2018届高考数学(理)大一轮复习设计(教师用) 第三章 第三节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 含解析
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2018版高考数学一轮总复习 第3章 三角函数、解三角形 3.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式模拟演练 理[A 级 基础达标](时间:40分钟)1.已知△ABC 的内角A 满足sin2A =23,则sin A +cos A =( )A.153 B .-153 C.52 D .-53答案 A解析 因为sin2A =2sin A cos A >0,A 为△ABC 的内角,所以A 是锐角.所以sin A +cos A >0,又因为(sin A +cos A )2=1+sin2A =53,所以sin A +cos A =153.2.[2016·浙江舟山模拟]已知α是第二象限角,且sin(π+α)=-35,则tan2α的值为( )A.45 B .-237 C.247 D .-247 答案 D解析 sin α=35,cos α=-45,则tan α=-34,所以tan2α=2tan α1-tan 2α=-247. 3.已知sin α=23,则cos(π-2α)=( )A .-53 B .-19 C.19 D.53答案 B解析 由诱导公式,得cos(π-2α)=-cos2α. 因为cos2α=1-2sin 2α=1-2×49=19,所以cos(π-2α)=-19. 4.[2016·山东高考]函数f (x )=(3sin x +cos x )(3cos x -sin x )的最小正周期是( )A.π2 B .π C.3π2 D .2π 答案 B解析 ∵f (x )=(3sin x +cos x )(3cos x -sin x )=4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x +π6=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3,∴T =2π2=π,故选B.5.已知sin α+2cos α=3,则tan α=( )A.22B. 2 C .-22D .- 2答案 A解析 ∵sin α+2cos α=3,∴(sin α+2cos α)2=3. ∴sin 2α+22sin αcos α+2cos 2α=3, ∴sin 2α+22sin αcos α+2cos 2αsin 2α+cos 2α=3, ∴tan 2α+22tan α+2tan 2α+1=3, ∴2tan 2α-22tan α+1=0,∴tan α=22,故选A. 6.[2016·全国卷Ⅲ]函数y =sin x -3cos x 的图象可由函数y =2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到.答案π3解析 因为y =sin x -3cos x =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x -π3,所以函数y =sin x -3cos x 的图象可由函数y =2sin x 的图象至少向右平移π3个单位长度得到.7.[2017·兰州模拟]计算:2sin50°-3sin20°cos20°=________.答案 1 解析 原式=+-3sin20°cos20°=2sin30°cos20°+2cos30°sin20°-3sin20°cos20°=cos20°+3sin20°-3sin20°cos20°=1.8.[2016·浙江高考]已知2cos 2x +sin2x =A sin(ωx +φ)+b (A >0),则A =________,b =________.答案2 1解析 ∵2cos 2x +sin2x =1+cos2x +sin2x =2sin ( 2x +π4 )+1,∴A =2,b =1.9.已知函数f (x )=cos 4x -2sin x cos x -sin 4x . (1)求f (x )的最小正周期; (2)求f (x )的单调区间;(3)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,求f (x )的最大值及最小值.解 (1)f (x )=(cos 2x -sin 2x )(cos 2x +sin 2x )-sin2x =cos2x -sin2x =2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4,所以最小正周期T =2π2=π. (2)由2k π-π≤2x +π4≤2k π,k ∈Z ,得k π-58π≤x ≤k π-π8,k ∈Z ,所以函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡k π-58π,⎦⎥⎤k π-18π(k ∈Z ).由2k π≤2x +π4≤2k π+π,k ∈Z .得k π-18π≤x ≤k π+38π,k ∈Z ,所以函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-18π,k π+38π(k ∈Z ).(3)因为0≤x ≤π2,所以π4≤2x +π4≤5π4,-1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4≤22,-2≤f (x )≤1. 所以当x =0时,f (x )有最大值为1, 当x =38π时,f (x )有最小值为- 2.10.[2016·江苏高考]在△ABC 中,AC =6,cos B =45,C =π4.(1)求AB 的长;(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫A -π6的值.解 (1)因为cos B =45,0<B <π,所以sin B =1-cos 2B =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫452=35. 由正弦定理知AC sin B =AB sin C ,所以AB =AC ·sin Csin B =6×2235=5 2.(2)在△ABC 中,A +B +C =π,所以A =π-(B +C ),于是cos A =-cos(B +C )=-cos ⎝⎛⎭⎪⎫B +π4=-cos B cos π4+sin B sin π4,又cos B =45,sin B =35,故cos A =-45×22+35×22=-210.因为0<A <π,所以sin A =1-cos 2A =7210. 因此,cos ⎝⎛⎭⎪⎫A -π6=cos A cos π6+sin A sin π6=-210×32+7210×12=72-620.[B 级 知能提升](时间:20分钟)11.[2017·衡水模拟]若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,π2,sin2θ=378,则sin θ=( )A.35B.45C.74D.34 答案 D解析 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,π2,所以2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2,π,cos2θ<0,sin θ>0.因为sin2θ=378,所以cos2θ=-1-sin 22θ=-1-⎝⎛⎭⎪⎫3782=-18. 又因为cos2θ=1-2sin 2θ,所以sin θ=1-cos2θ2= 1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-182=34. 12.若tan α=34,α是第三象限角,则1-tanα21+tanα2=( )A .-12 B.12 C .2 D .-2答案 D解析 由tan α=34,α是第三象限角,得sin α=-35,cos α=-45,所以1-tanα21+tanα2=cos α2-sinα2cos α2+sinα2=⎝⎛⎭⎪⎫cos α2-sin α22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2+sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2-sin α2=1-sin αcos α=85-45=-2.13.[2016·全国卷Ⅰ]已知θ是第四象限角,且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=35,则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4=________.答案 -43解析 因为θ是第四象限角,且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=35,所以θ+π4为第一象限角,所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=45,所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4=-cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2+⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2+⎝⎛⎭⎪⎫θ-π4=-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ+π4=-43.14.[2017·四川检测]已知函数f (x )=cos x ·sin ( x +π3 )-3cos 2x +34,x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,π4上的最大值和最小值.解 (1)由已知,有f (x )=cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x +32cos x -3cos 2x +34=12sin x ·cos x -32cos 2x +34 =14sin2x -34(1+cos2x )+34 =14sin2x -34cos2x =12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3.所以f (x )的最小正周期T =2π2=π. (2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,π4得2x -π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-5π6,π6,则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,12,即函数f (x )=12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,14.所以函数f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,π4上的最大值为14,最小值为-12.。
第三节 两角和与差及二倍角三角函数公式1.计算1-2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.32 解析:原式=cos 45°=22.故选B. 答案:B2.设tan (α+β)=25,tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π4=14,则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4的值是( )A.318 B.322 C.1318 D.1322解析:tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α+β)-⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π4=322. 答案:B3.求值:⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12-sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12+sin π12=( )A .-32 B .-12C.12D.32 答案:D 4.若tan θ+1tan θ=4,则sin 2θ=( ) A.15 B.14 C.13 D.12解析:由tan θ+1tan θ=4得,sin θcos θ+cos θsin θ=sin 2θ+cos 2θsin θcos θ=4,即112sin 2θ=4,∴sin 2θ=12.故选D.答案:D5.cos π9cos 2π9cos 4π9=( )A.13B.14C.16D.18 解析:cosπ9cos 2π9cos 4π9=12sinπ9·2sinπ9cos π9cos 2π9·cos 4π9=12sinπ9·sin2π9cos 2π9cos 4π9=14sin π9sin 4π9cos 4π9=18sin π9sin 8π9=18sinπ9sin π9=18.故选D.答案:D6. 若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α=13,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+α等于( ) A .-79 B .-13C.13D.79 答案:C7.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-θ=13,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3+2θ等于( ) A .-13 B.13C .-79 D.79解析:∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-θ=13,∴cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-θ=1-2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-θ=1-2×19=79.又cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-θ=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-2θ=-cos[π-(π3-2θ)]=-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3+2θ, ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3+2θ=-79.故选C.答案:C8.函数y =sin 2x1+cos 2x的最小正周期为________.解析:y =sin 2x 1+cos 2x =2sin x cos x2cos 2x =tan x ,所以最小正周期T =π. 答案:π9.若角α的终边经过点P(1,-2),则tan 2α 的值为______. 解析:∵tan α=-21=-2,∴tan 2α=2tan α1-tan 2α=43. 答案:4310.已知tan α=2,则2sin 2α+1sin 2α=________.解析:2sin 2α+1sin 2α=3sin 2α+cos 2α2sin αcos α=3tan 2α+12tan α=3×22+12×2=134.答案:13411.若sin (π-α)=45,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,则sin 2α-cos 2α2的值等于________.解析:∵sin(π-α)=45,∴sin α=45.又∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,∴cos α=35.∴sin 2α-cos 2α2=2 sin αcos α-1+cos α2=2×45×35-1+352=425.答案:42512.已知向量a =(cos 2x ,1),b =(1,sin 2x),x ∈R ,函数f(x)=a·b. (1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2+π8=325,求cos 2α的值.解析:(1)f (x )=a·b =cos 2x +sin 2x =2⎝⎛⎭⎪⎫22cos 2x +22sin 2x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4所以,f (x )的最小正周期T =2π2=π.(2)由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2+π8=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π2 =2cos α=325 ,则cos α=35,所以cos 2α=2cos 2α-1=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352-1=-725.13.在△ABC 中,已知cos A =17,cos(A -B)=1314,且B <A.(1)求角B 和sin C 的值;(2)若△ABC 的边AB =5,求边AC 的长. 解析:(1)由cos A =17>0,cos(A -B )=1314>0,得0<A <π2且0<A -B <π2.可得sin A =1-cos 2A =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫172=437,sin(A -B )=1-cos 2(A -B )=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫13142=3314, ∴cos B =cos[A -(A -B )]=cos A cos (A -B )+sin A ·sin (A -B ) =17×1314+437×3314=12, ∵0<B <π,且B <A , ∴B =π3.∵在△ABC 中,C =π-(A +B ), ∴sin C =sin[π-(A +B )]=sin(A +B ) =sin A cos B +cos A sin B =437×12+17×32=5314. (2)在△ABC 中,由正弦定理得AB sin C =ACsin B ,∴AC =AB ·sin Bsin C =5×325314=7.。
第三节两角和与差的正弦、余弦和正切公式☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
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1.两角和的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β。
(2)cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β。
(3)tan(α+β)=tan α+tan β
1-tan αtan β。
2.两角差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)。
(2)cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)。
(3)tan α-tan β1+tan αtan β=tan(α-β)。
3.常用公式的变化形式
(1)a sin α+b cos α=a 2
+b 2
sin(α+φ), 其中cos φ
sin φ或a sin x +b cos x =a 2
+b 2
cos(x -θ), 其中cos θ
sin θ
(2)tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)。
(3)1-tan α1+tan α=tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
4
-α。
(4)1+tan α1-tan α=tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4+α。
微点提醒
应用公式时要三看:角,名,形。
(1)角:观察角之间的关系,如α=(α+β)-β,α2=2⎝ ⎛⎭⎪⎫α4等,通过观察角之间的差
别与联系,把角进行合理的拆分与组合,从而正确使用公式。
(2)名:观察三角函数的名称之间的关系,如sin α,cos α,tan α的关系,常常要用到同角关系、诱导公式。
通过观察函数名称之间的关系,确定使用的公式,常见的有“切化弦”“弦化切”等。
(3)形:观察已知与未知的表达式之间的关系,主要是公式的变形应用。
分析表达式的结
构特征,寻求变形的方向,迅速准确地使用公式。
小|题|快|练
一 、走进教材
1.(必修4P 131练习T 5改编)计算:sin108°cos42°-cos72°sin42°=________。
【解析】 原式=sin(180°-72°)cos42°-cos72°sin42° =sin72°cos42°-cos72°sin42° =sin(72°-42°) =sin30° =12。
【答案】 1
2
2.(必修4P 137A 组T 5改编)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+α=-45⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<α<56π,则cos α=________。
【解析】 因为π3<α<5
6
π,
所以π2<α+π6<π,又cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6+α=-45,
所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+α= 1-cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
6+α
=35, 所以cos α=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+α-π6
=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+αcos π6+sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6+αsin π
6
=-45³32+35³12=3-43
10。
【答案】
3-43
10
3.(必修4P 146A 组T 3)已知α,β都是锐角,tan α=17,sin β=10
10,则α+2β的大
小为________。
【解析】 因为β为锐角,且sin β=
1010,所以tan β=13,所以tan2β=2tan β
1-tan 2β
=2³131-⎝ ⎛⎭
⎪⎫132=34。
故tan(α+2β)=tan α+tan2β1-tan αtan2β=17+3
41-17³34=1。
又因为β为锐角,且sin β
=
1010<sin π6=12,所以0<2β<π3。
因为α为锐角,且tan α=17<tan π6=33,所以0<α<π6。
所以0<α+2β<π2,所以α+2β=π4。
【答案】
π4
二、双基查验
1.sin34°sin26°-cos34°cos26°的值是( ) A.12 B.32 C .-12
D .-
32
【解析】 sin34°sin26°-cos34°cos26° =-(cos34°cos26°-sin34°sin26°)
=-cos(34°+26°)=-cos60°=-1
2。
故选C 。
【答案】 C
2.若sin α+cos αsin α-cos α=12,则tan2α等于( )
A .-3
4
B.34 C .-4
3
D.43 【解析】 由sin α+cos αsin α-cos α=12,等式左边分子、分母同除以cos α得,tan α+1tan α-1=1
2,
解得tan α=-3,
则tan2α=2tan α1-tan 2
α=3
4。
故选B 。
【答案】 B
3.(2015²重庆高考)若tan α=13,tan(α+β)=1
2,则tan β等于( )
A.1
7 B.16 C.5
7
D.56
【解析】 tan β=tan[(α+β)-α]=tan α+β -tan α
1+tan α+β tan α
=12-131+12³13=17。
故选A 。
【答案】 A
4.设sin2α=-sin α,α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2,π,则tan2α的值是________。
【解析】 ∵sin2α=2sin αcos α=-sin α,α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2,π,
∴cos α=-1
2。
∴sin α=
3
2
,tan α=-3。
∴tan2α=2tan α1-tan 2
α=-23
1- -3 2=3。
【答案】
3
5.tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=__________。
【解析】 ∵tan(20°+40°)=tan20°+tan40°
1-tan20°tan40°=3,
∴3-3tan20°tan40°=tan20°+tan40°, 即tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=3。
【答案】 3
【典例1】 (2016²全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α=3
5
,则sin2α=( )
A.
7
25
B.15 C .-15
D .-725
【解析】 因为cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫π4-α=cos π4cos α+sin π4²sin α=22(sin α+cos α)=35,所。