一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1. )(
0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .
（A ）
(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.
2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=
x x x x x
x βα.
（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；
（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.
3.
若
()()()0
2x
F x t x f t dt
=-?，其中
()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则
（ ）.
（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；
（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；
（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；
（D ）函数()F x 在0x
=处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.
)
(
)( , )(2)( )(10
=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设
（A ）2
2
x
（B ）
2
22x
+（C ）1x - （D ）2x +.
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5. =
+→x
x x sin 20
)
31(l i m .
6.
,)(cos 的一个原函数是已知
x f x x =??x x x
x f d cos )(则 .
7.
lim (cos cos cos )→∞-+++=
2
2
2
21n n n n n n ππ
ππ .
8.
=
-+?
2
12
12
211
arcsin －
dx x
x x .
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9. 设函数=()y y x 由方程
sin()1x y
e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17
7
x x x x ?+-求
11. ．
求，， 设?--?????≤<-≤=1 32
)(1020
)(dx x f x x x x xe x f x
12.
设函数
)(x f 连续，=?1
()()g x f xt dt
，且→=0
()
lim
x f x A
x ，A 为常数. 求'()
g x 并讨论'
()g x 在
=0x 处的连续性.
13.
求微分方程2ln xy y x x '
+=满足
=-
1(1)9y 的解.
四、 解答题（本大题10分）
14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线
斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲
线方程.
五、解答题（本大题10分）
15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.
(1)
求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
16. 设
函数
)
(x f 在
[]
0,1上连续且单调递减，证明对任意的
[,]
∈01q ，
1
()()≥??q f x d x q f x dx
.
17. 设函数
)(x f 在[]π,0上连续，且
)(0
=?
π
x d x f ，
cos )(0
=?π
dx x x f .证明：
在
()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设
?=
x
dx
x f x F 0
)()(）
一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5.
6
e . 6.c
x x +2
)cos (21 .7. 2π. 8.
3
π
.
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导
(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++=
cos()
()cos()x y x y
e y xy y x e x xy +++'=-+
0,0x y ==，(0)1y '=-
10. 解：767u x x dx du =
=
1(1)112
()7(1)71u du du u u u u -=
=-++??原式
1
(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712
ln ||ln |1|77x x C =-++
11. 解：
1
03
3
()x f x dx xe dx ---=+?
??
3
()x
xd e --=-+??
00
2
32
cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----??=--+-=???
令
321
4
e π
=
--
12. 解：由
(0)0f =，知(0)0g =。
===
??1
()()()x
xt u
f u du
g x f xt dt x
(0)x ≠
02
()()()(0)
x
xf x f u du
g x x x
-'=
≠?
2
0()()A
(0)lim
lim
22x x x f u du
f x
g x x →→'===?
02
()()lim ()lim
22x
x x xf x f u du
A A
g x A x
→→-'==-
=
?，'()g x 在=0x 处连续。
13.
解：2
ln dy y x dx x +=
2
2
(ln )
dx dx x x y e e xdx C -??=+?
211
ln 39x x x Cx -=
-+
1
(1),09y C =-=，
11ln 39y x x x
=- 四、 解答题（本大题10分） 14. 解：由已知且0
2d x
y y x y
'=+?，
将此方程关于x 求导得y y y '+=''2
特征方程：022
=--r r
解出特征根：.2,121
=-=r r
其通解为
x x e C e C y 221+=-
代入初始条件
y y ()()001='=，得
31
,3221==
C C
故所求曲线方程为：
x x e e y 23132+=
-
五、解答题（本大题10分）
15. 解：（1）根据题意，先设切点为)ln ,(00x x ，切线方程：
)(1
ln 00
0x x x x y -=
-
由于切线过原点，解出
e x =0，从而切线方程为：
x e y 1
=
则平面图形面积
?-=
-=1
121
)(e dy ey e A y
（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1，则2131e V π=
曲线
x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为V 2
?-=1
22)(dy
e e V y π
D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
)
3125(6
221+-=
-=e e V V V π
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）
16. 证明：1
()()q
f x d x q f x dx -??1
()(()())
q
q
q
f x d x q f x d x f x dx =-+???
10
(1)()()q
q
q f x d x q f x dx
=--??
1212[0,][,1]
()()
12(1)()(1)()
0q q f f q q f q q f ξξξξξξ∈∈≥=
---≥
故有：
1
()()≥??q
f x d x q f x dx
证毕。
17.
证：构造辅助函数：
π
≤≤=?x dt t f x F x
0,)()(0
。其满足在],0[π上连续，在),0(π上可导。
)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F
由题设，有
????+===π
π
π
π0
)(sin cos )()(cos cos )(0|dx
x F x x x F x xdF xdx x f ，
有?=π
0sin )(xdx x F ，由积分中值定理，存在),0(πξ∈，使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF
综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上分别应用罗尔定理，知存
在
),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈，使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ，即0)()(21==ξξf f .
高
等数学I 解答
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）
(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1. 当0x x →时，
()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ D ）不一定是无穷小.
(A)
()()x x βα+
(B)
()()x x 22βα+
(C)
[])()(1ln x x βα?+
(D)
)()(2x x βα
2. 极限
a
x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是（ C ）.
（A ） 1
（B ） e （C ）
a e cot （D ） a e tan
3.
???
??=≠-+=001
sin )(2x a x x
e x x
f ax 在0x =处连续，则a =（ D ）. （A ） 1
（B ） 0
（C ） e
（D ） 1-
4. 设)(x f 在点x a =处可导，那么=
--+→h h a f h a f h )
2()(lim
（ A ）.
（A ）
)(3a f '
（B ） )(2a f '
(C) )(a f '
（D ） )
(31
a f '
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5. 极限)
0(ln )ln(lim
>-+→a x a
a x x 的值是
a
1
.
6. 由x x y e y
x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y x
xe ye x y
x xy
xy ln 2sin 2+++
- . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直线l 的方程
为 13
121
1--=--=-z y x . 8. 求函数2
)4ln(2x x y -=的单调递增区间为 （－∞，0）和（1，+∞ ） .
三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）
9. 计算极限10(1)lim
x
x x e
x →+-.
解：1
1
ln(1)120
00(1)1
ln(1)lim
lim lim
2x x
x
x x x x e e x x e
e e x x
x +-→→→+--+-===-
10. 已知：||3a =，||26b =，30a b ?=，求||a b ?。
解：
1312
cos 1sin ,13
5cos 2=
-==?=θθθb a b a
，
72
=?b a
11. 设)(x f 在[a ，b ]上连续，且
]
,[)()()(b a x dt t f t x x F x
a
∈-=?，试求出)(x F ''。
解：
??-=x
a
x a
dt
t tf dt t f x x F )()()(
??=-+='x
a
x
a
dt
t f x xf x xf dt t f x F )()()()()(
)()(x f x F =''
12. 求 3cos .sin x x dx x ? 解：23cos 1sin sin 2x x dx xd x x -=-??
2221111
sin sin sin cot 2222x x xdx x x x C
---=-+=--+?
四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）
13. 求
?
-2
3
2
21
x x dx .
令
1x
t =
?
--=212
322)1
(11
11dt t t t
原式
=
-?
dt t 12
12
32
=arcsin t
12
3
2=
π
6
14. 求函数
2
12x x y +=
的极值与拐点.
解：函数的定义域（－∞，+∞）
22)1()
1)(1(2x x x y ++-='
3
22)1()3(4x x x y +--=''
令0='y 得 x 1 = 1, x 2
= -1 0)1(<''y x 1
= 1是极大值点，0)1(>-''y x 2
= -1是极小值点
极大值1)1(=y ，极小值1)1(-=-y
0=''y 33故拐点（-
3，-
2），（0，0）（3，2）
15. 求由曲线
43
x y =
与
23x x y -=所围成的平面图形的面积.
解 :,,
x x x x x x 3
232431240=--+=
x x x x x x ()(),,,.+-==-==620602123
S x x x dx x x x dx
=-++---??()()3260
2
3024334 =-++---()()x x x x x x 423602340
21632332316
=+=4521347
1
3 16. 设抛物线2
4x y -=上有两点(1,3)A -，(3,5)B -，在弧A B 上，求一点(,)P x y 使ABP
?的面积最大.
解：
AB y x AB P AB x y x x x ABP 连线方程： 点到的距离 的面积
+-==+-=-++-≤≤2104521
5
23
5
132()
?
S x x x x x ()()
=??-++=-++124523
522322
当 '=-+='=S x x x S x ()()4410 当时取得极大值也是最大值''=-<=S x x S x ()()40
1
此时 所求点为，y =313()
另解：由于的底一定故只要高最大而过点的抛物线
的切线与平行时高可达到最大值问题转为求，使 解得所求点为?ABC AB C AB C x x f x x x C ,,,(),(),,(,)002
0004253312113-'=-=--+=-=
六、证明题（本大题4分）
17. 设0x >，试证x x e x
+<-1)1(2.
证明：设
0),1()1()(2>+--=x x x e x f x
1)21()(2--='x e x f x ，x xe x f 24)(-=''，
0)(,0≤''>x f x ，因此)(x f '在（0，+∞）内递减。
在（0，+∞）内，)(,0)0()(x f f x f ='<'在（0，+∞）内递减， 在（0，+∞）内，),0()(f x f <即0)1()1(2<+--x x e x
亦即当 x >0时，x x e x
+<-1)1(2 。
高等数学I A
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 18. 函数
???
??????<+<≤>-+=0,sin 1
0,2tan 1,1)
1ln()(x x x x x x x x x f π
的全体连续点的集合是 （ ）
(A) (-∞,+∞) (B) (-∞,1) (1,+ ∞)
(C) (-∞,0)
(0, +∞)
(D) (-∞,0)
(0,1) (1,+ ∞)
19.
设0)11
(lim 2=--++∞→b ax x x x ，则常数a ,b 的值所组成的数组（a ,b ）为（ ）
（A ） （1，0） （B ） （0，1） （C ） （1，1） （D ） （1，-1）
20.
设在[0，1]上
)(x f 二阶可导且0)(>''x f ，则（ ）
（A ）)0()1()1()0(f f f f -<'<'
(B)
)1()0()1()0(f f f f '<-<' (C)
)0()1()0()1(f f f f -<'<'
（D ）
)0()1()0()1(f f f f '<'<-
21.
,1cos sin 2
2
2
4dx x x
x M ?-
+=
π
π
?-
+=
2
2
4
3
)cos (sin
π
πdx x x N ?-
-=
2
2
432
)cos sin (π
πdx
x x x
P 则（ ）
（A ） M < N < P （B ） P < N < M （C ） P < M < N （D ） N < M < P
二 填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. 设=->)1arctan (12x x d x
（ ）
2. 设?+=,sin )(c x dx x f 则
?=
dx x f n )()
(（ ）
3. 直线方程
p z n y m x +-==--65
24，与xoy 平面，yoz 平面都平行，
那么m n p ,,的值各为（ ）
4. =
??
? ??=+∞
→∑2
12
lim
n i n
i x e
n
i
（ ）
三 解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）
1. 计算
??? ?
?-→2201s i n 1
l i m x x x 2. 设
?????≤>=00,1cos )(2
x x x x
x x f 试讨论)(x f 的可导性，并在可导处求出)(x f ' 3. 设函数),()(+∞-∞=在x f y 连续，在x ≠0时二阶可导，且其导函数)(x f '的图形如图所示，给
出
)(x f 的极大值点、极小值点以及曲线)(x f y =的拐点。
四 解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分）
1. 求不定积分
?-+x
dx
x x 2)12(
2. 计算定积分
?e
e
dx
x 1ln
3. 已知直线43
5221:
3
121:
21-=-=--==z y x l z y x l ,
求过直线l 1且平行于直线l 2的平
面方程。
4. 过原点的抛物线2
ax y =及y =0,x =1所围成的平面图形绕x 轴一周的体积为π
5
81
，确定抛物线方程
中的a ，并求该抛物线绕y 轴一周所成的旋转体体积。
五、综合题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
1. 设)()1()(2
x f x x F -=，其中)(x f 在区间[1,2]上二阶可导且有0)2(=f ，试证明存在ξ（21<<ξ）使得0)(=''ξF 。
2.
?≥-=x
n x tdt t t x f 0
22)
0(sin )()(
（1） 求
)(x f 的最大值点；
（2） 证明：
)32)(22(1
)(++≤
n n x f
一、单项选择题 B D B C .
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5. dy =dx x x x )1arctan 411(2-+-.
6. ?=dx x f n )()(?++=+c
n x dx n x )2sin()2cos(ππ. 7. 0,6,2≠-==n p m . 8.
)1(21
-e .
三、解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）
9. (8分)计算极限
220
11
lim(
)sin x x x →-.
解：222222
0011sin lim()lim sin sin →→--=x x x x x x x x
30sin sin lim →-+=x x x x x x x
201cos 12lim 33x x x →-==
10. (8分)设
?????≤>=00,1cos )(2
x x x x
x x f ，试讨论)(x f 的可导性，并在可导处求出)(x f '. 解： 当
x x x x f x 1
sin 1cos
2)(,0+='>；当1)(,0=' cos 0 00'(0)lim 0'(0)lim 1 x x x x x x f f x x +-?→+?→-?-?-?=====?? 故f (x )在x =0处不可导。 ()????? <>+='0101sin 1cos 2x x x x x x f 11. (8分)设函数()y f x =在(,)-∞+∞连续，在0x ≠时二阶可导，且其导函数()f x '的图形如图. ()f x ()y f x =的拐点. 解：极大值点：x a =x d = 极小值点：x b = 拐点(0,(0)),(,())f c f c 四 解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分） 12. (9分)求不定积分 2 2(2)(1)x dx x x --? . 解：原式=2413 ()(1)1dx x x x -++--? = 1 4ln 3ln 11x x c x - --+- 13. (9分)计算定积分 1ln e e x dx ? . 解：原式= ()111ln ln e e x dx xdx -+?? ()[]111ln ln e e x x x x x x =--+-???? 2 2e =- 14. (9分)已知直线 11: 123x y z l -==，2123:254x y z l ---==,求过直线l 1且平行于直线l 2的平 面方程. 解：12(1,2,3)(2,5,4)(7,2,1) n s s =?=?=- 取直线l 1上一点M 1(0,0,1) 于是所求平面方程为 72(1)0x y z -++-= 15. (9分)过原点的抛物线2 ax y = (0)a > 及y =0, x =1所围成的平面图形绕x 轴一周的体积为 π 581 . 求a ，并求该抛物线绕y 轴一周所成的旋转体体积. 解： 1 1 5 22200 ()5x V a x dx a ππ==?2 5 a π= 由已知得 5 815 2 π π= a 故 a = 9 抛物线为：2 9x y = 绕y 轴一周所成的旋转体体积： 1 2 029V x x dx π=??1 4091842x π π== 五 综合题（每小题4分，共8分） 16. (4分)设)()1()(2 x f x x F -=，其中)(x f 在区间[1,2]上二阶可导且有0)2(=f . 证明：存在ξ（12ξ<<）使得()0F ξ''=。 证明：由 )(x f 在[1，2]上二阶可导，故F (x )在[1，2]二阶可导，因 f (2)=0,故F (1)=F (2) = 0 在[1，2]上用罗尔定理，至少有一点) 21(,00< 在[1，x 0]上对)(x F '用罗尔定理，至少有点)21(0<< 17. (4分). 解：（1）1x =为()f x 的最大值点。 22()()sin n f x x x x '=-，当 01 x <<， 22()()sin 0 n f x x x x '=->；当 1 x >， 22()()sin 0n f x x x x '=-≤。(1)f 为极大值，也为最大值。 （2） 220 ()()sin (1) x n f x t t tdt f =-≤? 1 1 22220 1 (1)()sin ()(22)(23)n n f t t tdt t t t dt n n =-≤-= ++?? 高等数学上B （07）解答 一、 填空题：（共24分，每小题4分） 1．2 sin[sin()]y x =，则 dy dx =222cos[sin()]cos x x x 。 2． 已知21a dx x π+∞-∞=+?，a =__1______。 3． 1 ln e e x dx =? 2 2e -。 4． x y e =过原点的切线方程为y ex =。 5．已知()x f x e =，则'(ln ) f x dx x ? =x c +。 6．a =32- ，b =9 2 时，点(1,3)是曲线3 2 y ax bx =+的拐点。 二、计算下列各题：（共36分，每小题6分） 1．求 cos (sin )x y x =的导数。 解： cos lnsin cos lnsin ()(sin lnsin cot cos )x x x x y e e x x x x ''==-+ 2．求 sin ln xdx ?。 解：sin ln sin ln cos ln xdx x x xdx =-?? sin ln cos ln sin ln x x x x xdx =--? 1 (sin ln cos ln )2x x x x C = -+ 3 ．求。 解： 212=+ 5ln |x C =+ 4．设 , 0()1,0x k e x f x x x ?≥?=?+ 1 00(0)lim lim k k x x x f x x --→-→- '== 01 (0)l i m 1 x x e f x +→+-'== 1k = 5 ．求极限 2 n n →∞ + +。 解： 2 1 lim n n n k n →∞ →∞ = + + = 1 lim n n k →∞ = = 1 =? = 1 ln(|ln(1 x =+=+ 6．求过点 (2,2,0)且与两直线 210 10 x y z x y z +-+= ? ? -+-= ?和 20 x y z x y z -+= ? ? -+= ?平行的平面方程。 解：两直线的方向向量分别为1 (1,2,1)(1,1,1)(1,2,3), s=-?-=-- 2 (2,1,1)(1,1,1)(0,1,1) s=-?-=-- ，平面的法向量(1,2,3)(0,1,1)(1,1 n=--?--=--。 平面方程为 x y z -+=。 三、解答下列各题：（共28分，每小题7分） 1．设 cos sin x R t y R t = ? ? = ?，求 2 2 d y dx。 解： cot dy t dx =- 2 23 11 (cot) sin sin t d y t dx R t R t ' =-=- - 2．求0 ()(1) x F x t t dt =- ? 在 [1,2] -上的最大值和最小值。 解： ()(1)0,0,1 F x x x x x '=-=== 1 12 00 1 (0)0,(1)(1), 6 52 (1)(1),(2)(1) 63 F F t t dt F t t dt F t t dt - ==-=- -=-=-=-= ? ?? 最大值为 2 3，最小值为 5 6 - 。 3．设 () y y x =由方程22 (1)ln(2)0 x y x y +-+=确定，求'(0) y。 解：方程 22 (1)ln(2)0 x y x y +-+=两边同时对x求导 2 2 22 (1)20 2 x y y xyy x y ' + ' ++-= + 将 1 0, 2 x y == 代入上式 5 '(0) 8 y= 4．求由2y x =与2y x =围成的图形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积。 解： 140 ()V y y dy π=-? 310 π= 四、证明题：(共12分，每小题6分) 1．证明过双曲线1xy =任何一点之切线与,OX OY 二个坐标轴所围成的三角形的面积为常数。 证明：双曲线1xy =上任何一点(,)x y 的切线方程为 21 ()Y y X x x -=- - 切线与x 轴、y 轴的交点为1 (0,),(2,0) y x x + 故切线与,OX OY 二个坐标轴所围成的三角形的面积为 1 ()2 s x y x =+= 2．设函数()f x 与()g x 在闭区间[,]a b 上连续，证明：至少存在一点ξ使得 ()()()()b a f g x dx g f x dx ξ ξ ξξ=?? 证明：令()()()b x x a F x g x dx f x dx =?? ()()0F a F b ==，由Rolle 定理，存在一点[,]a b ξ∈，使()0F ξ'=，即 ()()()()b a f g x dx g f x dx ξ ξ ξξ=?? 高等数学上解答（07） 一、 单项选择题（每小题4分，共16分） 1．|sin | ()cos x f x x xe -=() x -∞<<+∞是 A 。 （A ）奇函数； （B ）周期函数；（C ）有界函数； （D ）单调函数 2．当0x →时， 2 ()(1cos )ln(12)f x x x =-+与 B 是同阶无穷小量。 （A ）3x ； （B ）4x ； （C ）5x ； （D ）2 x 3．直线20 20x y z x y z -+=?? +-=? 与平面1x y z ++=的位置关系是 C 。 （A ）直线在平面内；（B ）平行； （C ）垂直； （D ）相交但不垂直。 4．设有三非零向量,,a b c 。若0, 0a b a c ?=?=，则b c ?= A 。 （A ）0； （B ）-1； （C ）1； （D ）3 二、 填空题（每小题4分，共16分） 1．曲线 ln y x =上一点P 的切线经过原点(0,0)，点P 的坐标为(,1)e 。 2． 20 tan lim (1)x x x x x e →-=-1 3。 3．方程 2610y e xy x ++-=确定隐函数()y y x =，则(0)y '= 0 。 4．曲线 2 y x =、1x =与x 轴所围图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为5π 。 三、 解下列各题（每小题6分，共30分） 1．已知 2sin ()lim () t t t x f x t →+∞-=，求()f x '。 解： 22sin sin ()lim()t x t t x f x e t -→+∞-== 2 sin ()sin 2x f x e x -'=- 2．求不定积分 1 [ln(ln )]ln x dx x + ?。 解: 11[ln(ln )]ln(ln )ln ln x dx x dx dx x x + =+??? 11 ln(ln )ln ln x x dx dx x x =-+?? ln(ln )x x C =+ 3 ．计算定积分1 241sin (1x x dx x -++?。 解：111 2244111sin sin ((11x x x dx x dx x dx x x ---+=+++??? 1 1(0 x dx -=+? sin 2220 2sin cos x t t tdt π==? 8 π = 4．求不定积分1sin 1cos x dx x ++?。 解：1sin 1sin 1cos 1cos 1cos x x dx dx dx x x x +=++++??? 21cos sec 221cos x d x dx x =-+?? tan ln |1cos |2x x C =-++ 5．已知 (ln )f x x '=，且(1)1f e =+，求()f x 。 解：令ln x t =，()t f t e '= ()x f x e C =+ (1)1f e =+，()1x f x e =+ 四、 （8分）设()f x 对任意x 有(1)2()f x f x +=，且 1 (0)2f '=- 。求(1)f '。 解：由 (1)2()f x f x +=，(1)2(0)f f = 1()(1)(1)lim 1x f x f f x →-'=- 10(1)(1)lim x t t f t f t =+→+-= 02()2(0)lim t f t f t →-= 2(0)1f '==- 五、（8分）证明：当1x >时，22 (1)ln (1)x x x ->-。 证明：只需证明(1)ln 1x x x +>-。 令 ()(1)ln 1f x x x x =+-+ 1 ()ln 0f x x x '=+ >，()f x 在[1,)+∞单调递增。 (1)0f =，当1x >时，()0f x >。即22(1)ln (1)x x x ->-。 六、 （8分） 已知 220 ()()()x F x x t f t dt ''=-?， ()f x ''连续，且当0x →时，()F x '与2x 为等价无穷小量。求 (0)f ''。 解： 20 () lim 1x F x x →'= 2 2 2 20 ()()()()()x x x F x x t f t dt x f t dt t f t dt ''''''=-=-?? ? 220 ()2()()()2()x x F x x f t dt x f x x f x x f t dt '''''''''=+-=?? 22002()()lim lim 2(0)x x x x f t dt F x f x x →→'''''==? 1 (0)2f ''= 七、 （8分） 设有曲线 24 (01)y x x =≤≤和直线 (04)y c c =<<。记它们与y 轴所围图形的面积为 1A ，它们与直线1x =所围图形的面积为2A 。问c 为何值时，可使12A A A =+最小？ 并求出 A 的最小值。 解：4120 (1c A A A dy =+=+? ? ()1A c '= 令()10A c '=，得1c =。 1 (1)02A ''= >，1c =为最小值点。 401min (11 A dy =+=?? 八、设 ()f x 在(,)a b 内的点0x 处取得最大值，且|()| ()f x K a x b ''≤≤≤。 证明：|()||()|()f a f b K b a ''+≤- 证明： 0()0f x '= 在 0[,]a x 对()f x '应用拉格朗日定理 01010()()()() ()f x f a f x a a x ξξ''''-=-<< 100()()(), |()|() f a f a x f a K x a ξ''''=-≤- 在0 [,]x b 对()f x '应用拉格朗日定理 02002()()()() ()f b f x f b x x b ξξ''''-=-<< 200()()(), |()|() f b f b x f b K b x ξ''''=-≤- 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题2分, 共10分) 1、 . )1ln(2)(;)1ln(2)(;)1ln()()1ln()(,d 1 1 c e x D c x e C c e B c e A I x e e I x x x x x x ++-+-++++-= +-=? 则设 答( ) 2、 lim ()()()()n n n n n e e e e A B e C e D e →∞ -??= 1212 1 答（ ） 3、 ) ()1()1()()1(1)()1)(1()1()()1)(1(1)()10)(()(11 )(1 2 1 21 111 答 式中 格朗日型余项阶麦克劳林展开式的拉的++++++++θ--θ-θ-+-θ-+<θ<=-= n n n n n n n n n n n x x D x x C x x n B x x n A x R n x x f 4、 )()()()()()()()()(0 , 2cos 1) (lim ,0)0(,0)(0 答 的驻点但不是极值点 是的驻点 不是的极小值点 是的极大值点 是则点且的某邻域内连续在设x f D x f C x f B x f A x x x f f x x f x ==-==→ 5、 12 13)(49)(94)(421)()1(2)4,0(422002 图形的面积所围成的平面与曲线处的切线上点曲线D C B A A x y T M M x x y = -=+-= 答( ) 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分) 1、设 ，则＿＿＿＿ y x x y =++'=ln tan()11 2、 并相应求得下选内的近似根时，在用切线法求方程023,)01(0152x x x x -=--- __________________ 101 分别为，则一个近似值x x x 3、设空间两直线 λ1 2111-=+=-z y x 与x y z +=-=11相交于一点，则λ=????? 。 4、 . ___________0 , 001 sin )(2==??? ??=≠-+=a x x a x x e x x f ax 处连续，则在 ，当，当 5、是实数． ，其中b dx x b _________________ 0 =? 三、解答下列各题 ( 本 大 题4分 ) 设平面π与两个向量 a i j =+3和 b i j k =+-4平行，证明：向量 c i j k =--26与平面π垂直。 四、解答下列各题 ( 本 大 题8分 ) 的敛散性．讨论积分? 1 p x dx 五、解答下列各题 ( 本 大 题11分 ) 为自然数。 其中的递推公式导出计算积分n x x x I n n ,1 d 2 ? += 六、解答下列各题 ( 本 大 题4分 ) 求过P 0423(,,)-与平面π:x y z ++-=100平行且与直线?? ?=-=--+0100 52:1z z y x l 垂直的直 线方程。 七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) x x x x x x tan 2cos sin 1lim -+→计算极限 八、解答下列各题 ( 本 大 题7分 ) ．，并计算积分为自然数的递推公式试求? ?=e e n n dx x n dx x I 1 3 1 )(ln )()(ln 九、解答下列各题 ( 本 大 题8分 ) 设在内可微但无界，试证明在内无界。f x a b f x a b ()(,),()(,)' 十、解答下列各题 ( 本 大 题5分 ) []) ()(lim , )()(lim )(lim 0000 u f x f u f u f u x x x u u x x =?==?→→→证明：，设。 十一、解答下列各题 ( 本 大 题4分 ) 体的高求体积最大的内接圆柱的球内在半径为,R 十二、解答下列各题 ( 本 大 题5分 ) 重量为 p 的重物用绳索挂在A B ,两个钉子上，如图。设 cos ,cos αβ= =12134 5，求A B ,所受 的拉力 f f 12,。 B 十三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) 一质点沿抛物线运动其横坐标随着时间的变化规律为的单位是秒的单位是米求该质点的纵坐标在点，处的变化速率． ,(),(,),()y x x t x t t t x M =-=1086 十四、解答下列各题 ( 本 大 题7分 ) ; )1.(,02,2求这个平面图形的面积围成一平面图形及设曲线=-== y y x y x .)2(积轴旋转而成的立体的体求此平面图形绕x 、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题2分, 共10分) 1、C 2、答：B 3、C 10分 4、（Ｂ） 5、C 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分) 1、 ()sec ()(tan()) 111211 2 2- +++x x x x x 10分 2、x 0 0= 5分 x 11 5=- 10分 3、54 4、-1 5、-<=>????? ????b b b b b 2 2 200020， ，， 10分 三、解答下列各题 ( 本 大 题4分 ) 平面法向量 n a b i j k =?=-=-31 0114 4122{,,} 4分 n c =-2 n 与 c 平行 8分 从而平面与 c 垂直。 10分 四、解答下列各题 ( 本 大 题8分 ) 当时， p dx x dx x p x p p p p p ≠==-?=--??→+→+-→+-11111111 0101011 01lim lim()lim () εεεε εε =-<+∞>?? ???1 111p p p ，， 5分 当时， p dx x dx x x p ====+∞??→+101 0101lim ln εε 7分 .1110时发散时收敛，当当≥ p 10分 五、解答下列各题 ( 本 大 题11分 ) ? +=+1 1 :21x d x I n n 法一解 = ++++++?x x n x x dx n n 2122111 () 3分 =+++++=+++++++= +++++++++-+???x x n x x x dx x x n x x dx n dx x x x x n I n I n n n n n n n n 212 2221 22221 21111 1111111 11()()()()() 故I x n x n n I n n n ++=-++-+2 21111() 7分 同济大学２00９-２0１0学年第一学期高等数学Ｂ(上)期终试卷 一. 填空题(4'416'?=） １. 设函数()f x 具有二阶导数, 且1'0, 'dx y dy y ≠=, 则223 " 'd x y dy y =- . 2. 设函数()f u 为可导函数, 且'(0)0f ≠, 由参数方程3(sin 2)(1) t x f t y f e π =-?? =-?所确定的函数的 导数 32 t dy dx ==. 3. 极限111lim( )ln 2 12 n n n n n →∞ +++ =+++. 4. 微分方程22"5'6sin x y y y xe x -++=+的特解形式为(不需确定系数) 2()cos2sin 2x x Ax B e C x D x E -++++. 二. 选择题(4'416'?=) 5. 设函数sin ()bx x f x a e =+在(,)-∞+∞内连续, 且lim ()0x f x →-∞=, 则常数,a b 满足： [D ]. ()0,0A a b <>; ()0,0B a b ><； ()0,0C a b ≤>; ()0,0D a b ≥< 6. 曲线 1 ln(1)x y e x -= ++, [D ] ()A 没有水平渐近线但有铅直渐近线； ()B 没有铅直渐近线但有水平渐近线； ()C 没有水平和铅直渐近线; ()D 有水平和铅直渐近线 7． 将0x + →时的无穷小量2 sin ,,(1)x x t tdt tdt e dt αβγ= ==-? ?排列起来, 使 得后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列顺序是: [C ］ (),,A αβγ; (),,B αγβ; (),,C βαγ; 长沙理工大学高等数学试题及答案 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设f(x)=lnx ，且函数?(x)的反函数1?-2(x+1)(x)= x-1，则[]?=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x 2．()002lim 1cos t t x x e e dt x -→+-=-?（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ?=+?-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ） .lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ?→?=?==?= 4．设函数,131,1 x x x ?≤?->?22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ） A.不连续 B.连续但左、右导数不存在 C.连续但不可导 D. 可导 5．设C +?2 -x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ） 2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e 二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<= 8．arctan lim _________x x x →∞= 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2 g C(g)=9+800 ，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________. 11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________. 12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________. 13. 设2ln 2,6 a a π==?则___________. 14.设2cos x z y =则dz= _______. 15.设{}2(,)01,01y D D x y x y xe dxdy -=≤≤≤≤=??，则_____________. ( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x 大学数学期末高等数学试卷（计算题） 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) .d )1(22x x x ? +求 2、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 北京理工大学珠海学院 2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案） 适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业 一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ?b = 分析：a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析：u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2 2 2 2315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为 分析：由方程可得，2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析：画出平面区域D （图自画），观图可得， 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示：级数 1 n n u ∞ =∑发散，则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题（每小题6分，共36分） 往届高等数学期终考题汇编 2009-01-12 一．解答下列各题(6*10分): 1．求极限)1ln(lim 1 x x e x ++ →. 2.设?? ? ??++++=22222ln a x x a a x x y ,求y d . 3.设?????-=-=3 232t t y t t x ，求22d d x y . 4.判定级数()()0!1 2≥-∑∞ =λλλn n n n n e 的敛散性. 5.求反常积分() ?-10 d 1arcsin x x x x . 6.求?x x x d arctan . 7.?-π 03d sin sin x x x . 8.将?????≤≤<=ππ πx x x x f 2,02,)(在[]ππ,-上展为以π2为周期的付里叶级数，并指出收敛于()x f 的区间. 9.求微分方程0d )4(d 2=-+y x x x y 的解. 10.求曲线1=xy 与直线0,2,1===y x x 所围平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 二.(8分)将()()54ln -=x x f 展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域. 三.(9分)在曲线()10sin 2≤≤=x x y 上取点() ()10,sin ,2≤≤a a a A ,过点A 作平行于ox 轴的直线L ,由直线L ,oy 轴及曲线()a x x y ≤≤=0sin 2所围成的图形记为1S ,由直线L ,直线1=x 及曲线 ()1sin 2≤≤=x a x y 所围成的图形面积记为2S ,问a 为何值时,21S S S +=取得最小值. 四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比,已知空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间? 五.(8分)(学习《工科数学分析》的做（1），其余的做（2）) （1）证明级数∑∞ =-02n nx e x 在[),0+∞上一致收敛. （2）求幂级数()∑ ∞ =-----1 221 21212)1(n n n n x n 的收敛域及和函数. 六.(6分)设()[]b a C x f ,2∈,试证存在[]b a ,∈ξ,使()()()()?''-+ ??? ??+-=b a f a b b a f a b dx x f ξ324 1 2 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ） (0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中 ()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则 （ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(10 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）2 2 x （B ） 2 22x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且→=0() lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性. 高数期末考试 一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 2. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x = ??x x x x f d cos )(则 . 3. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221L n n n n n n π π ππ . 4. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 5. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 6. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 7. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 8. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 9. 设函数)(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且→=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x 并讨论' ()g x 在=0x 处的连续性. 10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足 =- 1 (1)9y 的解. 四、 解答题（本大题10分） 大学高等数学高数期末考 试试卷及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021 华南农业大学2010/2011学年第一学期经济数学期中考试试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1、设函数3()1f x x =-，则()f x -=（） 31x -31x --31x -+31x +、函数y = A ．3x < B ．3x ≤ C ．4x < D ．4x ≤ 3、（）中的两个函数相同． A ．()f x x =，()g t =．2()lg f x x =，()2lg g x x = C ．21()1x f x x -=+，()1g x x =- D ．sin 2()cos x f x x =，()2sin g x x = 4、下列函数中()是奇函数。 A ．3sin()4x x - B ．1010x x -+ C ．2cos x x - D ． sin x x 5、1 lim(1)n n n →∞-=（） A ．1 B ．2e C ．1e - D ．∞+ 6、下列函数在给定变化过程中是无穷大量的是（） 1 sin (0)x x x →.(0)x e x → ln (0)x x +→.sin ()x x x →∞ 7、设10 ()10x e x f x x x ?+≤=?->?，则在0=x 处，)(x f （） A ．连续 B ．左、右极限不存在 C ．极限存在但不连续 D ．左、右极限存在但不相等 8、若曲线()f x 在点0x x =处的切线平行于直线234x y +=，则0()f x '=（） A ．2 B ．3 C ． 23D ．23 - 9、设()x f x e =，则[(sin )]f x '=（）。 A ．x e B ．sin x e C ．sin cos x x e D ．sin sin x x e 高等数学上（1） 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x 高等数学（上）期中测试题 一 填空题：（每小题4分，共32分，要求：写出简答过程，并且把答案填在横线上） 1.设 1 (1) ,0 (),0 x x x f x x a x ?? -<=??+≥?在 (,)-∞+∞上处处连续，则a =---。 解 ()()1 11 10 lim 1lim 1x x x x x x e - - ---→→????-=+-=?????? ()0 lim x x a a + →+=,有连续性有a =-1 e 2. 已 知 (3)2f '=,则 0 (3)(3)lim 2h f h f h →--=1-。 解 已知 ()0(3)(3) 3lim 2h f f h f h →--'== 则 00(3)(3)1(3)(3)lim lim 22h h f h f f f h h h →→----=- 3.函数()2cos f x x x =+在[0, ] 2 π 上的最大值为6 π+解 令 ()12sin 0f x x '=-=得6 x π = 则最大值为 6 π + 4. 设 5(sin )5(1cos ) x t t y t =+?? =-? ， 则 t dy dx =0,2 2t d y dx ==120 解 () 5sin 0 51cos t t t dy dy t dt dx dx t dt ===== =+ 5. 设 1(0)x y x x +=>，则y '= ()1ln x x x x x ++ 解 两边取对数有 ()ln 1ln y x x =+ 两边关于 x 求导得1ln y x x y x ' +=+,整理后即得结果 6. 设函数 ()y y x =由方程 cos()0 x y xy ++=确定，则 dy =sin 1 1sin y xy dx x xy --。 解 对方程两边关于x 求导 得: sin 11sin y xy y x xy -'=- 则dy = sin 11sin y xy dx x xy -- 7. 曲线 2x y e -=在点(0,1)M 处的曲率K =25 解 200 22x x x y e -=='=-=- 200 44x x x y e -==''== 则 () ( )3 3 222 2 4 25 112y k y '' = = =??'++-?? 8.函数()x f x xe =在0 1x =处的二阶泰勒公式为()f x = 解 由 () ()()n x f x n x e =+,代入泰勒公式即得 二．选择题：（每小题4分，共32分，每小题的四个选项中只有一个是正确的，要求写出简答过程，并且将答案对应的选项的字母填入题后括号里） 1.当 0x →时，下列函数中为无穷小的函数是（D ） 。 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.. （A）（B）（C）（D）不可导. 2.. （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是等价无穷小； （C）是比高阶的无穷小；（D）是比高阶的无穷小. 3.若，其中在区间上二阶可导且，则（）. （A）函数必在处取得极大值； （B）函数必在处取得极小值； （C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点； （D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。 4. （A）（B）（C）（D）. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6. . 7. . 8. . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.设函数由方程确定，求以及. 10. 11. 12.设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性. 13.求微分方程满足的解. 四、解答题（本大题10分） 14.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此 曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，. 17.设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示： 设） 解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6.. 7. . 8.. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.解：方程两边求导 ， 10.解： 11.解： 12.解：由，知。 ，在处连续。 13.解： ， 四、解答题（本大题10分） 14.解：由已知且， 将此方程关于求导得 特征方程：解出特征根： 其通解为 代入初始条件，得 故所求曲线方程为： 五、解答题（本大题10分） 15.解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程： 由于切线过原点，解出，从而切线方程为： 则平面图形面积 （2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则 曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分） 16.证明： 故有： 证毕。 同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 长沙理工大学《高等数学》复习资料（一） (120分钟) 姓名________学号____ _ 班级 专业_____ 成绩___ _ 一．填空题 （共30分） 1．比较大小：dx x ?1 03 ? 1 xdx 。 2. 比较大小：dx x ?-40 3 1π 0。 3．由定积分几何意义 有=-?-dx x a a a 2 2 。 4． ? -=2 1 2sin x tdt dx d 。 5.=+? -dx x x x π π 2 1sin cos 。 6. 设 ()? ??=12x x f x x 11 <≥ 则 ()=?dx x f 2 。 7. 设 x x sin 是 ()x f 的一个原函数， 则 ()='?dx x f x 。 8. 若 ? =+1 2)2(dx c x ，则 c= 。 9. 若 ()2 4 x dt t f x = ?，则 ()=? dx x f x 4 1 。 10.若 3 10 =? ∞ -dx e kx ，则=k 。 二．解答题 （共56分） 11．求极限 ( )3 2 2 11lim x dt t t x x ? --+→。 12．设 ? =0 2 sin x tdt y 求 ()1y '。 13. { } dx x x ? 2 3 ,max 。 14．dx e x ?--0 1。 15.dx x ?27 1 3 1。 16.dx x x ?++ 3 11。 17．?3 ln 0 dx xe x 。 18．设 ()()dt t t x F x ?-=0 2，求()x F 在 []3,1- 上的最大值与最小值。 三．应用题 （8分） 19．求由曲线 x e y =，x e y -=及 e y = 所围成图形的面积。 四．证明题 （6分） 20．试证：() () dx x x a dx x a x n m a n a m ??-= -00。 第一学期高等数学期末考试试卷答案 一．计算题（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分）， 1．求极限()x x x x x 30 sin 2cos 1lim -+→． 解： ()30303012cos 1lim 12cos 12lim sin 2cos 1lim x x x x x x x x x x x x x x -??? ??+=????????-??? ??+=-+→→→ 20302cos 1ln 0 3 2cos 1ln 0 2cos 1ln lim 2cos 1ln lim 2 cos 1ln 1lim 1 lim x x x x x x x e x e x x x x x x x x +=+?+-=-=→→?? ? ??+→?? ? ??+→ ()4 1 2cos 1sin lim 0-=+-=→x x x x ． 2．设0→x 时，()x f 与2 2 x 是等价无穷小， ()?3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小，求常数k 与A ． 解： 由于当0→x 时， ()? 3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小，所以()1lim 3 =?→k x x Ax dt t f ．而 ()() () 1013 2 3201 3232 3 230132 3 00061lim 6lim 3122lim 31lim lim 3 -→--→-→-→→=?=??????? ? ? ???=??=?k x k x k x k x k x x Akx Akx x x Akx x x x x f Akx x x f Ax dt t f 所以，161lim 10=-→k x Akx ．因此，6 1 ,1==A k ． 3．如果不定积分 ()() ?++++dx x x b ax x 2 2 211中不含有对数函数，求常数a 与b 应满足的条件． 解： 05级高数(2-3)下学期期末试题 (A 卷) 专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________ 《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位” 一,填空题 (每题4分,共32分) 1. 213______4 x y kx y z k π +-=-==若平面与平面成 角,则 1/4 2. 曲线20 cos ,sin cos ,1t u t x e udu y t t z e = =+=+? 在t = 0处的切线方程为________________ 3. 方程z e xyz =确定隐函数z = f (x,y )则z x ??为____________ 4. ( ),dy f x y dx ?1 交换的积分次序为_________________________ 5．()2221,L x y x y ds +=-=?L 已知是圆周则 _________π- 6. 收敛 7. 设幂级数0 n n n a x ∞ =∑的收敛半径是2,则幂级数 21 n n n a x ∞ +=∑的收敛半径是 8. ()211x y ''+=微分方程的通解是 ()2121 arctan ln 12 y x x c x c =-+++_______________________ 二．计算题 (每题7分,共63分) 1．讨论函数 f ( x, y ) = 221 ,x y + 220x y +≠, f ( 0 , 0 ) = 0 在点（ 0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。 P 。330 2．求函数2 222z y x u ++=在点)1,1,1(0P 处沿P 0方向的方向导数，其中O 为坐 标原点。 3．2 1 2.1n n n n n ∞ =?? ?+?? ∑判别级数的敛散性 P ．544 4．设u=),(z y xy f +，),(t s f 可微，求du dz f dy f x f dx y f '+??? ??'+'+?'2211. 012 112x y z ---==z z yz x e xy ?=?-211sin ____________1 n n n ∞ =++∑级数的敛散性为 长沙理工大学2020考研大纲：601高等数学 考研大纲频道为大家提供长沙理工大学2019考研大纲：601高 等数学，一起来看看吧！更多考研资讯请关注我们网站的更新! 长沙理工大学2019考研大纲：601高等数学 科目代码：601科目名称：高等数学 一、考试要求 考生应系统地理解高等数学中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论;学会、掌握或熟 练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的 内在联系;应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、数学运算能力、空间想象能力;能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理，准确地计算;能综合运用所学知识分析并解决工程和生活中的实 际问题。 二、考试内容 1、函数和极限 函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数，基本初等函数性质及其图形。 数列极限与函数极限的定义以及它们的性质，无穷小和无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算， 极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则)两个重要极限。 函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)。 2、一元函数微分学 导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和法线，基本初等函数的导数，导数和微分的四则运算，复合函数、反函数、隐函数以及参数 方程所确定的函数的微分法，高阶导数的概念和求法，一阶微分形 式的不变性，微分在近似计算中的应用，洛尔(Rolle)定理，拉格朗 日(Lagrange)中值定理，柯西(Cauchy)中值定理，泰勒(Taylor)定理，洛必达(L’Hospital)法则，函数的极值及其求法，函数单调性，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数最大值 和最小值的求法及简单应用，弧微分，曲率的概念，曲率半径。 3、一元函数积分学 原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，定积分的概念和基本性质，定积分中值定理，变上限定积分定义的 函数及其导数，牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式，不定积分和 定积分的换元积、分法部积分法，有理函数、三角函数的有理式和 简单无理函数的积分，广义积分的概念和计算定积分的近似计算法，定积分的应用。 4、矢量代数和空间解析几何 矢量的概念，矢量的线性运算，矢量的数量积和矢量积的概念及运算，矢量的混合积，两矢量垂直、平行的条件，两矢量的夹角， 矢量的坐标表达式及其运算，单位矢量、方向数与方向余弦，曲面 方程和空间曲线方程的概念，平面方程、直线方程，平面与平面、 平面与直线、直线与直线的平行、垂直的条件和夹角，点到平面和 点到直线的距离，球面，母线平行于坐标轴的柱面，旋转轴为坐标 轴的旋转曲面的方程，常用的二次曲面方程及其图形，空间曲线的 参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。 5、多元函数微分学 多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限和连续的概念，有界闭区域上的多元连续函数的性质，多元函数偏导数和 全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件，全微分在近似 计算中的应用，多元复合函数、隐函数的求导法，高阶偏导数，方 一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为12 2++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ? ??+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为 2π． 3．设函数2 2232),,(z y x z y x f ++=，则= )1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则=∞ →n n u lim 0 ． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10 ,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处 收敛于 2 1π+． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式 x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 20 32z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分 ???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(22 2y x z +-=及22y x z += 所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分) ??? Ω v z y x f d ),,(? ??-=2 210 20 d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分)同济大学2009-高数B期末考试题
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