材料力学(II)第二章材料力学孙训方
材料力学孙训方
材料力学Ⅱ 电子教案
第二章考虑材料塑性的极限分析
第二章考虑材料塑性的极限分析__167;2-1 塑性材料简化的应力-应变曲线
__167;2-2 拉压杆系的极限荷载 __167;2-3 等直圆杆扭转时的极限扭矩
__167;2-4 梁的极限弯矩 __183; 塑性铰
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第二章考虑材料塑性的极限分析
__167;2-1 塑性材料简化的应力—应变曲线图a所示为低碳钢拉伸时
的应力—应变曲线，bc表示
be b s
卸载规律。工程中有时要考虑材料塑性来计算构件的承载能力，低碳钢等塑性材料
p
c
在应力超过比例极限后，应力和应变为非线性关系，使分析极为复杂。为了简化计
o
p e(a)
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第二章考虑材料塑性的极限分析
算，工程中把低碳钢等塑性材料的拉伸、压缩时的应力—应变关系简化为图b 所示的曲线。即认为材料屈服前服从胡克定律，屈服后不考虑强化，拉伸和压缩时材料的屈服极限和弹性模量分别相等。该曲线称为弹性─理想塑性模型，这种
材料称为弹性─ 理
想塑性材料(通常简称为理想弹塑性材料)。同样，也可将塑性材料的 -g曲线简化为图c所示的曲线。
s s(b)3
b
s
gs(c)
g
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第二章考虑材料塑性的极限分析
__167;2-2 拉压杆系的极限荷载图a所示的静定结构中，各杆的材料相同，其应力—应变关系如图b所示。随着载荷增加，当其中任一杆横截面上的应力达到屈服极限时，该结构成为几何可变的机构，丧失承载能力。可见静定拉压杆系结构，考虑材料的塑性，也不能提高结构的承载能力。超静定杆系结构见下例。
B
C
s
A s
F(a)4
(b)
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例2-1 图a所示超静定杆系结构中，三杆的材料相同， - 关系如图b所示，弹性模量为E。三杆的横截面积均为A。试
分析当荷载F逐渐增加时三杆的应力和结点A位移的变化情况。
l
(a)5
(b)
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解： (1) 应力1. 当F 较小时，三杆均处于弹性工作状态，解此超静
定结构，得到三杆的轴力，除以其横截面面积后得三杆的应力分别为
1 2
A 1 2 cos 3
F cos2
(1)
F 3 A 1 2 cos3
(2)
F
可见
3 1 2
(c)6
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2. F增加到Fs时，3杆首先屈服，1、2杆仍处于弹性工作状态。 Fs 称为屈服载荷。令 3= s,F =Fs。由(2)式得
Fs s A 1 2 cos3
(3)
由于FN3=σsA,使超静
定结构成为静定结构，荷载还可以继续增加，由结点A的平衡方程，得1、2杆的轴力为
FN1 FN 2应力为7
Fs s A 2 cos (4)
Fs / A s 1 2 2 cos
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3. 继续增加荷载，3杆的应力保持 3= s不变，1、2杆
的应力增加，直到1、2杆也发生屈服( 1= 2= s),整个结构屈服，从而丧失承载能力。这种状态称为极限状态，相应的荷载为极限荷载，用Fu表示。令FN1= FN2 = FN3 = s A,由结点A 的平衡方程得
Fu s A 1 2 cos 极限荷载和屈服荷载的比值为
(5)
Fu 1 2 cos Fs 1 2 cos3
当 =45__176;时，Fu/Fs=1.41,即考虑材料塑性将使结构的承载能力提高1.41倍。8
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(2) A点的位移 1. F=Fs时， 3= s ,3杆屈服，1、2杆仍处于弹性工作状态，由图d可得A点的位移为1
3
2
A l 2
l1
l3
s l3
s A l EA
(6)
A (d) 2. 继续增加荷载，3杆的应力 3= s保持不变，增加部分的荷载将由1、2杆承担，使1、2杆的弹性变形不断增加，直到1、2杆刚刚出现塑性变形，A
点的位移为9
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u l1
cos
EA cos 2
s Al
(7)
b a
外力F和A点位移Δ之间的关系，如图e所示。F_lt;Fs时，结构的刚
度由三根杆组成，F≥Fs时，3杆屈服，结构的刚度由1, 2杆组成，所以Oa 和ab的斜率不同。 (e)
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第二章考虑材料塑性的极限分析
由于一次超静定杆系结构中，存在一个多余约束的杆 (例如，例2-1中的3杆)当某一杆发生塑性变形时，结构成
为静定结构，还可以继续承载，直到结构中另外的杆发生塑性变形，使结构丧
失承载能力，达到极限状态。
l
(a)11
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__167;2-3 等直圆杆扭转时的极限扭矩图a所示圆截面杆，其 -g 的关系如图b所示。本节讨论等直圆杆极限扭矩及扭转残余应力问题。
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Ⅰ. 极限扭矩 (1) 由塑性材料制成的受扭
so
圆截面杆，一般把 ma_= s(图c)作为破坏条件，并以此建立强度条件。边缘屈服时的扭矩称为屈服扭矩，并用Ts表示，其值为π d3 Ts s 16 (1)
sd (c)
Ts
仅当 ma_= s时，圆杆不会发生明显的屈服变形，扭矩还可以继续增加。13 材料力学孙训方
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第二章考虑材料塑性的极限分析
[习题2-2]一打入基地内的木桩如图所示，杆轴单位长度的摩擦力f=kx**2，试做木桩的后力图。 解：由题意可得： 33 233 110 ,,3/()3/(/)l l N fdx F kl F k F l F x Fx l dx F x l =====? ?1 有3 [习题2-3] 石砌桥墩的墩身高m l 10=，其横截面面尺寸如图所示。荷载kN F 1000=，材料的密度3 /35.2m kg =ρ，试求墩身底部横截面上的压应力。 解：墩身底面的轴力为： g Al F G F N ρ--=+-=)( 2-3图 )(942.31048.935.210)114.323(10002kN -=????+?--= 墩身底面积：)(14.9)114.323(2 2 m A =?+?= 因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。 MPa kPa m kN A N 34.071.33914.9942.31042 -≈-=-== σ [习题2-7] 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。
2-7图 解：取长度为dx 截离体（微元体）。则微元体的伸长量为： )()(x EA Fdx l d =? ，??==?l l x A dx E F dx x EA F l 00) ()( l x r r r r =--121，22112 112d x l d d r x l r r r +-=+?-=， 22 11 222)(u d x l d d x A ?=?? ? ??+-=ππ，dx l d d du d x l d d d 2)22(12112 -==+- du d d l dx 122-=，)()(22)(221212u du d d l du u d d l x A dx -?-=?-=ππ 因此， )()(2)()(2 02100 u du d d E Fl x A dx E F dx x EA F l l l l ??? --===?π l l d x l d d d d E Fl u d d E Fl 0112 21021221)(21)(2?? ???? ????? ?+--=??? ???-=ππ ???? ? ? ??? ???-+ --=21221)(2111 221d d l l d d d d E Fl π ??? ???--= 122122)(2d d d d E Fl π2 14d Ed Fl π= [习题2-10] 受轴向拉力F 作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性常数为ν,E ，试
材料力学重点及其公式 材料力学的任务 （1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。 变形固体的基本假设 （1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。 外力分类：表面力、体积力；静载荷、动载荷。 力：构件在外力的作用下，部相互作用力的变化量，即构件部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法：（1）欲求构件某一截面上的力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2）在保留部分的截面上加上力，以代替弃去部分对保留部分的作用。（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和力。 应力： dA dP A P p A =??=→?lim 0正应力、切应力。 变形与应变：线应变、切应变。 杆件变形的基本形式 （1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；（5）组合变形。 静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不再变化的载荷。 动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。 失效原因：脆性材料在其强度极限b σ破坏，塑性材料在其屈服极限s σ时失效。二者统称为 极限应力理想情形。 塑性材料、脆性材料的许用应力分别为： []3n s σσ=， []b b n σ σ=，强度条件： []σσ≤??? ??=max max A N ，等截面杆 []σ≤A N max 轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：l l l -=?1，沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为：l l ?= ε，A P A N ==σ。横向应变为：b b b b b -=?=1'ε，横向应变与轴向应变的关系为：μεε-=' 。 胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即 εσE =，这就是胡克定律。E 为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得：EA Nl l = ? 静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。 圆轴扭转时的应力 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx d φ ργρ=。物理关系——胡克定律dx d G G φργτρρ==。力学关系dA dx d G dx d G dA T A A A ???===22ρφ φρρτρ 圆轴扭转时的应力：t p W T R I T == max τ；圆轴扭转的强度条件： ][max ττ≤=t W T ，可以进行强度
[习题2-2]一打入基地内的木桩如图所示，杆轴单位长度的摩擦力f=kx**2，试做木桩的后力图。 解：由题意可得： 33 233 110 ,,3/()3/(/)l l N fdx F kl F k F l F x Fx l dx F x l =====? ?1 有3 [习题2-3] 石砌桥墩的墩身高m l 10=，其横截面面尺寸如图所示。荷载kN F 1000=，材料的密度3 /35.2m kg =ρ，试求墩身底部横截面上的压应力。 解：墩身底面的轴力为： g Al F G F N ρ--=+-=)( 2-3图 )(942.31048.935.210)114.323(10002kN -=????+?--= 墩身底面积：)(14.9)114.323(2 2 m A =?+?= 因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。 MPa kPa m kN A N 34.071.33914.9942.31042-≈-=-== σ [习题2-7] 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。 2-7图
解：取长度为dx 截离体（微元体）。则微元体的伸长量为： )()(x EA Fdx l d = ? ，??==?l l x A dx E F dx x EA F l 00) ()( l x r r r r =--121，22112 112d x l d d r x l r r r +-=+?-=， 22 11 222)(u d x l d d x A ?=?? ? ??+-=ππ，dx l d d du d x l d d d 2)22(12112 -==+- du d d l dx 122-=，)()(22)(221212u du d d l du u d d l x A dx -?-=?-=ππ 因此， )()(2)()(2 02100 u du d d E Fl x A dx E F dx x EA F l l l l ??? --===?π l l d x l d d d d E Fl u d d E Fl 0 11 221021221)(21)(2?? ???? ??????+--=??? ???-=ππ ???? ? ? ??? ???-+ --=21221)(2111 221d d l l d d d d E Fl π ??? ???--= 122122)(2d d d d E Fl π2 14d Ed Fl π= [习题2-10] 受轴向拉力F 作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性常数为ν,E ，试求C 与D 两点间的距离改变量CD ?。
材料力学课后习题答案（孙训方版） 第一题 题目 一个长方形木框架，水平放置在水平地面上。长框架的外尺寸为$30cm \\times 50cm$，它的截面尺寸为$3cm \\times 5cm$。假设木框架的密度为0.8g/gg3。求木框架的质量和总体积。 解答 1.首先计算木框架的质量。木框架的质量可以通过密 度和体积来计算，即$质量 = 密度 \\times 体积$。 –密度：0.8g/gg3 –体积：$30cm \\times 50cm \\times （3cm \\times 5cm）$ 2.接下来计算木框架的总体积。木框架的总体积可以 通过长方体的体积公式来计算，即$总体积 = 长 \\times 宽\\times 高$。
–长：30gg –宽：50gg –高：$3cm \\times 5cm$ 第二题 题目 一根长度为g的不可拉伸绳子的一端固定在墙上，另一端悬挂着一个长度为g的细杆。绳子与杆之间的接触点到杆的一端的距离为g。当绳子受到的拉力为g时，细杆的上升高度为多少？ 解答 1.首先计算杆的上升高度。当绳子受到拉力g时，杆 会上升一定的高度。杆的上升高度可以通过应变和材料的形变关系来计算，即$上升高度 = \\frac{F}{EA}$。 –F：绳子受到的拉力 –E：材料的弹性模量 –A：杆的截面积
2.接下来计算杆的截面积。杆的截面积可以通过杆的 形状和尺寸计算，即$截面积 = \\pi r^2$。 –r：杆的半径 –杆的形状为圆柱体，半径可以通过细杆的长度g和绳子与杆之间的距离g计算，即$r = \\sqrt{l^2 - a^2}$。 第三题 题目 一根长为g的不可拉伸绳子的一端固定，另一端挂着一个重物。当重物受到的重力为g g时，绳子的张力为多少？ 解答 1.首先计算绳子的张力。绳子的张力可以通过平衡条 件来计算，即g g=g g。 –F_t：绳子的张力 –F_g：重物受到的重力
孙训方版。材料力学公式总结大全 LT
，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。 圆轴扭转时的应力 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx d φρ γρ =。物理关系——胡克定律dx d G G φρ γτ ρρ ==。力学关系 dA dx d G dx d G dA T A A A ⎰⎰⎰===22ρφφρρτρ 圆轴扭转时的应力：t p W T R I T == max τ ；圆轴 扭转的强度条件： ][max ττ≤= t W T ，可以进行强度校核、截面设计和 确定许可载荷。 圆轴扭转时的变形：⎰ ⎰==l p l p dx GI T dx GI T ϕ；等直杆：p GI Tl =ϕ 圆轴扭转时的刚度条件： p GI T dx d =='ϕϕ，][max max ϕϕ'≤= 'p GI T 弯曲内力与分布载荷q 之间的微分关系)() (x q dx x dQ =；()()x Q dx x dM =；()()()x q dx x dQ dx x M d ==2 2 Q 、M 图与外力间的关系 a ）梁在某一段内无载荷作用，剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。 b ）梁在某一段内作用均匀载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。
c ）在梁的某一截面。()()0==x Q dx x dM ，剪力等于零，弯矩有一最大值或最小值。 d ）由集中力作用截面的左侧和右侧，剪力Q 有一突然变化，弯矩图的斜率也发生突然变化形成一个转折点。 梁的正应力和剪应力强度条件[]σσ ≤= W M max max ，[] ττ ≤max 提高弯曲强度的措施：梁的合理受力(降低最大弯矩m ax M ，合理放置支座，合理布置载荷，合理设计截面形状 塑性材料：[][]c t σσ=，上、下对称，抗弯更好，抗扭差。脆性材料 ：[][]c t σσ<， 采用T 字型或上下不对称的工字型截面。 等强度梁：截面沿杆长变化，恰使每个截面上的正应力都等于许用应力，这样的变截面梁称为等强度梁。 用叠加法求弯曲变形：当梁上有几个载荷共同作用时，可以分别计算梁在每个载荷单独作用时的变形，然后进行叠加，即可求得梁在几个载荷共同作用时的总变形。 简单超静定梁求解步骤：（1）判断静不定度；（2）建立基本系
山东大学授课教案 课程名称材料力学本次授课内容第二章杆件的内力教学日期第2～5讲 授课教师姓名李文娟职称讲师授课对象本科二年级授课时数 2 教材名称及版本材料力学（蔺海荣主编）授课方式（讲课实验实习设计）讲课 本单元或章节的教学目的与要求 1.理解轴向拉伸和压缩的概念，熟练掌握轴力的计算和轴力图的绘制。 2.理解扭转变形的概念，掌握外力偶矩的计算方法，熟练掌握扭矩的计算和扭矩图的 绘制。 3.理解弯曲变形和平面弯曲的概念，熟练写出剪力方程和弯矩方程并且画剪力图和弯 矩图。 4.熟练掌握根据载荷集度、剪力和弯矩的关系做剪力图和弯矩图。 授课主要内容及学时分配： 轴向拉伸或压缩的概念.轴力与轴力图（50min），扭转的概念.扭矩与扭矩图（50min），弯曲的概念.剪力与弯矩（30min）剪力方程与弯矩方程.剪力图和弯矩图（40min），载荷集度、剪力与弯矩之间的关系（50min）平面刚架与平面曲杆的弯矩内力（30min） 重点、难点及对学生的要求（掌握、熟悉、了解、自学） 重点：各种基本变形杆件内力的计算及其内力图的绘制 难点：内力的正负号的判定，载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系的理解，平面刚架与平面曲杆的弯矩内力 要求： 1．熟练掌握截面法计算轴力，画轴力图。 2．熟练掌握截面法计算扭矩，画扭矩图。 3. 理解对称弯曲的概念。 4．熟练掌握截面法计算剪力与弯矩，写剪力方程与弯矩方程，画剪力图与弯矩图。 5．熟练掌握载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系及其应用。 6．掌握平面刚架与平面曲杆的内力计算。 7．自学叠加法求剪力图、弯矩图。 主要外语词汇 内力internal force，截面法method of sections，轴向拉伸axial tension ，轴向压缩axial compression，轴力axial force，轴力图axial force diagram，扭转torsion，外力偶矩external moment，扭矩图torque diagram，梁beams，弯曲bending，平面弯曲plane bending，简支梁simply supported beam，外伸梁overhanging beam，悬臂梁cantilever beam，剪力shear force，弯矩bending moment，剪力图shear-force diagrams，弯矩图bending-moment diagrams，平面刚架plane frame members，平面曲杆Plane curved bars
孙训方版。材料力学公式总结大全 第一篇：孙训方版。材料力学公式总结大全 材料力学重点及其公式 材料力学的任务（1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。 变形固体的基本假设（1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。 外力分类：表面力、体积力；静载荷、动载荷。 内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。应力：p=lim∆P=dP正应力、切应力。 dA∆A→0∆A变形与应变：线应变、切应变。 杆件变形的基本形式（1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；（5）组合变形。静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不再变化的载荷。动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。失效原因：脆性材料在其强度极限极限应力理想情形。 σb破坏，塑性材料在其屈服极限σs时失效。二者统称为 [σ]=σs[σ]=σb塑性材料、脆性材料的许用应力分别为： n3，nb，强度条件：σmax=⎛N⎫Nmax⎪≤[σ]≤[σ]⎝A⎭maxA，等截面杆 轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：∆l=l1-l，沿轴线方向的应变和横 ∆bb1-bNP∆l'ε===。横向应变为：截面上的应力分别为：ε=，σ=，横向应 AAlbb 变与轴向应变的关系为：ε'=-με。
胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即σ=Eε，这就是胡克定律。E为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得：∆l=Nl EA静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。 dφ。物理关系——胡克定dxdφdφdφ2=Gρ2dA圆轴扭转时律τρ=Gγρ=Gρ。力学关系T=⎰ρτρdA=⎰ρG⎰AAdxdxdxA圆轴扭转时的应力变形几何关系—圆轴扭转的平面假设γρ=ρ的应力：τmax=TTTR=；圆轴扭转的强度条件：τmax=≤[τ]，可以进行强度校核IpWtWt、截面设计和确定许可载荷。圆轴扭转时的变形：ϕ=TTTldx=dxϕ=；等直杆：⎰lGIp⎰lGIpGIpTdϕT'=max≤[ϕ'] =，ϕmaxdxGIpGIpdM(x)dQ(x)=Q(x)；=q(x)； dxdx圆轴扭转时的刚度条件：ϕ'=弯曲内力与分布载荷q之间的微分关系d2M(x)dQ(x)==q(x) dxdx2Q、M图与外力间的关系 a）梁在某一段内无载荷作用，剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。b）梁在某一段内作用均匀载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。c）在梁的某一截面。dM(x)=Q(x)=0，剪力等于零，弯矩有一最大值或最小值。 dxd）由集中力作用截面的左侧和右侧，剪力Q有一突然变化，弯矩图的斜率也发生突然变化形成一个转折点。 梁的正应力和剪应力强度条件σmax= Mmax≤[σ]，τmax≤[τ]W2 提高弯曲强度的措施：梁的合理受力(降低最大弯矩Mmax，合理放置支座，合理布置载荷，合理设计截面形状 塑性材料：[σt]=[σc]，上、下对称，抗弯更好，抗扭差。脆性材料：[σt]<[σc]，采用T字型或上下不对称的工字型截面。 等强度梁：截面沿杆长变化，恰使每个截面上的正应力都等于许用应力，这样的变截面梁称为等强度梁。 用叠加法求弯曲变形：当梁上有几个载荷共同作用时，可以分别计算梁在每个载荷单独作用时的变形，然后进行叠加，即可求得梁在