等差数列及其前n 项和
[考试要求]
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数的关系．
1．等差数列
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)，d 为常数．
(2)等差中项：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫作
a 与
b 的等差中项，即A ＝
a ＋b
2
.
2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋
n n －1
2
d ＝
n a 1＋a n
2
.
3．等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系
(1)当d ≠0时，等差数列{a n }的通项公式a n ＝dn ＋(a 1－d )是关于d 的一次函数．
(2)当d ≠0时，等差数列{a n }的前n 项和S n ＝d
2
n 2＋?
??
??a 1－d 2n 是关于n 的二次函数．
4．等差数列的前n 项和的最值
在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．
[常用结论]
等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．
(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．
(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．
(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d .
(5)若{a n }是等差数列，则????
??
S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公
差的12
.
(6)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 偶－S 奇＝nd ，
S 奇
S 偶＝
a n
a n ＋1
.
(7)若{a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则.
(8)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则 ①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②
S 奇S 偶
＝
n ＋1n
.
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )
(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的. ( )
(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋
a n ＋2.( )
(4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
二、教材习题衍生
1．等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝10，a 10＝6，则公差d 等于( ) A ．14 B ．12 C ．2 D ．－12
A [∵a 4＋a 8＝2a 6＝10，∴a 6＝5， 又a 10＝6，∴公差d ＝
a 10－a 610－6
＝
6－54
＝1
4
.故选A.]
2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于
( )
A ．31
B ．32
C ．33
D ．34
B [设数列{a n }的公差为d ， 法一：由S 5＝5a 3＝30得a 3＝6， 又a 6＝2，
∴S 8＝8a 1＋a 82＝8a 3＋a 6
2
＝86＋2
2
＝32.
法二：由?
????
a 1＋5d ＝2，5a 1
＋5×4
2d
＝30，得????
?
a 1＝263
，
d ＝－43.
∴S 8＝8a
1＋8×72d ＝8×263－28×4
3
＝32.]
3．已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为________．
487 [依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a 100＝－8＋99×5＝487.] 4．某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________．
820 [设第n 排的座位数为a n (n ∈N *)，数列{a n }为等差数列，其公差d ＝2，则a n ＝a 1
＋(n －1)d ＝a 1＋2(n －1)．由已知a 20＝60，得60＝a 1＋2×(20－1)，解得a 1＝22，则剧场总共的座位数为20a 1＋a 202＝20×22＋60
2
＝820.]
考点一 等差数列基本量的运算
解决等差数列运算问题的思想方法
1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则
( )
A ．a n ＝2n －5
B ．a n ＝3n －10
C ．S n
＝2n 2－8n
D ．S n ＝1
2
n 2－2n
A [设首项为a 1，公差为d .
由题知，???
??
S 4
＝4a 1
＋d
2×4×3＝0，
a 5
＝a 1
＋4d ＝5，
解得?
????
a 1＝－3，
d ＝2，∴a n ＝2n －5，S n ＝n 2－4n ，故选A.]
2．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5
等于( )
A ．－12
B ．－10
C ．10
D ．12 B [设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，
得3????
??3a 1＋3×3－12×d ＝2a 1＋2×2－12×d ＋4a 1＋4×4－1
2×d ，将a 1＝2
代入上式，解得d ＝－3，
故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.]
3．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ，则a 1＝( )
A ．23
B ．32
C ．35
D ．38
C [由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为－3，则9a 1＋9×8
2×(－3)＝207，
解得a 1＝35，故选C.]
点评：涉及等差数列基本量的运算问题其关键是建立首项a 1和公差d 的等量关系． 考点二 等差数列的判定与证明
等差数列的判定与证明的方法
方法
解读
适合题型
定义法
若a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)为同一常数?{a n }是等差数列
解答题中 证明问题 等差中 项法 2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)成立?{a n }是等差数列
通项公 式法 a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)对任意的正整数n 都成立
?{a n }是等差数列
选择、填空 题中的判定
问题
前n 项 和公式法
验证S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)对任意的正整数n 都成立?{a n }是等差数列
[典例1] 若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝2
.
(1)求证：????
??
1S n 成等差数列；
(2)求数列{a n }的通项公式．
[解] (1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1， 因为S n ≠0，所以1S n －1
S n －1
＝2，
又1S 1＝1
a 1
＝2，