它的平稳域边界(1)±，Var()k r 趋于零的速度愈慢. 例如当10.1?=时，
2220002
210.1 2.04Var()10.1r r r N N
+≈?=-；而当10.9?=时， 222202
(10.9)(10.9)
Var()(20.9)10.9
k k k r r k N ++<≈+?>- 2222
00002
2210.9 1.8119.053Var()10.90.19r r r r N N N
+≈?=?=- 易知（VII ）式找不到与1?无关的上界. 对ARMA 序列来说情况类似.
在实际应用中，我们希望通过增加样本长度N 以提高估计精度. 为保证上述估计量的均方误差达到一定的精度要求（比如要求0Var()0.01r <，或200Var()0.01r r <；前者为绝对精度，后者为相对精度）可用（III ）（IV ）式计算N 需多大. 但这些公式中的k ρ和k r 仍是未知的，∴并不能准确定出多大的N 才能满足预定的精度. 确定N 的精略方法：（采
用不断实践改进的方法摸索之）假定开始获得了1N 个数据，由
1
1
,0,1,2,,1N k k l l k
l r z z
k N N
-+==
=-∑，
0/,0,1,2,,1k k r r k N ρ==-.
算出适当长度,
k k r ρ，直到它们接近于0. 为了对,k k r ρ的方差做出估计，利用（III ）
、（IV ）. 在这两式的右方将k r 和k ρ依指数律收敛于0，这样的近似可行，若所算出的
Var()k r 或Var()k ρ达到了预定的精度要求，就认为取样长度1N 是合适的，否则应设法
增加取样数据. 比如据现有的Var()k r 或Var()k ρ的大小和精度要求，试着增加到N ，然后再重复做出新的估计，计算出新的Var()k r 和Var()k ρ之值，并检查是否满足预定的精度，按这个程序做下去，直到合适N 为止. 通常只重复一、二次即可，若总定不下来，则序列t z 可能不是ARMA 序列. 有了样本自相关函数，可按上一章类似定义样本偏相关函数，解方程.
111
112121
2
11
1k k k k k k k kk ?ρρρρρρ?ρρρ?----????
??
? ? ? ? ?
?=
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????
?? （VIII ） 得到(1,2,)kk k ?=这就是t z 的样本偏相关函数. kk ?亦可按P 60递推计算，
将j ρ换为j ρ即可.
11
11
1,111111,1,1,(1)
()(1)k k k k k k j kj j kj j j k j kj k k k k j ?ρ
?ρρ?ρ?????-++++-==+++--?=??=--??
?=-??∑∑
当t z 为(,0)AR p 序列时，据附录§5结果，kk ?具有以下性质： 1．kk ?是kk ?的渐近无偏估计和相容估计，即
lim ,lim P
kk kk kk kk N N E ????→∞
→∞
==
特别
,lim 0, k
kk N k p
E k p
??→∞
=?=?>?当当 2．kk ?具有渐近正态性质，即存在趋于∞的数列(3)
N b 满足
(3)(3)()~(0,1)N N kk kk kk b b N ???=-
3．当,,k k p k k ''>≠时有下列性质：
22
1
,0kk k k kk k k E E NE N
????''''=≈
≈ (IX) 对于一般的(,)ARMA p q 序列，kk ?亦有与此类似的性质，但常用到的是(,0)AR p 序列的偏相关函数（截尾性）.
§2 模型的初步识别方法
本节讨论如何利用前一节的样本自相关和样本的偏相关函数来判断t z 的模型阶数，即
p 和q 之值；若t z 是求和模型，还要判断d 的值. 初步识别方法和要领：
1．识别的依据：据第二章中AR 序列自相关与偏相关函数的性质（P 69表2.2.1），若其样本自相关函数k ρ在k q >后截尾，很自然判断t z 是(0,)MA q 序列. 类似地，若kk ?在
k p >以后截尾，则判断t z 是(,0)ARMA p 序列. 若,k kk ρ?都不截尾，又被负指数型的
数列所控制（即拖尾的），则应判断其为ARMA 序列，但其阶数无法确定；
2．k ρ或kk ?截尾性的判断：理论自相关和偏相关函数k ρ和kk ?的截尾性，是指它们从某个值q 或p 以后全为0. 由于,
k kk ρ?是k ρ和kk ?的估计值，它们必然有误差，∴即
使t z 是(0,)MA q 序列，当k q >后，k ρ也不会全为0，而只是在零上下起伏.
由§1的k ρ（VI 式）分布渐近性质，若真值k ρ在k q >以后截尾，则0k ρ=. 而k
ρ的分布渐近为21
1
(0,(12))q l l N N ρ=+∑，依渐近正态分布律可知：
21/21
(||2))68.3%q k l l ρρρ=≤+=∑
21/21
(||2))95.5%q k l l ρρρ=≤+=∑
对每个0q >都可检验12,,,q q q M ρρρ+++（M
或
10
N
左右）中满足21/2
1||2)q k l l ρρ=≤+∑
或21/21
||2)q k l l ρρ=≤+∑的比例是否达到68.3%或95.5%.
若1,2,,1q q '=-都没达到，而q q '=达到了，我们就说k ρ在q '后截尾，因而按要领1
判断t z 为MA 序列，且q '称为q 的初步识别值. 为简便q '仍用q 表示. 由于()k k q ρ>对
不同的k 尚有某些相关，令当不同的k 之差，超过q 后才相关（282
285P m k q q =+>）. ∴
这种检验只能作为一种近似手段. 对kk ?也类似. 然而，这样的判断方法有时会把MA 序列判断成其它类型，把AR 序列判断成其它类型，有时即使类型判断无误，其阶数也可能有误. 它属于判断精度问题（§4节讨论）；（季节模型）
3．求和阶数d 的识别：若k ρ和kk ?依要领2的分析不但都不截尾，而且（至少有一个）下降趋势很慢，则可以认为它们不是拖尾的，即不能被负指数列控制. 这时，可重新计算并按要领1和2分析(2,3,4,,)k z k N ?=的样本自相关与偏相关函数，若它们仍都不截尾，而且（至少有一个）下降很慢，则可再考虑2(3,4,
,)k z k N ?=直到某一次
(1,,)d k z k d N ?=+的样本自相关或偏相关为截尾或都为拖尾为止. 这时d 即初步判断为t z 的求和阶数. d 与真值可能有出入，有时应用中直接提供d 不必计算之.
4．混合模型的定阶：
若经要领1,2,3已判断d t t w z =?属于ARMA 型，由要领1知道，这时还不能定出p 和
q 的值，只是知道它们都不为0. 对于这种混和模型，识别,p q 的办法可以从低阶到高阶
逐个取(,)p q 为(1,1),(1,2),(2,1)
等值尝试，即先认定(,)p q 为某值（如（1.2）），再进
行下一步的参数估计，并定出估计模型来，然后经过第五章的方法检验这个估计模型是否被接受，即与原序列符合得好不好；若不被接受，就调整(,)p q 尝试值，再重新做参数估计和检验，直到被接受为止. 此法虽烦琐但实用，对,AR MA 序列亦实用. 另外，混和模型在实际应用中的阶数(,)p q 一般较低. 此外，还可用AR 模型逼近真实混合序列，而少用MA 或ARMA 模型，还有其它定阶手法（P 146~150）.
5．去掉t z 的均值项：若我们分析的时间序列t z 含非随机的均值项t f ，则在计算t z 的自协方差函数、偏相关函数以及对它进行模型识别和参数估计（样本）时，一定要设法将均值项去掉，若能用物理方法记录t f （如绪论中例1，采用经纬仪照相法获得轨道真实值），
则可从t z 中直接减去t f . 否则，常用的办法是从t z 中减去它的样本均值1
1N
k
k z
N
μ==
∑，即
用t t t w z z μμ=-=-代替t z 进行时间序列分析. 估计量μ的统计性质（P 100~102） 下面讨论第一章所举的六个伪随机数列，对这些模型进行初步识别，借此熟悉初步识别的方法. 我们的问题是：假设我们并不知道构造这些数列的模型，如何根据它们的一段样本数据12,,,(300)N z z z N =，对它们的模型进行判断，这就是进行模型识别. 图3.2.1（a ）,k k k ρρ-曲线，当1k >时非常接近（截尾）0，图3.2.2（a ）kk ?则显现出拖尾的趋势（kk ?尾部不全为0，但又被负指数函数所控制），因此大致可定出
1,0q p ==，(0,1)MA 序列，若仔细考察时，按要领2所叙述办法，先计算
2
1
12Var()k N
ρρ+=
，1300,0.34N ρ==，然后检查2330,,,ρρρ（1,2,,q q q M +++）
（取3010N M ==）中满足2
1/2
112||()300
k ρρ+<的比例是否达到68.3%，其结果是Var()0.004104k ρ≈，1/2[Var()]0.064062469k ρ=，经检查上述比例为
27
69.2%68.3%39
==. 因此1q =这一判断可接受，于是初步识别t z 为(0,1)MA 序列，这与真实模型相符.
图3.2.1（b ）k ρ有截尾趋势，而kk ?（图3.2.2（b ））有拖尾趋势，初看起来，也可定
t z 为(0,1)MA 型，但由第二章P 65例2(0,1)MA 的允许域为11
||2
ρ<
，而此处10.59ρ=不在允许域内，因此应考虑(0,2)MA 模型. 注意20.10ρ=，由第二章P 66(0,2)MA 的允许域条件检验如下：
2110.590.10.492ρρ+=-+=->-
211
0.1(0.59)0.692
ρρ-=--=>-
且21
0.106
ρ=<
. 这说明12(,)ρρ在此域内，为仔细审查，仍可按要领2进行检验，此处略. 当然，也可继续审查用(0,3)MA 模型是否可行，这是§4讨论的识别的多样性问题. 一
般在应用时都遵循两点：其一，尽量要用低价模型；其二，尽量使模型系数的估计不要接近平稳可逆域的边界. 于是由上述讨论将数值序列t z 定为(0,2)MA 序列，与真实情况相符.
图3.2.1（c ）k ρ明显地拖尾，而kk ?近于截尾，因此可暂定1,0p q ==，为要仔细考察，利用P 772
1
()kk E k p N ?=
>和kk ?的渐近正态性，发现223328,28,,,???中满足||
kk ?<的比例为%802721≈，即可接受上述判断，于是初步识别为(1,0)AR 序列，与真实情况相符. （
kk ?近于截尾，1k ∴>时0kk ?=，从而1
~(0,
)kk kk kk kk N N
????=-=） 图3.2.1（d ）k ρ明显地拖尾，而kk ?近于截尾，若暂定1,0p q ==经与上例类似的考虑手续后，发现有70%的
kk ?满足||kk ?σ<
=，因此可以接受. 但是注意到220.15?=-，若认定模型为(1,0)AR ，则22?理应为0，这样22?与0之差超过了
2
22E ?=
∴在很大程度上可能220?≠，即值得考虑 22(0.05773672)(|0|2)10.95440.0456P ?σ=->=-=
(2,0)AR 模型. 若改用这一模型再检查||
kk ?σ<=的比例时，结果约为74%，同样
可接受. 两点启发：①初步识别常常出现多样性；②在识别取为(1,0)AR p -和(,0)
AR p
都可接受时，特别注意比较||
pp ?. 若①||
pp N ?可认为0pp ?=，即断定t z 为(1,0)AR p -序列；②若pp ?>（甚至于
>
（小概率事件发生了），则应否定0pp ?=，即判断t z 为(,0)AR p 序列； ③若
pp ?，则两种判断均可采用. 第五章将有方法鉴定那一种更合适. 它们亦适
合MA 模型，另外，允许域有助于识别.
图3.2.1（e ）的k ρ和图3.2.2（e ）的kk ?都有明显的拖尾形状，由要领4所述，这时不象截尾那样易于确定阶数. 从原则上说，只有从低阶向高阶逐个试验才做出判断. 利用k ρ和kk ?渐近性质，
及对不同的,,k p q ρ和kk ?的不同性质，也可摸索出一些粗略估计,p q 办法. 例本例中由于21:(0.13):(0.23)0.56ρρ=--=，32:(0.06);(0.13)0.46ρρ=--=，
可认为在1k >后，1:k k ρρ-近似为0.4~0.5之间的常数. 猜想1(1)k
k k ρα?=≥，由P 57
（2.2.17）于是这意味着1p =和11q p q >-=-即10,1q q -==. [为什么只考察
123,,ρρρ之间的近似等比关系呢？若真实的1k k ρα?=而1?在0.4与0.5之间的话，则
(0.5)k k ρα≤，
于是从4k =起有444
(0.5)(0.5)0.0625(0.5)0.063k k k ρααα--≤?=<. 但21/2
2221/21()
[(24)]l l k k l k l l k k
l E N ρρρρρρρρ∞
+-=-∞
=++-∑（Bartlett 公式）0.07=再注意，可表示1
111
11111111,,k k k k k k k k k k k k k k k k ρρρρα?ρρα?ρα?ρρρρρα?--------??=-=+ ?= ?+=-=??
可见当4k ≥时，在这个比值中11111
:k
k k k ?ρρ??--==几乎完全被k ρ的随机性掩盖了，这是弱点所在].
图3.2.2（f ）kk ?虽然类似截尾，但k ρ不仅不截尾，而且也看不出有趋于0的迹象，∴我们只能认为它既不截尾也不拖尾. 由要领3，在,k k k ρ?中只要有一个为上述情形，就应依次考2,k k z z ??等差分序列的自相关与偏相关函数. 经分析k z ?的自相关与偏相关函数图与图3.2.1（c ）类似判断t z ?为(1,0)AR 模型. 定出1,1,0d p q ===即初步识别后定t z 为(1,1,0)ARIMA 序列.
论文题目：ARMA模型的阻尼最小二乘法班级： 姓名： 学号： 指导教师：
摘要 ARMA模型是将实际问题利用时间序列建立起的模型，只要把ARMA模型的参数估计出来，实际问题就能解决了。本文只对讨论了ARMA模型参数的优化理论估计方法的一种：阻尼最小二乘法。非线性时间序列ARMA模型参数的优化估计法一阻尼最小二乘法，它结合了Newton法和最速下降法的优点，既保证了迭代计算的收敛性，又加快了收敛的速度。当初值的精度较差时，更宜采用阻尼最小二乘法。本文给出实例的MATLAB程序，并利用t统计量检验出阻尼最小二乘法要比最小二乘法的参数估计值更为显著，拟合模型更优。 关键词：非线性；阻尼最小二乘法；ARMA；MATLAB Abstract ARMA model is to establish a real problem using time series models, As long as the ARMA model parameters estimated from the actual problem can be solved. Nonlinear time series ARMA model parameter optimization estimation method—Damped least squares method, It combines the advantage of Newton method and the steepest descent method, It not only ensures the convergence of iterative calculations, but also accelerate the speed of convergence. When the accuracy of the original value is poor, it better to using qualified damped least squares method. This paper gives examples of the MATLAB program,And use the t-statistic tests the damped least squares method more significant than the method of least squares parameter estimates, and better fitting model. Keywords: Nonlinear; Damped least squares method; ARMA; MATLAB
基于Burg 算法的AR 模型功率谱估计简介 摘要：在对随机信号的分析中，功率谱估计是一类重要的参数研究，功率谱估计的方法分为经典谱法和参数模型方法。参数模型方法是利用型号的先验知识，确定信号的模型，然后估计出模型的参数，以实现对信号的功率谱估计。根据wold 定理,AR 模型是比较常用的模型，根据Burg 算法等多种方法可以确定其参数。 关键词：功率谱估计；AR 模型；Burg 算法 随机信号的功率谱反映它的频率成分以及各成分的相对强弱, 能从频域上揭示信号的节律, 是随机信号的重要特征。因此, 用数字信号处理手段来估计随机信号的功率谱也是统计信号处理的基本手段之一。在信号处理的许多应用中, 常常需要进行谱估计的测量。例如, 在雷达系统中, 为了得到目标速度的信息需要进行谱测量; 在声纳系统中, 为了寻找水面舰艇或潜艇也要对混有噪声的信号进行分析。总之, 在许多应用领域中, 例如, 雷达、声纳、通讯声学、语言等领域, 都需要对信号的基本参数进行分析和估计, 以得到有用的信息, 其中, 谱分析就是一类最重要的参数研究。 1 功率谱估计简介 一个宽平稳随机过程的功率谱是其自相关序列的傅里叶变换，因此功率谱估计就等效于自相关估计。对于自相关各态遍历的过程，应有： )()()(121lim *k r n x k n x N N x N N n =? ?????++∞→∑-= 如果所有的)(n x 都是已知的，理论上功率谱估计就很简单了，只需要对其自相关序列取傅里叶变换就可以了。但是，这种方法有两个个很大的问题：一是不是所有的信号都是平稳信号，而且有用的数据量可能只有很少的一部分；二是数据中通常都会有噪声或群其它干扰信号。因此，谱估计就是用有限个含有噪声的观测值来估计)(jw x e P 。 谱估计的方法一般分为两类。第一类称为经典方法或参数方法，它首先由给定的数据估 计自相关序列)(k r x ，然后对估计出的)(?k r x 进行傅里叶变换获得功率谱估计。第二类称为非经典法，或参数模型法，是基于信号的一个随机模型来估计功率谱。非参数谱估计的缺陷是其频率分辨率低，估计的方差特性不好, 而且估计值沿频率轴的起伏甚烈，数据越长, 这一现象越严重。 为了改善谱分辨率，研究学者对基于模型的参数方法进行了大量研究。参数方法的第一步是对信号选择一个合适的模型，这种选择可能是基于有关信号如何产生的先验知识，也可能是多次试验后获得的结果。通常采用的模型包括AR 、MA 、ARMA 模型和谐波模型（噪声中含有复指数）。一旦模型选择好后，下一步就是计算模型的参数。最后将计算得到的参数带
第四章 等效电路模型参数在线辨识 通过第三章函数拟合的方法可以确定钒电池等效电路模型中的参数，但是在实际运行过程中模型参数随着工作环境温度、充放电循环次数、SOC 等因素发生变化，根据离线试验数据计算得到的参数值估算电池SOC 可能会造成较大的估计误差。因此，在实际运行时，应对钒电池等效电路模型参数进行在线辨识，做出实时修正，提高基于模型估算SOC 的精度。 4.1 基于遗忘因子的最小二乘算法 参数辨识是根据被测系统的输入输出来，通过一定的算法，获得让模型输出值尽量接近系统实际输出值的模型参数估计值。根据能否实时辨识系统的模型参数，可以将常用的参数辨识方法分为离线和在线两类，离线辨识只能在数据采集完成后进行，不能对系统模型实时地在线调整参数，对于具有非线性特性的电池系统往往不能得到满意的辨识结果；在线辨识方法一般能够根据实时采集到的数据对系统模型进行辨识，在线调整系统模型参数。常用的辨识方法有最小二乘法、极大似然估计法和Kalman 滤波法等。因最小二乘法原理简明、收敛较快、容易理解和掌握、方便编程实现等特点，在进行电池模型参数辨识时采用了效果较好的含遗忘因子的递推最小二乘法。 4.1.1 批处理最小二乘法简介 假设被辨识的系统模型： 12121212()()()1n n n n b z b z b z y z G z u z a z a z a z ------+++==++++L L （4-1） 其相应的差分方程为： 1 1 ()()()n n i i i i y k a y k i b u k i ===--+-∑∑（4-2） 若考虑被辨识系统或观测信息中含有噪声，则被辨识模型式（4-2）可改写为： 1 1 ()()()()n n i i i i z k a y k i b u k i v k ===--+-+∑∑（4-3） 式中， ()z k 为系统输出量的第k 次观测值；()y k 为系统输出量的第k 次真值，()y k i -为系统输出量的第k i -次真值；()u k 为系统的第k 个输入值，()u k i -为 系统的第k i -个输入值；()v k 为均值为0的随机噪声。
通信系统建模与仿真课程设计2011 级通信工程专业1113071 班级 题目基于SIMULINK的基带传输系统的仿真姓名学号 指导教师胡娟 2014年6月27日
1任务书 试建立一个基带传输模型，采用曼彻斯特码作为基带信号，发送滤波器为平方根升余弦滤波器，滚降系数为0.5，信道为加性高斯信道，接收滤波器与发送滤波器相匹配。发送数据率为1000bps，要求观察接收信号眼图，并设计接收机采样判决部分，对比发送数据与恢复数据波形，并统计误码率。另外，对发送信号和接收信号的功率谱进行估计。假设接收定时恢复是理想的。 2基带系统的理论分析 1.基带系统传输模型和工作原理 数字基带传输系统的基本组成框图如图1 所示，它通常由脉冲形成器、发送滤波器、信道、接收滤波器、抽样判决器与码元再生器组成。系统工作过程及各部分作用如下。 g T(t) n 定时信号 图 1 ：数字基带传输系统方框图 发送滤波器进一步将输入的矩形脉冲序列变换成适合信道传输的波形g T(t)。这是因为矩形波含有丰富的高频成分，若直接送入信道传输，容易产生失真。 基带传输系统的信道通常采用电缆、架空明线等。信道既传送信号，同时又因存在噪声n(t)和频率特性不理想而对数字信号造成损害，使得接收端得到的波形g R(t)与发送的波形g T(t)具有较大差异。 接收滤波器是收端为了减小信道特性不理想和噪声对信号传输的影响而设置的。其主要作用是滤除带外噪声并对已接收的波形均衡，以便抽样判决器正确判决。 抽样判决器首先对接收滤波器输出的信号y(t)在规定的时刻（由定时脉冲cp控制）进行抽样，获得抽样信号{r n}，然后对抽样值进行判决，以确定各码元是“1”码还是“0”码。 2.基带系统设计中的码间干扰和噪声干扰以及解决方案
时间序列模型参数估计1理论基础 1.1矩估计 1.1.1AR模型 矩估计法参数估计的思路：
即从样本中依次求中r k 然后求其对应的参数Φk 值 方差： 1.1.2 MA 模型 对于MA 模型采用矩估计是比较不精确的，所以这里不予讨论 1.1.3 ARMA （1，1） 矩估计法参数估计的思路： 方差：
1.2最小二乘估计 1.2.1AR模型 最小二乘参数估计的思路： 对于AR（P）而言也可以得到类似矩估计得到的方程，即最小二乘与矩估计得到的估计量相同。
1.2.2MA模型 最小二乘参数估计的思路： 1.2.3ARMA模型 最小二乘参数估计的思路：
1.3极大似然估计与无条件最小二乘估计
2R中如何实现时间序列参数估计 2.1对于AR模型 ar(x, aic = TRUE, order.max = NULL, method=c("yule-walker", "burg", "ols", "mle", "yw"), na.action, series, ...) > ar(ar1.s,order.max=1,AIC=F,method='yw')#即矩估计 Call: ar(x = ar1.s, order.max = 1, method = "yw", AIC = F) Coefficients: 1 0.8314 Order selected 1 sigma^2 estimated as 1.382 > ar(ar1.s,order.max=1,AIC=F,method='ols')#最小二乘估计Call: ar(x = ar1.s, order.max = 1, method = "ols", AIC = F) Coefficients: 1 0.857 Intercept: 0.02499 (0.1308) Order selected 1 sigma^2 estimated as 1.008 > ar(ar1.s,order.max=1,AIC=F,method='mle')#极大似然估计Call: ar(x = ar1.s, order.max = 1, method = "mle", AIC = F) Coefficients: 1 0.8924 Order selected 1 sigma^2 estimated as 1.041 采用自编函数总结三个不同的估计值 > Myar(ar2.s,order.max=3)
功率谱估计及其MATLAB仿真 詹红艳 （201121070630控制理论与控制工程） 摘要:从介绍功率谱的估计原理入手分析了经典谱估计和现代谱估计两类估计方法的原理、各自特点及在Matlab中的实现方法。 关键词:功率谱估计;周期图法;AR参数法;Matlab Power Spectrum Density Estimation and the simulation in Matlab Zhan Hongyan （201121070630Control theory and control engineering） Abstract:Mainly introduces the principles of classical PSD estimation and modern PSD estimation,discusses the characteristics of the methods of realization in Matlab.Moreover,It gives an example of each part in realization using Matlab functions. Keywords:PSDPstimation,Periodogram method,AR Parameter method,Matlab 1引言 现代信号分析中,对于常见的具有各态历经的平稳随机信号,不可能用清楚的数学关系式来描述,但可以利用给定的N个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度叫做功率谱估计(PSD)。它是数字信号处理的重要研究内容之一。功率谱估计可以分为经典功率谱估计(非参数估计)和现代功率谱估计(参数估计)。 功率谱估计在实际工程中有重要应用价值,如在语音信号识别、雷达杂波分析、波达方向估计、地震勘探信号处理、水声信号处理、系统辨识中非线性系统识别、物理光学中透镜干涉、流体力学的内波分析、太阳黑子活动周期研究等许多领域,发挥了重要作用。 Matlab是MathWorks公司于1982年推出的一套高性能的数值计算和可视化软件,人称矩 阵实验室,它集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体,构成了一个方便的、界面友好的用户环境,成为目前极为流行的工程数学分析软件。也为数字信号处理进行理论学习、工程设计分析提供了相当便捷的途径。本文的仿真实验中,全部在Matlab6.5环境下调试通过;随机序列由频率不同的正弦信号加高斯白噪声组成。 2经典功率谱估计 经典功率谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零,相当于数据加窗。经典功率谱估计方法分为:相关函数法(BT法)、周期图法以及两种改进的周期图估计法即平均周期图法和平滑平均周期图法,其中周期图法应用较多,具有代表性。 1.1相关函数法(BT法) 该方法先由序列x(n)估计出自相关函数R(n),然后对R(n)进行傅立叶变换,便得到x(n)的功率谱估计。当延迟与数据长度相比很小时,可以有良好的估计精度。 Matlab代码示例1: Fs=500;%采样频率 n=0:1/Fs:1;
浅析电力系统模型参数辨识 （贵哥提供） 一、现状分析 随着我国电力事业的迅猛发展, 超高压输电线路和大容量机组的相继投入, 对电力系统稳定计算、以及其安全性、经济性和电能质量提出了更高的要求。现代控制理论、计算机技术、现代应用数学等新理论、新方法在电力系统的应用，正在促使电力工业这一传统产业迅速走向高科技化。 我国大区域电网的互联使网络结构更复杂，对电力系统安全稳定分析提出了更高的要求，在线、实时、精确的辨识电力系统模型参数变得更加紧迫。由于电力系统模型的基础性、重要性，国外早在上世纪三十年代就开始了这方面的分析研究，[1,2]国内外的电力工作者在模型参数辨识方面做了大量的研究工作。[3]随后IEEE相继公布了有关四大参数的数学模型。1990年全国电网会议上的调查确定了模型参数的地位，促进了模型参数辨识的进一步发展，并提出了研究发电机、励磁、调速系统、负荷等元件的动态特性和理论模型，以及元件在极端运行环境下的动态特性和参数辨识的要求。但传统的测量手段，限制了在线实时辨识方法的实现。 同步相量测量技术的出现和WAMS系统的研究与应用，使实现在线实时的电力系统模型参数辨识成为可能。同步相量是以标准时间信号GPS作为同步的基准，通过对采样数据计算而得的相量。相量测量装置是进行同步相量测量和输出以及动态记录的装置。PMU的核心特征包括基于标准时钟信号的同步相量测量、失去标准时钟信号的授时能力、PMU与主站之间能够实时通信并遵循有关通信协议。 自1988年Virginia Tech研制出首个PMU装置以来，[4]PMU技术取得了长足发展，并在国内外得到了广泛应用。截至2006年底，在我国范围内，已有300多台P MU装置投入运行，并且可预计，在不久的将来PMU装置会遍布电力系统的各个主要电厂和变电站。这为基于PMU的各种应用提供了良好的条件。 二、系统辨识的概念 系统模型是实际系统本质的简化描述。[5]模型可分为物理模型和数学模型两大类。物理模型是根据相似原理构成的一种物理模拟，通过模型试验来研究系统的
《随机信号处理》课程设计
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华北水利水电大学 随机信号处理上机实验报告 学院：数学与信息科学 专业：信息与计算科学 姓名：孙志攀 学号：201216511 指导老师：蒋礼 日期：2015年10月20日
实验一 1、熟悉并练习使用下列Matlab 的函数，给出各个函数的功能说明和内部参数的意义，并给出至少一个使用例子和运行结果 1.rand() (1)Y = rand(n) 生成n×n 随机矩阵，其元素在（0，1）内 (2)Y = rand(m,n) 生成m×n 随机矩阵 (3)Y = rand([m n]) 生成m×n 随机矩阵 (4)Y = rand(m,n,p,…) 生成m×n×p×…随机矩阵或数组 (5)Y = rand([m n p…]) 生成m×n×p×…随机矩阵或数组 (6)Y = rand(size(A)) 生成与矩阵A 相同大小的随机矩阵 选择（3）作为例子，运行结果如下： 2.randn() 产生随机数数组或矩阵，其元素服从均值为0，方差为1的正态分布 （1）Y = randn 产生一个伪随机数 （2）Y = randn(n) 产生n×n的矩阵，其元素服从均值为0，方差为1的正态分布（3）Y = randn(m,n) 产生m×n的矩阵，其元素服从均值为0，方差为1的正态分布（4）Y= randn([m n]) 产生m×n的矩阵，其元素服从均值为0，方差为1的正态分布选择（3）作为例子，运行结果如下： 3．normrnd() 产生服从正态分布的随机数 （1）R = normrnd(mu,sigma) 产生服从均值为mu，标准差为sigma的随机数，mu和sigma 可以为向量、矩阵、或多维数组。 （2）R = normrnd(mu,sigma,v) 产生服从均值为mu 标准差为sigma的随机数，v是一个行向量。如果v是一个1×2的向量，则R为一个1行2列的矩阵。如果v是1×n的，那么R 是一个n维数组 （3）R = normrnd(mu,sigma,m,n) 产生服从均值为mu 标准差为sigma的随机数，标量m和n是R的行数和列数。
回归分析课程设计 （题目） （副标题） 指导教师 学院名称专业名称 设计提交日期年月
目录 1.课程设计简述-------------------------------------------------------2 2.多元线性回归-------------------------------------------------------3 3.违背基本假设的情况------------------------------------------------5 3.1 异方差性-------------------------------------------------------5 3.2 自相关性-------------------------------------------------------6 3.3 异常值检验-----------------------------------------------------6 4.自变量的选择与逐步回归--------------------------------------------7 4.1 所有子集回归---------------------------------------------------7 4.2 逐步回归--------------------------------------------------------8 5.多重共线性的情形及其处理-----------------------------------------10 5.1 多重共线性诊断------------------------------------------------10 5.2 消除多重共线性------------------------------------------------11 6.岭回归--------------------------------------------------------------12 7.主成分回归----------------------------------------------------------14 8.含定性变量的回归模型------------------------------------------------ 9.附录（程序代码）-----------------------------------------------------
参数法功率谱估计 一、信号的产生 （一）信号组成 在本实验中，需要事先产生待估计的信号，为了使实验结果较为明显，我产生了由两个不同频率的正弦信号（频率差相对较大）和加性高斯白噪声组成的信号。 （二）程序 N=1024;n=0:N-1; xn=2*cos(2*pi*0.2*n)+ cos(2*pi*0.213*n)+randn(1,1024); 这样就产生了加有白噪声的两个正弦信号 其波形如下
0100200300400500600 -8-6 -4 -2 2 4 6 8 10 (a) 两个正弦信号与白噪声叠加的时域波形 二、参数模型法功率谱估计 （一）算法原理简介 1．参数模型法是现代谱估计的主要内容，思路如下： ① 假定所研究的过程)(n x 是由一个白噪声序列)(n 激励一个因果稳定的可逆线性系统)(z H 的输出； ② 由已知的)(n x ，或其自相关函数)(m r x 估计)(z H 的参数； ③ 由)(z H 的参数来估计)(n x 的功率谱。 2．自回归模型，简称AR 模型，它是一个全极点的模型。“自回归”的含义是：该模型现在的输出是现在的输入和过去p 个输出的加权和。此模型可以表现
为以下三式：
① ∑=+--=p k k n u k n x a n x 1 )()()(； ② ∑=-+==p k k k z a z A z H 111)(1)(； ③ 212 1)(∑=-+=p k jwk k jw x e a e P σ。 3．AR 模型的正则方程建立了参数k a 和)(n x 的自相关函数的关系，公式如下： =)(m r x ∑=--p k x k k m r a 1)( 1≥m 时，=)(m r x 21)(σ+-∑=k r a p k x k 0=m 时。 （二）两种AR 模型阶次的算法 1．Yule-Walker 算法(自相关法) （1）算法主要思想 Yule-Walker 算法通过解Yule-Walker 方程获得AR 模型参数。从低阶开始递推，直到阶次p ，给出了在每一个阶次时的所有参数。公式如下： ① 11 11/])()()([--=-∑+--=m m k x x m m m r k m r k a k ρ； ② )()()(11k m a k k a k a m m m m -+=--；
基于最小二乘模型的Bayes 参数辨识方法 王晓侃1，冯冬青2 1 郑州大学电气工程学院，郑州（450001） 2 郑州大学信息控制研究所，郑州（450001） E-mail ：wxkbbg@https://www.doczj.com/doc/475465505.html, 摘 要：从辨识定义出发,首先介绍了Bayes 基本原理及其两种常用的方法,接着重点介绍了基于最小二乘模型的Bayes 参数辨识,最后以实例用MATLAB 进行仿真,得出理想的辨识结果。 关键词:辨识定义；Bayes 基本原理；Bayes 参数辨识 中国图书分类号：TP273+.1 文献标识码：A 0 概述 系统辨识是建模的一种方法。不同的学科领域，对应着不同的数学模型，从某种意义上讲，不同学科的发展过程就是建立它的数学模型的过程。建立数学模型有两种方法:即解析法和系统辨识。L. A. Zadehll 于1962年曾对”辨识”给出定义[1]:系统辨识是在对输入和输出观测的基础上，在指定的一类系统中，确定一个与被识别的系统等价的系统。一般系统输出y(n)通常用系统过去输出y(n-m)和现在输入u(n)及过去输入u(n-m)的函数描述 y(n)=f(y(n-1),y(n-2)，...，y(n-m y ), u(n),u(n-1),... ,u(n-m u ))=f(x(n),n) x(n)=[y(n-1),y(n-2),...y(n-m y ), u(n),u(n-1),...,u(n-m u )]’ 这里f(,)为未知函数关系，一般情况为泛函数，可以是线性函数或非线性函数，分别对应于线性或非线性系统，通常这个函数未知，但是局部输入输出数据可以测出，系统辨识的任务就是根据这部分信息寻找确定函数或确定系统来逼近这个未知函数。但实际上我们不可能找到一个与实际系统完全等价的模型。从实用的角度来看，系统辨识就是从一组模型中选择一个模型，按照某种准则，使之能最好地拟合由系统的输入输出观测数据体现出的实际系统的动态或静态特性。接下来本文就以最小二乘法为基础的Bayes 辨识方法为例进行分析介绍并加以仿真[4]。 1 Bayes 基本原理 Bayes 辨识方法的基本思想是把所要估计的参数看做随机变量,然后设法通过观测与该参数有关联的其他变量,以此来推断这个参数。 设μ是描述某一动态系统的模型，θ是模型μ的参数，它会反映在该动态系统的输入输出观测值中。如果系统的输出变量z(k)在参数θ及其历史纪录(1) k D ?条件下的概率密度函 数是已知的，记作p(z(k)｜θ，(1) k D ?)，其中(1) k D ?表示（k-1）时刻以前的输入输出数据集 合，那么根据Bayes 的观点参数θ的估计问题可以看成是把参数θ当作具有某种先验概率密 度p （θ，(1) k D ?）的随机变量，如果输入u(k)是确定的变量，则利用Bayes 公式，把参数θ 的后验概率密度函数表示成[2] p (θ，k D ）= p (θ｜z (k ),u(k ), (1) k D ?)=p (θ｜z (k ),(1) k D ?) = (k-1) (k-1) p(z(k)/,D )p(/D ) (k-1)(k-1)p(z(k)/,D )p(/D )d θθθθθ∞∫?∞ (1) 在式(1)中,参数θ的先验概率密度函数p(θ｜(1) k D ?)及数据的条件概率密度函数p(z(k)｜θ，
指导教师： 日期： 《数字信号处理》课程设计 题目：正余弦信号的谱分析 姓名： 院系：电子信息工程系 专业：通信工程 班级：通信091 学号： 指导教师： 2012年6 月
正余弦信号的谱分析 （电子信息工程学系 指导教师：留黎钦） 中文摘要：使用MATLAB 软件，通过编写程序，对正余弦信号进行傅里叶变换。用DFT 和FFT 实现对正余弦信号的 谱分析，并且分析DFT 长度对频谱的影响。 关键词：matlab ； 傅里叶变换； DFT; FFT; 一、概述 数字信号处理方法的一个重要用途是在离散时间域中确定一个连续时间信号的频谱，通常称为频谱分析，更具体的说，它也包括确定能量谱或功率谱。数字频谱分析可以应用在很广阔的领域。 二、设计目的 1.用DFT 实现对正余弦信号的谱分析； 2.观察DFT 长度和窗函数长度对频谱的影响； 3.对DFT 进行谱分析中的误差现象获得感性认识。 三、设计原理 1、谱分析原理 频谱分析方法是基于以下的观测：如果连续时间信号)(t g a 是频带有限的，那么对其离散时间等效信号)(n g 的DFT 进行谱分析。它的离散时间等效物g(n)应当能给出a g (t)频谱的一个很近似的估计两者之间只差一个带数因子T 。然而，在大多数情况下，)(t g a 是在∞<<∞-t 范围内定义的，因此)(n g 也就定义在∞<<∞-n 的无线范围内，要估计一个无限长信号的频谱是不可能的。实用的方法是：先让模拟连续信号)(t g a 通过一个抗混叠的模拟滤波器，然后把它采样成一个离散序列)(n g 。假定反混叠滤波器的设计是正确的，则混叠效应可以忽略，又假设A/D 变换器的字长足够长，则A/D 变换中的量化噪声也可忽略。 假定表征正余弦信号的基本参数，如振幅、频率和相位不随时间改变，则此信号的傅立叶变换 )(ωj e G 可以用计算它的DTFT 得到 ∑∞ -∞ =-= n n j j e n g e G ωω )()( （1） 实际上无限长序列)(n g 首先乘以一个长度为M 的窗函数)(n w ，使它变成一个长为M 的有限长序列， )()()(1n w n g n g =，对)(1n g 求出的DTFT )(1ωj e G 应该可以作为原连续模拟信号)(t g a 的频谱估计， 然后求出)(1ω j e G 在πω20≤≤区间等分为N 点的离散傅立叶变换DFT 。为保证足够的分辨率，DFT 的 长度N 选的比窗长度M 大，其方法是在截断了的序列后面补上N －M 个零。计算采用FFT 算法。 更详细地考察一下上面的方法。这样才能了解它的限制，并正确利用它所得出的结果。特别要分析加窗的效果，以及和由DFT 样本来估计DTFT 频率采样值的问题。 在讨论由)(1k G 来估计频谱)(1jw e G 和)(jw e G 时，需要重新探讨一下这些变换和它们所对应的频
参数法功率谱估计 一、 信号的产生 （一）信号组成 在本实验中，需要事先产生待估计的信号，为了使实验结果较为明显，我产生了由两个不同频率的正弦信号（频率差相对较大）和加性高斯白噪声组成的信号。 （二）程序 N=1024;n=0:N-1; xn=2*cos(2*pi*0.2*n)+ cos(2*pi*0.213*n)+randn(1,1024); 这样就产生了加有白噪声的两个正弦信号 其波形如下 0100200300400500600 -8 -6-4-202468 10(a) 两个正弦信号与白噪声叠加的时域波形
二、参数模型法功率谱估计 （一）算法原理简介 1．参数模型法是现代谱估计的主要内容，思路如下： ① 假定所研究的过程)(n x 是由一个白噪声序列)(n ω激励一个因果稳定的可逆线性系统)(z H 的输出； ② 由已知的)(n x ，或其自相关函数)(m r x 估计)(z H 的参数； ③ 由)(z H 的参数来估计)(n x 的功率谱。 2．自回归模型，简称AR 模型，它是一个全极点的模型。“自回归”的含义是：该模型现在的输出是现在的输入和过去p 个输出的加权和。此模型可以表现为以下三式： ① ∑=+--=p k k n u k n x a n x 1)()()(； ② ∑=-+== p k k k z a z A z H 111) (1 )(； ③ 2 12 1)(∑=-+= p k jwk k jw x e a e P σ。 3．AR 模型的正则方程建立了参数k a 和)(n x 的自相关函数的关系，公式如下： =)(m r x ∑=--p k x k k m r a 1 )( 1≥m 时，=)(m r x 21 )(σ+-∑=k r a p k x k 0=m 时。
￥ 课程设计报告? < 课程名称通信原理 设计题目 DSB与2ASK调制与解调 专业通信工程 班级 学号 姓名 完成日期 …
课程设计任务书 设计题目：DSB与2ASK调制与解调 设计内容与要求： 设计内容： 1.根据DSB的调制原理设计线路，进行仿真模拟调制DSB的调制和解调过程，并通过仿真软件观察信号以及的调制过程中信号波形和频谱的变化。 2. 根据ASK的调制原理设计线路，进行仿真模拟调制DSB的调制和解调过程，并通过仿真软件观察信号以及的调制过程中信号波形和频谱的变化。 3.在设计过程中分析信号变化的过程和思考仿真过程的设计原理。 ; 设计要求： 1.独立完成DSB与ASK的调制与解调； 2.运用仿真软件设计出DSB与ASK的调制线路 3.分析信号波形和频谱 指导教师：范文 2012年12月16日 课程设计评语 （ 成绩： 指导教师：_______________
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一．调制原理： 调制: 将各种数字基带信号转换成适于信道传输的数字调制信号(已调信号或频带信号)； 时域定义：调制就是用基带信号去控制载波信号的某个或几个参量的变化，将信息荷载在其上形成已调信号传输，而解调是调制的反过程，通过具体的方法从已调信号的参量变化中将恢复原始的基带信号。 频域定义：调制就是将基带信号的频谱搬移到信道通带中或者其中的某个频段上的过程，而解调是将信道中来的频带信号恢复为基带信号的反过程. 根据所控制的信号参量的不同，调制可分为： 调幅，使载波的幅度随着调制信号的大小变化而变化的调制方式。 调频，使载波的瞬时频率随着调制信号的大小而变，而幅度保持不变的调制方式。 调相，利用原始信号控制载波信号的相位。 调制的目的是把要传输的模拟信号或数字信号变换成适合信道传输的信号，这就意味着把基带信号（信源）转变为一个相对基带频率而言频率非常高的代通信号。该信号称为已调信号，而基带信号称为调制信号。调制可以通过使高频载波随信号幅度的变化而改变载波的幅度、相位或者频率来实现。调制过程用于通信系统的发端。在接收端需将已调信号还原成要传输的原始信号，也就是将基带信号从载波中提取出来以便预定的接受者（信宿）处理和理解的过程。该过程称为解调。
上海交通大学 硕士学位论文 Bouc-Wen滞回模型的参数辨识及其在电梯振动建模中的应用 姓名：周传勇 申请学位级别：硕士 专业：机械设计及理论 指导教师：李鸿光 20080201
Bouc-Wen滞回模型的参数辨识 及其在电梯振动建模中的应用 摘 要 电梯导靴是连接轿箱系统与导轨的装置，它能起到导向和隔振减振的作用。同时，在电梯的运行过程中它又将导轨由于制造或安装所造成的表面不平顺度传递给轿箱系统，从而引起轿箱系统的水平振动。国内外学者在电梯水平振动的建模和分析中，往往把导靴视为线性弹簧-阻尼元件来建模而忽略了非线性因素。事实上导靴与导轨之间存在非线性的迟滞摩擦力，本文通过实验的方法，采用Bouc-Wen 滞回模型来建立导靴-导轨非线性摩擦力模型。 Bouc-Wen滞回模型因其微分形式的非线性表达式而使得其参数辨识存在较大的困难，本文利用模型中部分参数的不敏感性，通过数学变换将非线性参数辨识问题转化为线性参数辨识问题，从而使得问题大大简化，参数辨识的效果也能满足要求。 基于以上导靴-导轨间摩擦力模型，本文进而建立了轿箱-导轨耦合水平振动动力学模型，该模型将轿箱系统等效为2自由度的平面运动刚体，将导靴等效为质量-弹簧-阻尼单元，同时考虑了导靴-导轨间的非线性摩擦力，以及导靴靴衬与导轨间接触的不连续性等。 在建立了轿箱-导轨耦合水平振动动力学模型后，利用Matlab/Simulink，建立了相应的仿真模型，开展了几种典型导轨不
平顺度激励（弯曲、失调和台阶）下的仿真分析。研究结果表明，这些分析对于电梯结构优化设计和动力学建模与分析有理论指导意义。 关键词：迟滞，参数辨识，非线性，动力学建模，系统仿真
通信原理课程设计
通信原理课程设计 专业 学号 学生姓名 指导教师
完成日期 1 月 5 日 一、课程设计目的 在本课程设计中使用的软件工具是MATLAB。目的是希望在以下几方面有所收获： 1.会MATLAB软件的最基本运用。 MATLAB是一种很实用的数学软件，它易学易用。MATLAB对于许多的通信仿真类问题来说是比较合适的。 2.了解计算机仿真的基本原理及方法，知道怎样经过仿真的方 法去研究通信问题。 3.加深对信号与系统和通信原理及其相关课程内容的理解。 二软件实现特点 与硬件实验相比，软件实验具如下一些特点： 1.软件实验具有广泛的实用性和极好的灵活性。在硬件实验中改变系统参数可能意味着要重做硬件，而在软件实验中这只是
该一两个数据，或者只是在屏幕上按几下鼠标。 2.软件实验更有助于我们较为全面地研究通信系统。有许多问题，经过硬件试验来研究可能非常困难，但在软件实验中却易于解决。 3.硬件实验的精确度取决于元器件及工艺水平，软件实现的精确度取决于CPU的运算速度或者说是程序的运算量。 4.软件实验开发周期短，成本低。 三基本要求 1掌握matlab的基本操作及了解基本的仿真方法。 2按以下要求编制仿真程序并调试运行 （1）基本信号的仿真 （2）数字基带传输码型的仿真 （3）调制解调系统设计及仿真 （4）数字基带系统设计及仿真 四课程设计内容 1、编程实现基本信号的仿真
（1）产生并绘出以下信号 单位阶跃序列 k= -30:30; uk=[zeros(1,30),ones(1,31)]; stem(k,uk) 图1 单位阶跃序列图 周期方波square() t=-2*pi/100:pi/1024:2*pi/100; y=square(2*pi*30*t,50); plot(t,y); ylim([-1.5 1.5])
第六章 ARMA 模型的参数估计—主要内容 §6.1 AR(p)模型的参数估计 问题: 已知p 的AR(p): 1 ,0p t j t j t j X a X t ε-==+≥∑,2~WN(0,)t εσ.(1.1) 由12{,,,}N x x x 去估计12(,,,)T p a a a =a 和2σ. 1. AR(p)模型的Yule-Walker 估计 自回归系数p a 由自协方差函数{}k γ惟一确定.
1111210 2212 0p p p p p p a a a γγγγγγγγγγγγ----?????? ?????? ??=??????????????? ??????? 白噪声的方差2σ由2 0T p p σγ=-γa 决定. 现获12{,, ,}N x x x , N p >, 则作 (1) ,1~t t N y x x t N =-=; (2) 1 1 ?,0,1, ,N k k j j k j y y k p N γ-+== =∑;
(3) 只要12,, ,N x x x 不全同, 则?p Γ正定, 得惟一 1???p p p -=a Γγ, 2100????????T T p p p p p σγγ-=-=-γa γΓγ. 实用中, Levinson 递推公式(无需求逆, 快): (1)2 001,1 10222 1,1,11,2 1,1,101,12,2,1,,1,1,1????????(1)???????...????????...????,1,k k k k k k k k k k k k k k k k k k k j k j k k k k j a a a a a a a a a a a a a j k k p σγγγσ σγγγγγγγγ-+-++++++-?=?=??=-??----?=?----? =-≤≤≤??
1 Matlab概述 1.1 简介 MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。 1.2 主要功能 MATLAB是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵运算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。 MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C，FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多，并且MATLAB 也吸收了像Maple等软件的优点，使MATLAB成为一个强大的数学软件。在新的版本中也加入了对C，TORTRAN，C++，JAVA的支持。可以直接调用,用户也可以将自己编写的实用程序导入到MATLAB函数库中方便自己以后调用。 1.3 应用 MATLAB 产品族可以用来进行以下各种工作： ●数值分析 ●数值和符号计算 ●工程与科学绘图 ●控制系统的设计与仿真 ●数字图像处理技术 ●数字信号处理技术 ●通讯系统设计与仿真
●财务与金融工程 MATLAB 的应用范围非常广，包括信号和图像处理、通讯、控制系统设计、测试和测量、财务建模和分析以及计算生物学等众多应用领域。附加的工具箱（单独提供的专用MATLAB 函数集）扩展了MATLAB 环境，以解决这些应用领域内特定类型的问题。 2 试题（第一套） 1．计算y1= 5 1)3.0sin(2+π和y2= 5 1)3.0cos(2+π； 2．画出衰减震荡曲线t e y t 3sin )3/(-=及其他的包络线)3/(0t e y -=,t 的取值范围是[0,4π]. 3．画出2 2 2 2sin y x y x z ++= 所表示的三维曲面。x,y 的取值范围是[-8，8]。 4．分析下面每条指令的功能并运行，观察执行结果。 (1) X=0:0.1:1; Y=X.*exp(-X); plot(X,Y),xlabel(‘x’), ylabel(‘y’),title(‘y=x*exp(-x)’); (2) A=zeros(2,5) A(:)=-4:5 L=abs(A)>3 islogical(L) X=A(L) (3) A=[1:4;5:8] pow2(A) (4) A=zeros(2,3) A(:)=1:6 A=A*(1+i) A1=A.’; B1=A’; (5) A=ones(1,2)