§14.1 勾股定理
第一课时
【本课目标】
1．在探索基础上掌握勾股定理。
2.掌握直角三角形中的边边关系和三角之间的关系。
【教学过程】
1.情境导入
从观察课本中图14.1.1和图14.1.2入手引入勾股定理。
2、课前热身
观看图14.1.1和图14.1.2，数一数三块面积之间的关系，体验勾股定理的内涵。
3、合作探究
（1）整体感知
由观察课本中图14.1.1和图14.1.2入手得出勾股定理；通过在图14.1.3中动手操作证实勾股定理；通过对本课本第50页例1的探索求解巩固勾股定理。
（2）四边互动
互动1：
师：你们能数出图14.1.1中三块面积P、Q、R的数值吗？数数看.
生：根据图形进行操作．
由此得出：以直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正
方形的面积。
师生共同归纳：R Q P S S S =+ ,即两直角边的平方和等于斜边的平方. 互动2：
师：你们能数出图14.1.2中三块面积P 、Q 、R 的数值吗？数数看． 生：根据图形进行操作．
由此得出：以直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．
师生共同归纳, R Q P S S S =+,即两直角边的平方和等于斜边的平方． 互动3：
师：由上述操作你发现了一般规律了吗？ 生：略
明确：在一个直角三角形中：两直角边的平方和等于斜边的平方。 互动4：
师：展示课本中图14.1.3.
师：在上图中画出直角三角形ABC ，用直尺量量斜边是多长好吗？
生：每人画出一个三角形，并动手测量后在小组中交流讨论，然后举手回答问题。
明确：师生合作通过操作证明勾股定理：2
22c b a =+.
例题教学：例1：如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC 斜靠
在墙上，BC 长为2.16米，
求梯子上端A 到墙的底端B 的距离AB.（精确到0.01米） 师：你会用勾股定理解这道题吗？试试看 生：操作后相互交流。
明确：在一个直角三角形中:两直角边的平方和等于斜边的平方。
注：在实际问题中往往需要求取近似值。
解：略。
4、达标反馈
（1）在直角△ABC中，∠C=0
90，a=3，b=4，则c值是，理由是
（2）在直角△ABC中，∠B=0
90，a=3，b=4，则c值是，理由是
（3）在△ABC中，a=3，b=4，c=5，则△ABC是
5、学习小结
（1）内容总结
直角三角形三边满足勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方。
注意：应用勾股定理时应特别注意哪个角是直角。
（2）方法归纳
让学生经历观察、操作、交流合作、合理猜想等体验吸取知识。
6、实践活动：利用勾股数确定直角的方法在测量中的应用，如测量河宽时可用勾股数确定直角，再利用直角三角形知识解决实际问题。
7、巩固练习：
第二课时
【本课目标】
1.通过拼图，用面积的方法说明勾股定理的正确性。
2.通过实例应用勾股定理，培养学生的知识应用技能。
【教学过程】
1.情境导入
多媒体播放如何制作相同的直角三角形纸板。
2、课前热身
让学生分组练习用四块相同的直角三角形板拼成正方形。
3、合作探究
（1）整体感知
通过相同直角三角形的拼图体验，让学生找出多种不同的方法来说明勾股定理的正确性，通过运用勾股定理解题，训练培养学生应用知识的技能，通过阅读材料让学生体验勾股定理的妙用。
（2）四边互动：出示课本中图14.1.5和14.1.6。
互动1：
师：你会拼出如图14.1.6所示的图形吗？
生：讨论交流，举手回答问题。
师：你能运用面积列出等式说明勾股定理吗？ 生：讨论交流，举手回答问题，并尝试说理。
明确：①大正方形面积减去小正方形面积等于四个直角三角形面积。 ②大正方形面积减去四个直角三角形面积等于小正方形面积。 ③大正方形面积等于四个直角三角形面积加上小正方形面积。
④结论是2
22c b a =+。
互动2：出示课本中图14.1.7和14.1.8.
师：你会拼出图14.1.7吗 生：动用操作
师：你会用面积等式说明勾股定理吗？ 生：讨论交流，举手回答并说理。
明确：①大正方形面积减去小正方形面积等于四个直角三角形面积。 ②大正方形面积减去四个直角三角形面积等于小正方形面积。 ③大正方形面积等于四个直角三角形面积加上小正方形面积。
④结论是2
22c b a =+。
互动3：
师：出示如右图所示的图形．
你会拼成如图所示的图形吗？它需要几块三角板？
生：独立尝试后，在小组之间交流，并举手回答问题． 师：你会列出面积等式说明勾股定理吗？ 生：讨论交流，举手回答问题，并尝试说理．
明确：①梯形面积减去等腰直角三角形面积等于两直角三角形面积。
②梯形面积减去两个直角三角形面积等于等腰直角三角形。 ③梯形面积等于两个直角三角形面积加上等腰直角三角形的面积。
④结论是2
22c b a =+。
例题教学：例2 如图14.1.9，为了求出湖两岸的A 、B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ABC 恰好为直角三角形.通过测量，得到AC 长160米，BC 长
128米.问从点A 穿过湖到点B 有多远？ 解 在直角三角形ABC 中， AC ＝160，BC ＝128， 根据勾股定理可得
22BC AC AB -=
22128160-= = 96（米）
答：从点A 穿过湖到点B 有96米.
明确：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方：222AB BC AC += 4、达标反馈 配套练习。 5、学习小结
（1）内容总结可以通过拼图，得到正方形，再根据面积相等列出等式，从而验证勾股定理；
运用勾股定理可以解决许多实际问题；
运用三角形相似或全等知识能证明直角三角形中的勾股定理。
（2）方法归纳通过动手操作、合作交流和亲身体验培养学生食好的学习方法，逐步养成优良的学习。
6、实践活动：动手制作直角三角形，并以三边长度为边作一个你喜欢的正多边形，研究它们面积之间的关系。
7、巩固练习：课本练习
§14.1.2直角三角形的判定
【教学内容】
华师版《数学》（八年级）（上）第53～54页，第14章第14.1节中“直角三角形的判定”部分.
【教学目标】
1、探索并掌握直角三角形判定方法.
2、经历勾股定理的逆定理的探究过程，了解勾股定理的逆定理与勾股定理的互逆性.
3、通过对勾股定理逆定理的探究，激发学生学习数学的兴趣和创新精神.
4、通过三角形三边的数量关系来判断它是否为直角三角形，?培养学生数形结合的思想. 【设计意图】
以上教学目标包括了本课时的三维目标：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观. 【教学过程】
一、创设情境，导入课题
1、直角三角形有哪些性质？（从边、角两方面考虑）
（1）有一个角是直角；
（2）两个锐角的和为90°(互余)；
（3）两直角边的平方和等于斜边的平方.
反之，一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢?
2、一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?（板书课题）
（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（板书）
（2）有两个角的和为90°的三角形是直角三角形；（板书）
（3）如果一个三角形的三边a ,b ,c 满足a2 +b2=c2，那么这个三角形是直角三角形???
3、史料：古埃及人画直角.
据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳
子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处. 你知道这是什么道理吗? 【设计意图】
温故旧知，引入新课，利用史料激发学生探究数学的兴趣. 二、动手实践，发现新知
1、试用小塑料棒拼出三边长度分别为如下数据的三角形，猜想它们是些什么形状的三角形？（按角分类）
（1）3，4，4 锐角三角形 （2）2，3，4 钝角三角形 （3）3，4，5 直角三角形
使用“几何画板”演示（拼图 / 还原 / 度量），加深学生对拼出三角形形状的认识. 2、请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和与最长边的平方之间的大小关系. （1）3，4，4 锐角三角形 ← 32＋42 > 42 （2）2，3，4 钝角三角形 ← 22＋32 < 42 （3）3，4，5 直角三角形 ← 32＋42 = 52 3、从勾股定理到勾股定理的逆定理：
勾股定理的逆定理
a 、
b 、
c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形.（板书）
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
注意：（1）勾股定理与勾股定理的逆定理之间的关系；
（2）“勾股定理的逆定理”严格的证明以后会学到；
（3）“勾股定理的逆定理”的用途.
4、使用“几何画板”演示：如果三角形的三边长a、b、c（这里a ≠c2，那么这个三角形不是直角三角形. 在△ABC中，设AB是三边中最长边，拖动点C，观察AC2+BC2、AB2的大小关系与∠ACB的度数. 结论：设AB是△ABC中三边中最长边，则 AC2+BC2 AC2+BC2=AB2 →∠ACB为直角 AC2+BC2>AB2 →∠ACB为锐角 【设计意图】 1、课本上要求学生根据三条线段的长度先画出三角形再判断三角形的形状，对于未学过尺规作图的学生来说有一定的难度，故改为先用小塑料棒拼出已知三边长度的三角形，再让学生度量三角形最大角的度数判断三角形形状，这样设计有利于培养学生的动手实践能力和合作交流意识. 2、将课本上的三条线段的长度尽量改小的目的，便于学生实践操作. 3、利用几何画板的拼接动感加深学生对勾股定理逆定理的探究过程的印象. 三、范例点击，提高认知 例1：判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是不是直角三角形? （1）a =7，b =25，c =24; （2） a =13，b =11，c =9 解：（1）最大边为25 ∵a 2+c 2=72+242=49+576 =625 b 2=252 =625 ∴a 2+ c 2= b 2 ∴以7，25，24为边长的三角形是直角三角形. （2）学生板演 例2、已知：如图，四边形ABCD 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13. 求四边形ABCD 的面积. （师生共同分析，教师板演） 【设计意图】 1、例1是本课时的重点，讲练相结合，由于补充了例2，所以将原课本上的例1中的3个小题减少为2题； 2、例2属于“勾股定理”与“勾股定理的逆定理”想结合的题目，有助于培养学生综合解题能力，同时该题将求四边形的面积问题转化为求三角形的面积问题来处理，渗透了数学中的转化思想. 13 12 43D C B A 四、随堂练习，巩固深化 练习1、下面以a、b、c为边长的△ABC是不是直角三角形？如果是请指明哪一个角是直角？ （1）a=6 b=8 c=10 . （2）a=12 b=8 c=15 . （3）a=8 b=6 c=5 . （4）a=1 b=2 c= 3 . 【设计意图】 练习1与例1配套练习，放在例1结束后使用. 练习2、满足下列条件△ABC，不是直角三角形的是（）A、b2 = a2 －c2B、a∶b∶c=3∶4∶5 C、∠C=∠A－∠B D、∠A∶∠B∶∠C =3∶4∶5 【设计意图】 练习2是检测是否掌握直角三角形判定方法的好题，该题同时渗透了“方程思想”、“整体思想”、“特殊化思想”、“设k法”等数学思想方法，还涉及了解答“选择题”的一些技巧方法. 练习2放在例2结束后使用. 练习3、解释“古埃及人画直角”的理论根据. 解：如图，设每两个结的距离为a（a>0），则AC=3a，BC=4a，AB=5a. ∵AC2 +BC2=3a ()2+4a ()2=25a2 AB2=5a ()2=25a2 ∴AC2 +BC2=AB2 从而∠ACB=90 ? §14.2 勾股定理的应用 一、单元设计总体分析 (一)教材所处的地位---教材分析：华东师大版《数学》七年级下册第14章第2节是学习勾股定理及其逆定理的应用。因此教学中可以结合实际情况让学生了解勾股定理及其逆定理在现实生活以及数学中的各种应用，体会勾股定理的文化价值. （二)单元教学目标： 1.能熟练、灵活地应用勾股定理及其逆定理. 2.会应用勾股定理及其逆定理解简单的实际问题. （三）单元教学重难点：勾股定理及其逆定理的应用. （四）单元教学策略：利用实物模型及多媒体将实际问题转化为应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题. 二、课时教学设计 （一）教学目标 1．知识目标 (1)了解勾股定理的作用是“在直角三角形中已知两边求第三边”；而勾股逆定理的作用是由“三角形边的关系得出三角形是直角三角形”. (2)掌握勾股定理及其逆定理，运用勾股定理进行简单的长度计算. 2．过程性目标 (1)让学生亲自经历卷折圆柱. (2) 让学生在亲自经历卷折圆柱中认识到圆柱的侧面展开图是一个长方形（矩形）. (3)让学生通过观察、实验、归纳等手段，培养其将“实际问题转化为应用勾股定理解直角三角形的数学问题”的能力. (二)教学重点、难点 教学重点：勾股定理的应用. 教学难点：将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题”. 原因分析： 1.例1中学生因为其空间想像能力有限，很难想到蚂蚁爬行的路径是什么，为此通过 制作圆柱模型解决难题. 2.例2中学生难找到要计算的具体线段.通过多媒体演示来启发学生的思维. 教学突破点：突出重点的教学策略： 通过回忆复习、例题、小结等，突出重点“勾股定理及其逆定理的应用”，（三）、教学过程 复习部分 复习练习，引出课题 例1、在Rt△ABC中，两条直角边分别为3，4，求斜边c的值？ 答案：c=5. 例2、在Rt△ABC中，一直角边分别为5，斜边为13，求另一直角边的长是多少？ 答案：另一直角边的长是12. 小结：在上面两个小题中，我们应用了勾股定理： 在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则c2= a2+b2 小结：通过简单计算题的练习，帮助学生回顾勾股定理，加深定理的记忆理解，为新课作好准备 加深定理的记忆理解，突出定理的作用. 新课讲解 勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用．例1如图14.2.1，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的 直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程． 分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行．大家用一张白纸卷折圆柱成圆柱形状，标出A 、B 、C 、D 各点，然后打开，蚂蚁在圆柱上爬行的距离，与在平面纸上的距离一样．AC 之间的最短距离是什么？根据是什么？（学生回答） B 根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面展开图矩形ASBCD 对角线AC 之长．我们可以利用勾股定理计算出AC 的长。 B 解 如图，在Rt △ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm ， 根据勾股定理得 （提问：勾股定理） ∴ AC ＝22BC AB +＝22104+ ＝292≈１０．７７（cm ）（勾股定理）． 答： 最短路程约为１０．７７cm ． 例2一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米 小结： 通过动手作模型，培养学生的动手、动脑能力，解决“学生空间想像能力有限，想不到蚂蚁爬行的路径”的难题，从而突破难点. 由学生回答“AC 之间的最短距离及根据”，有利于帮助学生找准新旧知识的连接点，唤起与形成新知识相关的旧知识，从而使学生的原认知结构对新知识的学习具有某种“召唤力” 再次提问，突出勾股定理的作用，加深记忆. 宽1.6米，要开进厂门形状如图14.2.3的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? 图14.2.3 分析由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH ．如图１４.２.３所示，点D 在离厂门中线0.8米处，且CD ⊥ＡＢ， 与地面交于H ． 解 ：OC ＝1米 (大门宽度一半)， OD ＝0.8米 （卡车宽度一半） 在Rt △OCD 中，由勾股定理得 ＣＤ＝22OD OC -＝228.01-＝０.６米， C Ｈ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）． 小结：因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门． 利用多媒体设备演示卡车通过厂门正中间时的过程（在几何画板上画出厂门的形状，用移动的矩形表示卡车，矩形的高低可调），让学生通过观察，找到需要计算的线段CH、CD及CD 所在的直角三角形OCD，将实际问题转化为应用勾股定理解直角三角形的数学问题. 小结：本节课我们学习了应用勾股定理来解决实际问题.在实际当中，长度计算是一个基本问题，而长度计算中应用最多、最基本的就是解直角三角形，利用勾股定理已知两边求第三边，我们要掌握好这一有力工具. 练习 1. 如图，从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆，求地面钢缆固定点A到电杆底部B的距离． （第１题） 2. 现准备将一块形为直角三角形的绿地扩大，使其仍为直角三角形，两直角边同时扩大到原来的两倍，问斜边扩大到原来的多少倍? （四）.作业： 勾股定理的应用基础训练（1） （五）、错题的估计和采集： （1）错例 从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆，求地面钢缆固定点A到电杆底 部B的距离． 解1：∵电杆垂直于地面. ∴根据勾股定理：AB2 =72 ＋5 2 =74 得AB =74 答：钢缆固定点A到电杆底部B的距离是74米. 解2：∵电杆垂直于地面. ∴根据勾股定理：AB=72 ―5 2 =24 答：钢缆固定点A到电杆底部B的距离是24米. （2）原因分析： 第一种错误是将直角边与斜边的位置搞错，或是记错了公式，应该按平方差计算，却按平方和计算; 第二种错误将公式中要计算项的平方遗漏，这两种错误都是常见的. （3）策略分析 为防止以上错误的出现，除了讲清楚定理，还应该强调： 1.定理中基本公式中的项都是平方项； 第14章勾股定理单元复习 【本课目标】 1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 2、如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形计算直角边时需要将基本公式移项变形，按平方差计算. 3、勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用．最后求边长时，需要进行开平方运算. 【重点难点】重点：勾股定理的应用。。 难点：实际问题向数学问题的转化。应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。疑点：灵活运用勾股定理。 【教学设想】 课型：新授课 教学思路：探索结论应用结论-应用结论解决实际问题。 【课时安排】1课时。 【教学过程】 一创设情境引入新课 想一想 1 直角三角形有那些特征？ 2 直角三角形有那些识别方法？ 3 你能说几组勾股数呢？ 学生分组探讨： 1一般三角形具有的特征它都有。 2 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 学生分组探讨： 1有一个角是直角的三角形。2 两个角互余的三角形。 3 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形 学生互相交流。9、40、41； 3、4、5； 5、12、13 7、24、25； 8、15、17 探究1如图，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为123S S S ，，，请同学 们想一想123S S S ，，之间有何关系呢？ 联想（1）若以Rt △ABC 的三边为直径作半圆，其面积分别为123S S S ，，，请同学们想一想123S S S ，，之间有何关系呢？ （2）若以Rt △ABC 的三边为边作等边三角形，其面积分别为123S S S ，，，请同学们想一想123S S S ，，之间有何关系呢？本题的实质为请同学们回顾勾股定理。 探究2
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