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数列压轴题

数列优质压轴题

1．已知数列{}n a 和{}n b 满足1a m =，1n n a a n λ+=+，243

n n n b a =-+，{}n b 的前n 项

和为n T ． ⑴．当1m =时，求证：对于任意的实数λ，{}n a 一定不是等差数列；⑵．当12

λ=-时，试判断{}n b 是否为等比数列；

⑶．在⑵条件下，若21≤≤n T 对任意的*N n ∈恒成立，求实数m 的范围．解：⑴．当1m =时，11a =，21a λ=+，23(1)22a λλλλ=++=++，假设数列{}n a 是等差数列，由1322a a a +=得，232(1)λλλ++=+，即210λλ-+=，30?=-<，方程无实根，故对任意的实数λ，{}n a 一定不是等差数列；

⑵．当12

λ=-时，112n n a a n +=-+，243

n n n b a =-+，则

112(1)41

()392

n n n n b a a n +++=-+=-+-

2(1)4121241()392392392n n n n n n a a b ++=-+-=--+=-，又1242399b m m =-+=-，故当29m ≠时，{}n b 是以29

m -为首项，12-为公比的等比数列，当29m =时，{}n b 不是等

比数列；

⑶．当29

m =，0n T =，不成立，当2

9m ≠时，221()[1()]392

n n T m =---，当n 为奇

数时13[1()](1,]22n --∈，当n 为偶数13[1()][,1)24n --∈，从而求得20

m =．练习7．(08湖北)已知数列{}n a 和{}n b 满足：1a λ=，

4,(1)(321)3

n n n n n a a n b a n +=

+-=--+，其中λ为实数，n 为正整数． ⑴．对任意实数λ，证明：数列{}n a 不是等比数列；

⑵．试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论；

⑶．设0a b <<，n S 为数列{}n b 的前n 项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有n a S b <

本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力．

⑴．证明：假设存在一个实数λ，使{}n a 是等比数列，则有2

213a a a =，即

224(3)(4)39λλλ-=-，故2244

49499

λλλλ-+=-，则90=矛盾．故{}n a 不是等比数列． ⑵．解：因

111122(1)[3(1)21](1)(214)(1)(321)33n n n n n n n b a n a n a n ++++=---+=--+=---+= 2

n b -，

又1(18)b λ=-+，故当18λ=-，*0()n b n N =∈，此时{}n b 不是等比数列：当

18λ≠-时，1(18)0b λ=-+≠，由上可知0n b ≠，故

*12

()3

a n

b n N b +=-∈．故当18λ≠-时，数列{}n b 是以(18)λ-+为首项，2

-为公比的等比数列．

⑶．由⑵知，当18λ=-，0n b =，0n S =，不满足题目要求．故18λ≠-，故

12(18)()3n n b λ-=-+-，于是32

(18)[1()]53

n n S λ=-+--．要使n a S b <<对任意正整

数n 成立，即3

(18)[15a λ<-+- *2()]()3

n b n N -<∈得，

3(18)51()1()33

n n a

λ<-+<----　

，令2()1()3f n =--①，当n 为正奇数时，51()3f n <≤；当n 为正偶数时，5()19f n ≤<，故2

()1()3

f n =--的最大值为

5(1)3f =

，2()1()3f n =--的最小值为5

(2)9

f =，于是，由①式得，933(18)555

b a λ<-+<，故18b λ--<< 318a --，当3a b a <≤时，由18318b a --≥--知，不存在实数满足题目要求；当3b a >存在实数λ，使得

对任意正整数n ，都有n a S b <<，且λ的取值范围是(18,318)b a ----． (10上海)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈． ⑴．证明：{1}n a -是等比数列；

⑵．求数列{}n S 的通项公式，并求出n 为何值时，n S 取得最小值，并说明理由．

解析：⑴．当1n =时，114a =-；当2n ≥时，11551n n n n n a S S a a --=-=-++，故

1(1)6

n n a a --=-，又11150a -=-≠，故数列{1}n a -是等比数列；

⑵．由⑴知：15

115()6n n a --=-，得15115()6

n n a -=-，从而

1*575()90()6n n S n n N -=+-∈；解不等式1n n S S +<，得152

()65

n -<，

1log 14.925

n >+≈，当15n ≥时，数列{}n S 单调递增；同理可得，当15n ≤时，数列{}n S 单调递减；故当15n =时，n S 取得最小值．

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，114

a =，且1112

n n n S S a --=++，数列{}n b 满足：

1119

b =-

，且13(2)n n b b n n --=≥． ⑴．求{}n a 的通项公式；

⑵．求证：数列{}n n b a -为等比数列；

⑶．求数列{}n b 的前n 项和n S 取得最小值．

(99全国)已知函数()y f x =的图象是自原点出发的一条折线．当

1(0,1,2,)n y n n ≤≤+=时，该图象是斜率为n b 的线段(其中正常数1b ≠)，设数列{}n x 由()(1,2,)n f x n n ==定义，求12,x x 和n x 的表达式．

解：依题意(0)0f =，又由1()1f x =，当01y ≤≤时，函数()y f x =的图象是斜

率为01b =的线段，故由

11()(0)

f x f x -=-得，11x =．又由2()2f x =，当12

y ≤<时，函数()y f x =的图象是斜率为B 的线段，故由2121

()()

f x f x b x x -=-，即

1x b

=+．记00x =，由函数()y f x =图象中第n 段线段的斜率为1n b -，故得

111()()

n n n n n f x f x b x x ----=-，又()n f x n =，1()1n f x n -=-；故1n n x x --=

11(),1,2,n n b -=．由此知数列1{}n n x x --为等比数列，其首项为1b ，公比为1b

，因 1b ≠得，11211

1()111()11n n

n k k n k b b x x x b b b b ---=-=-=++++=-∑，即1

1()1n n b b x b --=-． (08辽宁)在数列{},{}n n a b 中，112,4a b ==，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，

，成等比数列(n ∈*N )．

⑴．求234,,a a a 及234,,b b b ，由此猜测{},{}n n a b 的通项公式，并证明你的结论； ⑵．证明：

11221115

n n a b a b a b +++<+++…．本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，

考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．

解：⑴．由条件得，2

1112n n n n n n b a a a b b +++=+=，，由此可得，22334691216,a b a b a =====，，， 42025b =，．猜测：2(1)(1)n n a n n b n =+=+，．

用数学归纳法证明：

①．当1n =时，由上可得结论成立．

②．假设当n k =时，结论成立，即2(1)(1)k k a k k b k =+=+，，那么当1n k =+时，

221122(1)(1)(1)(2)(2)k

k k k k k

a a

b a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，．

故当1n k =+时，结论也成立．

由①②，可知(1)n a n n =+，2(1)n b n =+对一切正整数都成立． ⑵．

11115

612

a b =<+．当2n ≥时，由⑴可知，(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+．故11

a b ++

2211111111111111

()(622334(1)622334n n a b a b n n n ++<++++=+-+-++-++??+ (11111115)

)()162216412

n n =+-<+=++，综上，原不等式成立． (10天津)在数列{}n a 中，10a =，且对任意*k N ∈，21221,,k k k a a a -+成等差数列，其公差为k d ．

⑴．若2k d k =，证明：22122,,k k k a a a ++成等比数列(*k N ∈)； ⑵．若对任意*k N ∈，22122,,k k k a a a ++成等比数列，其公比为k q ． (i)．设11q ≠，证明：1

{

k q -是等差数列； (ii)．若22a =，证明：2

2322(2)2n

k k

k n n a =<-≤≥∑．

【命题意图】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n 项和公式、

等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．【解】⑴．证：由题设可得，*21214,k k a a k k N +--=∈．故

211212121()(k k k k a a a a a ++---=-+- 2331)()44(1)412(1)k a a a k k k k -+

+-=+-+

+?=+，

由10a =，得212(1)k a k k +=+，从而222212222,2(1)k k k a a k k a k ++=-==+．于是

212222111,k k k k a a k k a k a k +++++==

，故2221212k k k k

a a

a a +++=．故2k d k =时，对任意*k N ∈，22122,,k k k a a a ++成等比数列．

⑵．法一：(i)证：由21221,,k k k a a a -+成等差数列，及22122,,k k k a a a ++成等比数列得，2212k k a a -=+ 2121

21221

1,2k k k k k k k a a a q a a q -++-=+=+，当11q ≠时，可知*1,k q k N ≠∈，从而1

1111

121k k q q -=

=--- 111

k q -+

-，即111

1(2)11

k k k q q --

=≥--，故1{}1k q -是等

差数列，公差为1．

⑶．证：120,2a a ==，可得34a =，从而114

12,12

q q ===-．由⑴有

1111k k k q =+-=-得，*1,k

k q k N k +=∈，故22212121k k k k a a k a a k

++++==，从而

222

21,k k a k k N a k ++=∈()，因此，2222k k

k a a a -=? 2222224222

2242(1)2......22(1)(2)1

k k a a k k a k a a k k ---???=????=--．故*21212(1),k k k a a k k k N k ++=?=+∈．以下分两种情况进行讨论：

(i)．当n 为偶数时，设*

2()n m m N =∈，若1m =，则2

222n

k k

k n a =-=∑．若2m ≥，

则2

k k

k a ==∑ 22222111

11111221(2)(21)4441441

2[]222(1)2(1)2(1)m

m m m m k k k k k k k k k k k k k k m m a a k k k k k k k ---=====++++++=+=++=++++∑∑∑∑∑1

11111131

[2()]22(1)(1)22122m k m m n k k m n -=+-=+-+-=--+∑．故223122n

k k k n a n =-=+∑，从而2

2322,4,6,82n k k

k n n a =<-<=∑…．

(ii)．当n 为奇数时，设

21()n m m N =+∈．2

222

22221(21)1(21)422(1)n

m k k k k

m k k m m m a a a m m m ==+++=+=-+-+∑∑

3113142222(1)21m n m n =+-=--

++，故2231

221n

k k k n a n =-=++∑，从而2

2322,2n k k k n n a =<-<∑ 3,5,7,=,综合(i) (ii)得，对任意2n ≥，n N *∈，有

23222n k k

k n a =<-≤∑．法二：(i)．证：由题设可得，

212222(1)k k k k k k k k d a a q a a a q +=-=-=-．12221k k k d a a +++=-=

2222(1)k k k k k k k q a q a a q q -=-，故1k k k d q d +=．232211122222211k k k k k k k k k

a a d d

q a a q a ++++++++=

==+=+ 211k k k k k d q q a q -=+，由11q ≠可知1,*k q k N ≠∈．可得111

111

k k k k q q q q +-=---

111k q -

=-，故1

{}1

k q -是等差数列，公差为1． (ii)．证明：因120,2a a ==，故1212d a a =-=．故3214a a d =+=，从而

3122a q a =

=，111q =- 1．于是，由(i)可知1

{}1

k q -是公差为1的等差数列．由等差数列的通项公式可得，

1(1

k k q =+-- 1)k =，故1k k q k +=．从而11

k k k d k q d k ++==

．故1112

k k k k k d d d d d d ---=???

211

d k k d k k -=???

=-- k ，由12d =，可得2k d k =．于是，由(i)可知，212(1)k a k k +=+，2*22,k a k k N =∈．以下同证法一．

(10天津文)在数列{}n a 中，10a =，且对任意*k N ∈，21221,,k k k a a a -+成等差数列，其公差为2k ．

⑴．证明：456,,a a a 成等比数列； ⑵．求数列{}n a 的通项公式；

⑶．记22

23n n

n T a a a =++

+，证明：322(2)2n n T n <-≤≥．

【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n 项和公式、等比数列的定

义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．

⑴．证：由题设可知，2122a a =+=，3224a a =+=，4348a a =+=，

54412a a =+=，65618a a =+=．从而

655432

a a a a ==，故456,,a a a 成等比数列． ⑵．由题设可得，*21214,k k a a k k N +--=∈，故21121212123()()k k k k k a a a a a a ++

----=-+-+

*31()44(1)42(1),a a k k k k k N +-=+-++=+∈．由10a =得，212(1)k a k k +=+，从

而222122k k a a k k +=-=．故{}n a 的通项公式为：22,2

n n n a n n ?-??=????奇偶为数为数或

2*(1)1,24

n n n a n N --=+∈．

⑶．由⑵可知，212(1)k a k k +=+，222k a k =，以下分两种情况进行讨论：

①．当n 为偶数时，设*

2()n m m N =∈，若1m =，则2

222n

k k

k n a =-=∑，若2m ≥，

则2

k k

k a ==∑ 222221111

111111221(2)(21)(2)(21)441

2[]222(1)2(1)2(1)m

m m m m m k k k k k k k k k k k k k k m m a a k k k k k k k ----======+++++=+=++=++++∑∑∑∑∑∑1111131[2()]22(1)(1)22122m m n k k m n +-=+-+-=--+．故223122n

k k k n a n =-=+∑，从而

2322,4,6,8,2n k k

k n n a =<-<=∑．

②．当n 为奇数时，设*21()n m m N =+∈．

222222221

(21)31(21)1131

442222(1)22(1)21n

m k k k k m k k m m m m n a a a m m m m n ==+++=+=--+=+-=--+-+∑∑，故2231221n

k k k n a n =-=++∑，从而2

2322,3,5,7,

k k

k n n a =<-<=∑，综合①和②可知，

对任意2n ≥，*n N ∈有，3

22(2)2

n n T n <-≤≥．

20．已知数列{}n a 中，，12n n n a a ++=(n ∈N*)，b n ＝3a n ． ⑴．试证数列1{2}3

n n a -?是等比数列，并求数列{b n }的通项公式． ⑵．在数列{}n b 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有

符合条件的项；若不存在，说明理由．

⑶．①试证在数列{}n b 中，一定存在满足条件1＜r ＜s 的正整数r ，s ，

使得b 1，b r ，b s 成等差数列；并求出正整数r ，s 之间的关系． ②在数列{}n b 中，是否存在满足条件1＜r ＜s ＜t 的正整数r ，s ，

t ，使得b 1，b r ，b s ，b t 成等差数列？若存在，确定正整数r ，s ，t

之间的关系；若不存在，说明理由．

⑴．由12n n n a a ++=，得a n ＋1＝2n —a n ，∴n

n n n n n n n n a a a a 231231

22312311

11?-?--=?-?-+++1

(2)

31123

n n n

n a a --?==--?, 故数列1{2}3n n a -?是首项为31321=-a ,公比为1-的等比

数列. 故()1131231--?=?-n n n a , 即1[2(1)]3

n n n a =--，故2(1)n n n b =--

11=a

⑵．假设在数列{}n b 中，存在连续三项b k －1，b k ，b k ＋1(k ∈N*, k ≥2)成等差数列，则b k －1＋b k ＋1＝2b k ，即1111[2(1)][2(1)]2[2(1)]k k k k k k --++--+--=--，即

12k -＝41(1)k --

①若k 为偶数，则12k -＞0，41(1)k --＝－4＜0，故，不存在偶数k ，使得b k －1，b k ，b k ＋1成等差数列．

②若k 为奇数，则k ≥3，故12k -≥4，而41(1)k --＝4，故，当且仅当k ＝3时，b k －1，b k ，b k ＋1成等差数列．

综上所述，在数列{}n b 中，有且仅有连续三项b 2，b 3，b 4成等差数列． ⑶．①证：要使b 1，b r ，b s 成等差数列，只需b 1＋b s ＝2 b r ，即3＋

2(1)s s --＝2[()21r

r --],即122(1)2(1)3s r s r +-=----，①

（ⅰ）若s ＝r ＋1，在①式中，左端122s r +-＝0，右端(1)2(1)3s r ----＝(1)2(1)33(1)3s s s -+--=--，要使①式成立，当且仅当s 为偶数时成立．又s ＞r ＞1，且s ，r 为正整数，故，当s 为不小于4的正偶数，且

s ＝r ＋1时，b 1，b r ，b s 成等差数列．

（ⅱ）若s ≥r ＋2时，在①式中，左端122s r +-≥2122r r ++-＝12r +，由⑵可知，r ≥3，故r ＋1≥4，故122s r +-≥16；右端(1)2(1)3s r ----≤0（当且仅当s 为偶数、r 为奇数时取“＝”），故当s ≥r ＋2时，b 1，b r ，b s 不成等差数列．

综上所述，存在不小于4的正偶数s ，且s ＝r ＋1，使得b 1，b r ，b s

成等差数列．

②假设存在满足条件1＜r ＜s ＜t 的正整数r ，s ，t ，使得b 1，b r ，b s ，

b t 成等差数列．

首先找到成等差数列的3项：由第⑶小题第①问，可知，b 1，b 2n －1，

b 2n (n ∈N*，且n ≥2)成等差数列，其公差d ＝b 2n －b 2n －1＝

222121[2(1)][2(1)]n n n n -------＝2122n --，故b t ＝b 2n ＋d ＝()2221n

n --＋2122n --＝3

212n -?－3．又b t =()21t

t --，故3212n -?－3＝()21t

t --，即2t －3212n -?＝()

-－3．② 因t ＞2n ＞2n －1，故t ≥2n ＋1，故②式的左端2t －3212n -?≥212n +－3212n -?＝212n -≥8，而②式的右端()1t

-－3≤－2，故②式不成立．

综上所述，不存在满足条件1＜r ＜s ＜t 的正整数r ，s ，t ，使得b 1，

b r ，b s ，b t 成等差数列．

2011高考数学压轴题专题训练

2011高考数学压轴题专题训练--数列（36页WORD ）第六章数列高考题三、解答题 22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，1111 1,(1)2 n n n n a a a n ++==++ （I ）设n n a b n = ，求数列{}n b 的通项公式（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S 分析：（I ）由已知有 1112n n n a a n n +=++11 2 n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1 122 n n b -=-(* n N ∈) （II ）由（I ）知1 22n n n a n -=- , ∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2n n k k k k k -===-∑∑ 而 1 (2)(1)n k k n n ==+∑,又11 2n k k k -=∑ 是一个典型的错位相减法模型，易得 11 12 42 2n k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 23.（2009北京理）已知数集{}()1212,, 1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的 (),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与 j i a a 两数中至少有一个属于A . （Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；

[数学]数学高考压轴题大全

1、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. （Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；

（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题（每空？分，共？分） 4 、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；② 对一切实数，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求证：． 5 、已知函数：（1 ）讨论函数的单调性；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？ (3)求证：．

6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域；（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由. 7、已知函数（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；

高考压轴题瓶颈系列—浙江卷数列50例

高考压轴题瓶颈系列之——浙江卷数列【见证高考卷之特仑苏】 1. 【2014年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b ()()* ∈=N n a a a n b n 2 2 1 . 若 {}n a 为等比数列，且.6,2231b b a +== (Ⅰ)求 n a 与 n b ； (Ⅱ)设() * ∈-= N n b a c n n n 1 1。记数列{}n c 的前n 项和为n S . （i ）求 n S ；（ii ）求正整数k ，使得对任意*∈N n ，均有n k S S ≥． 2. 【2011年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列 {} n a 的首项 1a a = (a R ∈),设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41a 成等比数列（Ⅰ）求数列 {} n a 的通项公式及 n S （Ⅱ）记 1231111 ...n n A S S S S = ++++ ， 212221111...n n B a a a a =++++，当2n ≥时，试比较 n A 与 n B 的大

3. 【2008年.浙江卷.理22】（本题14分）已知数列 {}n a ，0≥n a ，01=a ， 22111() n n n a a a n N ?+++-=∈． n n a a a S +++= 21)1()1)(1(1 )1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++= ．求证：当? ∈N n 时，（Ⅰ）1 +n S n ；（Ⅲ） 3