1
●高考明方向
1.了解幂函数的概念．
2.结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1
x ，y ＝x 12 的图象， 了解它们的变化情况．
3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．
4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
★备考知考情
1.幂函数、二次函数的图象与性质的应用是高考命题的 热点．
2.常与一元二次不等式、一元二次方程等知识交汇命题， 考查数形结合思想．
3.题型主要以选择题、填空题为主，另外在解答题中 常与导数的应用综合，属中高档题.
一、知识梳理《名师一号》P21 注意：
知识点一 幂函数
1.定义：形如y ＝x α(α∈R)的函数叫幂函数， 其中x 是自变量，α是常数．
注意：关注定义！
．幂函数的性质
2
结合定义域及奇偶性分析
《名师一号》P22 问题探究问题1
幂函数图象有什么特点？
(1)幂函数的图象一定会经过第一象限，
2
3
一定不会经过第四象限，
是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性； (2)幂函数的图象最多只能经过两个象限； (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，那么交点一定是原点．
特例： 1
1,2,3,,12
α=-的幂函数的图象和性质
图象：
性质：
一般地，对于幂函数y x α=，有如下性质：
(1) 当
0α>时， ① 图象都通过点(0,0),(1,1)；
3=y x
2=y x y x =
1
x -12
x
=
4
② 在[0,)+∞上是增函数，
1α>时曲线下凹；
01α<<时曲线上凸. (2) 当0α<时，
① 图象都通过点(1,1)； ② 在(0,)+∞上是减函数；
③ 在第一象限内，图象向上与y 轴无限接近， 向右与x 轴无限接近.
注意：
幂函数在其他象限的图象可由幂函数的性质 及奇偶性作出。
作出下列函数的图象
（1）4y x = （2）5
y x = （3）14
y x = （4）1
y x -= （5）23
y x -
=
练习:
作出下列函数的图象
（1）13
y x = （2）23
y x =
5
（3）12
y x -
= （4）32
y x =
知识点二 二次函数 1.二次函数的三种形式
一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；
顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，顶点坐标为(h ，k )； 零点式（即两根式）：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)， x 1，x 2为f (x )的零点．
???4ac －b 2
4a ，＋∞b
6
函数的图象关于x ＝－
b
2a
对称
注意：
抓住开口方向、对称轴、顶点及与坐标轴的交点等分析
《名师一号》P22 问题探究 问题2
如何解决与二次函数有关的不等式恒成立问题？
(1)ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0恒成立的充要条件是
?
??
a >0，
b 2－4a
c <0.
(2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是
???
a <0，
b 2－4a
c <0.
注意
当题目条件中未说明a ≠0时， 就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．
《名师一号》P22 问题探究 问题3 如何确定二次函数的对称轴？
(1)对于二次函数y ＝f (x )，如果定义域内有不同两点 x 1，x 2且f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象
关于x ＝x 1＋x 2
2
对称．
(2)二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，
都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是
函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．
二、例题分析：
（一）幂函数的图像与性质
例1.（1）《名师一号》P22 高频考点例1（1）
幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的
图象是(
)
A B C D
令f(x)＝xα，则4α＝2，
∴α＝
1
2，∴f(x)＝x
1
2
.故图象为C的图象．
答案：C
例1.（2）（补充）函数3
2
22
)1
(
)
(-
-
-
-
=m
m
x
m
m
x
f是幂函数，且当)
,0(+∞
∈
x时是减函数，求实数m
7
8
[解析] 由题意知m 2－m －1＝1， 得m ＝－1或m ＝2，
又由题意知m 2－2m －3<0，得m ＝2.
注意：
1、立足定义：y x α
=叫幂函数，其中x 是自变量， α是常数.
（1） x α
的系数为1 （2）0α=时，1(0)y x =≠ 2、《名师一号》P22 高频考点 例1【规律方法】
(1)幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查： ①α的正负：
α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降． ②曲线的第一象限的凹凸性： α>1时，曲线下凸； 0<α<1时，曲线上凸； α<0时，曲线下凸．
练习：温故知新P28 第4题
9
例2. (补充)
幂函数y ＝x α (α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连结AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA .那么，αβ＝(
)
A ．1
B ．2
C ．3
D ．无法确定
[答案] A
[解析] 由条件知，M ? ????13，23、N ? ??
??
23，13，
∴13＝? ????23α，23＝? ????13β，∴? ????13αβ＝??????? ????13βα＝? ????23α＝13， ∴αβ＝1.故选A.
例3.（1）《名师一号》P22 高频考点 例1（2）
10
设a ＝? ????3525 ，b ＝? ????2535 ，c ＝? ??
??2525 ，
则a ，b ，c 的大小关系是________．
解析：∵y ＝x 25
(x >0)为增函数，∴a >c .
∵y ＝? ??
??25x
(x ∈R)为减函数，∴c >b ，∴a >c >b .
答案：a >c >b
注意：
《名师一号》P22 高频考点 例1【规律方法】
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
例3.（2）(补充)
(1) 温故知新P28 第10题
已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，求m 的范围． (2)比较大小：0.80.7与0.70.8.
11
解析：(1)∵0<0.71.3<1,1.30.7>1，∴0.71.3<1.30.7 考察幂函数y ＝x m 由(0.71.3)m <(1.30.7)m 知y ＝x m 为(0，＋∞)上的增函数，∴m >0. (2)指数函数y ＝0.8x 是减函数，∴0.80.7>0.80.8
又幂函数y ＝x 0.8在第一象限为增函数 ∴0.80.8>0.70.8，∴0.80.7>0.70.8.
（二）二次函数的解析式
例1.《名师一号》P22 高频考点 例2
已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
方法一：(利用一般式)： 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．
由题意得???
??
4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，
4ac －b 24a ＝8，
解得???
a ＝－4，
b ＝4，
c ＝7.
∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.
方法二：(利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m )2＋n .
12
∵f (2)＝f (－1)， ∴抛物线的对称轴为x ＝
2＋(－1)2＝1
2
. ∴m ＝1
2
.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.
∴y ＝f (x )＝a ? ??
??
x －122＋8.
∵f (2)＝－1，∴a ? ????
2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，
∴f (x )＝－4? ??
??
x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.
方法三：(利用零点式即两根式)：
由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.
又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 2
4a
＝8.
解得a ＝－4或a ＝0(舍)．
∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 注意：《名师一号》P22 高频考点 例2【规律方法】 求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法， 规律如下：
（三）二次函数的图象及性质的应用
例1.（1）《名师一号》P22 高频考点例3(1)
已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则()
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
解析:因为f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图象应开口向上，
即a>0，且其对称轴为x＝2，即－b
2a＝2，所以4a＋b＝0.
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例1.（2）《名师一号》P22 高频考点例3(2)
如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，
图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下
面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；
③a－b＋c＝0；④5a A．②④B．①④C．②③D．①③ 解析:因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确； 对称轴为x＝－1，即－b 2a＝－1,2a－b＝0，②错误； 结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误； 由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下， 所以a<0，所以5a<2a，即5a 注意：《名师一号》P23 高频考点例3 【规律方法】 分析二次函数的图象，有两个要点： 一是看二次项系数的符号，它决定二次函数图象的开口方向； 14 15 二是看对称轴和顶点，它决定二次函数图象的具体位置． 补充：有时还应关注图像与坐标轴的交点. 如： 周练11—21（2） 21．已知函数1 ) 1(ln )(+-- =x x a x x f （R ∈a ，0≠a ）， x x x g +=2)(． （2）若)(x f 在其定义域内单调递增，求a 的取值范围； （2） 2 1[1(1)] ()(1)a x x f x x x +--'= -+ 212(1)a x x =-+22 (22)1(0)(1)x a x x x x +-+=>+………6分 ()0f x '≥恒成立. 则 2(22)10x a x +-+≥ (0,)x ?∈+∞ 恒成立.……7分 (法一)由二次函数的图象(开口向上，过定点(0,1)) 可得10a -≤或10 0a ->?? ?≤? 则 1a ≤或2 10 (22)40 a a ->??--≤?得 2a ≤. （可验证2a =时)(x f 在其定义域(0,)+∞内单调递增） (法二)分离变量 1 22(0)a x x x ≤++> 16 又1 2224x x + +≥+= 所以 24a ≤， 则2a ≤ （可验证 当2a =时)(x f 在其定义域(0,)+∞内单调递增）…9分 基础测试5—5 5.已知函数x x g x a ax x f =+--=)(,1)3()(2，若对于任一实数x ， )(x f 与)(x g 至少有一个为正数，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．［0，3） B.［3，9） C.［1，9） D.［0，9） 问题等价于2 0,()(3)1x f x ax a x ?≤=--+恒成立 （1）0a = （2）0a ≠，则0a >（注意：此时函数图象开口向上，过定点(0,1) ) （四）二次函数的最值 课后作业 一、 计时双基练P221 基础1-9 培优1 课本P22 变式思考1； 二、 计时双基练P221基础10、11；培优2-4 课本P22-23 变式思考2、3 对应训练1、2 三、 补充详见二次函数专题 预习 第二章 第八节 函数的图像 试卷更正 17 补充 练习1:已知函数3234+?-=x x y 的值域 为[]7,1，则x 的范围是（ ） A.[]4,2 B.)0,(-∞ C.[]4,2)1,0(? D.(][]2,10,?∞- 答案:D 练习2: 已知方程9x －2·3x ＋3k －1＝0有两个实数解，试求实数k 的取值范围． [解析] 令t ＝3x ，则t >0.原方程有两个实数解，即方程t 2 －2t ＋3k －1＝0有两个正实数解，则 ??? Δ＝(－2)2＋4(3k －1)≥0 t 1 ＋t 2 ＝2>0t 1t 2 ＝3k －1>0 ， 18 解得13 练习3: 对任意的222(45)43411 ,()()33 m x x mx m x x R -++-∈<恒成立，求m 的范 围. 解：1 013 << 由题意即对任意的 222,(45)434x R m x x mx m x ∈-++>-恒成立 即对任意的,x R ∈ 22(45)(44)30m m x m x +-+-+>恒成立 2222 450450(44)12(45)0440m m m m m m m m ??+->+-=????=--+-<-=??或 1515 1191m m m m m m ?><-==-??∴??<<=??? 或或或 119m ∴≤< 练习4:已知函数)43lg(112x x x x y +-+-+= 的定义域为M ， 19 （1）求M （2）当x M ∈ 时，求x x a x f 432)(2?+?=+ )3(->a 的最小值. 解 (1)21011340x x x x x +?≥≠? -??-+>?且由题可得 [1,1)M =-可解得 (2)2()234x x f x a +∴=?+? =22 243(2)33x a a +- [1,1)x ∈-,1 222x ≤<，, 3a >-，223 a ∴-< ①若2132a - ≤，即34a ≥-时，min ()f x =(1)f -=3 24a +， ②若12223a <- <，即3 34 a -<<-时， 所以当22,3x a =-即22log ()3a x =-时，min ()f x =24 3 a - 20 min 2332()44()43(3)3 4a a f x a a ?+≥-??∴=??--<<-?? 二次函数知识点总结 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项 系数0a ≠，而b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2 =+的性质： y ax c 结论：上加下减。 总结： 3. ()2 =-的性质： y a x h 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 =-+的性质： y a x h k 总结： 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法 如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结： 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 3 幂函数知识点归纳 一、 幂函数定义：对于形如：() x f x α=，其中α为常数.叫做幂函数 定义说明： 1、 定义具有严格性，x α 系数必须是1，底数必须是x 2、 α取值是R . 3、 《考试标准》要求掌握α=1、2、3、?、-1五种情况 二、 幂函数的图像 幂函数的图像是由α决定的，可分为五类： 1）1α＞时图像是竖立的抛物线.例如：()2x f x = 2）=1α时图像是一条直线.即() x f x = 3）01α＜＜ 时图像是横卧的抛物线.例如()1 2 x f x = 4）=0α时图像是除去（0,1）的一条直线.即() 0x f x =（0x ≠） 5）0α＜时图像是双曲线（可能一支）.例如 ()-1 x f x = 具备规律: ①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高） ②幂指数互为倒数时，图像关于y=x 对称 ③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像 练习：做出下列函数的图像： 1、1α> ①3 y x =或53y x = ②2y x =或43y x = ③32y x =或74 y x = 2、01α<< ①13y x = ②23y x = ③12 y x = 3、0α< ①2 y x -= ②1 y x -= ③32 y x - = ④43 y x =— 三、 幂函数的性质 y=x 3 幂函数的性质要结合图像观察，随着α取值范围的变化，性质有所不同。 1、 定义域、值域与α有关，通常化分数指数幂为根式求解 2、 奇偶性要结合定义域来讨论 3、 单调性：α＞0时，在（0，+∞）单调递增：α=0无单调性；α＜0时，在（0，+∞）单调递减 4、 过定点：α＞0时，过（0,0）、（1,1）两点；α≤0时，过（1,1） 5、 由 ()0 x f x α=＞可知，图像不过第四象限 四、 幂函数类型题归纳 （一） 定义应用： 1、下列函数是幂函数的是 ______ ①21()y x -= ②22y x = ③21 (1)y x -=+ ④0 y x = ⑤1y = 2、若幂函数()y f x = 的图像过点2????? ，则函数()y f x =的解析式为______. 3、已知函数()() 22 1 44m m f x m m x --=--是幂函数，且经过原点，则实数m 的值为__________. 4、已知函数()()2 2 k k f x x k Z -++=∈满足()()23f f <，则k 的值为________ ,函数()f x 的 解析式为__________ 5、设1112,1,,,,1,2,3232a ? ? ∈--- ???? ，已知幂函数()f x x α=是偶函数，且在区间()0,+∞上是减函数，则满足要求的α值的个数是__________. 6、设()y f x =和()y g x =是两个不同的幂函数，集合()(){} |M x f x g x ==，则集合M 中 元素的个数是（ ） （Ａ）1或2或0 (Ｂ) 1或2或3（Ｃ）1或2或3或4 (Ｄ)0或1或2或3 （二） 图像及性质应用 1、 右图为幂函数y x α =在第一象限的图像，则 ,,,a b c d 的大小关系是 （ ） ()A a b c d >>> ()B b a d c >>> d y=x ()C a b d c >>> ()D a d c b >>> 2、如图：幂函数n m y x =（m 、n N ∈，且m 、n 互质）的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有 （ ） ()A m 、n 为奇数且 1m n < ()B m 为偶数，n 为奇数，且1m n > ()C m 为偶数，n 为奇数，且1m n < b c 二次函数知识点总结及中考题型,易错题总结 （一）二次函数知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数， 叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 22424b ac b y a x a a -??=++ ???，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为 2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当 2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时， y 有最大值2 44ac b a -． 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数， 0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 幂函数知识点归纳及题型总结 一、 幂函数定义：对于形如：() x f x α=，其中α为常数.叫做幂函数 定义说明： 1、 定义具有严格性，x α系数必须是1，底数必须是x 2、 α取值是R . 3、 《考试标准》要求掌握α=1、2、3、?、-1五种情况 二、 幂函数的图像 幂函数的图像是由α决定的，可分为五类： 1）1α＞时图像是竖立的抛物线.例如：()2x f x = 2）=1α时图像是一条直线.即() x f x = 3）01α＜＜ 时图像是横卧的抛物线.例如()1 2x f x = 4）=0α时图像是除去（0,1）的一条直线.即() 0x f x =（0x ≠） 5）0α＜时图像是双曲线（可能一支）.例如() -1 x f x = 具备规律: ①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高） ②幂指数互为倒数时，图像关于y=x 对称 ③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像 三、幂函数的性质 幂函数的性质要结合图像观察，随着α取值范围的变化，性质有所不同。 1、 定义域、值域与α有关，通常化分数指数 幂为根式求解 2、 奇偶性要结合定义域来讨论 3、 单调性：α＞0时，在（0，+∞）单调递 增：α=0无单调性；α＜0时，在（0，+∞）单调递减 4、 过定点：α＞0时，过（0,0）、（1,1）两 点；α≤0时，过（1,1） 5、 由 ()0 x f x α=＞可知，图像不过第四象限 一、幂函数解析式的求法 1. 利用定义 （1）下列函数是幂函数的是 ______ ①21()y x -= ②22y x = ③21(1)y x -=+ ④0 y x = ⑤1y = （2（3 2 3 1． （1）、函数3 x y =的图像是（ ） （2）右图为幂函数y x α =在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是 （ ） 二次函数考点和题型归纳 一、基础知识 1．二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； 顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)； 两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．二次函数的图象与性质 二次函数系数的特征 (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，系数a 的正负决定图象的开口方向及开口大小； (2)－ b 2a 的值决定图象对称轴的位置； (3)c 的取值决定图象与y 轴的交点； (4)b 2－4ac 的正负决定图象与x 轴的交点个数． 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 ??? ?4ac －b 24a ，＋∞ ? ???－∞，4ac －b 24a 单调性 在??? ?－b 2a ，＋∞上单调递增；在????－∞，－b 2a 上单调递减 在? ???－∞，－b 2a 上单调递增；在??? ?－b 2a ，＋∞上单调递减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数，当b ≠0时为非奇非偶函数 顶点 ????－b 2a ，4ac －b 24a 对称性 图象关于直线x ＝－b 2a 成轴对称图形 二、常用结论 1．一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a >0，且Δ<0”． (2)“ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a <0，且Δ<0”． 2．二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，闭区间为[m ，n ]． (1)当－b 2a ≤m 时，最小值为f (m )，最大值为f (n )； (2)当m <－b 2a ≤m ＋n 2时，最小值为f ????－b 2a ，最大值为f (n )； (3)当 m ＋n 2<－b 2a ≤n 时，最小值为f ????－b 2a ，最大值为f (m )； (4)当－b 2a >n 时，最小值为f (n )，最大值为f (m )． 考点一 求二次函数的解析式 求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同. [典例] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． [解] 法一：利用二次函数的一般式 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得?? ? 4a ＋2b ＋c ＝－1， a － b ＋ c ＝－1， 4ac －b 2 4a ＝8， 解得????? a ＝－4， b ＝4， c ＝7. 故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：利用二次函数的顶点式 设f (x )＝a (x －m )2＋n . 新人教版九年级上二次函数知识点总结 知识点一：二次函数的定义 1．二次函数的定义： 一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．2y ax bx c =++a b c ，，0a ≠其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． a b c 知识点二：二次函数的图象与性质抛物线的三要素：开口、对称轴、顶 ??点 2. 二次函数的图象与性质 ()2 y a x h k =-+（1）二次函数基本形式的图象与性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小 2y ax = （2）的图象与性质：上加下减 2y ax c =+ （3）的图象与性质：左加右减 ()2 y a x h =- （4）二次函数的图象与性质 ()2 y a x h k =-+ 3. 二次函数的图像与性质 c bx ax y ++=2 （1）当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为． 0a >2b x a =-2424b ac b a a ??-- ??? ，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，2b x a <- y x 2b x a >-y x 2b x a =-有最小值 ．y 2 44ac b a - （2）当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为． 0a <2b x a =-2424b ac b a a ??-- ??? ，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，2b x a <- y x 2b x a >-y x 2b x a =-有最大值 ．y 2 44ac b a - 4. 二次函数常见方法指导 （1）二次函数2y ax bx c =++图象的画法①画精确图 五点绘图法（列表-描点-连线） 利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. ②画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，与y 轴的交点，顶点.（2）二次函数图象的平移平移步骤： ①将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；()2 y a x h k =-+()h k ，② 可以由抛物线经过适当的平移得到具体平移方法如下： 2 ax 【【【(h <0)【【【 【【(h >0)【【【(h 【【|k|【【【 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．（3）用待定系数法求二次函数的解析式①一般式：.已知图象上三点或三对、 的值，通常选择一般式. ②顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. ③交点式： .已知图象与轴的交点坐标 、 ，通常选择交点式. （4）求抛物线的顶点、对称轴的方法 ①公式法：，∴顶点是，对称轴a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ?+=++=），（a b ac a b 4422--是直线.a b x 2- =②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(, ()k h x a y +-=2 h )，对称轴是直线. k h x = 高一数学幂函数知识点总结 一、一次函数定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx(k为常数，k≠0) 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数) 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1.作法与图形：通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点) 2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。 3.k，b与函数图像所在象限： 当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大; 当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b>0时，直线必通过一、二象限; 当b=0时，直线通过原点 当b<0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数 的图像。 这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通 过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的 表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……② (3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。 一、高中数学函数的有关概念 1.高中数学函数函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照 某个确定的对应关系f，使对于函数A中的任意一个数x，在函数B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从函数A 到函数B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的函数{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 二次函数知识点总结——题型分类总结 一、二次函数的定义 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①142 +-=x x y ； ②2 2x y =； ③x x y 422 +=； ④x y 3-=； ⑤12--=x y ； ⑥p nx mx y ++=2 ； ⑦()x y ,4=； ⑧x y 5-=。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为t t s 252 +=，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 _________ 。 3、若函数( ) 54722 2 ++-+=x x m m y 是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。 4、若函数()1522 ++-=-x x m y m 是关于x 的二次函数，则m 的值为 。 6、已知函数()35112 -+-=+x x m y m 是二次函数，求m 的值。 二、二次函数的对称轴、顶点、最值 记忆：如果解析式为顶点式：()k h x a y +-=2 ，则对称轴为： _ , 最值 为： ； 如果解析式为一般式：c bx ax y ++=2 ，则对称轴为： __ ，最值为： ； 如果解析式为交点式：()()21x x x x a y --=, 则对称轴为： ，最值为： 。 1．抛物线m m x x y -++=2 2 42经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物线c bx x y ++=2的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线x x y 32+=的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线x ax y 62-=经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) 5．若直线b ax y +=不经过二、四象限，则抛物线c bx ax y ++=2 ( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴 6．已知抛物线()4 1 12- -+=x m x y 的顶点的横坐标是2，则m 的值是 . 7．抛物线322 -+=x x y 的对称轴是 。 8．若二次函数332 -+=mx x y 的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。 9．当n ＝______，m ＝______时，函数()()x n m x n m y n -++=的图象是抛物线， 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： o o 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2y ax c =+的性质： 结论：上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． 总结： 3. ()2 y a x h =-的性质： 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 (一）指数与指数函数 1.根式 （1）根式的概念 （２)．两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n m n a a m n N n a a - *= = >∈>、且 ③０的正分数指数幂等于０，0的负分数指数幂没有意义． 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2)有理数指数幂的性质 ①a r ａｓ =a r+ｓ （ａ＞0,r 、ｓ∈Ｑ）; ②（a r )s ＝a rs (a>0,r 、s ∈Q ）; ③(ａb)r =a r ｂs (a>０,b>0,r ∈Q );. 3.指数函数的图象与性质 y ＝ａ ｘ a>1 0 图象 定义域R 值域(０，+∞) 性质(１)过定点（0，1) （2)当ｘ＞0时，y>1; x<０时，0 幂函数 （1）幂函数的定义： 一般地，函数y x α =叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q p α= （其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q p y x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q p y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q p y x =是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α =∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下 方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上 方，若1x >，其图象在直线y x =下方． 幂函数练习题 一、选择题： 1．下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是 （ ） A ．y x =43 B ．y x =32 C ．y x =-2 D ．y x =-14 2．函数2 -=x y 在区间]2,2 1[上的最大值是 （ ） A ． 4 1 B ．1- C ．4 D ．4- 3．下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ） A ．3 x y -= B ．3 -=x y C ．3 2x y = D ．13 -=x y 4．函数3 4x y =的图象是 （ ） A ． B ． C ． D ． 5．下列命题中正确的是 （ ） A ．当0=α时函数α x y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点 C ．若幂函数αx y =是奇函数，则α x y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 6．函数3 x y =和3 1 x y =图象满足 （ ） A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x y =对称 7． 函数R x x x y ∈=|,|，满足 （ ） A ．是奇函数又是减函数 B ．是偶函数又是增函数 C ．是奇函数又是增函数 D ．是偶函数又是减函数 8．如图1—9所示，幂函数α x y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ） A ．102431<<<<<αααα B ．104321<<<<<αααα 1α 4α 2α 二次函数知识点总结及典型例题讲解 一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， （3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1 x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 三、二次函数的性质初三.二次函数知识点总结
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