1tan tan(4560)2A +∴=+=
=- .4
6
260sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(105sin sin +=
+=+==
A S AC A
B A AB
C ?=
?=???+=+12122326434
26sin ()。 解法二：由sin cos A A +计算它的对偶关系式sin cos A A +的值。 sin cos A A +=
2
2
① .
0cos ,0sin ,18002
1
cos sin 22
1)cos (sin 2<>∴<<-
=∴=
+∴A A A A A A A
2
3cos sin 21)cos (sin 2=
-=-A A A A , ∴-=
sin cos A A 6
2
② ① + ② 得 sin A =
+26
4。 ① － ② 得 cos A =
-26
4
。
从而 sin tan 2
cos 4A A A =
==- 以下解法略去。
点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？ 例4．（2009湖南卷文）在锐角ABC ?中，1,2,BC B A ==则
cos AC
A
的值等于 ， AC 的取值范围为
答案 2)3,2(
解析 设,2.A B θθ∠=?=由正弦定理得
,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC AC
θθθθ
=∴=?=
由锐角ABC ?得0290045θθ<
又01803903060θθ<-
<<，
2cos AC θ∴=∈
例5．（2009浙江理）（本题满分14分）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且
满足cos
2A =，3AB AC ?=． （I ）求ABC ?的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．
解 （1）因为cos
2A =，234
cos 2cos 1,sin 255
A A A ∴=-==，又由3A
B A
C ?= 得cos 3,bc A =5bc ∴=，1
sin 22
ABC S bc A ?∴=
= （2）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得
2222cos 20a b c bc A =+-=，a ∴=
例6．（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、
c ，已知22
2a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b
分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)222a c b -=左侧是
二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)
sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在
已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一：在ABC ?中
sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理
有:222222
3,22a b c b c a a
c ab bc
+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）
. 解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠. 所以2cos 2b c A =+
①
又sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=
sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =
由正弦定理得sin sin b
B C c
=，故4cos b c A = ②
由①，②解得4b =.
评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练
题型4：三角形中求值问题
例7．ABC ?的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos 2
B C
A ++取得最大值，并求出这个最大值。
解析：由A+B+C=π，得B+C 2=π2 －A 2，所以有cos B+C 2 =sin A 2。 cosA+2cos B+C 2 =cosA+2sin A 2 =1－2sin 2A 2 + 2sin A 2=－2(sin A 2 － 12)2+ 3
2； 当sin A 2 = 12，即A=π3 时, cosA+2cos B+C 2取得最大值为3
2。
点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。 例8．（2009浙江文）（本题满分14分）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且
满足cos
25
A =，3A
B A
C ?=．
（I ）求ABC ?的面积； （II ）若1c =，求a 的值． 解（Ⅰ）5
31)552(212cos
2cos 22
=-?=-=A A
又),0(π∈A ，54cos 1sin 2=
-=A A ，而35
3
cos .===bc A AC AB ，所以5=bc ，所以ABC ?的面积为：25
4
521sin 21=??=A bc
（Ⅱ）由（Ⅰ）知5=bc ，而1=c ，所以5=b 所以5232125cos 22
2
=?-+=-+=A bc c b a
点评：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的
公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力 题型5：三角形中的三角恒等变换问题
例9．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及
c
B
b sin 的值。 分析：因给出的是a 、b 、
c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三边的关系，故可用
余弦定理。由b 2=ac
可变形为c b 2=a ，再用正弦定理可求c
B
b sin 的值。
解法一：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac 。 又a 2－c 2=ac －bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc 。
在△ABC 中，由余弦定理得：cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=21
，∴∠A =60°。
在△ABC 中，由正弦定理得sin B =a A
b sin ，∵b 2=a
c ，∠A =60°，
∴ac
b c B b ?=
60sin sin 2=sin60°=23。 解法二：在△ABC 中，
由面积公式得
21bc sin A =2
1
ac sin B 。 ∵b 2=ac ，∠A =60°，∴bc sin A =b 2sin B 。
∴
c
B
b sin =sin A =23。
评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。
例10．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，求2
tan 2tan 32tan 2tan
C A C A ++的值。
解析：因为A 、B 、C 成等差数列，又A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝120°，
从而
2C A +＝60°，故tan 32
=+C
A .由两角和的正切公式， 得
32tan
2tan 12tan 2tan
=-+C A C A 。 所以,2
tan 2tan 332tan 2tan
C A C A -=+ 32
tan 2tan 32tan 2tan
=++C
A C A 。 点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知
角求解，同时结合三角变换公式的逆用。 题型6：正、余弦定理判断三角形形状
例11．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案：C
解析：2sin A cos B ＝sin （A ＋B ）＋sin （A －B ）又∵2sin A cos B ＝sin C ， ∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B
点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径
例12．（2009四川卷文）在ABC ?中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，
且sin A B =
= （I ）求A B +的值； （II
）若1a b -=
，求a b c 、、的值。
解（I ）∵A B 、
为锐角，sin A B =
= ∴
cos ,cos 510
A B ==
==
cos()cos cos sin sin 5105102
A B A B A B +=-=
-= ∵ 0A B π<+< ∴ 4
A B π
+=
（II ）由（I ）知34
C π
=，∴ 2sin C =
由
sin sin sin a b c
A B C
==
得 5102a b c ==，即2,5a b c b ==
又∵ 21a b -=
∴
221b b -= ∴ 1b =
∴ 2,5a c =
=题型7：正余弦定理的实际应用
例13．（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D 都在同一
个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的
塔顶。测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为075，030，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为060，AC=0.1km 。试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的
距离（计
算结果精确到0.01km 2≈1.4146≈2.449）
解:在△ABC 中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°， 故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD=BA ，
在△ABC 中，,ABC sin C
BCA sin ∠=∠A AB
即AB=,20
6
2315sin ACsin60+=
因此，BD=。km 33.020
6
23≈+ 故B ，D 的距离约为0.33km 。
点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。
北
20
10 A B
?
?C
（2）（（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水
平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤
解：方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角 ；B 点到M ，
N 的俯角22,αβ；A ，B 的距离 d （如图所示） . ②第一步：计算AM . 由正弦定理2
12sin sin()
d AM ααα=
+ ；
第二步：计算AN . 由正弦定理2
21sin sin()
d AN βββ=
- ；
第三步：计算MN. 由余弦定理22112cos()MN AM AN AM AN αβ=+-?-.
方案二：①需要测量的数据有：
A 点到M ，N 点的俯角1α，1β；
B 点到M ，N 点的俯角2α，2β；A ，B 的距离 d （如图所示）.
②第一步：计算BM . 由正弦定理1
12sin sin()
d BM ααα=
+ ；
第二步：计算BN . 由正弦定理1
21sin sin()
d BN βββ=
- ；
第三步：计算MN . 由余弦定理22222cos()MN BM BN BM BN βα=
+-?+21.（2009四川卷文）在ABC ?中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，
11
,αβ
且sin A B =
= （I ）求A B +的值；
（II ）若1a b -=
，求a b c 、、的值。
解（I ）∵A B 、为锐角，sin ,sin 510
A B =
=
∴ cos ,cos 510
A B ==
==
cos()cos cos sin sin 2
A B A B A B +=-=
-= ∵ 0A B π<+< ∴ 4
A B π
+=
（II ）由（I ）知34
C π
=，∴ sin 2C =
由
sin sin sin a b c
A B C
==
得
==，即,a c ==
又∵ 1a b -=
∴
1b -= ∴ 1b =
∴ a c ==
点评：三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数4()f t t t =+，
这些解题思维的拐点，你能否很快的想到呢？
五．【思维总结】
1．解斜三角形的常规思维方法是： （1）已知两角和一边（如A 、B 、C ），由A +B +C = π求C ，由正弦定理求a 、b ； （2）已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A +B +C = π，求另一角；
（3）已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A +B +C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况；
（4）已知三边a 、b 、c ，应余弦定理求A 、B ，再由A +B +C = π，求角C 。
2．三角形内切圆的半径：2S r a b c
?
=++，特别地，2a b c r +-=斜直；
3．三角学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ?+?=，…
4．两内角与其正弦值：在△ABC 中，B A B A sin sin
5．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。
北师大版必修5高中数学第二章解三角形的实际应用举例word教案1
§3 解三角形的实际应用举例 教学目标 1、掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形。 2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。 3、培养和提高分析、解决问题的能力。 教学重点难点 1、正弦定理与余弦定理及其综合应用。 2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。 教学过程 一、复习引入 1、正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C === 2、余弦定理：,cos 22 2 2 A bc c b a -+=?bc a c b A 2cos 2 22-+= C ab b a c cos 22 2 2 -+=，?ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、例题讲解 引例：我军有A 、B 两个小岛相距10海里，敌军在C 岛，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须计算B 岛和C 岛间的距离，请你算算看。 解：0 60=A 0 75=B ∴0 45=C 由正弦定理知 045 sin 10 60sin =BC 6545 sin 60sin 100 ==?BC 海里 例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设 计时需要 计算油泵顶杆BC 的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95m ，AB 与水平线之间的夹角为 /02060，AC 长为1.40m ，计算BC 的长（保留三个有效数字）． 分析：这个问题就是在ABC ?中，已知AB=1.95m ，AC=1.4m, 750 600 C B A
求BC 的长，由于已知的两边和它们的夹角，所以可 根据余弦定理求出BC 。 解：由余弦定理，得 答：顶杠BC 长约为1.89m. 解斜三角形理论应用于实际问题应注意： 1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。 2、要明确题目中一些名词、术语的意义。如视角，仰角，俯角，方位角等等。 3、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未知集中到一个三角形中解决。 练1.如图,一艘船以32海里/时的速度向正北航行,在A 处看灯塔S 在船的北偏东0 20, 30分钟后航行到B 处,在B 处看灯塔S 在船的北偏东0 65方向上,求灯塔S 和B 处的距离.（保留到0.1） 解：16=AB 由正弦定理知 020 sin 45sin BS AB = 7.745 sin 20 sin 100 ≈= BS 海里 答：灯塔S 和B 处的距离约为7.7海里 例2.测量高度问题 如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB ，从与烟囱底部在同一水平直线上的C ，D 两处， 测得烟囱的仰角分别是0 45=α和0 60=β, Ｃ、Ｄ间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m. 求烟囱的高。 图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？ 分析：因为B A AA AB 11+=，又m AA 5.11= 所以只要求出B A 1即可 解：在11D BC ?中， 0001112060180=-=∠C BD ，00011154560=-=∠BD C D C B A 1.40m 1.95m 6020/ 600 ?S B A 1150 450 650200 A 1α β D 1C 1D C B A
高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题1
解三角形的必备知识和典型例题及详解 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2 ＋b 2 ＝c 2 。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝ c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角.
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准
—tanC。
例 1 ? (1 )在 ABC 中，已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800，所以 B 640，或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3，求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中，已知 a 20 cm ， b 28 cm ， 40°，解三角形（角度精确到 10，边长精确 到 1cm ) o 解：（1 ）根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ； 根据正弦定理，b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm)； 根据正弦定理，c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 （2 ）根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ，解三角形; ①当 B 640 时， C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中， sin A cos A
si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二：由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6
高中数学解三角形方法大全
解三角形的方法 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π<A ， C B A sin )sin(=+，C B A cos )cos(-=+，2 cos 2sin C B A =+ （3）边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形 板块一：正弦定理及其应用 1．正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===，其中R 为AB C ?的外接圆半径 2．正弦定理适用于两类解三角形问题： （1）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边； （2）已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解
总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能 如图，在ABC ?中，已知a 、b 、A （1）若A 为钝角或直角，则当b a >时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A 为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b <解三角形全章教案(整理)
数学5 第一章 解三角形 第1课时 课题: §1．1．1 正弦定理 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ B C Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的 定 义 ， 有 sin a A =， sin b B =，又s i n 1c C == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B
(完整版)高中数学必修五解三角形测试题及答案
（数学5必修）第一章：解三角形 [基础训练A 组] 一、选择题 1．在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ． A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ） A ．2 B ． 2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20 _________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-= AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。 三、解答题 1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？
高中数学解三角形最值
高中数学解三角形最值 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2 三角形中的最值（或范围）问题 解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化，正弦余弦定理等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。其实，这一部分的最值问题解决的方法一般有两种：一是建立目标函数后，利用三角函数的有界性来解决，二是也可以利用重要不等式来解决。 类型一：建立目标函数后，利用三角函数有界性来解决 例1．在△ABC 中， ,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且2asinA =（2b+c ）sinB+（2c+b ）sinC. (1) 求角A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值. 变式1：已知向量(,)m a c b =+，(,)n a c b a =--，且0m n ?=，其中,,A B C 是△ABC 的内角，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边. (1) 求角C 的大小；（2）求sin sin A B +的最大值. 解：由m n ?=()a c +()()0a c b b a -+-=，得a 2+b 2—c 2=ab=2abcosC 所以cosC=21 ，从而C=60 故sin sin sin sin(120)O A B A A +=+-=3sin(60 +A) 所以当A=30 时，sin sin A B +的最大值是3 变式2．已知半径为R 的圆O 的内接⊿ABC 中，若有2R （sin 2A —sin 2C ）=（2a —b ）sinB 成立，试求⊿ABC 的面积S 的最大值。 解：根据题意得：
高中数学必修5第一章解三角形全章教案整理
课题: §1．1．1正弦定理 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中， 角与边的等式关系。 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则 sin sin a b A B =， C 同理可得 sin sin c b C B =， b a 从而sin sin a b A B =sin c C = A c B 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C = [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C 从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 例1．在?ABC 中，已知045A =，075B =，40a =cm ，解三角形。 例2．在?ABC 中，已知20=a cm ，202b =cm ，045A =，解三角形。
【高中数学】解三角形的知识总结和题型归纳
解三角形的知识总结和题型归纳 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面 【高中数学】
高中数学解三角形题型完整归纳
高中数学解三角形题型目录一．正弦定理 1.角角边 2.边边角 3.与三角公式结合 4.正弦定理与三角形增解的应对措施 5.边化角 6.正弦角化边 二．余弦定理 1.边边边 2.边角边 3.边边角 4.与三角公式结合 5.比例问题 6.余弦角化边 7.边化余弦角 三．三角形的面积公式 1.面积公式的选用 2.面积的计算 3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用 四．射影定理 五．正弦定理与余弦定理综合应用 1.边角互化与三角公式结合 2.与平面向量结合 3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状 4.三角形中的最值问题 (1)最大(小)角 (2)最长(短)边 (3)边长或周长的最值
(4)面积的最值 (5)有关正弦或余弦或正切角等的最值 (6)基本不等式与余弦定理交汇 (7)与二次函数交汇 六．图形问题 1.三角形内角之和和外角问题 2.三角形角平分线问题 3.三角形中线问题 4.三角形中多次使用正、余弦定理 5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用 6.四边形与正、余弦定理 六．解三角形的实际应用 1.利用正弦定理求解实际应用问题 2.利用余弦定理求解实际应用问题 3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题 一．正弦定理 1.角角边 ?=?=?= 例.在中,解三角形 ABC A B a 30,45,2,. ?=?=?== 练习1.在中则 ABC A B a c ,30,45, . 练习2.在中,已知45,,求 ?=?=?= 30. ABC C A a b 2.边边角 例中，解这个三角形?===? ABC a .45,. 练习1中,则 ?==+== . 1,2,sin ABC a b A C B C 练习2.中则 ?===?= ,3,60,_____ ABC c b C A
最新专题24解三角形中的最值、范围问题(解析版)
专题24 解三角形中的最值、范围问题 解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===，其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 学/科-+网 例如：（1）2 2 2 2 2 2 sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=?+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=?+=（恒等式） （3） 22sin sin sin bc B C a A = 2、余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc A =+- 变式：()()2 2 21cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的 最值 4、三角形中的不等关系 （1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少 （2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系： sin sin cos cos a b A B A B A B >?>?>?< 其中由cos cos A B A B >?<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >?>仅在一个三角形内有效. 5、解三角形中处理不等关系的几种方法 （1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值） （2）利用均值不等式求得最值 【经典例题】 例1.【2018届百校联盟TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形 中， ，
高中数学解三角形复习教案
模块一：解三角形复习 正弦定理 教学过程： 一、复习准备： 1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形那么斜三角形怎么办 2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化 →引入课题：正弦定理 二、讲授新课： 1. 教学正弦定理的推导： [ ①特殊情况：直角三角形中的正弦定理：sin A = c a sin B =c b sin C =1 即 c =sin sin sin a b c A B C == . ② 能否推广到斜三角形 （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形） 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有 sin sin CD a B b A ==,则 sin sin a b A B = . 同理，sin sin a c A C =（思考如何作高），从而sin sin sin a b c A B C == . ③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ABC = 111 sin sin sin 222 ab C ac B bc A ==. 两边同除以 12abc 即得： sin a A =sin b B =sin c C . 证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴2sin sin a a CD R A D ===， 同理 sin b B =2R ，sin c C ＝2R . 证明三：（向量法）过A 作单位向量j 垂直于AC ，由AC +CB =AB 边同乘以单位向量j 得….. , ④ 正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值. 2. 教学例题： ① 出示例1：在?ABC 中，已知045A =，060B =，42a =cm ，解三角形.
解三角形知识点归纳总结
第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;s in s in B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b <高中数学解三角形练习及详细答案
解三角形练习 题一：在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝(). A．43B．2 3 C. 3 D. 3 2 题二：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝23，c＝22，1＋tan A tan B＝ 2c b，则C ＝(). A．30°B．45° C．45°或135°D．60° 题三：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b＝2a sin B，则角A的大小为________． 题四：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2b－c)cos A－a cos C＝0.求角A的大小. 题五：在△ABC中，内角A，B，C依次成等差数列，AB＝8，BC＝5，则△ABC外接圆的面积为________． 题六：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan A＋tan C)＝tan A tan C. 求证：a，b，c成等比数列. 题七：某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港
口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇． (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值． 题八：如图，在△ABC中，已知B＝π 3，AC＝43，D为BC边上一点．若AB＝AD，则△ADC的 周长的最大值为________． 题九：如图，在△ABC中，点D在BC边上，AD＝33，sin∠BAD＝5 13，cos∠ADC＝ 3 5. (1)求sin∠ABD的值； (2)求BD的长． 题十：如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)(). A．2.7 m B．17.3 m C．37.3 m D．373 m 题十一：在△ABC中，若sin2A＋sin2B < sin2C，则△ABC的形状是(). A．锐角三角形B．直角三角形
高中数学必修五解三角形教案
高中数学必修五解三角形教案 高中数学必修五解三角形教案篇一：高中数学必修5解三角形知识总结及练习 解三角形 一、知识点： 1、正弦定理：在???C中，a、b、c分别为角?、?、C的对边，R 为???C的外接圆的半径，则有abc???2R．（两类正弦定理解三角形的问题：1、已知sin?sin?sinC 两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.） 2、正弦定理的变形公式：①a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC；②sin??等式中） ③a:b:c?sin?:sin?:sinC；abc，sin??，sinC?；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的2R2R2R a?b?cabc???．sin??sin??sinCsin?sin?sinC 1113、三角形面积公式：S???C?bcsin??absinC?acsin? 222④ ?a2?b2?c2?2bccosA?2224．余弦定理：?b?a?c?2accos(本文来自：https://www.doczj.com/doc/433638948.html, 教师联盟网:高中数学必修五解三角形教案)B 或 ?c2?b2?a2?2bacosC??b2?c2?a2?cosA?2bc?a2?c2?b2? ?cosB?2ac?? b2?a2?c2
?cosC?2ab? （两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.） 2225、设a、b、c是???C的角?、?、C的对边，则：①若a?b?c，则C?90?为 222222直角三角形；②若a?b?c，则C?90?为锐角三角形；③若a?b?c，则C?90?为 钝角三角形． 6．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 7．解题中利用?ABC中A?B?C??，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC, sin A?BCA?BCA?BC?cos,cos?sin,tan?cot 222222 二、知识演练 1、ΔABC中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B等于（） A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120° 2、若(a+b+c)(b+c－a)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形 3．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( )．
高中数学专题练习：解三角形问题
高中数学专题练习:解三角形问题 [题型分析·高考展望]正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角形问题是高考每年必考的热点问题之一.命题的重点主要有三个方面：一是以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形状等;二是以实际生活为背景，考查解三角形问题;三是与其他知识的交汇性问题，此类试题一直是命题的重点和热点. 常考题型精析 题型一活用正弦、余弦定理求解三角形问题 例1(1)(·广东)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝23， cos A＝ 3 2且b点评在根据正弦、余弦定理解三角形问题中，要结合大边对大角进行判断.一般地，斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，有两解，已知大角求小角有一解;在解三角形问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止增解等扩大范围的现象发生. 变式训练1(·课标全国Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC. (1)求sin B sin C; (2)若∠BAC＝60°，求B. 题型二正弦、余弦定理的实际应用 例2如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为 1 260 m，经测量cos A＝12 13，cos C＝ 3 5.
(完整版)高中数学解三角形方法大全
解三角形 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π<A ， C B A sin )sin(=+，C B A cos )cos(-=+，2 cos 2sin C B A =+ （3）边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形 板块一：正弦定理及其应用 1．正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===，其中R 为AB C ?的外接圆半径 2．正弦定理适用于两类解三角形问题： （1）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边； （2）已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解 【例1】考查正弦定理的应用 （1）ABC ?中，若ο 60=B ，4 2 tan = A ，2=BC ，则=AC _____； （2）ABC ?中，若ο 30=A ，2= b ，1=a ，则=C ____； （3）ABC ?中，若ο 45=A ，24=b ，8=a ，则=C ____； （4）ABC ?中，若A c a sin =，则c b a +的最大值为_____。
总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能如图，在ABC ?中，已知a、b、A （1）若A为钝角或直角，则当b a>时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b< < sin时，三角形有两解； 当b a≥时，三角形有唯一解 实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。板块二：余弦定理及面积公式 1．余弦定理：在ABC ?中，角C B A、 、的对边分别为c b a、 、，则有 余弦定理： ? ? ? ? ? - + = - + = - + = C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ，其变式为： ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + = - + = - + = ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2．余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题： （1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； （2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； 说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决 3．三角形的面积公式 （1） c b a ABC ch bh ah S 2 1 2 1 2 1 = = = ? （ a h、 b h、 c h分别表示a、b、c上的高）； （2）B ac A bc C ab S ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = = ? （3）= ?ABC S C B A R sin sin sin 22（R为外接圆半径） （4） R abc S ABC4 = ? ； （5）) )( )( (c p b p a p p S ABC - - - = ? 其中) ( 2 1 c b a p+ + = （6）l r S ABC ? = ?2 1 （r是内切圆的半径，l是三角形的周长）
解三角形最值问题
三角形最值问题 课前强化 1．在△ABC 中，已知0 45,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是 ( ) Ａ.222 ＜x＜ Ｂ．222≤＜x Ｃ．2x ＞ Ｄ．2x ＜ 2．△ABC 中，若sinA ：sinB ：sinC=m ：(m+1)：2m, 则m 的取值范围是（ ） Ａ．（０，＋∞） Ｂ．（ 2 1，＋∞） Ｃ．（１，＋∞） Ｄ．（２，＋∞） 3．在△ABC 中，A 为锐角，lg b +lg(c 1)=lgsin A =－lg 2, 则△ABC 为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 4．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ） Ａ．0 075,45,10===C A b Ｂ．080,5,7===A b a Ｃ．060,48,60===C b a Ｄ．045,16,14===A b a 5．△ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,) p a c b =+ (,)q b a c a =-- ,若//p q ,则角C 的大小为 (A)6π (B)3π (C) 2π (D) 23 π 6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 最值范围问题： 7、在ABC ?中，角所对的边分别为且满足（I ）求角的大小；（II ）求)cos(sin 3C B A +-的最大值，并求取得最大值时角的大小． ,,A B C ,,a b c sin cos .c A a C =C ,A B
人教版高中数学必修5《解三角形》教案
高中数学必修5 《解三角形》 知识点： 1、 正弦定理：在ABC ?中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为ABC ?的外接圆的半径，则有2sin sin sin C a b c R ===A B ． 2、 正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sinC c R =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin C 2c R =； ③::sin :sin :sinC a b c =A B ； ④ sin sin sin C sin sin sin C a b c a b c ++===A +B +A B ． 3、 三角形面积公式：111sin sin C sin 222ABC S bc ab ac ?=A ==B ． 4、 余弦定理:在C ?AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cosC c a b ab =+-． 5、 余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos C 2a b c ab +-=． 6、 设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222 a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >． 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系．主要有以下五大命题热点： 一、求解斜三角形中的基本元素 是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高、角平分线、中线)及周长等基本问题． 例1 ABC ?中，3π= A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为( ) A ．33sin 34+??? ?? +πB B ．36sin 34+??? ? ?+πB
