学科分类号110
本科毕业论文
题目求函数极值的若干方法
姓名张成银学号1106020540066
院(系) 数学与计算机科学学院
专业数学与应用数学年级11级
指导教师李晟职称副教授
二○一五年五月
贵州师范学院本科毕业论文诚信声明
本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
本科毕业论文作者签名：
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目录
摘要 (1)
Abstract (2)
引言 (3)
1 一元函数极值问题 (3)
1.1一元函数极值的定义 (3)
1.2 一元函数极值的求解方法 (3)
1.2.1 导数法 (3)
1.2.2 配方法 (4)
1.2.3 实例分析 (5)
2 二元函数极值问题 (8)
2.1 二元函数极值的定义 (8)
2.2 二元函数极值求解的一般方法 (8)
2.2.1 二元函数取得极值的条件 (8)
2.2.2 二元函数一般求解步骤 (9)
2.2.3实例分析 (9)
2.3 二元函数条件极值的求解 (11)
3 函数的极值在经济生活中的应用 (12)
结语 (15)
参考文献 (16)
致谢 (17)
摘要
函数极值是函数很重要的性质之一，求函数极值的问题既是一个培养学生逻辑思维能力的问题，又是一个学以致用、解决生产科研问题的数学方法。并且，在生产、生活中，生产者和消费者经常以利润为主，把实际问题按要求达到最大和最小的优化，形成一定的有效理论，实现效用最大的目标。本文主要是研究并归纳当函数极值分别为一元函数或者为二元函数时，用简单的定义求解其极值的方法和函数的极值在经济生活中的运用。
关键词：函数极值；极大值；极小值
Abstract
This is one of the very important function of the extreme nature of the function, seeking not only a problem of function extreme cultivation of students' logical thinking ability, but also a apply their knowledge to solve mathematical problems of production and research. And, in the production, life, producers and consumers often profit-oriented, practical issues required to achieve the maximum and minimum optimization, a certain effective theory, to achieve the goal of maximum utility. This paper is to study and concludes when the function extremum were unary function or if a binary function, with a simple definition of solving its extreme value approach. And extreme functions used in economic life.
Keywords: function extremes; maxima; minimum value
引言
函数极值的求解是当代数学研究不可或缺的重要内容，在中学的基础学习、大学的理论学习和实际应用中都占有重要的地位，是推动微积分发展的要素之一，在解决实际问题中也占有极其重要的地位，在科学技术和社会生活的各个领域中都充满了函数极值问题。当前在函数极值问题的讨论研究中已经有了不少的见解，并且在很多学术论文及期刊中,理论和实践已经达到了广泛、透彻的认识和运用。
1 一元函数极值问题
1.1一元函数极值的定义
定义[1]设函数()f x 在0x 的一个邻域内有定义，若对该邻域内异于0x 的x 恒
有：0()()f x f x >，则称0()f x 为函数()f x 的极大值，0x 称为()f x 的极大值点；0()()f x f x <，则称0()f x 为函数()f x 的极小值，0x 称为()f x 的极小值点。函数的极大值、极小值统称为函数的极值。极大值点，极小值点统称为极值点。
1.2 一元函数极值的求解方法
1.2.1 导数法
利用一阶导数，根据函数极值的第一充分条件列表求函数的极值点。
定理1[2]（极值的第一充分条件）：设函数()y f x =在0x 的一个邻域内可微
（在0x 处可以不可微，但必须连续），若当x 在该邻域内由小于0x 连续变为大
于0x 时，其导数改变符号，则()f x 为函数的极值，0x 为函数的极值点，并且
(1)若导数'()f x 由正值变为负值，则0x 为函数的极大值点；
当0(;)x U x δ+∈时，所有的x 都满足'()0f x ≥，而当0(;)x U x δ-∈时，所有的x 都满足'()0f x ≤，如果上述两个条件都成立时，那么我们就可以得出()f x 在0x 处可以取得最大值。
(2)若导数'()f x 由负值变为正值，则0x 为函数的极小值点。
当0(;)x U x δ-∈时，所有的都满足'()0f x ≤；当0(;)x U x δ+∈时，所有的x 都满
足'()0f x ≥，如果上述两个条件都成立时，那么我们就可以得出()f x 在0x 处可以取得最小值。
(3)若导数不变号，则0x 不是函数的极值点。
当 0(;)x U x δ∈时，'()f x 的符号一直不会改变，即所有的0(;)x U x δ∈都满足'()0f x ≥或所有的0(;)x U x δ∈都满足'()0f x ≤，那么在这种情况下我们可以得出()f x 在0x 处不能取到极值的。
运用该定理时，函数的一般步骤是：
（1）确定函数定义域并找出所给函数的驻点和导数不存在的点；
（2）考察上述点两侧导数的符号，确定极值点；
（3）求出极值点处的函数值，得到极值。
利用二阶导数，根据函数极值的第二充分条件列表求函数极值点：
定理2[2]（极值的第二充分条件）：设函数()y f x =在0x 处的二阶导数存在。
若'()0f x ≠，则0x 为函数的极值点，0()f x 为函数的极值，并且
（1）当''()0f x >时，则0x 为函数的极小值点，0()f x 为函数的极小值；
（2）当''()0f x <时，则0x 为函数的极大值点，0()f x 为函数的极大值。
运用该定理求函数极值点的一般步骤是：
（1）确定函数定义域，并找出所给函数的全部驻点；
（2）考察函数二阶导数在驻点出的符号。
定理3[2]设函数()f x 在0x 的某个邻域0(;)x U x δ∈内存在直到1n -阶的导数，在点0x 处n 阶是可以求导的，并且成立()0()0(1,2,,1)k f x n =???-，()0()0n f x ≠，那么
（1）当n 为偶数的时候，()f x 在0x 处可以取到极值，并且如果()0()0
n f x >时,我们可以在点0x 处取到极小值，如果()0()0n f x <时， 极大值点在点0x 取到。
（2）当n 为奇数的时候，在这种情况下()f x 在点0x 处的极值是我们取不
到的。
1.2.2 配方法
在高中，数学中曾讲了二次函数2y ax bx c =++的图像是一条抛物线，从
图像中可以分析出：
（1）当0a >时，函数图像的抛物线口向上，它的纵坐标由递减到递增，这个顶点的纵坐标相当于极小值。
（2）当0a <时，函数图像的抛物线口向下，它的纵坐标由递增到递减，这个顶点的纵坐标相当于极大值。
因此，欲求二次函数2y ax bx c =++的极小值或极大值只需求得该函数的顶
点坐标(,)x y ，我们用配方法将2
y ax bx c =++写成224()24b ac b y a x a a -=++，那么该二次函数的顶点坐标即为2
4(,)24b ac b a a
--。 （1）当0a >时，该坐标值244ac b y a
-=即为极小值。 （2）当0a <时，该坐标值244ac b y a
-=即为极大值。 1.2.3 实例分析
例1[3]求函数2
2()x f x x e -=的极值。 解：方法1 ：利用第一充分条件判断。
（1）确定定义域：定义域为(,)-∞+∞；
（2）求出导数222
22'():'()2(2)2(1)x x x f x f x xe x e x xe x ---=+-=-；
（3）求出()f x 在定义域内的全部驻点与不可导点（可能极值点）
令22'()2(1)0x f x xe x -=-=，得到在定义域(,)-∞+∞内的驻点为1231,0,1x x x =-==，驻点将定义域分成了四个区间，分别为(,1),(1,0),(0,1),(1,)-∞--+∞； （4）考察在定义区间内'()f x 的符号：
通过计算可知，当(,1)x ∈-∞-时，'()0f x >；当(1,0)x ∈-时，'()0f x <；当(0,1)x ∈时，'()0f x >；当(1,)x ∈∞时，'()0f x <。因此，由一元函数极值的第一充分条件可知，2x 是极小值点，11x =-和31x =都是极大值点，
（5）计算极值：
极小值(0)0f =；
极大值22(1)1(1)(1)f e e ----=-=，极大值22(1)1(1)(1)f e e --==。
为了方便起见，整个解题过程用表1表示。
表1.1
（1）确定定义域：定义域为(,)-∞+∞；
（2）求出导数'()f x 和''()f x ：
22222'()2(2)2(1)x x x f x xe x e x xe x ---=+-=-；
2
24''()(2104)x f x x x e -=-+ （3）确定()f x 在定义域内的全部驻点：
有方法1可知函数在定义域内的驻点为1231,0,1x x x =-==
（4）考察''()f x 在驻点处的符号：
因为1''(0)20,''(1)40f f e -=>±=-<，所以由一元函数极值的第二充分条件可知，20x =是极小值点，131,1x x =-=都是极大值点。
（5）计算极值：
极小值(0)0f =；极大值1(1)f e -±=。
例2 求43()(1)f x x x =-的极值。
解：求得32
'()(1)(74)f x x x x =--，可以知道40,1,7x =是函数的三个驻点。 求()f x 的二阶导数，22''()6(1)(782)f x x x x x =--+，直有''(0)''(1)0f f ==，
4''()07f >，由此可知()f x 在47
x =时取得最小值。由定理3，求得三阶导 数32'''()6(3560304)f x x x x x =-+-，有'''(0)0,(1)1f f =>，但由于3n =是奇
数，所以()f x 在1x =处不取得极值。四阶导数(4)32()24(3545151)f x x x x =-+-， 有(4)(0)0f <，由于4n =为偶数，所以()f x 在0x =处取得极大值。
有上面可知：(0)0f =是极大值，434436912()()()777823543
f =-=-是极小值。 例3 某商场以每件50元的价格购进一批冬衣，如果以每件100元销售，每个月可以卖出300件，根据市场销售变化可知，如果单价上涨1元时，该商品每月的销量就减少10件。（1）写出每个月卖出衣服的利润y （元）与上涨价格x （元）件的函数关系式？（2）当衣服单价定为多少元时，每月卖出衣服的利润最大？
解：（1）21020015000y x x =--+ (元)
（2）设售价定为x 元，则销售利
210180065000y x x =-+-
上式可得 210(90)16000
y x =--+ 所以当单价为90元时，最大利润为16000元。
答：函数关系式为21020015000y x x =--+，当单价定为90元时得到最大利润，最大利润为16000元。
例4 求函数y =
解：欲求min y ，只需使被开方数2614x x ++的值最小，222614(69)5(3)5x x x x x ++=+++=++，而2(3)5x ++为非负数，则取最小值的充要条件是
2(3)0x +=，故当3x =-时有min y =
例5 求函数32()699f x x x x =-+-的极值。
解：()f x 的定义域(,)-∞+∞且2'()3129f x x x =-+，
"()612f x x =-；
令'()0f x =，得到驻点11x =，23x =；
因"(1)60f =-<，"(3)60f =>；故(1)5f =-是极大值，(3)9f =-是极小值。 由上可以知道，配方法适用于次数为二次的一元函数，而定义法和导数
法更适合于次数大于二次的一元函数。
2 二元函数极值问题
2.1 二元函数极值的定义
定义[2]设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某邻域内有定义，对于该邻域内异于00(,)x y 的点(,)x y ：
（1）若满足不等式 00(,)(,)f x y f x y ≤，则称函数在00(,)x y 有极大值；
（2）若满足不等式 00(,)(,)f x y f x y ≥，则称函数在00(,)x y 有极小值；
极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。
由定义可以看出，函数的极大值，极小值问题是一个“局部性”的概念，也就是说，是函数的极值点与邻近所有的点的函数值的比较，不能说明是整个区间内的最大值和最小值，极值只能在区间内部取得，不能在区间端点处取得。
2.2 二元函数极值求解的一般方法
2.2.1 二元函数取得极值的条件
定理1 [2]（必要条件）设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 具有一阶偏导数，且在点00(,)x y 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：'00(,)0x f x y =，'00(,)0y f x y =。 证明：不妨设(,)z f x y =在点00(,)x y 处有极大值，
则对于00(,)x y 的某领域内任意00(,)(,)x y x y ≠都有00(,)(,)f x y f x y <,故当0y y =，0x x ≠时，有000(,)(,)f x y f x y <， 说明二元函数0(,)f x y 在0x x =处有极
大值，必有 0(,)0x f x y =。类似地可证 0(,)0y f x y =。
和一元函数的方法类似，只要能使一阶偏导数同时为零的点，都称为函数的驻点。
注：驻点不等于极值点
例如，点(0,0)是函数z xy =的驻点，但不是极值点。
定理2[2]（充分条件）设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某邻域内连续，且有
二阶的连续偏导数，又'00(,)0x f x y =，'00(,)0y f x y =， 令''00(,)xx
f x y A =，''00(,)xy f x y B =，''00(,)yy f x y C =，则(,)f xy 在点00(,)x y 处是否取得极值的条件如下：
（1）20AC B ->时具有极值，当0A <时，函数(,)z f x y =在点00(,)x y 有
极大值；当0A >时，函数(,)z f x y =在点00(,)x y 有极小值；
（2）20AC B -<时，函数(,)z f x y =在点00(,)x y 没有极值；
（3）20AC B -=时，函数(,)z f x y =在点00(,)x y 可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。
定理3[4]如果二元函数(,)f x y 满足000(,)p x y 点处的某邻域0()U p 内具有二阶的偏导数且是连续的，而且000(,)p x y 是(,)f x y 的稳定点，那么当0()g H p 是正定的矩阵的时候，可以判定(,)f x y 在000(,)p x y 处取到极小值；当0()g H p 的判定是负定矩阵的时候，(,)f x y 在000(,)p x y 取到极大值；当0()g H p 是不定矩阵，
(,)f x y 在000(,)p x y 处不取得极值，其中0000
0()()()()()xx xy g xy yy g p g p H p g p g p ??= ???。 2.2.2 二元函数一般求解步骤
（1）解方程组'00(,)0x f x y =，'00(,)0y f x y =，求出实数解的驻点；
（2）对于每个驻点00(,)x y ，求出二阶偏导数的值A 、B 、C 。
（3）定出2AC B -的符号，再判定是否是极值。
2.2.3实例分析
例6 求333z x y xy =+-的极值。
解： '233x f x y =- ，'233y f y x =-，''6xx
f x =， ''3xy
f =-，''6yy f y =， 令''00x y
f f ?=??=?? 得到22330330x y y x ?-=?-=?，解得驻点为(0,0)，(1,1)； 在(0,0)中，22(0,0)|0(3)90AC B -=--=>，
所以，(0,0)f 非极值；
在(1,1)中，22(1,1)|36(3)270AC B -=--=>，
所以(1,1)为极值点；
又(1,1)|60A =>，所以(1,1)1f =-为极小值。
例7 求由方程222224100x y z x y z ++-+--=确定的函数(,)z f x y =的极值。
解： 将方程两边分别对,x y 求偏导
''''2224022240x x y y x z z z y z z z ?+--=??++-=??
由函数取极值的必要条件知，驻点为(1,1)p -，
将上面方程组分别再对,x y 求偏导数，
"
1|2xx p z z =-，"|0xy p z =，"1|2yy p z z
=- ， 故2210(2)
AC B z -=>- (2)z ≠，函数在p 有极值， 将(1,1)p -代入原方程，有12z =-，26z =。
当12z =-时，104A =>，所以(1,1)2z f =-=-为极小值；
当26z =时，104
A =<，所以(1,1)6z f =-=为极大值。
例8 求二元函数22(,)224f x y x y x y =+++的极值。
解：先求驻点由''220440x y f x f y ?=+=??=+=?? 解得1x =-，1y =-，所以驻点0(1,1)p --，
求si He nn 矩阵,因为''2xx
f = ，''0xy f = ，''4yy f = ，''0yx f = ， 所以，2004H ??=?
??? 。由此可知H 是正定的，所以(,)f x y 在点0(1,1)p --取得
极小值。 22(1,1)(1)2(1)2(1)4(1)3f --=-+?-+?-+?-=-
由例题可以知道，二元函数的求解与多元函数的求解相差不大，多元函
数的求解是二元函数的延伸，我们在解题时，要掌握求函数极值的定理，灵活运用。
2.3 二元函数条件极值的求解
求出偏导数'(,)x f x y 及'(,)y f x y ，找出偏导数不存在的点，解方程 '(,)0x f x y =，'(,)0y f x y =找出稳定点。
（1）利用二阶偏导数的判别式2B AC ?=-判定是否为极值点，是极大值还是极小值；
（2）对求出的极值点确定极值。二元函数条件极值 （函数(,)(,)z f x y F x y λ=+）；
（3）构造拉格朗日函数(,,)(,)(,)G x y f x y F x y λλ=+
（4）解联立方程
'''000x y G G G λ
?=?=??=?，求出稳定点00(,)x y
（5）针对(,)f x y 判断00(,)f x y 是否为极值点，是极大值点，还是极小值点；或根据实际问题或几何意义直接判断。
（6）求出极值00(,)f x y 。
2.3.1 实例分析
例9 求函数z x y =+，在条件221x y +=下的极值。
解：设22(,)(1)L x y x y x y λ=+++-
方程组2212012010Lx x Ly y x y λλ=+=??=+=??+-=?
得2λ=±，22x =，22
y =；
即驻点有两个：(
，； 由于函数在闭圆周221x y +=上连续且不为常数，故取得极大值和极小值，
3 函数的极值在经济生活中的应用
函数的极值问题在日常生活中发挥了很大的经济效益，在生产成本问题、利润最大问题、最省库存等问题中，有很重要的应用，在多种决策的选择中具有主导作用。经济学中很多求最优量的问题，如产量、收益、成本等一系列问题的最优值的求解，函数极值都可以很好的运用。
例10 某企业生产某种产品x 件的总成本为21()41004C Q Q Q =++（单位：百元），市场对该产品的需求规律为742Q P =-。其中P 是每件产品的价格（单位:百元/件），求生产产品多少时
(a)使平均成本达到最低，最低平均成本是多少?
(b)获得最大利润，最大利润是多少？
(c)获得最大利润时的产品定价是多少？
解：（1）由21()41004C Q Q Q =++得
()1100()44C Q C Q Q Q Q =
=++ 令2
1100'()04C Q Q =-=得20Q =±，取 20Q = （20Q =-舍去）得到惟一驻点。 故当产量 20Q =时，可使平均成本最低，其值为 (20)14C =（百元/件）。
（2）由742Q P =-得1372P Q =-，于是211()(37)3722R Q QP Q Q Q Q ==-=-，
从而23()()()331004
L Q R Q C Q Q Q =-=--，
令3'()3302L Q Q =-+= ，得22Q =（件）惟一驻点，
所以当22Q =件时，可获得最大利润，最大利润为(22)609.5L =（百元）。
（3）因为22Q =件时利润最大,由1
372Q Q =-得获得最大利润时产品定
函数的单调性、极值与最值问题 典例9 (12分)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 审 题 路 线 图 求f ′(x ) ――――――→讨论f ′(x ) 的符号 f (x )单调性―→f (x )最大值―→解f (x )max >2a －2.
评分细则(1)函数求导正确给1分； (2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分； (3)求出最大值给2分； (4)构造函数g(a)＝ln a＋a－1给2分； (5)通过分类讨论得出a的范围，给2分．
跟踪演练9(优质试题·天津)已知函数f(x)＝a x，g(x)＝log a x，其中a>1. (1)求函数h(x)＝f(x)－x ln a的单调区间； (2)若曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(x2， g(x2))处的切线平行，证明x1＋g(x2)＝－2ln ln a ln a； (3)证明当a≥1e e时，存在直线l，使l是曲线y＝f(x)的切线，也是曲线y＝g(x)的切线． (1)解由已知得h(x)＝a x－x ln a， 则h′(x)＝a x ln a－ln a. 令h′(x)＝0，解得x＝0. 由a>1，可知当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表： 所以函数h(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)． (2)证明由f′(x)＝a x ln a，可得曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处 的切线斜率为1x a ln a．由g′(x)＝ 1 x ln a，可得曲线y＝g(x)在点
求极值的若干方法 1 序言 一般来说函数的极值可以分为无条件极值和条件极值两类．无条件极值问题即是函数中的自变 量只受定义域约束的极值问题；而条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外还受其它条件限制的极值问题．下面我们给出极值的定义 定义1) 136](1[P 设函数f 在点0P 的某邻域0()U P 内有定义，若对于任何点 0()P U P ∈，成立不等式 0()()f P f P ≤（或0()()f P f P ≥）， 则称函数f 在点0P 取得极大（或极小)值，点0P 称为f 的极大（或极小）值点．极大值、极小值统称为极值．极大值点、极小值点统称为极值点． 2 求解一元函数无条件极值的常用方法 2.1 导数法 定理１ ) 142](2[P 设f 在点0x 连续，在某邻域0(;)o U x δ内可导． (i)若当00(,)x x x δ∈-时()0f x '≤，当00(,)x x x δ∈+时()0f x '≥，则f 在点0x 取得极小值． (ii)若当00(,)x x x δ∈-时()0f x '≥，当00(,)x x x δ∈+时()0f x '≤，则f 在点0x 取得极大值． 由此我们可以推出当0(;)o x U x δ∈时，若()f x '的符号保持不变，则()f x 在0x 不取极值． 定理２ ) 142](2[P 设f 在0x 的某邻域0(;)U x δ内一阶可导， 在0x x =处二阶可导，且()0f x '=，()0f x ''≠． (i)若0()0f x ''<，则f 在0x 取得极大值． (ii)若0()0f x ''>，则f 在0x 取得极小值． 对于一般的函数我们既可以利用定理１，也可以利用定理２，但对于有不可导点的函数只能用定理１． 例1 求函数2 ()(1)f x x x =-的极值．
函数极值的几种求法 ──针对高中生所学知识 摘要：函数是数学教学中一个重要的组成部分，从小学六年级的一元一次方程继而延伸到初中的一次函数，二次函数的初步介绍，再到高中的函数的单调性、周期性、最值、极值，以及指数函数、对数函数、三角函数的学习，这些足以说明函数在数学教学中的地位。极值作为函数的一个重要性质，无论是在历年高考试题中，还是在实际生活运用中都占有不可或缺的地位。本文主要阐述了初高中常见的几种函数，通过函数极值的相关理论给出每种函数极值的求解方法。 关键词：函数；单调性；导数；图像；极值 Abstract: Function is an important part of mathematics teaching. First the learning of linear equation in six grade, secondly the preliminary introduction of linear functions and quadratic functions in junior high school, then the monotonicity, the periodicity, the most value and the extreme value of function, finally the learning of the logarithmic function, exponential function and trigonometric function in high school. These are enough to show the important statue of the function in mathematics teaching. As an important properties of function, extreme value has an indispensable status whether in the calendar year test, or in daily life. This article will mainly expound the methods of solving the extreme value of sever functions in middle school. Key words: function; monotonicity; derivative; image; extreme value “函数”一词最先是由德国的数学家莱布尼茨在17世纪采用的，当时莱布尼茨用“函数”这一词来表示变量x的幂，也就是x的平方x的立方。之后莱布尼茨又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等与曲线上的点有关的变量[]1。就这样“函数”这词逐渐盛行。在中国，清代著名数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者善兰给出的定义是：
函数的极值与导数练习 基础篇 1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图1-3-10所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有() 图1-3-10 A．1个B．2个 C．3个D．4个 【答案】B[依题意，记函数y＝f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当a＜x＜x1时，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；当x2＜x＜x4时，f′(x)≥0；当x4＜x＜b时，f′(x)＜0.因此，函数f(x)分别在x＝x1，x＝x4处取得极大值，选B.] 2．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有() A．极大值5，极小值－27 B．极大值5，极小值－11 C．极大值5，无极小值 D．极小值－27，无极大值 【答案】C[由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3. 当x＜－1或x＞3时，y′＞0；由－1＜x＜3时，y′＜0. ∴当x＝－1时，函数有极大值5；3?(－2,2)，故无极小值．] 3．已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝() A．－4 B．－2 C．4 D．2
【答案】D [∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝2. 当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减，∴f (x )的极小值点为a ＝2.] 4．当x ＝1时，三次函数有极大值4，当x ＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( ) 过（1,4）f ′(1)=0 过（3,0）f ′(3)=0 A ．y ＝x 3＋6x 2＋9x B ．y ＝x 3－6x 2＋9x C ．y ＝x 3－6x 2－9x D ．y ＝x 3＋6x 2－9x 【答案】B [∵三次函数过原点，故可设为 y ＝a x 3＋bx 2＋cx ， ∴y ′＝3x 2＋2bx ＋c . 又x ＝1,3是y ′＝0的两个根， ∴????? 1＋3＝－2b 31×3＝c 3 ，即????? b ＝－6， c ＝9 ∴y ＝x 3－6x 2＋9x ， 又y ′＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3) ∴当x ＝1时，f (x )极大值＝4 ， 当x ＝3时，f (x )极小值＝0，满足条件，故选B.] 5．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1) ) A ．00 D ．b <1 2 【答案】A [f ′(x )＝3x 2 －3b ，要使f (x )在(0,1)内有极小值，则? ?? ?? f ′(0)＜0， f ′(1)＞0，
【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】 类型一 利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解析】
试题分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞U 【答案】B 【解析】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解析】 试题分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为
函数的极值与导数讲义 :点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值. (2)极大值点与极大值:点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y x 0)＝0时： (1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是. f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是. 一点附近的大小情况． (2)由函数极值的定义知道，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，即端点一定不是函数的极值点． (3)极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大(1)可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是函数的极值点． 如y ＝x 3，y ′(0)＝0，x ＝0不是极值点． 问题1如图观察，函数y ＝f (x )在d 、e 、f 、g 、h 、i 等点处的函数值与这些点附近的函数值有什 么关系？y ＝f (x )在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y ＝f (x )的导数的符号有什么规律？ 思考函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有________个极小值点. 【例1】求下列函数的极值． (1)f (x )＝3x ＋3ln x ； (2)f (x )＝2x x 2＋1 －2. 【例2】已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值． 【变式】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且知当x ＝－1时取得极大值7，当x ＝3时取得极小值，试求函数f (x )的极小值，并求a 、b 、c 的值． 【例3】 (12分)设a 为实数，函数f (x ) ＝－x 3＋3x ＋a .(1)求f (x )的极值；(2)是否存在实数a ，使得方程f (x )＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．
函数的极值与导数 作者单位：宁夏西吉中学作者姓名：蒙彦强联系电话： 一．教材分析 本节课选自高中数学人教A版选修2-2教材函数的极值与导数,就本册教材而言本节既是前面所学导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、函数的单调性与导数等内容的延续和深化，又为下节课最值的学习奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用.就整个高中教学而言，函数是高中数学主要研究的内容之一，而导数又是研究函数的主要工具，同时导数在化学、物理中都有所涉及可见它的重要性. 二．教学目标 1. 了解极大值、极小值的概念，体会极值是函数的局部性质； 2. 了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件； 3. 会用导数求函数的极值； 4. 培养学生观察、分析、探究、推理得出数学概念和规律的学习能力； 5. 感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，体会导数的工具作用.三．重点与难点 重点是会用导数求函数的极值． 难点是导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解. 四．学情分析 基于本班学生基础较差，思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学视野的拓展，因此在本节课中我设置了许多的问题，来引导学生怎样学，以问答的方式来激发学生的学习兴趣，同时让更多的学生参与到教学中来．学生已经学习了函数的单调性与导数的关系，学生已经初步具备了运用导数研究函数的能力，为了进一步培养学生的这种能力，体会导数的工具作用，本节进一步研究函数的极值与导数． 五．教具教法 多媒体、展台，问题引导、归纳、类比、合作探究发现式教学 六．学法分析 借助多媒体辅助教学，通过观察函数图像分析极值的特征后，得出极值的定义；通过函数图像上极值点及两侧附近导数符号规律的探究，归纳出极值与导数的关系；通过求极值的问题归纳用导数求函数极值的方法与步骤． 七．教学过程 1．引入 让学生观察庐山连绵起伏的图片思考“山势有什么特点”并结合诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”，这就是数学上研究的函数的极值引出课题． 【设计意图】从庐山美景出发并结合学生熟悉的诗句来激发学生学习兴趣，让学生在愉快中知道学什么．
求极值与最值的方法 1 引言 在当前的数学教育中，求初等函数的极值与最值占有比较重要的位置，由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。下面我们将要介绍多种求初等函数的极值和最值的方法。 2 求函数极值的方法 极值定义：设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义，且对此邻域内任一点 x 0()x x ≠，均有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数错误！未找到引用源。的一个极大值；同样如果对此邻域内任一点x 0()x x ≠，均有错误！未找到引用源。，则称0()f x 是函数错误！未找到引用源。的一个极小值。函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点0x ，称为极值点。 2.1 求导法 判别方法一： 设()f x 在点0x 连续，在点错误！未找到引用源。的某一空心邻域内可导。当 x 由小增大经过错误！未找到引用源。时，如果： (1)'()f x 由正变负，那么0x 是极大值点； (2)错误！未找到引用源。由负变正，那么0x 是极小值点； (3)错误！未找到引用源。不变号，那么0x 不是极值点。 判别方法二： 设()f x 在点0x 处具有二阶导数,且'()0f x =,''()0f x =。 (1)如果''()0f x <，则()f x 在点0x 取得极大值； (2)如果''()0f x >，则()f x 在点0x 取得极小值。
判别方法三： 设()f x 在点0x 有n 阶导数，且0)()()(0)1(00===''='-x f x f x f n 0)(0)(≠x f n ，则： （1）当为偶数时，)(x f 在0x 取极值，有0)(0)(
一、二次函数线段最值问题 1、平行于x轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、平行于y轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题 1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于 x轴、y轴 2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标 3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长 4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和） 5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数 6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可 二、二次函数周长最值问题 1、矩形周长最值问题 1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长 最值 2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长 3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值 1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量 2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值 3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长 三、二次函数面积最值问题 1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴） 1）首先表示出所需的边长及高 2）利用求面积公式表示出面积 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、不规则图形面积最值问题 1）分割。将已有的不规则图形经过分割后得到几个规则图形 2）再分别表示出分割后的几个规则图形面积，求和 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 或1）利用大减小，不规则图形的面积可由规则的图形面积减去一个或几个规则小图形的 面积来得到
二元函数的极值与最值 二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。 (2)二元函数取得极值的必要条件： 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值，则0),('00=y x f x ，0),('00=y x f y ，即),(00y x 是驻点。 (3) 二元函数取得极值的充分条件：设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数，且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ，令A y x f xx =),('00， B y x f xy =),('00，C y x f yy =),('00，则 当02<-AC B 且 A<0时，f ),(00y x 为极大值； 当02<-AC B 且A>0，f ),(00y x 为极小值； 02 >-AC B 时，),(00y x 不是极值点。 注意： 当B 2－AC = 0时，函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论 例1 求函数z = x 3 + y 2 －2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 【解】先求函数的一、二阶偏导数： y x x z 232 -=??， x y y z 22-=??． x x z 62 2 =??, 22 -=???y x z , 2 2 2 =??y z ． 再求函数的驻点．令x z ??= 0，y z ??= 0，得方程组???=-=-. 022,0232x y y x 求得驻点(0，0)、），（3 2 32． 利用定理2对驻点进行讨论：
求解函数极值的几种方法 1.1函数极值的定义法 说明：函数极值的定义，适用于任何函数极值的求解，但是在用起来时却比较的烦琐. 1.2导数方法 定理（充分条件）设函数()f x 在0x 处可导且0()0f x '=，如果x 取0x 的左侧的值时，()0f x '>，x 取0x 的右侧的值时，()0f x '<，那么()f x 在0x 处取得极大值，类似的我们可以给出取极小值的充分条件. 例1 求函数23()(1)f x x x =-的单调区间和极值 解 23()(1)f x x x =- ()x -∞<<+∞， 3222()2(1)3(1)(1)(52)f x x x x x x x x '=-+-=--. 令 ()0f x '=，得到驻点为10x =，22 5 x = ，31x =.列表讨论如下： 表一：23()(1)f x x x =-单调性列表 说明：导数方法适用于函数()f x 在某处是可导的，但是如果函数()f x 在某处不可导，则就不能用这样的方法来求函数的极值了.用导数方法求极值的条件是：函数()f x 在某点0x 可导. 1.3 Lagrange 乘法数方法 对于问题： Min (,)z f x y = s.t (,)0x y =
如果**(,)x y 是该问题的极小值点，则存在一个数λ，使得 ****(,)(,)0x x f x y g x y λ+= ****(,)(,)0y y f x y g x y λ+= 利用这一性质求极值的方法称为Lagrange 乘法数 例2 在曲线3 1(0)y x x = >上求与原点距离最近的点. 解 我们将约束等式的左端乘以一个常数加到目标函数中作为新的目标函 数2231 ()w x y y x λ=++- 然后，令此函数对x 的导数和对y 的导数分别为零，再与原等式约束合并得 43 320201x x y y x λλ?+=?? +=???=? 解得 x y ?=? ?= ?? 这是唯一可能取得最值的点 因此 x y ==为原问题的最小值点. 说明：Lagrange 乘法数方法对于秋多元函数是比较方便的，方法也是比较简单的 :如果**(,)x y 是该问题的极小值点则存在一个数λ，使得 ****(,)(,)0x x f x y g x y λ+= ****(,)(,)0y y f x y g x y λ+= 这相当于一个代换数，主要是要求偏导注意，这是高等代数的内容. 1.4多元函数的极值问题 由极值存在条件的必要条件和充分条件可知，在定义域内求n 元函数()f p 的极值可按下述步骤进行：①求出驻点，即满足grad 0()0f p =的点0p ；②在0 p
导数与函数的极值、最值 【题型突破】 利用导数解决函数的极值问题 ?考法1根据函数图象判断函数极值的情况 【例1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是() A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) D ?考法2求已知函数的极值 【例2】已知函数f(x)＝(x－2)(e x－ax)，当a＞0时，讨论f(x)的极值情况．[解]∵f′(x)＝(e x－ax)＋(x－2)(e x－a) ＝(x－1)(e x－2a)， ∵a＞0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln 2a. ①当a＝e 2时，f′(x)＝(x－1)(e x－e)≥0，∴f(x)单调递增，故f(x)无极值． ②当0＜a＜e 2时，ln 2a＜1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，ln 2a)ln 2a (ln 2a,1)1(1，＋∞) f′(x)＋0－0＋ f(x)极大值极小值 ③当a＞e 2时，ln 2a＞1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，1)1(1，ln 2a)ln 2a (ln 2a，＋∞) f′(x)＋0－0＋ f(x)极大值极小值
综上，当0＜a ＜e 2时，f (x )有极大值－a (ln 2a －2)2，极小值a －e ； 当a ＝e 2 时，f (x )无极值； 当a ＞e 2时，f (x )有极大值a －e ，极小值－a (ln 2a －2)2. ?考法3 已知函数极值求参数的值或范围 【例3】 (1)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________. (2)若函数f (x )＝e x －a ln x ＋2ax －1在(0，＋∞)上恰有两个极值点，则a 的取值范围为( ) A ．(－e 2，－e) B .? ? ???－∞，－e 2 C .? ? ???－∞，－12 D ．(－∞，－e) (1)－7 (2)D [方法总结] 1.利用导数研究函数极值问题的一般流程 2．已知函数极值点和极值求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性． A ．2或6 B ．2 C .23 D ．6 (2)(2019·广东五校联考)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有极值，则实数a 的取值范围 是( )
【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大. 【方法点评】 类型一利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解读】
试卷分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞ 【答案】B 【解读】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解读】 试卷分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为
导数的应用二------函数的极值与最值 【学习目标】 1. 理解极值的概念和极值点的意义。 2. 会用导数求函数的极大值、极小值。 3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值。 4. 掌握函数极值与最值的简单应用。 【要点梳理】 要点一、函数的极值 （一）函数的极值的定义： 一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义， （1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作 )(0x f y =极大值； （2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作 )(0x f y =极小值. 极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释： 由函数的极值定义可知： （1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x 0及其附近有定义，否则无从比较. （2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值. （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点. （二）用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '；
求函数最值常用的方法及经典例题讲解 知识点： 一、函数最大（小）值定义 最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =． 那么，称M 是函数()y f x =的最大值． 思考：依照函数最大值的定义，结出函数()y f x =的最小值的定义． 注意： ①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =； ②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有()(())f x M f x m ≤≥． 二、求函数最大（小）值常用的方法． 案例分析： 例1、画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ①()3f x x =-+ ②()3 [1,2]f x x x =-+∈- ③2()21f x x x =++ ④2 ()21[2,2]f x x x x =++∈-
类型一、直接观察法 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。 例 1、求函数 1 ,[1,2] y x x =∈ 的值域 A、单调递减，无最小值 B、单调递减，有最小值 B、单调递增，无最大值 D、单调递增，有最大值小试牛刀： 1、求函数 2 1 y x = - 在区间[2，6] 上的最大值和最小值． 2
()5522++=x x x f 类型二、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域) 例： 求函数3456x y x +=+值域。 实战训练场： 1) 求函数2 13-+= x x y 的值域； 2) 函数.11的值域是x x y +-= 类型三、倒数法 有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例1 、求函数 y = 的值域。 例2、求函数 的值域。
导数与函数的极值、最值 最新考纲了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次). 知识梳理 1.函数的极值与导数 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0， ①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0，那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤： ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值. 2.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)设函数f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示 (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.(×) (2)函数的极大值不一定比极小值大.(√) (3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件.(×) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.(√) 2.函数f(x)＝－x3＋3x＋1有() A.极小值－1，极大值1 B.极小值－2，极大值3 C.极小值－2，极大值2 D.极小值－1，极大值3 解析因为f(x)＝－x3＋3x＋1，故有y′＝－3x2＋3，令y′＝－3x2＋3＝0，解得x ＝±1，于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
函数的极值和最值 【考纲要求】 1.掌握函数极值的定义。 2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值 4.会求给定闭区间上函数的最值。 【知识网络】 【考点梳理】 要点一、函数的极值 函数的极值的定义 一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义， （1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作 )(0x f y =极大值； （2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作 )(0x f y =极小值. 极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释： 求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根； ④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理 若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连 函数的极值和最值 函数在闭区间上的最大值和最小值 函数的极值 函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值
续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1 ()(0)f x x x = >. 要点诠释： ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。 ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。 2.通过导数求函数最值的的基本步骤： 若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根； （3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数 ()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值. 【典型例题】 类型一：利用导数解决函数的极值等问题 例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求 )(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程； 【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。 又(1)3,'(1)12f f == 所以)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程312(1)y x -=- 即1290x y --=. 举一反三： 【变式1】设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R ． (1)求()f x 的单调区间与极值；
学科分类号110 本科毕业论文 题目求函数极值的若干方法 姓名张成银学号1106020540066 院(系) 数学与计算机科学学院 专业数学与应用数学年级11级 指导教师李晟职称副教授 二○一五年五月
贵州师范学院本科毕业论文诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本科毕业论文作者签名： 年月日
目录 摘要 (1) Abstract (2) 引言 (3) 1 一元函数极值问题 (3) 1.1一元函数极值的定义 (3) 1.2 一元函数极值的求解方法 (3) 1.2.1 导数法 (3) 1.2.2 配方法 (4) 1.2.3 实例分析 (5) 2 二元函数极值问题 (8) 2.1 二元函数极值的定义 (8) 2.2 二元函数极值求解的一般方法 (8) 2.2.1 二元函数取得极值的条件 (8) 2.2.2 二元函数一般求解步骤 (9) 2.2.3实例分析 (9) 2.3 二元函数条件极值的求解 (11) 3 函数的极值在经济生活中的应用 (12) 结语 (15) 参考文献 (16) 致谢 (17)
摘要 函数极值是函数很重要的性质之一，求函数极值的问题既是一个培养学生逻辑思维能力的问题，又是一个学以致用、解决生产科研问题的数学方法。并且，在生产、生活中，生产者和消费者经常以利润为主，把实际问题按要求达到最大和最小的优化，形成一定的有效理论，实现效用最大的目标。本文主要是研究并归纳当函数极值分别为一元函数或者为二元函数时，用简单的定义求解其极值的方法和函数的极值在经济生活中的运用。 关键词：函数极值；极大值；极小值