河南省新乡市第一中学2021届高三数学一轮复习模拟考试试题一文.doc

河南省新乡市第一中学2021届高三数学一轮复习模拟考试试题（一）

文

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合{}1,0A =-，{}

2

20B x x x =∈--

B =（ ）

A ．{1}-

B ．{0}

C ．{1,0}-

D ．{1,0,1}-

【答案】D

【解析】易知{}

{}120,1B x x =∈-<<=Z ， 又{}1,0A =-，所以{}1,0,1A

B =-，故选D ．

2．若复数z 满足()12i 34i z ?+=+，则z =（ ） A ．12i + B ．12i -

C ．510i +

D ．510i -

【答案】B 【解析】由()()()()

34i 512i 512i 12i 12i 12i 12i 5

z +--=

===-++-，故选B ． 3．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的．“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（ ） A ．8岁 B ．11岁

C ．20岁

D ．35岁

【答案】B

【解析】由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．记最小的儿子年龄为1a ，

则9198

932072

S a ?=+

?=，解得111a =，故选B ． 4．某地区城乡居民储蓄存款年底余额（单位：亿元）如图所示，下列判断一定不正确的是（ ）

A ．城乡居民储蓄存款年底余额逐年增长

B ．农村居民的存款年底余额所占比重逐年上升

C ．到2019年农村居民存款年底总余额已超过了城镇居民存款年底总余额

D ．城镇居民存款年底余额所占的比重逐年下降 【答案】C

【解析】A ．由城乡居民储蓄存款年底余额条形图可知，正确；

B ．由城乡储蓄构成百分比可知，农村居民的存款年底余额所占比重20,7.3%,26.5%,36.1%逐年上升，正确；

C ．由城乡储蓄构成百分比可知，农村居民存款年底总余额36.1%1523549.80?=，城镇居民存款年底总余额63.9%1523973.20?=，没有超过，错误；

D ．由城乡储蓄构成百分比可知，城镇居民存款年底余额所占的比重从79.3%，73.5%，63.9%逐年下降，正确， 故选C ．

5．已知平面向量,a b 的夹角为60°，(3=a ，1=b ，则+=a b （ ） A ．2 B ．23C 7

D ．4

【答案】C

【解析】因为(3=a ，所以132=+=a ，所以cos 601a b a b ?=??=．

()

2

2224217+=

+=+?+=++=a b a b a b b a ，故选C ．

6．已知点(2,1)P 为圆22:80C x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为（ ）

A ．250x y +-=

B ．240x y +-=

C ．230x y --=

D ．20x y -=

【答案】C

【解析】圆22:80C x y x +-=的标准方程为()22

416x y -+=，则圆心为()4,0C ，

直线PC 的斜率101

242

PC k -=

=--， 又PC MN ⊥，所以1PC MN k k ?=，所以2MN k =，

故弦MN 所在直线的方程为()122y x -=-，即230x y --=，故选C ． 7．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则139

2410

a a a a a a ++++的值为（ ）

A ．

914

B ．

1115

C ．

1316 D ．

1517

【答案】C

【解析】等差数列{}n a 中，因为139,,a a a 成等比数列，

所以有3129a a a =?，即2

111(2)(8)a d a a d ?+=+，解得1d a =，

所以该等差数列的通项为n a nd =，则1392410(139)13

(2410)16

a a a d a a a d ++++==++++，故选C ．

8．观察下面数阵，

1 35 791113

1517192123252729

…

则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（ ） A ．545 B ．547

C ．549

D ．551

【答案】C

【解析】由题意，可得该数阵中第m 行有12m -个数，

所以前m 行共有1(12)

2112

m m ?-=--个数，

当8m =时，可得前8行共255个数，

因为该数阵中的数依次相连成公差为2的等差数列，

所以该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是()127512549+-?=，故选C ．

9．已知A ，B ，C 是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>上的三个点，直线AB 经过原点O ，AC 经

过右焦点F ，若0BF AC ?=，且1

4

AF AC =

，则该双曲线的离心率为（ ）

A ．

52

B ．

23

C ．

103

D ．

102

【答案】D

【解析】如图，因为对角线互相平分且BF AC ⊥，所以四边形1AFBF 为矩形， 设||AF m =，则1||2AF a m =+， 又由1

4

AF AC =

，可得3||||AF CF =，所以||3FC m =，12||3CF m a =+， 在1ACF Rt △中，()()()2

2

2

2432a m m m a ++=+， 得m a =，所以1||||3BF AF a ==，

又因为在1AFF Rt △中，2

2

2

11||||||AF AF FF +=，即()()2

2

232a a c +=，

所以得离心率10

2

e =

，故选D ．

10．函数()()sin 22cos 0πf x x x x =+≤≤，则()f x （ ） A ．在0,π3??????

上递增

B ．在π0,6??????

上递减

C ．在π5π,

66??

????

上递减 D ．在π2π,

63??

????

上递增 【答案】C 【

解

析

】

()()()()22cos 22sin 22sin sin 102sin 1sin 10f x x x x x x x '=-=-+->?-+<，

故1π5π1sin 0,,π266x x ????

-<<

?∈ ? ?????

， 故()f x 在π0,

6x ??∈ ??

?和5π,π6?? ???单调递增，即在π5π,66??

???

?上递减，故选C ． 11．已知函数()f x 在R 上是增函数，设1

e

a e =，1

ln 2ln 33

b =-，1

ππc =，则下列不等

式成立的是（ ） A ．()()()f b f a f c >> B ．()()()f c f a f b >> C ．()()()f c f b f a >> D ．()()()f a f c f b >>

【答案】D 【解析】令()ln x g x x =

，则()2

1ln x

g x x -'=， 当()0,x e ∈时，()0g x '>，()g x 在()0,e 上为增函数， 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在(),e +∞上为减函数，

故π

ln ln πe e >，即11

ππe

e >，故0a c ，

又1ln 2ln 3ln 4ln 3

ln ln 3=032343

-

-=-<，a c b ∴>>， 综上，()()()f a f c f b >>，故选D ． 12．定义：若整数m 满足：11

22

m x m -

<≤+，称m 为离实数x 最近的整数，记作{}x m =．给出函数(){}f x x x =-的四个命题： ①函数()f x 的定义域为R ，值域为11,22??

-

???

； ②函数()f x 是周期函数，最小正周期为1； ③函数()f x 在11,22??

-

??

?上是增函数； ④函数()f x 的图象关于直线()2

k

x k =

∈Z 对称． 其中所有的正确命题的序号为（ ） A ．①③ B ．②③

C ．①②④

D ．①②③

【答案】B

【解析】∵①中，显然(){}f x x x =-的定义域为R ， 由题意知，11{}{}22

x x x -

<≤+，则得到11

(){}(,]22f x x x =-∈-，故①错误；

②中，由题意知：(1)(1){1}1{}1{}()f x x x x x x x f x +=+-+=+--=-=， 所以(){}f x x x =-的最小正周期为1，故②正确；

③中，由于11{}{}22x x x -

<≤+，则得(){}f x x x =-为分段函数，且在11,22??- ???，13,22?? ???

上是增函数，故命题③正确；

④中，由题意得()(){}()(}()){f f k x k x k x x x x f x -=---=--≠-=-， 所以函数()y f x =的图象关于直线()2

x k

k =∈Z 不对称，故命题④错误， 由此可选择②③，故选B ．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．函数()sin 2π2cos(π)2f x x x ??

=-++ ??

?

的最大值为________． 【答案】

32

【解析】2

2133()2cos 2cos 12cos 222f x x x x ??=--+=-++≤ ??

?， 当且仅当1

cos 2

x =-

时等号成立． 故答案为

32

． 14．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为________．

【答案】22π

【解析】由三视图得三棱锥直观图如下所示：

其中,,SA AB AC 两两互相垂直，

将三棱锥补成以,,SA AB AC 为边长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 22233222++=，

所以外接球的表面积为2

224π()22π?=， 故答案为22π．

15．已知a ，b ，c 分别为ABC △的内角A ，B ，C 的对边，且满足sin 33sin A C B +=，

33b =，当角B 最大时ABC △的面积为________．

【答案】92

【解析】已知等式利用正弦定理化简得33a c b +=， 由

余

弦

定

理

2222cos b a c ac B

=+-，可知

2222

2

22

222(3)2341399cos 222933a c a c ac a c a c a c b a c B ac ac ac c a +++++-====?+?-

+当角B 最大时，则cos B 最小，

由基本不等式可得4134333

cos 93a c B c a =

?+?≥=

当且仅当

4193a c c a ?=?，即3

a c = 代入33a c

b =，可得::33:2a b

c =， 因为33b =33a =，6c =，

在等腰ABC △中，求得底边上的高为32h =1

326922

ABC =?=△S ， 故答案为92． 16．已知2

ln ,0()2,0

x x f x x x x ?->=?

+≤?，若()f x a =有4个根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++的

取值范围是__________．

【答案】

1 0,2

e

e

??

+-

?

??

【解析】作出

2

ln,0

()

2,0

x x

f x

x x x

?->

=?

+≤

?

的图象，如图，

不妨设

1234

x x x x

<<<，根据二次函数的对称性可得

12

2

x x

+=-，

由对数函数的性质可得

34

ln ln

x x

=-，

34

1

x x=，

若()

f x a

=有4个根，由图可知10

a

-<<，从而易知

3

1

1

x

e

<<，

于是343

3

11

2,

x x x e

x e

??

+=+∈+

?

??

，

因为

123434

2

x x x x x x

+++=-++，所以

1234

1

0,2

e

x

e

x x x

+

??

+-

?

?

+∈

?

+．

故答案为

1

0,2

e

e

??

+-

?

??

．

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知数列{}n a 满足11

a=，且数列{}1

n

a+是以为2公比的等比数列．（1）求数列{}n a的通项公式；

（2）已知数列{}n b的通项公式为

1

(1)

n

b

n n

，设

n n n

c a b

=+，求数列{}n c 的前n项和．【答案】（1）21

n

n

a=-；（2）1

1

21

1

n n

n

+---

+

．

【解析】（1）11

a=，

1

12

a

∴+=，

∴数列{1}

n

a+是首项为2，公比为2的等比数列，

1

1222

n n

n

a-

∴+=?=，21

n

n

a

∴=-．

（2）设数列{}n a、{}n b的前n项和分别为n S、n T，

则(

)123

12(12)

22222212

n n

n n S n n n +-=+++

+-=-=---，

111(1)1

n

b n n n

n ，

111111

111+12233411n n n n T ????????=-+-+-+

-=- ? ? ? ?++???????

∴?

， 所以数列{}n c 的前n 项和为1

111

2

212111

n n n n S T n n n n +++=--+-

=---++． 18．（12分）2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标；2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年．（总书记二〇二〇年新年贺词）截至2018年底，中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1660万人，贫困发生率由2012年的10．2%下降至2018年的1．7%；连续7年每年减贫规模都在1000万人以上；确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤．某贫困地区截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2018年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图．

（1）补全频率分布直方图，并求出这50户家庭人均年纯收入的中位数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）（精确到元）；

（2）2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入如下表： 月份/2019（时间代码x ） 1 2 3 4 5 6 人均月纯收入（元）

275

365

415

450

470

485

y x 系，请求出回归直线方程；由于2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度（1，2，3月份）每月的人均月纯收人均为预估值的

1

3

，从4月份开始，每月的人均月纯收人均为预估值的

4

5

，由此估计该家庭2020年能否达到小康标准，并说

明理由；

①可能用到的数据：

6

1

9310i i

i x y

==∑；

②参考公式：线性回归方程???y bx a =+中，6

1

6

2

2

1

66?i i

i

i i x xy

x y

b

x

===-=∑∑，??a y bx

=-． 【答案】（1）频率分布直方图见解析，中位数5．133千元，平均数5．16千元；（2）

?40270y x =+，该家庭2020年能达到小康标准．

【解析】（1）由频率之和为1可得：家庭人均年纯收入在[6，7)的频率为0．18， 所以频率分布直方图如下：

中位数为0.50.040.100.322

55 5.1330.3015

---+

=+=（千元），

（或：设中位数为x ，则

0.045

0.266x x

-=-，解得 5.133x =） 平均数 2.50.04 3.50.10 4.50.32 5.50.30 6.50.187.50.06 5.16x =?+?+?+?+?+?=（千元）． （

2

）

解

：

由

题

意

得

123456

3.5

6

x +++++=

=，

2753654154504704852460

41066

y +++++=

==，

6

2

1

14916253691i

i x

==+++++=∑，2266 3.573.5x ?=?=，

所以6

1

6

22

1

693106 3.541093108610700

?409173.59173.517.5

6i i

i i

i x y xy

b

x

x ==--??-==

===---∑∑，

??41040 3.5270a

y bx =-=-?=，

所以回归直线方程为?40270y

x =+， 设y 为2020年该家庭人均月纯收入，则13,14,15x =时，1

(40270)3

y x =+， 即2020年前三月总收入为1(790830870)8303

++=元； 当16,17,

,24x =时，4

(40270)322165

y x x =

+=+， 即2020年从4月份起的家庭人均月纯收入依次为：728，760，…，984， 构成以32为公差的等差数列， 所以4月份至12月份的总收入为

()

972898477042

+=，

所以2020年该家庭总收入为：830770485348000+=>， 所以该家庭2020年能达到小康标准．

19．（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，//AD BC ，

2AD BC =，90DAB ABP ∠=∠=?．

（1）求证：平面PBC ⊥平面PAB ；

（2）若点E 是棱PD 的中点，且1AB BC BP ===，求三棱锥E PBC -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）

1

12

． 【解析】（1）证明：因为//AD BC ，AD AB ⊥，所以BC AB ⊥． 又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD AB =，

所以BC ⊥平面PAB ．

又BC ?平面PBC ，所以平面PAB ⊥平面PBC ．

（2）由（1）知AB BC ⊥． 又AB PB ⊥，PB

BC B =，,PB BC ?平面PBC ，

∴AB ⊥平面PBC ，

设PA 的中点为F ，连接EF ，则//EF AD 且1

2

EF AD =， 又//BC AD 且1

2

BC AD =

，所以//EF BC ． 所以点E 到平面PBC 的距离等于点F 到平面PBC 的距离， 而点F 到平面PBC 的距离等于点A 到平面PBC 的距离的12

， 所以点E 到平面PBC 的距离1122

h AB ==， 故11111

11332212

E PBC PBC V S h -=

?=????=△． 20．（12分）已知椭圆()22

22:10x y E a b a b +=>>的右焦点为F ，短轴长等于焦距，且经过点

()0,1P ．

（1）求椭圆E 的方程；

（2）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线与E 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，D 是y 轴上一点，且CD AB ⊥，求证：线段CD 的中点在x 轴上．

【答案】（1）2

212

x y +=；

（2）证明见解析． 【解析】（1）由椭圆E 经过点()0,1P ，得1b =， 由短轴长等于焦距，得22b c =，则1c =，

所以a ===

，

故椭圆E 的方程为2212

x y +=．

（2）设直线l 的方程为()10x ty t =+≠，()11,A x y ，()11,B x y ，()00,C x y ．

由22

122x ty x y =+??+=?

，得()22

2210t y ty ++-=， 由题意，得Δ>0，且12222t y y t +=-+，12

21

2

y y t =-+， 则120222y y t y t +=

=-+，002212x ty t =+=+，即222

,22t C t t ??- ?++??

．

设()0,D u ，由CD AB ⊥，得22

12122

t u t t t +

+?=--+，解得22t u t =+．

所以00y u +=，所以

002

y u

+=， 故线段CD 的中点在x 轴上．

21．（12分）已知函数()()2

122

x

f x x e x x =-+

-． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若不等式()()2

1442a af x x a x ??≥+-++ ???

对任意()2,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．

【答案】（1）单调递减区间为(),1-∞，单调递增区间为()1,+∞；（2）31,e ??

+∞????

． 【解析】（1）依题意()()()()()1111x

x f x e

x x x e '=-+-=-+，

当(),1x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，

所以()f x 的单调递减区间为(),1-∞，单调递增区间为()1,+∞． （2）当2x >时，()()2

1442a af x x a x ??≥+-++ ???

恒成立， 即()()22214422x

a a a x e x ax x a x ??

-+

-≥+-++ ???

， 即()()2

2

2442x

a x e x x x --+=-≥，

即2

x x a e -≥恒成立，即max

2x x a e -??≥ ???．

令()()22x x h x x e -=

>，则()()123x

x x x

h x e e

---'==， 易知()h x 在区间()2,3内单调递增，在区间()3,+∞内单调递减， 所以()()3max 13h x h e ==

，所以3

1

a e ≥．

所以实数a 的取值范围是31,e ??

+∞????

．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t ??=+??=+?

（t 为参数，[0,π)?∈），以

坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为π

4cos()3

ρθ=-． （1）求圆C 的直角坐标方程；

（2）设()1,1P ，若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求||PA PB -的最大值．

【答案】（1）2220x y x +--=；（2）4．

【解析】（1）圆C 的极坐标方程为π4cos()3

ρθ=-，则22cos sin ρρθθ=+，

由极坐标与直角坐标的转化公式得222x y x +=+，

所以2220x y x +--=．

（2）将线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t ?

?=+??=+?

（t 为参数），

代入2220x y x +--=．

所以21)sin 0t t ?--?-=， 设点A ，B 所对应的参数为1t 和2t ，

则121)sin t t ?+=-，12t t ?=-，

则1212||||(PA PB t t t t -=-=

+=，

当sin 1?=时，||PA PB -的最大值为4． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知,,a b c 为正数，且2a b c ++=，证明： （1）43

ab bc ac ++≤

； （2）

2228a b c

b c a

---??≥． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】（1）将2a b c ++=平方得：2222224a b c ab ab ac +++++=， 由基本不等式知：222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥， 三式相加得：2

22a b c ab bc ac ++≥++，

则2224222333a b c ab bc ac ab bc ac =+++++≥++， 所以43ab bc ac ++≤

，当且仅当2

3

a b c ===时等号成立

（2）由

2a b c b b -+=≥22b a c c b a c c a a -+-+=≥=≥

则

2228a b c b c a ---??≥=， 即

2228a b c b c a ---??≥，当且仅当23

a b c ===时等号成立．