美式期权二叉树定价及matlab程序

美式期权二叉树定价及matlab程序金融随机分析课程

美式期权的二叉树定价

1、对于连续随机游走:

dS,,Sdt，,SdZ

,t 可以用离散格随机游走模型来表示，即标的资产的价格只在离散时间点，,t,t,t,t2,3,…,N取值，表示很小但非无穷小的时间步长;如果标的资产在时mm,t,t刻m的价格为，那么在时刻(m+1)其价格有两种可能的值:和SuS(u,1) mmm，并且标的资产的价格从上升到的概率为p。 SuSdS(d,1)

2、风险中性假设在风险中性条件下，随机微分方程:

dS,,Sdt，,SdZ

其中的可以用r来表示。即 ,

dS,rSdt，,SdZ

m,t,tV风险中性条件下，在时刻m衍生证券的价格是其在时刻(m+1)的期望值m,r,tm，1按照无风险利率r贴现所得到的，即。 V,E[eV]

3、期权的计算

期权的计算是从二叉树图的末端(时刻T)开始向后倒退进行的。T时刻期

N权的价值已知。对于一个看涨期权来说，有 Vn

NN V,max(S,K,0)nn

对于一个看跌期权来说，有

NN V,max(K,S,0)nn

其中，n=0,1,2,…,N, K为执行价格。

T,,t在风险中性条件下，时刻的每个结点上的期权值都可以用T时刻期权

,tT,2,t价值的期望值在时间内用利率r贴现求出;同理，时刻的每个结点的T,,t,t期权值可以用时刻的期望值在时间内用利率r贴现求出，其它结点依次类推。

而如果对于美式期权，必须检查二叉树图的每个结点，以确定提前执行是否,t比继续持有时间更为有利。最后，向后倒推通过所有结点就求出了当前时刻V的期权价值。 0

下面对美式期权定价问题进行研究:

美式看涨期权被提前执行时，其内涵价值为

mm n=0,1,2,…,m V,max(S,K,0)nn

对于看跌期权来说，有

mm n=0,1,2,…,m V,max(K,S,0)nn

,t,t在m时刻从节点(m,n)向(m+1)时刻的结点(m+1,n+1)移动的概率为p;

,t向(m+1)时刻的结点(m+1,n)移动的概率为1-p。

假设期权不提前执行，有:

m,r,tm，1m，1 V,e[pV，(1,p)V]nn，1n

若期权提前执行，必须与内涵价值相比较。那么，对于看涨期权，有

mm,r,tm，1m，1 V,max{max(S,K,0),e[pV，(1,p)V]}nnn，1n对于看跌期权，有

mm,r,tm，1m，1 V,max{max(K,S,0),e[pV，(1,p)V]}nnn，1n4、计算美式看涨期权的价格的Matlab实现(基于具体的算例) Matlab程序如下: %输入具体参数

S0=100; %当前股价

K=105; %执行价格

r=0.05; %利率

T=1; %期权有效期

sigma=0.3; %波动率

q=0.02; %红利率

n=1000; %步数

dt=T/n; %时间步长

%计算二叉树各参数

u=exp(sigma*sqrt(dt)); %计算上升比率 d=1/u; %计算下降比率 p=(exp((r-q)*dt)-d)/(u-d); %计算上升的概率 %构造二叉树矩阵，i表示行数，j表示列数，Sx为股价矩阵，fx为期权的内在

价值

for j=1:n+1

for i=1:j

Sx(i,j)=S0*(u^(j-i))*(d^(i-1));

fx(i,j)=max(Sx(i,j)-K,0);

end;

end;

%计算美式期权价格矩阵Afx和欧式期权价格矩阵Efx

for i=1:n+1 %到期时(j=n+1)期权价格

Afx(i,n+1)=fx(i,n+1);

Efx(i,n+1)=fx(i,n+1);

end;

for jj=1:n %倒推前面各期(j=n-1,n-2,…,1)期权价格

j=n+1-jj;

for i=1:j

Efx(i,j)=exp(-r*dt)*(p*Efx(i,j+1)+(1-p)*Efx(i+1,j+1));

Afx(i,j)=max(exp(-r*dt)*(p*Afx(i,j+1)+(1-p)*Afx(i+1,j+1)),fx(i,j));

end;

end;

%输出结果

AmeOptionPrice=Afx(1,1)

ErouOptionPrice=Efx(1,1)

AmeOptionPrice = 10.89434691587509 ErouOptionPrice =

10.89432408424911

美式期权定价.doc

美式期权定价 由于美式期权提前执行的可能，使得解决最优执行决策成为美式期权定价和套期保值的关键。由第三章的内容我们知道，如果标的股票在期权的到期日之前不分红，则美式看涨期权不会提前执行，因为在到期日之前执行将损失执行价格的利息。但是，如果标的股票在期权到期日以前支付红利，则提前执行美式看涨期权可能是最优的。提前执行可以获得股票支付的红利，而红利的收入超过利息损失。事实上，我们将证明，投资者总是在股票分红前执行美式看涨期权。 对于美式看跌期权而言，问题变的更复杂。看跌期权的支付以执行价格为上界，这限制了等待的价值，所以对于美式看跌期权而言，即使标的股票不支付红利，也可能提前执行。提前执行可以获得执行价格的利息收入。 许多金融证券都暗含着美式期权的特性，例如可回购债券（called bond ），可转换债券（convertible bond ）， 假设： 1．市场无摩擦 2．无违约风险 3．竞争的市场 4．无套利机会 1．带息价格和除息价格 每股股票在时间t 支付红利t d 元。当股票支付红利后，我们假设股价将下降，下降的规模为红利的大小。可以证明，当市场无套利且在资本收益和红利收入之间没有税收差别时，这个假设是成立的。 ()()t e c d t S t S += 这里()t S c 表示股票在时间t 的带息价格，()t S e 表示股票在时间t 的除息价格。 这个假设的证明是非常直接的。如果上述关系不成立，即()()t e c d t S t S +≠，则存在套利机会。 首先，如果()()t e c d t S t S +>，则以带息价格卖出股票，在股票分红后马上以除息价格买回股票。因为我们卖空股票，所以红利由卖空者支付，从而这个策略的利润为()()()t e c d t S t S +-。因为红利是确定知道的，所以只要()()() t S t S e c -var =0，则利润是没有风险的。 其次，如果()()t e c d t S t S +<，则以带息价格买入股票，获得红利后以除息价格卖 出，获得利润为()()t S d t S c t e -+。

美式期权二叉树定价及MATLAB程序

】 金融随机分析课程 美式期权的二叉树定价 1、对于连续随机游走： SdZ Sdt dS σμ+= 可以用离散格随机游走模型来表示，即标的资产的价格只在离散时间点t ?，2t ?,3t ?,…,N t ?取值，t ?表示很小但非无穷小的时间步长；如果标的资产在时刻m t ?的价格为m S ，那么在时刻(m+1)t ?其价格有两种可能的值:)1(>u uS m 和)1(

欧式看涨期权二叉树定价

欧式看涨期权二叉树定价（含m a t l a b代码和结果图）实验概述 本实验首先介绍了二叉树方法的来源和主要理论基础，然后给出期权的二叉树定价方法的基本过程和MATLAB7. 0实现的过程。 19. 2 实验目的 (1)了解二叉树的定价机理; (2)掌握用MATLAB7. 0生成股票价格的二叉树格子方法; (3)掌握欧式期权和美式期权的二叉树定价方法。 19. 3 实验工具 MATLAB 7. 0。 19. 4 理论要点 构造二叉树图(Binomial Tree)是期权定价方法中最为常见的一种。这个树图表示了在期权有效期内股票价格可能遵循的路径。二叉树定价方法与风险中性定价理论是紧密联系的。Cox, Ross & Rubinstein (1979)首次提出了构造离散的风险中性概率可以给期权定价，在此基础上他们给出了二叉树定价方法。 1)一个简单的例子 假设当前(3月份)股票的价格So =50元，月利率是25%。4月份股票价格有两种可能:S高=100元，S低=25元。有一份看涨期权合约，合约约定在4月份可以以50元价格买进一股股票。现在考虑一个投资组合，进行几项操作:以价格C卖出3份看涨期权合约;以50元购入2股股票;以25%的月利率借人40元现金，借期为一个月。 根据上述组合，我们可以得到以下到期收益分布表，如表19. 1所示。 表19.1 投资组合的到期收益分布表 四月份 三月份

S低=25元S高=100元 卖出3份看涨期权合约3C 0 -150 买人两股股票-100 50 200 借人现金40 -50 -50 总计0 0 0 由一价定律3C-100+40=0，可得C= 20元，即为期权的价格。这个例子说明，可以用一个相当简单的方法为期权定价，唯一需要做的是假设对投资者而言不存在套利机会。我们可以通过某种方式构造一个股票和期权的组合，使得在4月份该组合的价值是确定的。于是我们可以说该组合无风险，它的收益率一定等于无风险收益率。二叉树方法正是基于上述思想构造了二项分布下的风险中性概率。 2)二叉树模型 考虑一个不支付红利的股票期权价格估值。我们把期权的有效期分为很多很小的时间间隔Δt。假设在每一个时间段内股票价格从开始的价格S以概率p上升到Su,以概率1-p下降到Sd，其中，u>1,O

第七章_美式期权定价(金融衍生品定价理论讲义)

第七章 美式期权定价 由于美式期权提前执行的可能，使得解决最优执行决策成为美式期权定价和套期保值的关键。由第三章的内容我们知道，如果标的股票在期权的到期日之前不分红，则美式看涨期权不会提前执行，因为在到期日之前执行将损失执行价格的利息。但是，如果标的股票在期权到期日以前支付红利，则提前执行美式看涨期权可能是最优的。提前执行可以获得股票支付的红利，而红利的收入超过利息损失。事实上，我们将证明，投资者总是在股票分红前执行美式看涨期权。 对于美式看跌期权而言，问题变的更复杂。看跌期权的支付以执行价格为上界，这限制了等待的价值，所以对于美式看跌期权而言，即使标的股票不支付红利，也可能提前执行。提前执行可以获得执行价格的利息收入。 许多金融证券都暗含着美式期权的特性，例如可回购债券（called bond ），可转换债券（convertible bond ）， 假设： 1．市场无摩擦 2．无违约风险 3．竞争的市场 4．无套利机会 1．带息价格和除息价格 每股股票在时间t 支付红利t d 元。当股票支付红利后，我们假设股价将下降，下降的规模为红利的大小。可以证明，当市场无套利且在资本收益和红利收入之间没有税收差别时，这个假设是成立的。 ()()t e c d t S t S += 这里()t S c 表示股票在时间t 的带息价格，()t S e 表示股票在时间t 的除息价格。 这个假设的证明是非常直接的。如果上述关系不成立，即()()t e c d t S t S +1，则存在套利机会。 首先，如果()()t e c d t S t S +>，则以带息价格卖出股票，在股票分红后马上以除息价格买回股票。因为我们卖空股票，所以红利由卖空者支付，从而这个策略的利润为()()()t e c d t S t S +-。因为红利是确定知道的，所以只要()()()t S t S e c -var =0，则利润是没有风险的。 其次，如果()()t e c d t S t S +<，则以带息价格买入股票，获得红利后以除息价格卖出，获得利润为()()t S d t S c t e -+。

二叉树期权定价法22222

二叉树期权定价法 摘要上世纪七十年代以来金融衍生品得到了蓬勃的发展，在这之中，期权的地位尤为受到重视，居于核心地位，很多的新创的衍生品，都包含了期权的成分。所以一直以来，期权的定价问题受到了大量经济学家的探索。实物期权的定价模式的种类较多，理论界和实务界尚未形成通用的定价模型，主要估值方式有两种：一是B l a c k-S c h o l e s期权定价模型；二是二叉树期权定价模型。 1973年，布莱克和斯科尔斯(B l a c k a n d C s c h o l e s)提出了 B l a c k-S c h o l e s期权定价公式，对标的资产的价格服从正态分布的期权进行定价。随后，罗斯开始研究标的资产的价格服从非正态分布的期权定价理论。1976年，约翰·考克斯(J o h n C a r r i n g t o n C o x)、斯蒂芬·罗斯(S t e p h e n A.R o s s)在《金融经济学杂志》上发表论文“基于另类随机过程的期权定价”，提出了风险中性定价理论。1979年，约翰·考克斯(J o h n C a r r i n g t o n C o x)、斯蒂芬·罗斯(S t e p h e n A.R o s s)、马克·鲁宾斯坦（M a r k R u b i n s t e i n）在《金融经济学杂志》上发表论文“期权定价：一种简单的方法”，该文提出了一种简单的对离散时间的期权的定价方法，被称为C o x-R o s s-R u b i n s t e i n二项式期权定价模型。 关键词 B l a c k-S c h o l e s期权定价模型虽然有许多优点,但是它的推导过程却是难以为人们所接受；二叉树期权定价模型假设股价波动只有

美式期权、欧式期权比较分析

美式期权、欧式期权比较分析 摘要：随着国内各交易所期权工作的逐步推进，对交易规则的细化研究变得更加重要。在交易规则中，期权执行方式的选择有美式和欧式之分，而国内各交易所目前期权规则在执行方式上也没有统一。本文主要针对美式期权与欧式期权本身的特点，结合国际主要交易所期权执行方式的实证分析，得出的主要结论为美式期权相对有较好的灵活性，也是商品期权尤其是农产品期权的主要执行方式。 关键词：执行方式欧式期权美式期权 一、美式期权、欧式期权定义 期权是一种金融合约，这一合约赋予其持有人在约定的时间以约定的价格买入或卖出标的资产的权利。期权的执行方式主要有美式和欧式。美式期权指期权的买方在合约到期日之前任意交易日都可以行使权力，也可以选择到期日行使权力。欧式期权是指期权买方只能选择合约到期日行使权力，在合约到期日之前不能执行。美式期权和欧式期权在合约到期日（或到期日之前）不执行的，则期权合约自动作废。 二、美式期权、欧式期权比较 美式期权与欧式期权同为期权的两种执行方式在衍生品市场中共同存在至今，表明美式期权和欧式期权各有优势，没有绝对的优劣之分，下面从二者的主要差别上来对比

下这两种期权特点： （一）美式期权更具执行的灵活性 由于美式期权在合约到期日及到期日之前的每个交易日均可执行，而欧式期权仅在合约到期日行使权力，显然，美式期权相对于买方来讲更具灵活性。 （二）美式期权具有较高的权利金价格 由于美式期权由于较欧式期权有更多的权利，买方可以选择在合约到期日前任意交易日行使权利，因此，对于同一个合约而言采取美式期权的执行方式会较欧式期权执行方式的权利金价格更高，以此来补偿卖方的风险。因此，美式期权买方需要付出的成本较多，但可以获得更大的权利；美式期权卖方可以获得较多收益，但同样需要承担期权随时被执行的风险。 （三）期权风险管理 1．美式期权 对于期权的买方来说，美式期权灵活的执行方式可以很好的规避风险。买方可以选择有利于自己的任何时机执行，而这样也能让偏离自身价值的期权标的产品的市场价格逐渐回归价值，保持市场的理性运行，防止期权到期时集中执行对市场造成一定冲击。 对于期权的卖方来说，美式期权由于在合约到期日前任意工作日都可以执行，这对于卖方所设计的投资策略是一个考验，因其必须要根据被执行期权的情况不断调整投资策略，对冲敞口风险，这也对期权卖方的风险控制能力提出较

二叉树定价模型

.. 期权定价的二叉树模型 Cox、Ross和Rubinstein 提出了期权定价的另一种常用方法二叉树（binomialtree ）模型，它假设 标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产 和期权价格的演进历程。本章只讨论股票期权定价的二叉树模型，基于其它标的资产如债券、货币、股票 指数和期货的期权定价的二叉树方法，请参考有关的书籍和资料。 8.1 一步二叉树模型 我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。 例8.1假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18.股 票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。 在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能 出现的不同股价。由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图 8.1表示的二叉树称为一步 （one-step）二叉树。这是最简单的二叉树模型。 一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。经过一个时间步（至到期 日T）后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为；也有可能下降到 相应的期权价格为. 这种过程可通过一 步（ one- step ）二叉树表示出来， 如图 8.2

所示。我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。

.. 为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（noarbitrage）假设，即市场上无套利机会存 在。构造一个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。 如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组 合在期权到期日的价值为。根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应 该相等，即有 由此可得 (8.1) 上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。在这种情况下，该组合是无风险的。以表示无风险利率，则该组合的现值（thepresent value）为,又注意到该组合 的当前价值是，故有 即 将(8.1) 代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为 (8.2) (8.3) 需要指出的是，由于我们是在无套利（noarbitr age ）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率

第九章 期权估价-二叉树期权定价模型

2015年注册会计师资格考试内部资料 财务成本管理 第九章　期权估价 知识点：二叉树期权定价模型 ● 详细描述： 一、单期二叉树模型 关于单期二叉树模型，其计算结果与前面介绍的复制组合原理和风险中性原理是一样的。 以风险中性原理为例： 根据前面推导的结果： 代入（1）式有: 二、两期二叉树模型 如果把单期二叉树模型的到期时间分割成两部分，就形成了两期二叉树模型。由单期模型向两期模型的扩展，不过是单期模型的两次应用。 三、多期二叉树模型

原理从原理上看，与两期模型一样 ，从后向前逐级推进 乘数确定期数增加以后带来的主要问题 是股价上升与下降的百分比如 何确定问题。期数增加以后 ，要调整价格变化的升降幅度 ，以保证年收益率的标准差不 变。把年收益率标准差和升降 百分比联系起来的公式是： u＝1＋上升百分比＝ d＝1－下 降百分比＝ 其中：e＝自然常 数，约等于2.7183 σ＝标的资 产连续复利收益率的标准差 t＝以年表示的时间长度（每期 时间长度用年表示） 做题程序： （1）根据标准差和每期时间间隔确定每期股价变动乘数（应用上述的两个公式）　（2）建立股票价格二叉树模型 （3）根据股票价格二叉树和执行价格，构建期权价值的二叉树。 构建顺序由后向前，逐级推进。——复制组合定价或者风险中性定价。 （4）确定期权的现值 例题： 1.如果股票目前市价为50元，半年后的股价为51元，假设没有股利分红，则 连续复利年股票投资收益率等于（）。 A.4% B.3.96% C.7.92% D.4.12% 正确答案：B 解析：r=ln(51/50)/0.5=3.96%

欧式与美式期权二叉树定价及程序实现

如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！ 姓名：卢众 专业：数学与应用数学 学号： 08101116 指导老师：许志军 2011 年 6 月 3 日 目录 一、期权二叉树定价简介 ............................ 错误！未定义书签。 二、假设 .......................................... 错误！未定义书签。 三、符号说明 ...................................... 错误！未定义书签。 四、欧式二叉树模型 ................................ 错误！未定义书签。 1、一步二叉树模型.............................. 错误！未定义书签。 2、风险中性定价原理............................ 错误！未定义书签。 3、两步二叉树模型.............................. 错误！未定义书签。 4、多步二叉树模型.............................. 错误！未定义书签。 五、美式二叉树模型 ................................ 错误！未定义书签。 1、单步二叉树.................................. 错误！未定义书签。 2、多步二叉树.................................. 错误！未定义书签。 六、对于其他标的资产的期权的定价 .................. 错误！未定义书签。 1、支付连续股息收益率股票期权的定价............ 错误！未定义书签。 2、股指期权期权的定价.......................... 错误！未定义书签。 3、货币期权.................................... 错误！未定义书签。 4、期货期权.................................... 错误！未定义书签。 七、实例解析 ...................................... 错误！未定义书签。 八、程序 .......................................... 错误！未定义书签。 一、期权二叉树定价简介 期权定价领域中一个有用并常见的工具是所谓的二叉树方法，这里的二叉树是指代表在期权期限内可能会出现的股票价格变动路径的图形，这里股票价格被假定为服从随机漫步，在树形的每一步，股票价格具有一定的概率会向上移动一定的比率，同时股票价格也具有一定的概率会向下移动一定的比率。在极限状况，即步长足够小时，二叉树中的股票价格趋于对数正态分布，而对数正态分布正式布莱克-斯科尔斯模型关于股票价格的假设。

金融工程-二叉树模型——期权定价方法试验报告---用于合并

期权定价（二叉树模型）实验报告1204200308 学号：1201 姓 名：郑琪瑶班级：创金 一、实验目的计算出支付连续红利率资产Excel 本实验基于二叉树模型对 期权定价。利用的期权价格，并探究输入参数（如无风险利率、波动率、期限、时间区间划分方从而巩固二叉树模型这种期权定价的数对于期权价格的影响，式、收益率等等）值方法的相关知识。 二、实验原理的红利时，在风险中性条件下，证券价格的当标的资产支付连续收益率为q应该满足以下，因此参数（股票价格上升的概率）、、增长率应该为pq?r u d式子：tq)?(r?dpe)(?pu?1?；同时在一小段时间内股票价格变化的方差 满足下式：2222?]p1?)p)dd?[pu?(?t?pu?(1?；1，将三式联列，可以解考克斯、罗斯和鲁宾斯确定参数的第三个条件是?u d）得（*(r?q)?t??edp?? u?d????t u?e????t?d?e???t?0?三、实验内容 1.假定有一支付连续红利率股票的美式看涨期权，有效期期限为5个月，目前 的股票价格和期权执行价格都为50元，无风险利率为10%，波动率为40%，连续收益率为3%，为了使得估计的期权价格比较准确，把时间区间划分成30步，即N=30，利用excel加载宏可以计算得到相应美式和欧式期权的价格 2.探究基于不同红利支付类型：支付已知收益率和支付已知红利数额，计算出相应的美式和欧式期权价格。 3.以支付已知收益率模式下分析期权价格。使资产连续复利收益率在[1%,10%]变化，保持其余变量不变，分别计算出相应美式f和欧式f期权的价格21 4.以支付已知红利数额模式下分析期权价格。探究下一期的红利支付数额为常数、递增及递减情况下，保持其余变量不变，分别计算出相应美式和欧式期权的价格。 5.根据上述每一步计算得到的当期期权价格的数据绘制折线图，观察折线图，得出结论。 四、实验过程：步骤一：输入已知参数输入参数支付连续收TRSX N 步数无风险利率波动率σ股票价格期限期权执行价格0RC益率9.00% 5 50.00

期权定价

第八章期权定价的二叉树模型 8.1 一步二叉树模型 我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。 例8.1 假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18. 股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。 在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step）二叉树。这是最简单的二叉树模型。 一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。经过一个时间步（至到期日T）后该股票价 格有可能上升到相应的期权价格为；也有可能下降到相应的期权价格为. 这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。构造一个该股票和期权 的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期 日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期权到期日的价值为。根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有 由此可得 (8.1) 上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。在这种情况下，该组合是无风险的。以表示无风险 利率，则该组合的现值（the present value）为,又注意到该组合的当前价值是，故有

即 将(8.1)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为 (8.2) (8.3) 需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足： . 现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。 已知：且在期权到期日， 当时，该看涨权的价值为而当时，该看涨权的价值为 根据(8.3)和(8.2)，可得 . 上述期权定价公式(8.2)和(8.3)似乎与股价上升或下降的概率无关，实际上，在我们推导期权价值时它已经隐含在股票价 格中了。不妨令股价上升的概率为，则股价下降的概率就是，在时间的期望股票价格为

二叉树定价模型

二项式期权定价模型 1.实验名称： 二项式期权定价模型 2.实验目的： 利用二叉树期权定价模型公式Excel 模板计算期权价格。 3.基本原理 计算到期时资产价值的分布，求出资产的期望值，用适当的贴现率计算现值，得到资产的当前价值。 （1） 计算n 期中上升i 次的概率： ()(1 )i i n i i n P n C p p -=-； （2） 计算在终期时的价格分布： ()0i n i ni S S u d -= （3） 计算期权的价值： ()0max(,0)i n i ni Call S u d K -=-，()0max(,0)i n i ni Put K S u d -=-； （4）计算终期时的期望值：0()n n ni i ECall P i Call == ∑，0()n n ni i EPut P i put ==∑； （5）计算期权在起初时刻的价值： ()00 (1)max(,0)n RT RT i i n i i n i n i Call e ECall e C p p S u d K ----===--∑ ()00(1)max(,0)n RT RT i i n i i n i n i Put e EPut e C p p K S u d ----===--∑。 4. 实验数据域内容 已知股票价格为50，执行价格为50，时间为半年，无风险利率为5%，波动率为20%，分为10个时间段，利用二叉树定价模型计算看涨看跌期权的价格。 5. 操作过程与结果 （1）定义变量的符号 在单元格B2—B14中分别输入S 、K 、T 、R 、VOL 、n 、dt 、u 、d 、G-factor 、D-factor 、p 分别表示股票价格、期权执行价格、期权有效期、无风险利率、股价波动率、时段数、时段、上升因子、下降因子、增长因子、贴现因子、风险中性概率。如图：

【证明】美式期权平价关系

【知识点】美式看涨和看跌期权价格的平价关系 （是个不等式）为 【证明】：令c，p代表欧式看涨、看跌期权价格；C，P代表美式看涨看跌期权价格 （I）考虑两个组合： 组合A：一份美式看涨期权加上数额为X的现金； 组合B：一份美式看跌期权加上一份股票。 美式看涨期权不可能被提前执行，设在 时刻看跌期权可能被提前执行，两个组合在不同时刻的价值分别为： 提前执行

不提前执行 可见，如果提前执行，则 ；若不提前执行， ，即组合A的价值总是大于组合B的价值。所以： 总是大于 ，即 或 （1）（II） 利用欧式看涨和看跌期权的平价关系： （2） 推得： （3）

美式期权可以提前执行，而欧式期权不可以提前执行，因此美式期权的价值应大于欧式期权的价值： 。 对于不付红利的股票， 。将其带入（3）式可得： 即 （4） 综合（I）、（II）的结果可得美式看涨和看跌期权价格的平价关系（是个不等式）为： 问题 解答： 在实际中我们一般假定股价遵循连续变量连续时间的随机过程，我们一般认为：

时间段的平均收益率遵循服从均值为，方差为的正态分布： 故要在97.5%的置信水平下要实现非负的收益率需： 解之得：12年 要在97.5%的置信水平下实现6%的无风险收益率需： 解之得: 70年 备注： A,B，C,D证券彼此既非完全正相关也非完全负相关，各自的收益率也不正好相同，具有普遍性。 ①

两种证券的投资组合的可行域（不可卖空情况下） 两种证券的投资组合的可行域（可卖空情况下） ② 若存在一个证券M，在u-σ坐标系中正好出于A,B证券组合的可行域上，这三个证券（A,B,M）的的投资组合可行域仍与A,B证券的可行域完全一样。（可卖空和不可卖空的情形下均是）。因为证券M在A,B证券组合的可行域上，即可以将证券M看作是A,B证券的一个组合，那么A,B,M证券的组合与A,B证券的组合一样，只是各自的权数发生了变化，可行域是各种可能的权数的组合的表现，银次可行域自然不会发生变化。

二叉树和三叉树的期权定价方法

第七章期权定价的二叉树和三叉树方法在这一章中，我们利用二叉树和三叉树方法为期权定价。在第2.1节中我们已经介绍了利用基础途径的二叉树方法解决期权价格不确定性的模型。二叉树方法依赖于对相关随机过程的离散化并利用计算和内存的结合以满足易于管理的要求。我们也在，我们必须把原来的单步格方法扩展到多步格方法，但是我们必须校对格使它能够反映出相关模型，且这个模型是连续时间、连续状态的随机微分方程。然后我们就可以推广到多步的二叉树格和三叉树格。 在7.1节中，我们从如何利用在离散概率分布的时刻下随机价格波动校准简单的二叉树格。从这点来看，弄清楚网格技术和蒙特卡洛模拟之间的联系是非常重要的，而利用时刻匹配技术缩减方差可以看作一种快捷的抽样排序。然后我们讨论内存效率的实现是如何设计的，美式期权定价是7.2节的主题。同时，还是要注重它和其他技术方法的联系。现在我们要做的本质上是一个非常简单满足动态规划原则的程序，我们将在第10章程序中进一步拓展。在7.3节中，我们把上述方法推广到双标的资产的情形，虽然这是一个最简单的情形，但是我们可以从这个情形中看出内存控制是这一情形的基础。另一种一般化的代表是三叉树格方法，三叉树格方法可以作为一种更普遍的有限差分方法（具体将在，最后，我们在7.5节中具体讨论网格化方法的优势和劣势。 期权定价的二叉树和三叉树格方法 图7.1 单时期二叉树格 7.1 二叉树定价方法

在，我们已经考虑过单步二叉树方法在无套利情况下的期权定价， 这里我们为了方便直接利用图7.1。其主要思想是复制两个资产，一 个是无风险资产，另一个是相关股票。利用这两项资产，我们可以通 过它们的组合塑造任何收益率的资产。如果我们令u 和d 为任意两个 价格的角标，我们可以看到期权的价格应该为0f 则， ])1([0d u t r f p pf e f -+=-δ （7.1） 在公式7.1中u f 和d f 是标的资产在涨跌两种情况的期权价格，p 是风 险中性前提下相关资产升值的概率。 为了寻找一个更好的不确定性模型，我们可以增加分类的情况， 复制期权收益，甚至我们可以使用更多的资产，或允许中间日期交易。 第二种可能性更为实际，并且也是必不可少的，例如，对于在期权的 存续期内可以随时执行的美式期权来说。对其求极限，就会得到连续 时间模型，并且其最后收敛于Black —sholes 方程。当Black —sholes 方程没有解析解的时候，我们必须采取一些离散化的途径，比如说可 以通过蒙特卡洛模拟从而估计出风险中性条件下预期收益，或者建立 一个自适应网格的有限差分方法去解决相应的PDE 模型。就像我们 在图7.2中展示的一样，多级二叉树格方法就是一种可以选择的离散 化方法。我们也可以考虑利用树图，但是要注意使计算方法易于控制。 二叉树格定价 图7.2 新生成的二叉树图 这里我们为了方便令d u /1=。虽然这个不是必须的，但是在后面 我们可以看到，这个假设令模型简化了很多即每上一步紧接着下一步 都会得到相同的初始价格。

美式期权二叉树定价及MATLAB程序

金融随机分析课程 美式期权的二叉树定价 1、对于连续随机游走： SdZ Sdt dS σμ+= 可以用离散格随机游走模型来表示，即标的资产的价格只在离散时间点t ?，2t ?,3t ?,…,N t ?取值，t ?表示很小但非无穷小的时间步长；如果标的资产在时刻m t ?的价格为m S ，那么在时刻(m+1)t ?其价格有两种可能的值:)1(>u uS m 和)1(

金融工程-二叉树模型——期权定价方法实验报告---用于合并

期权定价（二叉树模型）实验报告 班级： 创金1201 姓名： 郑琪瑶 学号： 08 一、实验目的 本实验基于二叉树模型对期权定价。利用Excel 计算出支付连续红利率资产的期权价格，并探究输入参数（如无风险利率、波动率、期限、时间区间划分方式、收益率等等）对于期权价格的影响，从而巩固二叉树模型这种期权定价的数值方法的相关知识。 二、实验原理 当标的资产支付连续收益率为q 的红利时，在风险中性条件下，证券价格的增长率应该为q r -，因此参数p （股票价格上升的概率）、u 、d 应该满足以下式子： d p pu e t q r )1()(-+=?-； 同时在一小段时间内股票价格变化的方差满足下式： 2222])1([)1(d p pu d p pu t -+--+=?σ； 考克斯、罗斯和鲁宾斯确定参数的第三个条件是d u 1 =，将三式联列，可以解 得（*） 三、实验内容 1. 假定有一支付连续红利率股票的美式看涨期权，有效期期限为5个月，目前 的股票价格和期权执行价格都为50元，无风险利率为10%，波动率为40%，连续收益率为3%，为了使得估计的期权价格比较准确，把时间区间划分成30步，即N=30，利用excel 加载宏可以计算得到相应美式和欧式期权的价格 2.探究基于不同红利支付类型：支付已知收益率和支付已知红利数额，计算出相 应的美式和欧式期权价格。 3.以支付已知收益率模式下分析期权价格。使资产连续复利收益率在[1%,10%]变 化，保持其余变量不变，分别计算出相应美式f 1和欧式f 2期权的价格 4.以支付已知红利数额模式下分析期权价格。探究下一期的红利支付数额为常 数、递增及递减情况下， 保持其余变量不变，分别计算出相应美式和欧式期权的价格。 5.根据上述每一步计算得到的当期期权价格的数据绘制折线图，观察折线图，得出结论。 四、实验过程： 步骤一：输入已知参数 步骤二：根据已知参数及式（*）原理，计算如下参数

欧式看涨期权二叉树定价

欧式看涨期权二叉树定价（含ｍａｔlab代码和结果 图) 实验概述 本实验首先介绍了二叉树方法的来源和主要理论基础,然后给出期权的二叉树定价方法的基本过程和MAＴLAB7.0实现的过程。 19. 2 实验目的 （1)了解二叉树的定价机理; (2）掌握用MＡTLAB７. ０生成股票价格的二叉树格子方法; (3）掌握欧式期权和美式期权的二叉树定价方法。 19．３实验工具 ＭＡTLAＢ7. ０。 19. 4理论要点 构造二叉树图(Biｎｏmial Tree）是期权定价方法中最为常见的一种。这个树图表示了在期权有效期内股票价格可能遵循的路径。二叉树定价方法与风险中性定价理论是紧密联系的。Cox,Rosｓ＆Ｒubｉnstein（19７9)首次提出了构造离散的风险中性概率可以给期权定价,在此基础上他们给出了二叉树定价方法。 1)一个简单的例子 假设当前（３月份)股票的价格So =50元，月利率是25%。4月份股票 价格有两种可能:S 高=10０元,S 低 =25元。有一份看涨期权合约,合约约定在4月份

可以以50元价格买进一股股票。现在考虑一个投资组合,进行几项操作：以价格C卖出3份看涨期权合约;以50元购入２股股票;以２5%的月利率借人40元现金，借期为一个月。 根据上述组合，我们可以得到以下到期收益分布表，如表19.1所示。 表１9.1投资组合的到期收益分布表 四月份 三月份 =25元 S 低=100元 Ｓ 高 卖出3份看涨期权合约3C 0 －150 买人两股股票-10０50 200 借人现金40 -50 －5０ 总计0 ０0 由一价定律３Ｃ-10０+40=0,可得C=20元，即为期权的价格。这个例子说明,可以用一个相当简单的方法为期权定价，唯一需要做的是假设对投资者而言不存在套利机会。我们可以通过某种方式构造一个股票和期权的组合，使得在4月份该组合的价值是确定的。于是我们可以说该组合无风险,它的收益率一定等于无风险收益率。二叉树方法正是基于上述思想构造了二项分布下的风险中性概率。 ２)二叉树模型 考虑一个不支付红利的股票期权价格估值。我们把期权的有效期分为很多很小的时间间隔Δt。假设在每一个时间段内股票价格从开始的价格S以概率p 上升到Su,以概率1-p下降到Ｓd,其中,u>1,Ｏ

期权定价的数值方法

期权定价的数值方法 小结 1.当不存在解析解时，可以用不同的数值方法为期权定价，其中主要包括二叉树图方法、蒙特卡罗模拟和有限差分方法。 2.二叉树图方法用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动在风险中性世界中可能遵循的路径，每个小的时间间隔中的上升下降概率和幅度均满足风险中性原理。从二叉树图的末端开始倒推可以计算出期权价格。 3.蒙特卡罗方法的实质是模拟标的资产价格在风险中性世界中的随机运动，预测期权的平均回报，并由此得到期权价格的一个概率解。 4.有限差分方法将标的变量满足的偏微分方程转化成差分方程来求解，具体的方法包括隐性有限差分法、显性有限差分法、“跳格子方法”和 Crank-Nicolson方法等。 5.树图方法和有限差分方法在概念上是相当类似的，它们都可以看成用离散化过程解出偏微分方程的数值方法，都适用于具有提前执行特征的期权，不太适合路径依赖型的期权。其中二叉树模型由于其简单直观和容易实现，是金融界中应用得最广泛的数值定价方法之一；有限差分方法则日益受到人们的重视。 6.蒙特卡罗方法的优点在于应用起来相当直接，能处理许多盈亏状态很复杂的情况，尤其是路径依赖期权和标的变量超过三个的期权，但是不擅长于处理美式期权，而且往往所需计算时间较长。 二叉树定价方法的基本思想：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格连续运行可能遵循的路径。模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率p，从而为期权定价。 蒙特卡洛模拟的基本思想：由于大部分期权的价值都可以归结为期权到期回报的期望值的贴现，因此尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径，计算每种结果路径下的期权回报均值，之后贴现就可以得到期权价值。 蒙特卡洛模拟的优点：在大多数情况下，人们可以很直接地应用蒙特卡洛模拟，而无需对期权定价模型有深刻的认识；蒙特卡洛模拟的适用情形相当广泛。 蒙特卡洛模拟的缺点：只能为欧式期权定价，难以处理提前执行期权的的定价情形；为了达到一定的精准度，需要大量的模拟运算。 有限差分方法的基本思想：将衍生证券所满足的偏微分方程转化为一系列近似的差分方程，即用离散算子逼近偏微分方程中的各项，之后用迭代法求解以得到期权价值。

第七章美式期权定价金融衍生品定价理论讲义

第七章 美式期权定价 由于美式期权提前执行的可能，使得解决最优执行决策成为美式期权定价和套期保值的关键。由第三章的内容我们知道，如果标的股票在期权的到期日之前不分红，则美式看涨期权不会提前执行，因为在到期日之前执行将损失执行价格的利息。但是，如果标的股票在期权到期日以前支付红利，则提前执行美式看涨期权可能是最优的。提前执行可以获得股票支付的红利，而红利的收入超过利息损失。事实上，我们将证明，投资者总是在股票分红前执行美式看涨期权。 对于美式看跌期权而言，问题变的更复杂。看跌期权的支付以执行价格为上界，这限制了等待的价值，所以对于美式看跌期权而言，即使标的股票不支付红利，也可能提前执行。提前执行可以获得执行价格的利息收入。 许多金融证券都暗含着美式期权的特性，例如可回购债券（called bond ），可转换债券（convertible bond ）， 假设： 1．市场无摩擦 2．无违约风险 3．竞争的市场 4．无套利机会 1．带息价格和除息价格 每股股票在时间t 支付红利t d 元。当股票支付红利后，我们假设股价将下降，下降 的规模为红利的大小。可以证明，当市场无套利且在资本收益和红利收入之间没有税收差别时，这个假设是成立的。 ()()t e c d t S t S += 这里()t S c 表示股票在时间t 的带息价格，()t S e 表示股票在时间t 的除息价格。 这个假设的证明是非常直接的。如果上述关系不成立，即()()t e c d t S t S +≠，则存在套利机会。 首先，如果()()t e c d t S t S +>，则以带息价格卖出股票，在股票分红后马上以除息 价格买回股票。因为我们卖空股票，所以红利由卖空者支付，从而这个策略的利润为 ()()()t e c d t S t S +-。因为红利是确定知道的，所以只要()()() t S t S e c -var =0，则利润是 没有风险的。 其次，如果()()t e c d t S t S +<，则以带息价格买入股票，获得红利后以除息价格卖 出，获得利润为()()t S d t S c t e -+。

基于二叉树模型的期权定价

目录 摘要 (1) ABSTRACT (2) 第一章绪论 (3) 1.1背景介绍 (3) 1.2 本文的主题 (3) 第二章预备知识 (4) 2.1 期权 (4) 2.2二叉树方法 (4) 2.2.1 方法概述 (4) 2.2.2 二叉树方法的优点和缺点 (6) 2.2.3 风险中性定价 (6) 2.3 Black-Scholes 期权定价模型 (7) 2.3.1模型来源 (7) 2.3.2风险中性定价 (7) 2.3.3模型假设 (8) 2.3.4Black-Scholes期权定价公式 (8) 第三章本论 (9) 3.1期权定价的二叉树模型 (9) 3.1.1参数确定 (9) 3.1.2资产价格树形 (11) 3.1.3通过树形倒推 (11) 3.1.4代数表达式 (12) 3.2 例子模拟计算和结果分析 (12) 3.3 模型改进——三叉树 (15) 第四章结论 (17) 谢辞及参考文献 (19) 谢辞 (19) 参考文献 (20) 附录 (22) 计算过程中涉及算法 (22)

摘要 Black-Scholes 期权定价模型为期权定价尤其是欧式期权定价提供了良好的解析结果，而Black-Scholes 公式是此模型的核心，但是此公式并不能很好地求解出在很多衍生模型例如亚式期权以及美式期权中的解析解。二叉树方法作为一种数值方法，同时也是图论中一种重要方法，应用于期权定价问题中，它有了更特别的演变。本文利用二叉树方法计算期权定价的数值解，用二叉树方法迭代多次，求出较为准确的期权价格。通过B-S公式得出的结果与二叉树方法得到的结论对比，分析二叉树方法模拟的优点和缺点。同时，我们还要研究二叉树模拟的步数与预测结果和精度间的关系，从而更加深入了解二叉树方法。然而，我们在模型中设立了许多条件，这些都使模型离真实情况越来越远，我们必须不断发展模型，完善模型。三叉树方法正是二叉树方法的合适补充。 关键词：二叉树方法，Black-Scholes 模型，风险中性定价 1