, 于是, ①当4>m 且m 为偶数时
=+++m
a a a 1
1154Λ)11()11(11654m m a a a a a +++++-Λ .87
8321)2
11(412321)212121(23214243=+<-??+=++++<
--m m Λ ②当4>m 且m 为奇数时
<+++m a a a 11154Λ1
541111+++++m m a a a a Λ(添项放缩) 由①知
.8
7
1111154<+++++m m a a a a Λ 由①②得证。
九. 借助数学归纳法
例22(Ⅰ)设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ,求)(x f 的最小值;
(Ⅱ)设正数n p p p p 2321,,,,Λ满足12321=++++n p p p p Λ,求证:
n
p p p p p p p p n n -≥++++222323222121log log log log Λ
[解析] 这道高考题为05年全国卷Ⅰ第22题,内蕴丰富,有着深厚的科学背景:直接与高等数学的凸函数有关!更为深层的是信息科学中有关熵的问题。(Ⅰ)略,只证(Ⅱ):
考虑试题的编拟初衷,是为了考查数学归纳法,于是借鉴詹森不等式的证明思路有: 法1(用数学归纳法)
(i )当n=1时,由(Ⅰ)知命题成立.
(ii )假定当k n =时命题成立,即若正数1,,,221221=+++k k p p p p p p ΛΛ满足, 则.log log log 222222121k p p p p p p k k -≥+++Λ
当1+=k n 时,若正数,1,,,11221221=+++++k k p p p p p p ΛΛ满足(*) 为利用归纳假设,将(*)式左边均分成前后两段: 令.,,,,222211221x
p q x p
q x p q p p p x k k k ===+++=ΛΛ 则k q q q 221,,,Λ
为正数,且.1221=+++k q q q Λ
由归纳假定知.log log log 222222121k q q p p p q k k -≥+++Λ
k
k k k q q q q q q x p p p p p p 222222121222222121log log log (log log log +++=+++ΛΛ ,log )()log 22x x k x x +-≥+ (1)
同理,由x p p p k k k -=++++++1122212Λ得
1122212212log log ++++++k k k k p p p p Λ).1(log )1())(1(2x x k x --+--≥(2)
综合(1)(2)两式11222222121log log log +++++k k p p p p p p Λ
).1()1(log )1(log ))](1([22+-≥--++--+≥k x x x x k x x
即当1+=k n 时命题也成立. 根据(i )、(ii )可知对一切正整数n 命题成立. 法2 构造函数那么常数)),,0(,0)((log )(log )(22c x c x c x c x x x g ∈>--+=
],log )1(log )1(log [)(222c c
x
c x c x c x c x g +--+=
利用(Ⅰ)知,当.)(,)2
(21取得最小值函数时即x g c
x c x ==
对任意都有,0,021>>x x
2
log 22log log 2
1
221222121x x x x x x x x ++?
≥+]1)()[log (21221-++=x x x x ② (②式是比①式更强的结果). 下面用数学归纳法证明结论. (i )当n=1时,由(I )知命题成立.
(ii )设当n=k 时命题成立,即若正数有满足,1,,,221221=+++k k p p p p p p ΛΛ
1
1111122212212222121221221222222121log log log log .
1,,,,1.
log log log ++++++++++==++++=-≥+++--k k k k k k k k p p p p p p p p H p p p p p p k n k p p p p p p ΛΛΛΛ令满足时当
对(*)式的连续两项进行两两结合变成k
2项后使用归纳假设,并充分利用②式有
,
1)()(],1)()[log (]1)()[log (11111121221212221221221=++++-++++-++≥++++++---k k k k k k p p p p p p p p p p p p H ΛΛ因为
由归纳法假设 ,)(log )()(log )(1111
212221
2
21221k p p p p p p p p k k k k -≥++++++++++--Λ
得).1()(1121221+-=++++--≥+++k p p p p k H k k Λ 即当1+=k n 时命题也成立. 所以对一切正整数n 命题成立.
【评注】(1)式②也可以直接使用函数x x x g 2log )(=下凸用(Ⅰ)中结论得到; (2)为利用归纳假设,也可对(*)式进行对应结合:i i i n p p q +-+=12而变成k 2项; (3)本题用凸函数知识分析如下:
先介绍詹森(jensen )不等式:若
()f x 为],[b a 上的下凸函数,则
对任意1),,,1(0],,[1=++=>∈n i i n i b a x λλλΛΛ,有
).()()(1111n n n n x f x f x x f λλλλ++≤++ΛΛ
特别地,若n i 1=
λ,则有)].()([1
)(11n n x f x f n
n x x f ΛΛ+≤++ 若为上凸函数则改“≤”为“≥”。
由)
(x g 为下凸函数
得
)
2
(
2
)
()()(221221n
n
n
n p p p g p g p g p g +++≥+++ΛΛ
又
1
2321=++++n p p p p Λ,
所以
≥++++n n p p p p p p p p 222323222121log log log log Λ.)2
1
(
2n g n n -≥ (4)本题可作推广如下:
若正数n p p p ,,,21Λ满足121=+++n p p p Λ,则
.ln ln ln ln 2211n p p p p p p n n -≥+++Λ
简证:构造函数1ln )(+-=x x x x f , 易得.1ln 0)1()(-≥?=≥x x x f x f
?-≥?1)ln()(i i i np np np .1
)ln(n
p np p i i i -≥
故
.0ln ln 01])ln([1
1
≥+?=-≥∑∑∑==i n
i i i n
i i i
p p n p np p
十. 构造辅助函数法
【例23】已知()f x = 2ln 243x x
+-,数列{}n a 满足()()
*11 2 ,02
1
1N n a f a n a n ∈=<<-
++ (1)求()f x 在??
?
???-021,上的最大值和最小值; (2)证明:1
02
n a -
<<; (3)判断n a 与1()n a n N *
+∈的大小,并说明理由.
【解析】(1) 求导可得()f x 在1-,0 2??????上是增函数,()()max min 5
f =2;f -ln2.2x x ∴=
(2)(数学归纳法证明)①当1n =时,由已知成立;
②假设当n k =时命题成立,即1
02
k a -
<<成立, 那么当1n k =+时,由(1)得1
15
2
()(ln 2,2)2
k k a f a ++=∈-,
1135
ln 22222k a ++<<-<<,11112
k a +<+<, 11
02
k a +∴-
<<,这就是说1n k =+时命题成立. 由①、②知,命题对于n N *
∈都成立
(3) 由()1
1112
22n n n a a a n f a ++++-=-, 构造辅助函数()()12+-=x x f x g ,得
()
4ln 4212ln 2)()('1x x x x f x g --=-'=+,
当1
02
x -
<<
时,121,4 1.22x x <<<<
故11241022x
x
--<-
-<,所以)('x g <0 得g(x)在??
????021-,是减函数, ∴g(x)>g(0)=f(0)-2=0,∴()n
a n a f +-12>0,即n n a a ++-+1122
1
>0,得1+n a >n a 。
【例24】已知数列{}n a 的首项13
5
a =,1321n n n a a a +=+,12n =L ,,.
(Ⅰ)求{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)证明:对任意的0x >,21121(1)3n n a x x x ??-- ?++??
≥,12n =L ,,; (Ⅲ)证明:2
121n n a a a n +++>+L .
【解析】(Ⅰ)332
n
n n a =+.
(Ⅱ)提供如下两种思路: 思路1 观察式子右边特征,按
1
1x
+为元进行配方,确定其最大值。 法1 由(Ⅰ)知3032n n n a =>+,21121(1)3n x x x ??
-- ?++??
2112111(1)3n x x x ??
=
-+-- ?++??2
111(1)1(1)
n x x x a ??=--+??++??
2
112
(1)1n a x x =-+++g 2
111n n n a a a x ??
=--+ ?+??
n a ≤,
∴原不等式成立.
思路2 将右边看成是关于x 的函数,通过求导研究其最值来解决: 法2 设2112()1(1)3n f x x x x ??
=
-- ?++??
, 则2222
22(1)2(1)2133()(1)(1)(1)n n x x x x f x x x x ????
-+--+- ? ?????'=-
-=+++g
0x >Q ,∴当23n x <
时,()0f x '>;当2
3
n
x >时,()0f x '<, ∴当2
3
n x =
时,()f x 取得最大值212313n n n
f a ??
== ???+.
∴原不等式成立.
(Ⅲ)思路1 考虑本题是递进式设问,利用(Ⅱ)的结论来探究解题思路:
由(Ⅱ)知,对任意的0x >,有
122221121121(1)31(1)3n a a a x x x x x x ????+++--+-- ? ?++++????L ≥
21121(1)3n
x x x ??++-- ?++??
L
2212221(1)333n
n nx x x ??=
-+++- ?++??
L . ∴取22111222113311333313n n n x n n n ??
-
???????=+++==- ? ???????
- ???
L ,
则22
121111
11133n n
n n n n a a a n n n +++=>
+??+-+- ???
L ≥. ∴原不等式成立.
【注】本解法的着眼点是对上述不等式中的x 进行巧妙赋值,当然,赋值方法不止一种,如:
还可令1
x n
=
,得 22212221111111(1)3333
1(1)n n
n n nx n x x n n n
????-+++-=---? ? ?++????++L 22
211.1131(1)n n n n n n
=+?>+++
思路2 所证不等式是与正整数n 有关的命题,能否直接用数学归纳法给予证明?尝试:
122
12333.3232321
n n n n ?+++>++++L
(1)当1n =时12
133********
=>=++,成立; (2)假设命题对n k =成立,即122
12333.3232321
k k k k +++>++++L
则当1n k =+时,有 12121
12113333332323232132
k k k k k k k k ++++++++>+
++++++L , 只要证明212
13(1)1322
k k k k k k ++++>+++; 即证12232212
3(1)(1)(2)31
3221(2)(1)32
k k k k k k k k k k k k k k k ++++-+++>-==+++++++, 即证
12121212
32232121
322(32)32323232
k k k k k k k k k k k k +++++-++->?+>++++++++
用二项式定理(展开式部分项)证明,再验证前几项即可。 如下证明是否正确,请分析:
易于证明3321
n n n n a n =>++对任意n N *
∈成立; 于是
2
3.3211
n n n
n n a n n =>=+++∑∑
∑ 【注】上述证明是错误的!因为:()1
k
f k k =+是递增的,不能逐步“缩小”到所需要的结论。可修改如下:
考虑21n n +是某数列{}n b 的前n 项和,则2222(1)1
1n n n n n b n n n n
-+-=-=++,
只要证明22231
322 2.32k k k k k
k k a b k k k k
+->?>?>+-++ 思路3 深入观察所证不等式的结构特征, 利用均值不等式可得如下妙证:
由1321n n n a a a +=+取倒数易得:3032
n
n n
a =>+,用n 项的均值不等式: 121212111222111333n n n a a a n n n a a a +++>=
+++++++++L L L 1
1
11
[1()]12331
313
n n
n n n n n n =
=
>+-+-
+-, 2
12.1
n n a a a n ?+++>+L
【例25】已知函数f(x)=x 2
-1(x>0),设曲线y=f(x)在点(x n ,f(x n ))处的切线与x 轴的交点为(x n+1,0)(n ∈N *
). (Ⅰ) 用x n 表示x n+1;
(Ⅱ)求使不等式1n n x x +≤对一切正整数n 都成立的充要条件,并说明理由;
(Ⅲ)若x 1=2,求证:.3
1
211111121-≤++++++n n x x x Λ
【解析】(Ⅰ) .2121
n
n n x x x +=+ (Ⅱ)使不等式1n n x x +≤对一切正整数n 都成立的充要条件是x 1≥1. (Ⅲ) 基本思路:寻求合适的放缩途径。
探索1 着眼于通项特征,结合求证式特点,尝试进行递推放缩: ?+=++n
n n x x x 2)1(121
)2(12)1(2)1(2)1(21112
11211≥+≤+-+=+=+-----n x x x x x x n n n n n n 即
)2(12
111
≥+≤+-n x x n n 。于是由此递推放缩式逐步放缩得
.3
2121212111
11221----=+≤≤+≤+≤+n n n n n x x x x Λ
探索2 从求证式特征尝试分析:结论式可作如下变形:
.3
12)2221(311111111
221-=++++≤++++++-n n n x x x ΛΛ
逆向思考,猜想应有:.3
2111
-≤+n n x (用数学归纳法证明,略)
。 探索3 探索过渡“桥”,寻求证明加强不等式:
由(2)知x n ≥1,由此得
)2(2
1
11≥≤+n x n 。有
.2
1
3111111121-+≤++++++n x x x n Λ 尝试证明3
1
22131-≤-+
n n .1321+≥?+n n 证法1(数学归纳法,略);
法2 (用二项展开式部分项):当n ≥2时2n
=(1+1)n
≥2
2
2210++=++n n C C C n
n n
.02
)1(213221322
2≥-=--++≥+-n n n n n n
此题还可发现一些放缩方法,如: