江西省吉安一中下学期高二年级第二次段考
数学试卷（理科）
一、选择题（每小题5分，共50分） 1. 化简
2
24(1)+i
i +的结果是（ ）
A. 2i +
B. 2i -+
C. 2i -
D. 2i --
2. 设函数2
()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点（1，(1)g ）处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处切线的斜率为（ ） A. 4 B. 14-
C. 2
D. 12
- 3. 变量X 与Y 相对应的一组数据为（10,1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4）（13,5）；变量U 与V 相对应的一组数据为（10,5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2）（13,1），1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则（ ） A. 2r ＜1r ＜0 B. 0＜2r ＜1r C. 2r ＜0＜1r D. 2r ＝1r
4. 某人制订了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个实行游览。如果A 、B 为必选城市，并且在游览过程中必须按先A 后B 的次序经过A 、B 两城市（A 、B 两城市能够不相邻），则有不同的游览路线（ ）
A. 120种
B. 240种
C. 480种
D. 600种
5. 某同学在电脑上实行数学测试，共10道题，答完第n 题（n ＝1,2,3,…,10）电脑都会自动显示前n 题的准确率()f n ，则下列关系不可能成立的是（ ）
A. (5)2(10)f f =
B. (8)(9)(9)(10)f f f f <=且
C. (1)(2)(3)(10)f f f f ====
D. (1)(2)(3)(10)f f f f <<<<
6. 610
(1(1+
展开式中的常数项为（ ） A. 1 B. 46 C.4245 D. 4246
7. 若,,0()4a b c a a b c bc >+++=-且2a b c ++的最小值为（ ）
A.
1 B. 1 C.
2 D. 2
8. 定义在R 上的函数()f x 满足：()'()1,(0)4f x f x f +>=，则不等式()3x x
e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为 A. (0,)+∞ B. (,0)
(3,)-∞+∞ C. (,0)(0,)-∞+∞ D. (3,)+∞
9. 如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头所示方向能够构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前n 项之和为n S ，则21S 的值为（ ）
A. 66
B. 153
C. 295
D. 361
10. 如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动（说明：“正方形PABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动。沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC 能够沿x 轴负方向滚动。向右为顺时针，向左为逆时针）。设顶点(,)p x y 的轨迹方程是()y f x =，则关于()f x 的最小正周期T 及()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积S 的准确结论是
A. 4,1T S π==+
B. 2,21T S ππ==+
C. 4,21T S π==+
D. 2,1T S ππ==+
二、填空题（每小题5分，共25分）
11. 从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率有 。 12. 若不等式4
14x x a a
+--≥+，对任意的R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 。
13. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是是参数）
（θθ
θ??
?=+=cos 1
sin x y ，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为 。 14. 向平面区域{
}
10,20),(≤≤≤
≤y x y x 内随机投入一点，则该点落在曲线
?????≤≤-≤≤=)
21(2)10(2
3x x x x y 下方的概率为 。
15. 已知数组),,,(54321a a a a a 是1,2,3,4,5五个数的一个排列，如数组（1,4,3,5,2）是符合题意的一个排列，规定每一个排列只对应一个数组，且在每个数组中有且仅有一个i 使(1,2,3,4,5)i a i i ==，则所有不同的数组中的各数字之和为 。
三、解答题
16. （12分）求由x y 42
=与直线42-=x y 所围成图形的面积。
17. （12分）某工厂为了对新研发的一种产品实行合理定价，将该产品按事先拟定的价格实行试销，得到如下数据：
（1）求回归直线方程a bx y
+=?，其中b =－20。 （2）预计在今后的销售中，销售与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入－成本）
18. （12分）某电视台举行电视知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式实行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰。已知选手甲答题的准确率为
3
2
。
（1）求选手甲可进入决赛的概率；
（2）设选手甲在初赛中答题的个数为X ，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望 19. （12分）已知函数),2()()(2R x a e a ax x x f x
∈≤++= （1）当a=1时，求)(x f 的单调区间；
（2）是否存有实数a ，使)(x f 的极大值为3？若存有，求出a 的值，若不存有，请说明理由。 20. （13分）已知
230123(1)(1)(1)(1)(1)(2,)n n n x a a x a x a x a x n n N *+=+-+-+-+
+-≥∈。
（1）当n=5时，求543210a a a a a a +++++的值； （2）设2
2343
,2n n n n a b T b b b b -=
=++++
试用数学归纳法证明：当2n ≥时，(1)(1)
3n n n n T +-=
21. （14分）已知定义在正实数集上的函数b x a x g ax x x f +=+=ln 3)(,22
1)(2
2，其中a>0。
设两曲线)(x f y =，)(x g y =有公共点，且在该点处的切线相同。
（1）用a 表示b ，并求b 的最大值； （2）求证：)0)(()(>≥x x g x f
【试题答案】
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C
A
C
D
B
D
D
A
D
A
二、填空题 11. 29
20
12. 014<≤--≤a a 或 13. θρsin 2= 14.
)414(22-π 15. 675
三、解答题
16. 解：如图，作出曲线x y 42
=，42-=x y 的草图，所求面积为图中阴影部分的面积（2分）
由???-==4
242x y x
y 得交点坐标为（1,－2）（4,4），（或答横坐标）4分
方法一：阴影部分面积 dx x x dx x S )]42(2
[224
1
1
??
--+
= 7分
4
1
2
2
310
2
3)43
4()3
4(2x x x x +-+= 10分
=9 12分
方法二：阴影部分的面积 7分
10分
9 12分 17. 解： （Ⅰ）5.898.86.84.82.88(6
1
=+++++=）x 80)687580838490(6
1
y =+++++=
??2080208.525020250a y x y
x =+=+?=?=-+ （Ⅱ）工厂获得利润100033020)4(2
-+-=-=x x y x z
当4
33
=
x 时，25.361max =z （元） （12分） 18. （1）选手甲答3道题进入决赛的概率为27
8
)32(3=；
选手甲答4道题进入决赛的概率为27
83231)32(223=??C
选手甲答5道题进入决赛的概率为81163231)32(22
24=??）（C ；
∴选手甲可进入决赛的概率为81
64
8116278278=
++=p 。 （6分） （2）依题意，ξ的可能取值为3,4,5，则有3
1
)31()32()3(22=+==ξp 。
27
10
3132)31(3231)32()4(223223=
??+??==C C p ξ， 27
831)31()32(32)31()32()5(22
242224=
??+??==C C p ξ，所以，有 ξ 3
4 5
p 31 2710 27
8
∴27
327278527104313==?+?
+?=ξE 12分 19. 解：（Ⅰ）x
x
x
e x x e x x
f e x x x f )1()12()(',)1()(2
2
++++=++= x
e x x )23(2
++=
当0)('>x f 时解得2- 列表如下：2,2-≥-∴≤a a 由表可知 解得2342≤-=e a ，所以存有 实数a ，使)(x f 的极大值为3 12分 20. （1）当n=5时，原等式变为 。 令x=2得。 5分 （2）因为 所以。所以。 ①当n=2时，左边右边左边=右 边，等式成立 ②假设当n=k （* ,2k N k ∈≥）时，等式成立，即 那么，当n=k+1时， 左边 =右边 当n=k+1时，等式成立。 12分 综合①②，当2≥n 时，。（13分） 21. 解：（Ⅰ）设)(x f y =与)0)((>=x x g y 在公共点),(00y x 处的切线相同。 2分 由题意。 即由 得a x a x 3,00-==或（舍去） 即有。 4分 令则。于是 当，即； 当 ，即 。 故h(t)在),0(31 e 为增函数，在),(31 +∞e 为减函数， 于是h(t)在),0(+∞的最大值为 。 7分 （Ⅱ）设 10分 则。 10分 故F(x)在(0，a ）为减函数，在),a (+∞为增函数， 于是函数F(x)在),0(+∞上的最小值是 。 故当x>0时，有，即当x>0时，14分
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