2 圆的对称性
一、选择题（共 10 小题）
1．（ 2012?江宁区二模）形如半圆型的量角器直径为 4cm ，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与
坐标原点 O 重合，零刻度线在 x 轴上），连接 60°和 120°刻度线的一个端点 P 、Q ，线段 PQ 交 y 轴于点 A ，则点 A 的坐标为（ ）
） C ．（ ，0） D ．（1， ）
2．已知 ⊙O 中，弦 AB 长为
，OD ⊥AB 于点 D ，交劣弧 AB 于点 C ，CD=1 ，则⊙ O 的半径是（
）
A ．1
B ．2
C ．
3 D ．
4 3．下列说法：
① 若∠1 与∠2 是同位
角，
则 ∠1=∠ 2
② 等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合
③ 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
④ 等腰梯形是轴对称图形， 但不是中心对称图形
⑤ 平分弦的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧，
其中正确的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C
．
2
D ． 3
4．（2013?邵东县模拟） ⊙O 的半径为 R ，若 ∠AOB= α，则弦 AB 的长为（
）
A ．
B ． 2Rsin α
C ．
D ． Rsin α
5．已知矩形 ABCD 的边 AB=3 ，AD=4 ，如果以点 A 为圆心作 ⊙ A ，使 B ，C ，D 三点中在圆内和在圆外都至少
有一 个点，那么 ⊙ A 的半径 r 的取值范围是（ ）
A ．
3 C ．4 D ． 无法确定 6．已知圆的半径为 5cm ，圆心到弦的距离为 4cm ，那么这条弦长是（ ） A ． 3cm B ．6cm C ．8cm D ． 10cm 7．半径为 5 的 ⊙O ，圆心在原点 O ，点 P （﹣ 3， 4）与 ⊙O 的位置关系是（ A ．在⊙O 内 B ．在 ⊙O 上 C ．在⊙ O 外 D ．不能确定 8．一个点到圆周的最小距离为 4cm ，最大距离为 9cm ，则该圆的半径是（ A ．2.5 cm 或 6.5 cm B ．2.5 cm C ． 6.5 cm ) D ． 5 cm 或 13cm 9．（2010?昌平区一模）如图，在半径为 1 的⊙ O 中，直径 AB 把⊙O 分成上、下两个半圆，点 C 是上半圆上一 个动点（ C 与点 A 、B 不重合），过点 C 作弦 CD ⊥ AB ，垂足为 E ，∠OCD 的平分线交 ⊙O 于点 P ，设 CE=x ， 二、填空题（共 10 小题）（除非特别说明，请填准确值） 11．牛牛和壮壮在沙滩上玩游戏，需要画一个圆，而他们手中没有任何工具，请你帮他们想一个办法，怎样可 以得 到一个圆？ 12 ．一条弦 AB 分圆的直径为 3cm 和 7cm 两部分，弦和直径相交成 60°角，则 AB= ____________ cm ． 13．若⊙O 的半径为 13cm ，圆心 O 到弦 AB 的距离为 5cm ，则弦 AB 的长为 ____________ cm ． 14．已知点 P 是半径为 5 的⊙O 内一定点，且 PO=4，则过点 P 的所有弦中， 弦长可取到的整数值共有的条数是 15．若⊙ A 的半径为 5，圆心 A 的坐标为（ 3，4），点 P 的坐标是（ 5， 8），则点 P 在⊙A _______ 16 ．在下图所列的图形中选出轴对称图形： ___________ ． 10．（2013?合肥模拟） 如图， 是半径为 1 的圆弧， △ AOC 为等边三角形， D 是 上的一动点， 则四边形 AODC C ． ≤s ≤ D ． AP=y ，下列图象中，最能刻画 y 与 x 的函数关系的图象是（ ） D ． AB 的两个端点 A 和 B ，这些圆的圆心所组成的图形是 18 ．以已知点 O 为圆心，可以画 个圆． 19．如图， AB 为⊙O 的直径， AD ∥OC ，∠AOD=84 °，则 ∠BOC= __________ 22．如图， AB 是⊙O 的直径， CD 是弦， CE ⊥CD 交AB 于E ，DF ⊥CD 交 AB 于F ，求证： AE=BF ． 17．作圆，使这些圆都经过线段 20．如图， ⊙O 的弦 AB 、半径 OC 延长交于点 D ，BD=OA ，若∠ AOC=105 °，则∠ D= ________ 度． 三、解答题（共 10 小题）（选答题，不自动判 卷） OA=OB ． 23．如图， ⊙O 中，AB 是直径，半径 CO ⊥AB ，D 是 CO 的中点， DE ∥AB ，求证： =2 ． 26．如图， ⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E ，已知 AE=1cm ，EB=5cm ，∠DEB=60 °， （ 1）求 CD 的长； （2）若直线 CD 绕点 E 顺时针旋转 15°，交⊙O 于 C 、D ，直接写出弦 CD 的长． 27．已知：如图，在 ⊙O 中， ∠ A= ∠ C ，求证： AB=CD （利用三角函数证明） 24．已知 ⊙ O 的半径为 12cm ，弦 AB=16cm ． （1）求圆心 O 到弦 AB 的距离； （ 2）如果弦 AB 的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦 AB 的中点形成什么样的图形？ 25．如图， △ABC 的三个顶点在 ⊙0上，AD ⊥BC ，D 为垂足， E 是 的中点， 求证： ∠OAE= ∠EAD ．（写出两种以上的证明方法） 28．如图， CD 是⊙O 的直径，弦 AB ⊥CD 于点 H ，若 ∠D=30°，CH=1cm ，求弦 AB 的长． 29．已知： 等腰 △ ABC 内接于半径为 6cm 的 ⊙O ，AB=AC ，点 O 到 BC 的距离 OD 的长等于 2cm ．求 AB 的 长． 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题） 1．（ 2012?江宁区二模）形如半圆型的量角器直径为 4cm ，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的 中心与坐标原点 O 重合，零刻度线在 x 轴上），连接 60°和120°刻度线的一个端点 P 、Q ，线段 PQ 交 y 轴 于点 A ，则点 A 的坐标为（ ） A ．（﹣1， ） B ．（0， ） C ．（ ，0） D ．（1， ） 考点： 圆心角、弧、弦的关系；坐标与图形性质；解直角三角形． 分析： 连接 OQ 、OP ，求出 ∠ POQ 的度数，得出等边三角形 POQ ，得出 PQ=OQ=OP=2 ，∠OPQ=∠OQP=60°， 求 出 ∠AOQ 度数，根据三角形的内角和定理求出 ∠QAO ，求出 AQ 、OA ，即可得出答案． ∠ A= ∠ B=60 °，求 BC 的长． 解：连接 OQ 、 PO ， 则∠ POQ=120°﹣60°=60， ∵PO=OQ ， ∴△POQ 是等边三角形， ∴ PQ=OP=OQ= ×4cm=2cm ， ∠ OPQ=∠ OQP=60 °， ∵ ∠ AOQ=90 °﹣60°=30°， ∴ ∠ QAO=180 °﹣60°﹣30°=90°， ∴ AQ= OQ=2cm ， ∵ 在 Rt △AOQ 中，由勾股定理得： OA= =， ∴ A 的坐标是（ 0， ）， 故选 B ． 点评： 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，三角形的内角和定理，勾股定理，等边三角形的性质和判 定等知识点， 解此 题的关键是构造三角形后求出 OA 的长， 主要考查学生分析问题和解决问题的能 力． 2．已知⊙O 中，弦 AB 长为 ，OD ⊥AB 于点 D ，交劣弧 AB 于点 C ，CD=1 ，则⊙ O 的半径是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 考点： 垂径定理；勾股定理． 分析： 连接 OA ，根据垂径定理求出 AD ，设⊙O 的半径是 R ，则 OA=R ，OD=R ﹣1，在 Rt △OAD 中，由 勾股定理得 出方程 R 2=（R ﹣1）2+（ ）2，求出 R 即可． ∵OC 是半径， OC ⊥AB ， 设⊙O 的半径是 R ，则 OA=R ，OD=R ﹣1， 在 Rt △OAD 中，由勾股定理得： OA 2=OD 2+AD 2， 即 R 2=（ R ﹣ 1） 2+（ ） 2， R=2， 故选 B ． 解答： ，根据 sin ∠ AOC= 求出 AC=Rsin ，即可求出 AB ． 点评： 本题考查了垂径定理和勾股定理，关键是构造直角三角形，用了方程思想． 3．下列说法： ① 若∠1 与∠2 是同位角，则 ∠1=∠2 ② 等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合 ③ 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 ④ 等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形 ⑤ 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧， 其中正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 考点： 垂径定理；同位角、内错角、同旁内角；等腰三角形的性质；正方形的判定；等腰梯形的性质． 分析： 根据只有在平行线中，同位角才相等，等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互 相重合，对角线互相平分、垂直、相等的四边形才是正方形，等腰梯形是轴对称图形，但不是中心 对称图形，即可判断 ①②③④ ；画出反例图形即可判断 ⑤ ． 解答： 解： ∵ 只有在平行线中，同位角才相等， ∴ ① 错误； ∵ 等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合， ∴ ② 错误； ∵ 对角线互相平分、垂直、相等的四边形才是正方形， ∴③ 错误； ∵ 等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形， ∴ ④ 正确； AB 是⊙ O 直径， CD 是⊙O 弦， AB 平分 CD ， 但 AB 和 CD 不垂直， ∴ ⑤ 错误； 故选 B ． 点评： 本题考查了等腰三角形性质，平行线的性质，同位角，等腰梯形性质，正方形的判定等知识点的应 用，主要考查学生的 辨析能力． 解：过 O 作 OC ⊥ AB 于 C ， 则由垂径定理得： AB=2AC=2BC ， ∵ OA=OB ， ∴ ∠ AOC= ∠BOC= ∠ AOB= A ． B ． 2Rsin α C ． C ． ) D ．Rsin α 考点： 分析： 垂径定理；解直角三角形． 过 O 作 OC ⊥ AB 于 C ，由垂径定理得出 AB=2AC ，根据等腰三角形性质求出 4．（2013?邵东县模拟） ⊙O 的半径为 R ，若∠AOB= α，则弦 AB 的长为（
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