2018届高考数学(理)大一轮复习设计(教师用) 第三章 第三节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 含解析

1 7－（－2） ＝3. 1 1＋7³（－2） 答案 3
5.(2014· 新课标全国Ⅱ卷)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φ· cos(x ＋φ)的最大值为________. 解析 ∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ) ＝sin [(x＋φ)＋φ]－2sin φcos (x＋φ) ＝sin(x＋φ)cos φ＋cos (x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ) ＝sin(x＋φ)cos φ－cos (x＋φ)sin φ
1－cos 2α 2 ，sin2α＝
.
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， π . sin α± cos α＝ 2sinα± 4
4.函数 f(α)＝asin α＋bcos α(a，b 为常数)，可以化为 f(α)＝ a ＋b
第3讲 两角和与差及二倍角公式的三角函数
最新考纲
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；
2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式； 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切 公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的 内在联系； 4. 能运用上述公式进行简单的恒等变换 ( 包括导 出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要 求记忆).
答案 (1)cos α
3 (2) 2
规律方法 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则： 一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使 用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常 见的有 “ 切化弦 ” ；三看结构特征，找到变形的方向，常
2
1－sin 2α ＝ ＝ 2
8 1＋ 9 17 2 ＝18，故选 B.

2018版高考数学一轮总复习 第3章 三角函数、解三角形 3.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式模拟演练 理[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．已知△ABC 的内角A 满足sin2A ＝23，则sin A ＋cos A ＝( )A.153 B ．－153 C.52 D ．－53答案 A解析 因为sin2A ＝2sin A cos A >0，A 为△ABC 的内角，所以A 是锐角．所以sin A ＋cos A >0，又因为(sin A ＋cos A )2＝1＋sin2A ＝53，所以sin A ＋cos A ＝153.2．[2016·浙江舟山模拟]已知α是第二象限角，且sin(π＋α)＝－35，则tan2α的值为( )A.45 B ．－237 C.247 D ．－247 答案 D解析 sin α＝35，cos α＝－45，则tan α＝－34，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( )A ．－53 B ．－19 C.19 D.53答案 B解析 由诱导公式，得cos(π－2α)＝－cos2α. 因为cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×49＝19，所以cos(π－2α)＝－19. 4．[2016·山东高考]函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A.π2 B ．π C.3π2 D ．2π 答案 B解析 ∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π，故选B.5．已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝( )A.22B. 2 C ．－22D ．－ 2答案 A解析 ∵sin α＋2cos α＝3，∴(sin α＋2cos α)2＝3. ∴sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2α＝3， ∴sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3， ∴tan 2α＋22tan α＋2tan 2α＋1＝3， ∴2tan 2α－22tan α＋1＝0，∴tan α＝22，故选A. 6．[2016·全国卷Ⅲ]函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．答案π3解析 因为y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，所以函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移π3个单位长度得到．7．[2017·兰州模拟]计算：2sin50°－3sin20°cos20°＝________.答案 1 解析 原式＝＋－3sin20°cos20°＝2sin30°cos20°＋2cos30°sin20°－3sin20°cos20°＝cos20°＋3sin20°－3sin20°cos20°＝1.8．[2016·浙江高考]已知2cos 2x ＋sin2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________.答案2 1解析 ∵2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝2sin ( 2x ＋π4 )＋1，∴A ＝2，b ＝1.9．已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调区间；(3)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，求f (x )的最大值及最小值．解 (1)f (x )＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x ＝cos2x －sin2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由2k π－π≤2x ＋π4≤2k π，k ∈Z ，得k π－58π≤x ≤k π－π8，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡k π－58π，⎦⎥⎤k π－18π(k ∈Z )．由2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π，k ∈Z .得k π－18π≤x ≤k π＋38π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－18π，k π＋38π(k ∈Z )．(3)因为0≤x ≤π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4，－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，－2≤f (x )≤1. 所以当x ＝0时，f (x )有最大值为1， 当x ＝38π时，f (x )有最小值为－ 2.10．[2016·江苏高考]在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6的值．解 (1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. 由正弦定理知AC sin B ＝AB sin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210. 因此，cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620.[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．[2017·衡水模拟]若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin2θ＝378，则sin θ＝( )A.35B.45C.74D.34 答案 D解析 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，cos2θ<0，sin θ>0.因为sin2θ＝378，所以cos2θ＝－1－sin 22θ＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫3782＝－18. 又因为cos2θ＝1－2sin 2θ，所以sin θ＝1－cos2θ2＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－182＝34. 12．若tan α＝34，α是第三象限角，则1－tanα21＋tanα2＝( )A ．－12 B.12 C ．2 D ．－2答案 D解析 由tan α＝34，α是第三象限角，得sin α＝－35，cos α＝－45，所以1－tanα21＋tanα2＝cos α2－sinα2cos α2＋sinα2＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2＝1－sin αcos α＝85－45＝－2.13．[2016·全国卷Ⅰ]已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.答案 －43解析 因为θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－43.14．[2017·四川检测]已知函数f (x )＝cos x ·sin ( x ＋π3 )－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin2x －34(1＋cos2x )＋34 ＝14sin2x －34cos2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π6，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，即函数f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，14.所以函数f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.。

第ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ节
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
cos αsin β sin(α± β)＝ sin αcos β± sin αsin β cos(α∓β)＝ cos αcos β±
tan α± tan β tan(α± β)＝ 1∓tan αtan β
；
；
.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝ 2sin αcos α ；
2
π 1 2 2 2 cos α－ sin α，所以 cos α＋4 ＝ (cos 2 2 2
1 1 1 α－sin α) ＝ (1－2sin αcos α)＝ (1－sin 2α)＝ . 2 2 6 1 答案： 6
π 3 1.已知sin α＝ ，α∈2，π，则 5
tan(α＋β)的值为
________．
答案：1
π 2 2 2．已知 sin 2α＝ ，则 cos α＋4 ＝________. 3 π 2 解析：法一：cos α＋ 4
π 1 1 1 ＝ 1＋cos 2α＋2 ＝ (1－sin 2α)＝ . 2 6 2 π 法二：cosα＋4 ＝
＝________. π 2sinα＋4
cos 2α
cos2α－sin2α 解析： ＝ ＝cos α－sin α， π 2 2 2sinα＋4 2 sin α＋ cos α 2 2 cos 2α
π 3 4 7 ∵sin α＝ ，α∈ 2，π ，∴cos α＝－ .∴原式＝－ . 5 5 5 7 答案：－ 5
α ＝－3. α
答案：－3
1 π 3．已知函数 f(x)＝2sin 3x－6，x∈R. 5π (1)求 f 4 的值；

第三节 两角和与差及二倍角三角函数公式1．计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.32 解析：原式＝cos 45°＝22.故选B. 答案：B2．设tan (α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值是( )A.318 B.322 C.1318 D.1322解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝322. 答案：B3．求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝( )A ．－32 B ．－12C.12D.32 答案：D 4．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( ) A.15 B.14 C.13 D.12解析：由tan θ＋1tan θ＝4得，sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，即112sin 2θ＝4，∴sin 2θ＝12.故选D.答案：D5．cos π9cos 2π9cos 4π9＝( )A.13B.14C.16D.18 解析：cosπ9cos 2π9cos 4π9＝12sinπ9·2sinπ9cos π9cos 2π9·cos 4π9＝12sinπ9·sin2π9cos 2π9cos 4π9＝14sin π9sin 4π9cos 4π9＝18sin π9sin 8π9＝18sinπ9sin π9＝18.故选D.答案：D6. 若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α等于( ) A ．－79 B ．－13C.13D.79 答案：C7．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2θ等于( ) A ．－13 B.13C ．－79 D.79解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝13，∴cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝1－2×19＝79.又cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝－cos[π－(π3－2θ)]＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2θ， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2θ＝－79.故选C.答案：C8．函数y ＝sin 2x1＋cos 2x的最小正周期为________．解析：y ＝sin 2x 1＋cos 2x ＝2sin x cos x2cos 2x ＝tan x ，所以最小正周期T ＝π. 答案：π9．若角α的终边经过点P(1，－2)，则tan 2α 的值为______． 解析：∵tan α＝－21＝－2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝43. 答案：4310．已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin 2α＝________．解析：2sin 2α＋1sin 2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α＝3×22＋12×2＝134.答案：13411．若sin (π－α)＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin 2α－cos 2α2的值等于________．解析：∵sin(π－α)＝45，∴sin α＝45.又∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝35.∴sin 2α－cos 2α2＝2 sin αcos α－1＋cos α2＝2×45×35－1＋352＝425.答案：42512．已知向量a ＝(cos 2x ，1)，b ＝(1，sin 2x)，x ∈R ，函数f(x)＝a·b. (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π8＝325，求cos 2α的值．解析：(1)f (x )＝a·b ＝cos 2x ＋sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2 ＝2cos α＝325 ，则cos α＝35，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725.13．在△ABC 中，已知cos A ＝17，cos(A －B)＝1314，且B ＜A.(1)求角B 和sin C 的值；(2)若△ABC 的边AB ＝5，求边AC 的长． 解析：(1)由cos A ＝17＞0，cos(A －B )＝1314＞0，得0＜A ＜π2且0＜A －B ＜π2.可得sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437，sin(A －B )＝1－cos 2（A －B ）＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314， ∴cos B ＝cos[A －(A －B )]＝cos A cos (A －B )＋sin A ·sin (A －B ) ＝17×1314＋437×3314＝12， ∵0＜B ＜π，且B <A ， ∴B ＝π3.∵在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )， ∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝437×12＋17×32＝5314. (2)在△ABC 中，由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，∴AC ＝AB ·sin Bsin C ＝5×325314＝7.。

1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的. ( (2)两角和与差的正切公式中的角α,β是任意的. ( ) (3)cos 80°cos 20°-sin 80°sin 20°=cos(80°-20°)=cos
)
60°=2. (
1-tan������
-11-
π + 6
考点1
考点2
考点3
解题心得三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立.使用中 要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系.
-12-
考点1
考点2
考点3
对点训练 1(1)已知 sin
5 2
3 π α=5,α∈ 2 ,π π
5
cos2������ ,则 π √2sin ������+ 4
1
)
������ 2 π + ������ 4 ������ 2
(4)cos θ=2cos2 -1=1-2sin2 . ( (5)1+tan������=tan .( )
)
关闭
(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×
答案
-5知识梳理 双基自测
1
2
3
4
5
2.sin 20°sin 80°-cos 160°cos 80°=(
=cos α-sin
1 α=-2.
7 α=- . 5
(2)∵sin 2α=2sin αcos α=-sin α,∴cos 又 α∈
π √3 , π , ∴ sin α = ,∴tan α=-√3. 2 2 7 ∴tan 2α= 2tan������ = -2√3 = √3. (1)- (2)√3 1-tan2 ������ 1-(-√3)2 5

法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)
原式＝1－c2os
2α 1－cos ·2
2β＋1＋c2os
2α 1＋cos ·2
2β－12cos
2α·cos
2β
＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1来自cos 2α·cos 2β＋cos
2α＋cos 2β)－12·cos 2α·cos 2β＝12.
＝ccooss22θθ－＋ssiinn22θθ
＝11－＋ttaann22θθ＝45.故选 D.
法二：由
tan
θ＝－13，可得
sin
θ＝±
1， 10
因而 cos 2θ＝1－2sin2θ＝45.
答案：D
第24页
返回导航
数学
第二十四页，编辑于星期六：二十二点 十四分。
数学
(2)已知 tanα＋π4＝12，且－2π＜α＜0，则2sicno2sα＋α－siπ4n2α等于(
第22页
返回导航
第二十二页，编辑于星期六：二十二点 十四分。
数学
[例 2] (1)(2016·高考全国丙卷)若 tan θ＝－13，则 cos 2θ＝(
)
A．－45
B．－15
1
4
C.5
D.5
第23页
返回导航
第二十三页，编辑于星期六：二十二点 十四分。
解析：法一：cos 2θ＝cos2θ－sin2θ
＝sin2β＋cos2β－12＝1－12＝12.
第14页
返回导航
第十四页，编辑于星期六：二十二点 十四分。
数学
法二：(从“名”入手，异名化同名)
原
式
＝
sin2α·sin2β

3sin 17°＝12.
②解：因为 tan 60°＝tan(25°＋35°)＝1t－ant2an5°2＋5°ttaann3355°°＝ 3，
则原式＝ 3(1－tan 25°tan 35°)＋ 3tan 25°·tan 35°＝ 3.
考向 2 公式的变形
[例
3](1)存在角
θ，已知
(1＋sin θ∈(0，π)，则
答案：12
【题后反思】公式的一些常用变形
①1±sin α＝sin
α 2±cos
α22；
②sin 2α＝s2ins2inα＋αccoossα2α＝ta2nt2aαn＋α 1；
③cos2α＝ccooss22αα＋－ssiinn22αα＝11＋－ttaann22αα；
④tanα±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β). ⑤sin αcos β＝21[sin (α＋β)＋sin (α－β)]； sin αsin β＝12[cos (α－β)－cos (α＋β)]； cos αcos β＝12[cos (α－β)＋cos (α＋β)]；
【变式训练】
1.(2022 年全国Ⅱ卷)若 sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2 2cos α＋π4sin β，
Байду номын сангаас则( )
A.tan(α－β)＝1
B.tan(α＋β)＝1
C.tan(α－β)＝－1
D.tan(α＋β)＝－1
解析：由题意可得，sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β
答案：B
(2)(2023 年宿迁市校级月考)计算下列各式的值：
①2sin
47°－ 2cos
3sin 17°

解析：sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10 °＋cos20°sin10°＝sin30°＝12.
答案：D
2．(2015·重庆卷)若 tanα＝13，tan(α＋β)＝12，则 tanβ
＝( )
1
1
A.7
B.6
5
5
C.7
D.6
解 析 ： tan β ＝ tan[(α ＋ β) － α] ＝ 1＋ttaann（（αα＋＋β）β－）t·anαtanα＝1＋12－12×13 13＝17，故选 A.
主干知识·整合 热点命题·突破
课时作业
主干知识·整合 01
课前热身 稳固根基
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1．基本公式 sin(α±β)＝________， cos(α±β)＝________， tan(α±β)＝________．
2．公式变形
(1)tanα±tanβ＝________． (2)函数 f(α)＝asinα＋bcosα(a，b 为常数)，可以化为 f(α) ＝ a2＋b2 sin(α ＋ φ) 其中tanφ＝ba 或 f(α) ＝ a2＋b2·cos(α－φ)其中tanφ＝ab.
＝
ห้องสมุดไป่ตู้
22×－25 5＋
22×
55＝－
10 10 .
(2)由(1)知 sin2α＝2sinαcosα＝2× 55×－255＝－
45，cos2α＝1－2sin2α＝1－2× 552＝35， 所以 cos5π 6 －2α＝cos5π 6 cos2α＋sin5π 6 sin2α
＝－ 23×35＋12×－45＝－4＋130
答案：A
3．tan20°＋tan40°＋ 3tan20°tan40°＝________． 解析：∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝t1a－n2t0a°n2＋0°ttaann4400°°， ∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°) ＝ 3－ 3tan20°tan40°， ∴原式＝ 3－ 3tan20°tan40°＋ 3tan20°tan40°＝ 3.

【解析】
tan α＝tan[(α－β)＋β]＝1t－antaαn－αβ－＋βt·atannββ＝1＋12－12×17 17＝13>0.
∴0<α<π2，又∵tan 2α＝1－2tatnanα2α＝12－×13132＝34>0， ∴0<2α<π2.∴tan(2α－β)＝1t＋ant2anα－2αttaannββ＝1－43＋43×17 17＝1，
归纳升华
三角函数求值有三类 1．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，
解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． 2．“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，
但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的 关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
cos(α∓β)＝___c_o_s_α_c_o_s__β_±__s_in__α_s_in__β；
tan α±tan β
tan(α±β)＝_____1_∓_ta_n_α__ta_n_β________.
知识梳理 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝___2_s_in__α_c_o_s_α_
)
A．－34
B．－32
3 C.4
3 D.2
解析：∵sinα＝35，且 α∈π2，π，∴cosα＝－45， scions22αα＝2sicnoαsc2αosα＝2csoisnαα＝2－×5435＝－32。
答案：B
跟踪训练
2.
cos2α－sin2α
1
2tanπ4－αcos2π4－α＝ __________。
所以 cos2α＝cos(α＋β＋α－β)＝cos(α＋β)cos(α－β)－ sin(α＋β)·sin(α－β)＝153×35－1123×－45＝6635。

4
＝3， 5
所以 sin
π 4＋α
＝－ 45， tan
π 4 ＋α
＝－
4 3.
cos α＝ cos
π＋α 4
－π 4
＝－
2， sin 10
α ＝－
72 10
，sin
2α＝
7 25.
所以
sin
2α ＋ 2sin2α 1－ tan α
＝－
28 75.
tan（ α － β）＋ tan β (3)∵ tan α ＝ tan[( α － β )＋β ]＝ 1－ tan（ α －β ） tan β
π α＋ 6
＝
3 5.
π π 3 3－ 4
所以 cos α ＝cos
α＋ 6
－ 6
＝
10
.
(3)∵ cos
α
＝
17，
0<
π α< 2
，
∴sin α＝ 4 3， tan α ＝ 4 3， 7
∴tan
2α＝
2tan α 1－ tan2α
＝
2×4 3＝－ 1－ 48
83 .
47
π
π
∵0<β <α< 2 ，∴ 0< α－ β < 2 ，
【变式探究】 (1) 2＋ 2cos 8＋ 2 1－ sin 8的化简结果是 ________.
2cos4α
－
2cos2α
＋
1 2
(2)化简： 2tan
π －α
sin2
π ＋α
＝ ________.
4
4
解析 (1) 原式＝ 4cos24＋ 2 （ sin 4－ cos 4） 2
＝2|cos 4|＋ 2|sin 4－ cos 4|，

（全国通用）2018高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第5节两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时分层训练文新人教A版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用）2018高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第5节两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时分层训练文新人教A版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（全国通用）2018高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第5节两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时分层训练文新人教A版的全部内容。

课时分层训练(二十一)两角和与差的正弦、余弦和正切公式A组基础达标（建议用时:30分钟)一、选择题1．已知sin 2α＝错误!，则cos2错误!等于( ）【导学号：31222125】A。

错误!B。

错误!C。

错误!D。

错误!A ［因为cos2错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!,故选A。

］2.错误!等于( ）A．－错误! B.错误!C。

错误!D．1C ［原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.]3．(2017·杭州二次质检）函数f（x）＝3sin 错误!cos 错误!＋4cos2错误!（x∈R)的最大值等于（)A．5 B。

错误!C。

错误!D．2B [由题意知f(x）＝错误!sin x＋4×错误!＝错误!sin x＋2cos x＋2≤错误!＋2＝错误!，故选B.］4．(2016·福建师大附中月考）若sin错误!＝错误!，则cos错误!＝（）A．－错误!B．－错误!C。

错误! D.错误!A ［cos错误!＝cos错误!＝－cos错误!＝－错误!＝－错误!＝－错误!。

探究 3 在解决三角函数求值问题时，一定要注意已知角与所
求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，如：
α＝(α＋β)－α＝β－(β－α)；
α＝12[(α＋β)＋ (α－β)]；
1 α＝2[(β＋α)－ (β－α)]等．
思考题 3
已知
cosα＝17，cos(α－β)＝1134，且
π 0<β<α< 2 ，
课本导读
课前自助餐
1．两角和的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ. (2)cos(α ＋β )＝ cosα cosβ － sinα sinβ .
tanα＋tanβ (3)tan(α ＋β )＝1－ tanα tanβ. 2．两角差的正弦、余弦、正切公式 (1)sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)． (2)cosα cosβ＋ sinα sinβ＝ cos(α－β )．
π
π
2π
π sinx ＝ (cos 3 ＋ 2cos 3 － 3 sin 3 )sinx ＋
π
π
2π
1
(sin 3 － 2sin 3 － 3 cos 3 )cosx ＝ (2 ＋ 1 － 3 ×
3
3
1
2 )sinx＋( 2 － 3＋ 3×2)cosx＝0.
sin[（α＋β）＋α]－2cos（α＋β）sinα (2)原式＝
【解析】 ①原式＝ cos（15°－8°）－sin15°sin8°
sin15°cos8°
tan45°－tan30°
＝cos15°cos8°＝tan15°＝tan(45°－30°)＝1＋tan45°tan30°
3 1－ 3 3－1 ＝ ＝ ＝2－ 3

第五节 三角恒等变换[考纲传真] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos _αsin_β； (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β； (3)t a n(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)t a n 2α＝2tan α1－tan 2α. [常用结论]1．公式T (α±β)的变形：(1)t a n α＋t a n β＝t a n(α＋β)(1－t a n αt a n β)； (2)t a n α－t a n β＝t a n(α－β)(1＋t a n αt a n β)． 2．公式C 2α的变形： (1)sin 2α＝12(1－cos 2α)；(2)cos 2α＝12(1＋cos 2α)．3．公式逆用：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4±α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4∓α；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3±α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6∓α；(3)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6±α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3∓α.4．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中t a n α＝b a)，特别的sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4； sin α±3cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π3； 3sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π6. [基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 的大小关系不确定．( ) (3)公式t a n(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为t a n α＋t a n β＝t a n(α＋β)(1－t a n αt a n β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)函数y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值为7. ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32B.32C ．－12 D.12D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.]3．(教材改编)已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值为( ) A.210 B ．－210C.7210 D ．－7210A [由cos α＝－35，α是第三象限角知sin α＝－45，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos π4cos α－sin π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝210.故选A.] 4．已知sin(α－π)＝35，则cos 2α＝________.725 [由sin(α－π)＝35，得sin α＝－35，则 cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝725.]5．(教材改编)11－tan 15°－11＋tan 15°＝________.33 [11－tan 15°－11＋tan 15°＝1＋tan 15°－1－tan 15°1－tan 15°1＋tan 15° ＝2tan 15°1－tan 215°＝t a n 30°＝33. ]三角函数式的化简1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋α，则t a n α＝( )A ．－1B ．0C.12D ．1A [因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α， 所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α.所以1－32cos α＝3－12sin α.所以t a n α＝sin αcos α＝－1，故选A.]2．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( ) A ．－12B.12C.32 D ．－32B [sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin70°sin 20°cos 310° ＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.]3．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝( ) A.23B.43C.34D.32D [由sin θ－cos θ＝－144得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以0＜π4－θ＜π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34.2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.]4．已知0＜θ＜π，则1＋sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ＝________.－cos θ [原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ24cos2θ2＝cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2·cos θ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2.因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以cos θ2＞0.所以原式＝－cos θ.][规律方法]1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．三角函数式的求值►考法1 【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A.89B.79C ．－79D ．－89(2)(2019·某某模拟)已知角α是锐角，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3等于( )A.26＋16 B.3－28 C.3＋28D.23－16(3)若α，β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则t a n(α－β)＝________.(1)B (2)A (3)－73 [(1)cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×132＝79.故选B.(2)由0＜α＜π2得－π6＜α－π6＜π3又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝223×32＋13×12＝26＋16，故选A. (3)因为sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，两式平方相加得：2－2cos αcosβ－2sin αsin β＝12，即2－2cos(α－β)＝12，所以cos(α－β)＝34，因为α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12＜0，所以0＜α＜β＜π2.所以－π2＜α－β＜0.所以sin(α－β)＝－1－cos2α－β＝－74. 所以t a n(α－β)＝sin α－βcos α－β＝－73.]►考法2 给角求值【例2】 (1)t a n 20°＋t a n 40°＋3t a n 20°t a n 40°＝________. (2)sin 50°(1＋3t a n 10°)＝________.(1)3(2)1[(1)由t a n(20°＋40°)＝tan 20°＋t an 40°1－tan 20°tan 40°＝3得t a n 20°＋t a n 40°＝3(1－t a n 20°t a n 40°)∴原式＝3(1－t a n 20°t a n 40°)＋3t a n 20°t a n 40°＝ 3. (2)sin 50°(1＋3t a n 10°) ＝sin 50°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10°＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.]►考法3 给值求角 【例3】 (1)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4B.9π4 C.5π4或7π4D.5π4或9π4(2)已知α，β∈(0，π)，且t a n(α－β)＝12，t a n β＝－17，则2α－β的值为________．(1)A (2)－3π4[(1)∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π.又sin 2α＝55＞0，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π， ∴cos 2α＝－255且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2. 又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4. ∵sin(β－α)＝1010＞0， ∴cos(β－α)＝－31010且β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π， ∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22. ∵2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，∴α＋β∈[]π，2π，∴α＋β＝7π4，故选A.(2)因为t a n α＝t a n[(α－β)＋β] ＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13＞0，所以0＜α＜π2，又因为t a n 2α＝2tan α1－tan 2α＝＝34＞0，所以0＜2α＜π2， 所以t a n(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.因为t a n β＝－17＜0，所以π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－3π4.][规律方法] 三角函数求值的三种情况1“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解.2“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.3“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的X 围，最后确定角.(1)若0＜α＜π，－π＜β＜0，cos ⎛⎪⎫π＋α＝1，cos ⎛⎪⎫π－β＝3，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( ) A.539B ．－69C.33D ．－33(2)1－cos 210°cos 80°1－cos 20°＝________.(3)(2019·某某模拟)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β值是________．(1)A (2)22 (3)π4 [(1)由0＜α＜π2得π4＜π4＋α＜3π4，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，由－π2＜β＜0得π4＜π4－β2＜π2.又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos π4＋αcos π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539.(2)原式＝sin 210°cos 80°2sin 210°＝sin 210°2sin 210°＝22. (3)∵α，β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. ∴β＝π4.]三角恒等变换的综合应用【例4】 (2019·某某模拟)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．[解] (1)由已知得f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∵－π3≤x ≤π4，∴－5π6≤2x －π6≤π3，∴当2x －π6＝－π2，即x ＝－π6时，f (x )有最小值，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，当2x －π6＝π3，即x ＝π4时，f (x )有最大值，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34. 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. [规律方法] 三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用,解决此类问题可先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y ＝A sin ωx ＋φ＋t 或余弦型函数y ＝A cos ωx ＋φ＋t 的形式，再利用三角函数的图象与性质求解.(2019·某某模拟)已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若－π2＜α＜0，f (α)＝56，求sin 2α的值．[解] (1)∵函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12， ∴函数f (x )的最小正周期为2π2＝π. (2)若－π2＜α＜0， 则2α＋π6∈⎝⎛⎭⎪⎫－5π6，π6， ∴f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＋12＝56， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝13， ∴2α＋π6∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6 ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝223， ∴sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6sin π6＝13×32－223×12＝3－226.1．(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( ) A.65B ．1 C.35 D.15A [法一：∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x＝35sin x ＋335cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3， ∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值65. 故选A.法二：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝π2， ∴f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤65. ∴f (x )m ax ＝65，故选A.] 2．(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725 B.15C ．－15D ．－725 D [因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35， 所以sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725.] 3．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( ) A.15 B.55 C.255 D ．1B[由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos2α－1＝23，所以cos α＝56，sin α＝±16，得|t a n α|＝55.由题意知|t a n α|＝a－b1－2，所以|a－b|＝55.] 4．(2018·全国卷Ⅱ)已知t a nα－5π4＝15，则t a n α＝________.32[法一：因为t a n α－5π4＝15，所以tan α－tan5π41＋tan αtan5π4＝15，即tan α－11＋tan α＝15，解得t a n α＝32.法二：因为t a nα－5π4＝15，所以t a n α＝t a nα－5π4＋5π4＝tanα－5π4＋tan5π41－tanα－5π4tan5π4＝15＋11－15×1＝32.]5．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为________．5[f(x)＝2cos x＋sin x＝5⎝⎛⎭⎪⎫255cos x＋55sin x，设sin α＝255，cos α＝55，则f(x)＝5sin(x＋α)，∴函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为 5.]自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。

(2)已知 sinα＝35，a∈(π2，π)，tan(π－β)＝12，则 tan(α－β)的值为
A．－121
B．121
C．121
D．－121
( C) ( A)
(3)(2017·山东)已知 cosx＝34，则 cos2x＝
A．－14
B．14
C．－18
D．18
(4)(2017·课标全国Ⅲ)已知 sinα－cosα＝43，则 sin2α＝
名师讲坛
辅助角公式的应用
asinα＋bcosα＝
a2＋b2(sinα·
a2a＋b2＋cosα·
b a2＋b2)
不妨记 cosφ＝ a2a＋b2，sinφ＝ a2b＋b2，
则 asinα＋bcosα＝ a2＋b2(sinαcosφ＋cosαsinφ)＝ a2＋b2sin(α＋φ).
应用 1 求值
(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导 公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
〔变式训练 2〕
(1)(2016·全国卷Ⅱ)若 cos(π4－α)＝35，则 sin2α＝
( D)
A．275
B．15
C．－15
D．－275
(2)(2018·山西康杰中学月考)若ssiinnαα＋ －ccoossαα＝3，tan(α－β)＝2，则 tan(β－2α)
(2)(文)∵sin2α＝23，∴cos2(α＋π4)＝1＋cos22α＋π4＝1－s2in2α＝1－2 23＝16，故选 A．
(理)原式＝1－cos22α－π6＋1－cos22α＋π6－1－c2os2α ＝1－cos2α－π3＋c2os2α－cos2α＋π3 ＝1－cos2αcosπ3－sin2αsinπ3＋c2os2α－cos2αcosπ3＋sin2αsinπ3＝12.

2018年高考数学一轮复习精品教学案4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公（新课标人教版，教师版）【考纲解读】1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.三角函数是历年来高考重点内容之一,两角和与差的正弦、余弦、正切公式的考查，经常以选择题与填空题的形式出现,还常在解答题中与三角变换结合起来考查，在考查三角函数知识的同时，又考查函数思想和分类讨论思想解决问题的能力.2.2018年的高考将会继续保持稳定,坚持考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】1.两角差的余弦公式为----------------------.这个公式对任意角α、β都成立.2.两角和的余弦公式为----------------------.这个公式对任意角α、β都成立.3.两角差的正弦公式为----------------------.这个公式对任意角α、β都成立.4.两角和的正弦公式为----------------------.这个公式对任意角α、β都成立.5.公式()T αβ-是------------------------------.它成立的条件是-----------------------------.6.公式()T αβ+是------------------------------.它成立的条件是-----------------------------.7.注意凑角的技巧: α=(α+β)-β;2α=(α+β)+()αβ-; 2α+β=(α+β)+α等等.8.要注意公式的变形应用,如:(1)tan α±tan β=tan(α±β)·(1tan tan )αβ (2)tan α·tan β=1-tan tan tan()αβαβ++=tan tan tan()αβαβ---1.【例题精析】考点一 给值求值例 1.(2018年高考浙江卷理科6)若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()42πβ-=cos()2βα+=（ ）（A （B ）（C （D ）1.(2018年高考重庆卷理科5)设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为（ ）（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3例2. 已知,αβ都是锐角,且sin α=,sin β=,求αβ+. 【答案】4π2.已知cos α=17,cos(α-β)=1314,且0<β<α<2π.求角β.【易错专区】问题：求角时,没有适当缩小角的范围而导致错误例.已知,(,)22ππαβ∈-,且tan ,tan αβ是方程240x ++=的两个根,求αβ+的值.又因为tan 0,tan 0αβ<<,所以(,0)αβπ+∈-,所以αβ+=23π-.【名师点睛】本小题主要考查了给值求角,解答好本类问题的关键是角范围的判断，本题容易得角的范围是(,)αβππ+∈-，而产生αβ+=23π-或3π的错误解法. 【课时作业】1.（2018年高考福建卷理科1）cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A.122【答案】A【解析】原式=1sin (43-13)=sin 30=2，故选A. 2．(2018年高考宁夏卷文科10)若sin a = -45，α是第三象限的角，则sin()4a π+=（ ）（A ）（B （C ）（D3. (2018年高考辽宁卷理科7)设sin1+=43πθ（），则sin 2θ=（ ） (A) 79- (B) 19- (C) 19 (D)79【答案】A【解析】217sin 2cos 22sin 121.2499ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4. (2018年高考湖南卷理科6)函数f （x ）=sinx-cos(x+6π)的值域为（ ）A ．2 , 2] 【答案】B【解析】f （x ）=sinx-cos(x+6π)1sin sin )226x x x x π=-+=-，[]sin()1,16x π-∈-，()f x ∴值域为 5.(2018年高考江苏卷7)已知,2)4tan(=+πx 则xx2tan tan 的值为__________6．(2018年高考广东卷文科16)已知函数()12sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈．（1）求()0f 的值； （2）设10,0,,3,2213f ππαβα⎡⎤⎛⎫∈+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()632,5f βπ+=求()sin αβ+的值．【考题回放】1.（2018年高考福建卷文科2）计算12sin 22.5-的结果等于( )A.12【答案】B【解析】原式=2cos 45=2故选B.2.（2018年高考辽宁卷文科6）已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则s i n 2α=( )(A) -1 (B) (D) 1 【答案】A【解析】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα--=∴=-故选A.3.(2018年高考重庆卷文科5)sin 47sin17cos30cos17-= ( )（A ）2-（B ）12-（C ）12 （D ）24.(2018年高考全国卷文科4)已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α= ( ) （A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）25245. (2018年高考江西卷文科4)若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan2α= ( )A. -34B. 34C. -43D. 436．(2018年高考上海卷理科8)函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为 .【答案】247. （2018年高考江苏卷11）设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(πα+的值为 ．8. （2018年高考四川卷文科18)已知函数73()sin cos ,44f x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=++-∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值； （Ⅱ）已知()()44cos ,cos 55βαβα-=+=-，02παβ<<≤，求证：[]2()20f β-=.。