第六章习题解答
1． 已知约束优化问题：
2)(0)()1()2()(min 21222112
221≤-+=≤-=?-+-=x x x g x x x g t
s x x x f
试从第ｋ次的迭代点[]T k x
21)
(-= 出发，沿由（-1 1)区间的随机数０.56２和-0．２
５4所确定的方向进行搜索,完成一次迭代，获取一个新的迭代点)1(+k x 。并作图画出目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。
［解] 1)确定本次迭代的随机方向：
[]T T
R
S 0.4120.911
0.2540.5620.254
0.2540.5620.5622222-=???
???
?
?++=
2) 用公式：R k k S x x
α+=+)()
1( 计算新的迭代点。步长α取为搜索到约束边
界上的最大步长。到第二个约束边界上的步长可取为2，则：
176
.1)412.0(22822.0911.021221
2
111
=-?+=+==?+-=+=++R k
k R k k S x x S x x
αα
?
?
?
???=+176.1822.01
k X
即： 该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。
2． 已知约束优化问题:
)(0)(0
25)(12
4)(min 2312222112
21≤-=≤-=≤-+=?--=x x g x x g x x x g t
s x x x f
试以[][][]T T T x x x 33
,14
,12
30
201===为复合形的初始顶点,用复合形法进行
两次迭代计算。
[解] 1)计算初始复合形顶点的目标函数值,并判断各顶点是否为可行点：
[][][]9
35
120101-=?==?=-=?=030302023314f x f x f x 经判断，各顶点均为可行点，其中,为最坏点。为最好点，0
203x x 2)计算去掉最坏点 0
2x 后的复合形的中心点：
??
????+??????=???? ????????+??????==∑≠=3325.2211
32
10
3312i i i c x L
x
3)计算反射点1
R x （取反射系数3.1=α)
20.69
3.30.551422.51.322.5)(110
2001-=?????
?=???? ????????-??????+??????=-+=R R c c R f x x x x x 值为可行点，其目标函数经判断α 4)去掉最坏点1
R
0301x x x x 和，，由02构成新的复合形，在新的复合形中 为最坏点为最好点，011
R
x x ,进行新的一轮迭代。 5）计算新的复合形中,去掉最坏点后的中心点得：
??
?
???=???? ????????+??????=
3.151.7753.30.5533211
c x ６)计算新一轮迭代的反射点得：
，完成第二次迭代。
值为可行点，其目标函数经判断413.14 5.9451.4825123.151.7751.33.151.775)(1
2011
12-=??????=???? ????????-?????
?+??????=-+=R R c c R f x x x x x α
3． 设已知在二维空间中的点[]T x x x 21
=,并已知该点的适时约束的梯度
[]T g 11--=?,目标函数的梯度[]T f 15
.0-=?,试用简化方法确定一个适用
的可行方向。 [解］ 按公式6-3２ 计算适用的可行方向：)(k k k
x f P x f P d ??-=/)(
k
x 点的目标函数梯度为:[]T k x f 15
.0)(-=?
k x
点处起作用约束的梯度Ｇ为一个J n ? 阶的矩阵,题中：n ＝2，J ＝１:
[]T k x g G 11
)(1--=?=
梯度投影矩阵P 为:
[
]
[][]??
?
???--=-?
???
????????----??????---??????=-=--5.05.05.05.001111111110011
1
T
T
G
G
G G I P 则:适用可行方向为：
??
????-=??????-??????--?
??
???-??????---=707.0707.010.50.50.50.50.510.50.50.50.50.5k
d
4． 已知约束优化问题:
00)(3
4)(min 3322113)43(222121≤-=≤-=≤-=?-+-=
x g x g x g t
s x x x x x x f 试求在[]T k
x
1/21/4
=点的梯度投影方向。
[解] 按公式６－32 计算适用的可行方向：)(k k k
x f P x f P d ??-=/)(
k
x
点的目标函数梯度为：[]T k x f 125
.0125
.0--=?)(
k
x 点处起作用约束的梯度G 为一个J n ? 阶的矩阵，题中：ｎ=3，Ｊ=1：
[]T k x g G 00
1
)(1-=?=
梯度投影矩阵Ｐ为:
[]
[][]????
?
?????=-??
???
????????????--??????????--??????????=-=--10001000000100
10010011000100011
1
T
T G G
G G I P
则:适用可行方向为：
????
?
?????=????
?
?????--?????????????
???????--??????????-=97.0243.00125.0100010.250.1251000100000.12500100k
d
5.用内点法求下列问题的最优解:
31
2)(2112
221≤-=?+-+=x g t
s x x x x f m in
（提示:可构造惩罚函数 []∑=-=2
1
)(ln )(),(u u x g r x f r x φ,然后用解析法求解。)
[解] 构造内点惩罚函数：
[]∑=--+-+=-=2
1
)()(),(u u x r x x x x g r x f r x )3ln(12ln 212
221φ
令惩罚函数对x 的极值等于零：
0)3/()(22
2221=??????----=x r x x dx d φ 得：
4
83661
21r x x +±=
= 舍去负根后，得4
83662r
x ++=
当 []T x x r 31302=→→该问题的最优解为，时，。
6．用外点法求下列问题的最优解：
00
)
( min
1 22
2
1 1
2
1
≤
-=
≤-
=?
+
=
x
g
x x
g t
s
x
x
x
f
[解] 将上述问题按规定写成如下的数学模型：
subroutine fｆx（n,ｘ,fx)
diｍeｎsioｎ x(n)
fx=x（1)+x(2)
eｎd
ｓubroutine ggx（n，kg,ｘ,ｇx)
dimensioｎ x(n),gｘ(kｇ）
gx(1)=x(1)*x(1)-x(2）
gx(2)=-ｘ(1)
end
subrｏutｉnｅ hｈx(n，ｋｈ，ｘ，hx)
domeｎsｉon x(ｎ）,hｘ(ｋh）
hx（１）＝0．0
eｎｄ
然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解:
====＝=====＝=== PRIMARY DATA =====＝======== Ｎ= 2 KG= 2 ＫH= 0
X : ．100000０E＋01 .２０00000E+01
FX: ．3000000E+01
GX: －.1０００00０Ｅ+01 -．10０0000Ｅ+01
X : ．１0０0０0０E＋01 .2０00000E+01
FX：.3000０00E+０1
GX： -.10000００E＋01 -．1０0０000Ｅ+01
PEＮ＝．5000０００Ｅ+01
R =.１000000Ｅ＋01 C= .２0０0000E＋0０Ｔ0= .1000000E－0１
ＥPS1= .１00０000E-０5 EPS2＝ .1００0００0E-05
====＝========＝= OPTIＭUM ＳＯLUＴIＯN ==＝==＝=======＝
IRC= 21 ＩTE＝ 54 ILI= 1１７NPE＝３759 ＮＦX= ０NGR= 0
R= .104８５77E-１3 PＥN= .42２９85０E-06
Ｘ: .9493056Ｅ-０7 .7２037５8E－０7
FＸ: ．1６69681E－06
GX: -.７2037５7E－０7 -.9４93056E-07
7.用混合惩罚函数法求下列问题的最优解：
1)(0)()(212111
2≤-+=≤-=?-=x x x h x x g t
s x x x f ln m in
[解] 将上述问题按规定写成如下的数学模型： subrout ｉn ｅ ffx(n,x,fx ） di ｍｅnsion x （n) ｆｘ=x(２)－ｘ(1) end
ｓu ｂrou ｔine ggx （n ，ｋg,x,ｇｘ） d ｉｍensio ｎ ｘ(n),ｇx(kg) gx(1)=-l ｏg(x(1))] g ｘ(2)=-x （1) gx(3）＝－x(２) ｅnd
su ｂｒｏuti ｎe hhx(n,ｋh,x ，hx ） domensi ｏn x(n),hx （kh ） hx （１)=x （1）+x(２)-１ ｅn ｄ
然后，利用惩罚函数法计算,即可得到如下的最优解：
==＝＝==＝======= P ＲIMAR Ｙ DATA ======＝======= N= 2 KG ＝ ３ KH= 1 X : .2０000０0E+0１ .10０0000E+01 FX: -.１00０000E+01
GX ： -.6931472Ｅ+00 -.2000０00Ｅ＋01 -.100000０E+01 X ： ．2000000E+01 ．１000000E ＋０1 FX ： -.100０00０E ＋01
GX: －.69３14７2Ｅ＋００ -.2000000E+０1 -.100０0０0E ＋0１ HX: ．2000000E+01
PEN = .59426９５E ＋0１ R = .1000００0E+０1 Ｃ = ．4000０00Ｅ+００ T ０＝ .1０0００00E-01
E ＰS1= .1０００00０E-05 ＥPS2= .1000000E －05
====＝====＝=＝=== ＯＰＴＩM ＵM SOLUTION ===＝==＝＝=＝===＝
I ＲC ＝ 29 IT Ｅ＝ 143 ILI= １4３ NP Ｅ= 1１９０ NFX ＝ 0 ＮGR ＝ 172
Ｒ= .７2０5765E －11 P ＥN= －.9999720Ｅ＋00
X ： .1000０06E+0１．3777877Ｅ-05
FX： -.1000012E+01
GＸ：-.5９60447E-05 －.1000006E+01 .６２2２１23E－05 ＨX: -．26165８9E－0６