*欧阳光明*创编 2021.03.07
相似三角形------射影定理的推广及应用
欧阳光明（2021.03.07）
射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。
一、射影定理
射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，
则有ＣD２＝ＢＤ?AD、
ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ或
ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ。
二、变式推广
１．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为
高，且有ＤＣ２＝ＢＤ?ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。
２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。（后文简称：射影定理变式（2））
如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若
∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤ
Ｂ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ?AB；反之，若△Ａ
ＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，
则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣ
Ｂ＝∠Ａ。
三、应用
例１ 如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：４ＤＨ?ＤＡ＝ＢＣ
２ 分析： 易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C ＝∠HBD ，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ?ＤＡ，又ＢＣ＝
２ＢＤ，故有结论成立。
（证明略）
例２ 如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分，
求ＤＣ。
分析：易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，满足射影定理变式（2）的条件，故有ＣＤ２
＝ＤＥ?ＤＢ，易求得ＤＣ＝８
(解略)
例3 已知：如图（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡ
Ｃ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，
求证：ＤＦ２＝ＣＦ?ＢＦ。
证明：连ＡＦ， ∵ＦＨ垂直平分
ＡＤ， ∴ＦＡ＝ＦＤ， ∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，
∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡ
Ｄ，
∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡ
Ｄ，
∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，
∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦC 公共， ∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴ＢＦＡＦ＝ＡＦC Ｆ
，
∴ＡＦ２＝ＣＦ?ＢＦ，∴ＤＦ２
＝ＣＦ?ＢＦ。
射影定理练习
【选择题】
1、已知直角三角形ABC 中，斜边AB=5cm,BC=2cm ，D 为AC 上
的一点，DE AB ⊥交AB 于E ，且AD=3.2cm ，则DE= （ ）
A 、1.24cm
B 、1.26cm
C 、1.28cm
D 、1.3cm
2、如图1-1，在Rt ABC 中，CD 是斜别AB 上的高，在图中六条线
段中，你认为只要知道（ ）线段的长，就可以求其他线段的长
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
3、在Rt ABC 中，90BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，若34AC AB =，则BD CD =（ ）
A 、3
4 B 、43 C 、169 D 、916
【填空题】
5、ABC 中，90A ∠=，AD BC ⊥于点D ，AD=6，BD=12，则CD=，AC=
，22:AB AC =。
6、如图2-1，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥，AC=6，AD=3.6，则BC=．
【解答题】
7、已知CD 是ABC 的高，
,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：
CEF CBA ∽
8、已知90CAB ∠=，AD CB ⊥，ACE ，ABF 是正三角形，求证：DE DF ⊥
10、如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，点M 在CD 上，DH ⊥BM 且与AC 的延长线交于点E ．求证：（1）△AED ∽△CBM ；（2）AE ?CM=AC ?CD ．
11、已知：如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D ，过点B 做射线BG ，交AD 、AC 于E 、F 两点，与过点C 平行于AB 的直线交于点G 。
求证： （1）BE 2=EF ?EG
（2）若过点B 的射线交AD\AC 的射线ＡＤ、ＡＣ的延长线分别于Ｅ、Ｆ两点，与过C 平行于ＡＢ的直线交于点Ｇ，则（）的结论是否成立，若成立，请说明理由。