第2章 力系的等效与简化
作用在实际物体上的力系各式各样，但是，都可用归纳为两大类：一类是力系中的所有力的作用线都位于同一平面内，这类力系称为平面力系；另一类是力系中的所有力的作用线位于不同的平面内，称为空间力系。这两类力系对物体所产生的运动效应是不同的。同一类力系，虽然其中所包含的力不会相同，却可能对同一物体产生相同的作用效应。在就是前一章中提到的力系等效的概念。
本章将在物理学的基础上，对力系的基本特征量加以扩展，引入力系主矢与主矩的概念；以此为基础，导出力系等效定理；进而应用力向一点平移定理以及力偶的概念对力系进行简化。力系简化理论与方法将作为分析所有静力学和动力学问题的基础。
§2-1 力系等效定理
２－１－１ 力系的主矢和主矩
２－１－２ 力系等效定理
§2-2 力偶与力偶系
２－２－１ 力偶与力偶系
２－２－２ 力偶的性质
２－２－３ 力偶系的合成
§2-3 力系的简化
２－３－１ 力向一点平移定理
２－３－２ 空间一般力系的简化
２－３－３ 力系简化在固定端约束力分析中的应用
§2-4 结论和讨论
２－４－１ 关于力矢、主矢、力矩矢、力偶矩矢以及 主矩矢的矢量性质
２－４－２ 关于合力之矩定理及其应用
２－４－３ 关于力系简化的最后结果
２－４－４ 关于实际约束的简化模型
２－４－５ 关于力偶性质推论的应用限制
习 题
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第2章 力系的等效与简化
§２－１ 力系等效定理
物理学中，关于质点系运动特征量已有明确论述，这就是：质点系的线动量和对某一点的角动量。
物理学中还指明线动量对时间的变化率等于作用在质点系上的合外力；角动量对时间的变化率等于作用在质点系上外力对同一点的合力矩。这里的合外力，实际上只有大小和方向，并未涉及作用点或作用线。因而，需要将其中的合外力与外力的合力矩扩展为力系的主矢和主矩。
２－１－１ 力系的主矢和主矩
主矢：一般力系（F 1，F 2，…，F n ）中所有力的矢量和（图2—1），称为力系的主矢量，简称为主矢（principal vector ），即
∑=n
i i
1
R F
F ＝
(2－1)
图2－1力系的主矢
其中F R 为力系主矢；F i 为力系中的各个力。式（2－1）的分量表达式为
∑∑∑=====
=n i iy
y n
i iy
y n
i ix
x F F F
F F F 1
R 1R 1R (2－2)
主矩：力系中所有力对于同一点之矩的矢量和（图2－2），称为力系对这一点的主矩（principal moment ），即
()∑∑==×n
i i
i
n i i
O
O 1
1
F
r F M M ＝＝ (2－3)
主矩的分量式为
()
()()
∑∑∑===n i i Oz Oz n
i i
Oy
Oy n
i i Ox Ox M M M M M M 1
11F F F ＝＝
＝ (2－4)
力系的主矢不涉及作用点，为滑动矢；力系的主矩与所选的矩心有关，在是因为同一个力对于不同矩心之矩各不相同，主矩为定位矢。
２－１－２ 力系等效定理
前已指出，所谓力系等效是指不同的力系对于同一物体所产生的运动效应是相同的，即：不同的力系使物体所产生的线动量对时间的变化率以及角动量对时间的变化率分别对应相等。亦即：不同力系的主矢以及对于同一矩心的主矩对应相等。据此，得到如下的重要定理：
等效力系定理（theorem of equivalent force systems ）—不同的力系对刚体运动效应相同的条件是不同力系的主失以及对于同一点的主矩对应相等。
§２－２ 力偶与力偶系
２－２－１ 力偶与力偶系
大小相等、方向相反、作用线互相平行但不重合的两个力所组成的力系，称为力偶（couple ）。力偶是一种最基本的力系，但也是一种特殊力系。
力偶中两个力所组成的平面称为力偶作用面（acting plane of a couple ）。力偶中两个力作用线之间的垂直距离称为力偶臂（ａｒｍ ｏｆ ａ ｃｏｕｐｌｅ）。
工程中力偶的实例是很多的。
图2-2 力偶实例
驾驶汽车时，双手施加在方向盘上的两个力，若大小相等、方向相反、作用线互相平行，则二者组成一力偶。这一力偶通过传动机构，使前轮转向。
图2-2所示为专用拧紧汽车车轮上螺母的工具。加在其上的两个力1F 和2F ，方向相反、作用线互相平行，如果大小相等，则二者组成一力偶。这一力偶通过工具施加在螺母上，使螺母拧紧。
由两个或者两个以上的力偶所组成的力系，称为力偶系(system of the couples)。
２－２－２ 力偶的性质
作用在物体上的力偶将使物体产生什么样的效应？这些效应又如何量度？回答这些问
题，首先要看所研究的物体的性质，或物体的模型－刚体还是弹性体。本章仅研究作用在刚体上的力偶的基本性质。
性质Ｉ 力偶没有合力。
力偶虽然是由两个力所组成的力系，但这种力系没有合力。这是因为力偶的主矢F R ＝0。 因为力偶没有合力，所以力偶不能与单个力平衡，力偶只能与力偶平衡。
性质Ⅱ 力偶对刚体的作用效应，是使刚体转动。力偶矩矢量是力偶使刚体产生转动效应的量度。
图2-3 力偶矩矢量
考察图2-3所示之由F 和F ′组成的力偶（F ，F ′），其中F ′= —F 。O 点为空间的任意点。力偶（F ，F ′）对O 点之矩定义为
M O ∑
==
2
1
i M O （F i ）=r A ×F +r B ×F ′
=（r A - r B ）×F= r BA ×F （2－5）
其中r BA 为自B 至A 的矢径。 读者可以任取其它各点，也可以得到同样结果。这表明：力偶对点之矩与点的位置无关。于是，不失一般性，式（2-5）可写成
M =r BA ×F （2－6）
其中的M 称为力偶矩矢量（moment vector of a couple ）。
不难看出，力偶矩矢量只有大小和方向，与力矩中心O 点无关，故为自由矢。
根据力偶对刚体的转动效应，除了用两个力（F ,F ′）和力偶矩矢量M 表示外，还可以用力偶作用面内的旋转箭头表示，如图2－4所示。
图2-4 力偶在平面内的符号
根据力偶的基本性质，可以得到两个推论： 推论Ｉ 只要保持力偶矩矢量不变，力偶(图2－5a)可在其作用面内任意移动和转动(图2－5b 、c)，也可以连同其作用面一起、沿着力偶矩矢量作用线方向平行移动(图2－5d),而不会改变力偶对刚体的运动效应。
图２－５ 由力偶基本性质得到的推论
推论Ⅱ 只要保持力偶矩矢量不变，可以同时改变组成力偶的力和力偶臂的大小，而不会改变力偶对刚体的作用效应(图2－5e)。
有兴趣的读者，可以应用力偶的基本性质，对这两个推论加以证明。
２－２－３ 力偶系的合成
由于对刚体而言，力偶矩矢为自由矢量，因此对于力偶系中每个力偶矩矢，总可以平移至空间某一点。从而形成一共点矢量系，对该共点矢量系利用矢量的平行四边形法则，两两合成，最终得一矢量，此即该力偶系的合力偶矩矢，用矢量式表示为
M R = M 1 + M 2 +…+ M n ∑==n
i 1
M i
（2－7）
§２－３ 力系的简化
所谓力系的简化，就是将由若干力和力偶所组成的一般力系，变为一个力，或一个力
偶，或者一个力和一个力偶的简单的、但是等效的情形。这一过程称为力系的简化（ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｆｏｒｃｅ ｓｙｓｔｅｍ）。力系简化的基础是力向一点平移定理。
２－３－１ 力向一点平移定理
作用在刚体上的力如果沿其作用线移动，并不会改变力对刚体的作用效应。但是，如果将作用在刚体上的力从其作用点平行移动到另一点，对刚体的运动效应将会发生改变。 能不能使作用在刚体上的力从一点平移至另一点，而使其对刚体的运动效应保持不变？
答案是肯定的。
图2-6 力向一点平移定理
考察图2-6a 所示之作用在刚体上A 点的力F A ，为使这一力等效地从A 点平移至B 点，
先在B 点施加平行于力F A 的一对大小相等、方向相反、沿同一直线作用的平衡力A F ′′和A
F ′，如图2-6b 所示。根据加减平衡力系原理，由F A 、A F ′、A F ′′三个力组成的力系与原来作用
在A 点的一个力F A 等效。
图2-6b 中所示之作用在A 点的力F A 与作用在B 点的力A F ′′组成一力偶，其力偶矩矢量
为M =r BA ×F A ，如图2-6c 所示。
于是，作用在B 点的力A
F ′和力偶M 与原来作用在A 点的一个力F A 等效。 读者不难发现，这一力偶的力偶矩等于原来作用在A 点的力F A 对B 点之矩。 上述分析结果表明：作用在刚体上的力可以向任意点平移，平移后应为平移后的这一力与一力偶所替代，这一力偶的力偶矩等于平移前的力对平移点之矩。这一结论称为力向一点平移定理（theorem of translation of a force ）。
２－３－２ 空间一般力系的简化
考察作用在刚体上的空间任意力系（,,21F F …n F ,）（three dimensional forces system ），如图2-7a 所示。现在刚体上任取一点，例如O 点，这一点称为简化中心(reduction center)。 应用力向一点平移定理，将力系中所有的力,,21F F …n F ,逐个向简化中心平移，最后得到汇交于O 点的，由,,21F F …n F ,组成的汇交力系，以及由所有附加力偶,,21M M …,n M 组成的力偶系，如图2-7b 所示。
图2-7 任意力系简化
平移后得到的汇交力系和力偶系，可以分别合成一个作用于O 点的合力F R ，以及合力偶O M ，如图2-7c 所示。其中 F R =
∑=n
i 1
F i
O M =
∑=n
i 1 M i
=∑=n
i 1
O
M
（F i ）
其中O M （F i ）为平移前力F i 对简化中心O 点之矩。
上述结果表明：空间任意力系向任－－点简化，得到一个力和一个力偶。简化所得到力通过简化中心，其力矢称为力系的主矢，它等于力系中诸力的矢量和并与简化中心的选择无关；简化所得到的力偶的力偶矩矢，即为力系对简化中心的主矩，它等于力系中所有的力对简化中心之矩的矢量和，且与简化中心的选择有关。
有兴趣的读者可以证明，力系对不同点（例如图2－8中的O 点和A 点）的主矩存在下列关系：
()()F F r F
A B AB M M =+× （2－9）
（2－8）
图2-8 力系对不同点的主矩关系的证明
【例2-1】图2-9中所示为F 1、F 2组成的空间力系，试求力系的主矢F R 以及力系对O 、A 、E 三点的主矩。
图2-9 例2-2图
解：令i 、j 、k 为 x 、y 、z 方向的单位矢量，则力系中的二力可写成 j i F 431+= ，j i F 432?= 于是，力系的主矢为 F R ∑==+==
2
1
621i i F F F
i
这是沿x 轴正方向，数值为6的矢量。
应用式（2-8）以及矢量叉乘方法，力系对O 、A 、E 三点的主矩分别为： M O =∑
=2
1i M O （F i ）
=
∑=×2
1i i i
F r
2211F r F r ×+×=
)43(4)43(3j i j j i k ?×++×==k j i 12912?+? M A ∑=?×?=×+=×=
2
1
243340i AC i
i j)i (k)j (F r F
r k j i 12912???=
∑=×+×=×=
2
1
21i EC EA i
i E F r F r F
r M
=k j i j i k j i j 12912433434+??=?×?+×?)()(
平面力系（所有力的作用线位于同一平面内）作为为空间力系的特殊情形，向平面内的任意一点简化，同样得到一主矢和一主矩，主矢位于平面力系所在平面，主矩则与平面力系作用平面垂直。
【例2-3】空间力系如图2-10a 所示，其中力偶作用在Oxy 平面内，力偶矩M =24N·m 。
试求此力系向O 点简化的结果。
图2-10 例2-3图
解：首先，将已知的和力偶都表示为矢量的形式 M =(0,0,-24) N ?m
m )0,0,3(1=r ，N )0,4,0(1=F ，m )4,4,0(2=r N )0,8,6(2?=F ，m )4,4,3(3=r ，N )8,0,6(3??=F
然后，将力和力偶向O 点简化，根据主矢和主矩的表达式，采用矢量运算，得到力系的主矢和主矩分别为：
∑
??==N )8,4,0(R i F F 32F r F r F r M F M
M ×+×+×+==∑3211)(O
O
=8
06443086440040003
)24,0,0(??+?++?k
j
i
k
j
i
k
j i =m N )12,24,0(??
２－３－３ 力系简化在固定端约束力分析中的应用
如果约束物体既限制了被约束物体的移动（平面问题为2个方向；空间问题为3个方向）， 又限制了被约束物体的转动（平面问题为1个方向；空间问题为3个方向），这种约束则称为固定端或插入端（fixed end support ）。
工程中的固定端约束是很常见的，诸如：机床上装卡加工工件的卡盘对工件的约束（图2-11a ）；大型机器（例如摇臂钻床）中立柱对横梁的约束（图2-11b ）；房屋建筑中墙壁对雨罩的约束（图2-11c ）。飞机机身对机翼和水平尾翼的约束（图2-11d ）等。
固定端约束与铰链约束不同的是约束物与被约束物之间是线接触（平面问题）和面接触（空间问题），因而约束力为作用在接触面上的分布力系，而且在很多情形下为复杂的分布力系。
大多数工程问题中，为了使分析计算过程简化，需对固定端复杂分布的约束力系加以简化。
图2-11 工程中的固定端约束
应用力系简化理论，固定端的约束力都可以简化为作用在约束处的一个约束力和一个约束力偶。在平面问题中，可用约束力的两个分量和一个约束力偶表示（图2-12a）；在空间问
题中，用约束力的三个分量和约束力偶矩的三个分量表示（图2-12b）。
图2－12 固定端的约束力
§２－４ 结论和讨论
２－４－１ 关于力矢、主矢、力矩矢、力偶矩矢
以及主矩矢的矢量性质
本章所涉及的力学矢量比较多，如果概念不清楚，容易混淆。
根据这些矢量对刚体所产生的运动效应，以及这些矢量的大小、方向、作用点或作用线，
可以将其归纳为三类：定位矢、滑动矢、自由关。
请读者判断力矢、主矢、力偶矢、力偶矩矢以及主矩分别属于哪一类矢量。
２－４－２ 关于合力之矩定理及其应用
应用力系等效定理以及主矢与主矩的概念可以证明，合力之矩定理对
于任意有合力的力系均成立，有兴趣的读者不妨一试。
应用合力之矩定理以及微积分方法，可以确定工程中一些复杂载荷的合力。例如，图2
－13为单位厚度水坝承受力侧向静水压力的模型，侧向静水压力自水面起为零至坝基处取最大值，中间呈线性分布。
图2－13合力之矩定理的工程应用
应用合力之矩定理不难求得其合力F 的大小为：
20
2
1
d gd x gx F d
ρρ=
=
∫
(2－10) 合力作用点位置为
d d 3
2
1=
(2－11) 其中：ρ为水的密度；g 为重力加速度；d 为水深；d 1为合力作用点至水面的距离。
２－４－３ 关于力系简化的最后结果
本章介绍了力系简化的理论以及一般力系向某一确定点的简化结果。但在很多情形下，这并不是力系简化的最后结果。 所谓力系简化的最后结果，是指力系在向某一确定点简化所得到的主矢和对这一点的主矩，还可以进一步简化（确定点以外的点）
空间一般力系的最后的可能简化结果有以下4种情形：
1、平衡。这时F R 0=，O M =0。 这表明原力系为平衡力系。这一种结果将在下一章详细讨论。
2、力偶。这时F R 0=，O M ≠0。力偶矩等于力系对O 点的主矩。
图2－14 力系简化的最后结果
3、合力。这时可能有两种情形，一种是：F R ≠0，O M =0，合力的作用线通过O 点，大小、方向决定于力系的主矢；另一种情形是：F R ≠0，O M ≠0，但是F R O M ?=0，即F R 与O M 互相垂直，根据力向一点平移定理的逆推理，F R 和O M 最终可简化为一个合力 ，如图2-14a 所示。合力的作用线通过另一简化中心O ′。O ′相对O 的矢径O O ′r 由下式确定：
O O ′r =
2
R
R F M F ′×O （2－10）
4、力螺旋。这时F R ≠0，O M ≠0，而且F R O M ?≠0。此时可将主矩O M 分解为沿力作用线方向的M 和垂直于力作用线方向的M 1。
图2－15 力螺旋实例
这时，可以进一步将M1和F R简化为作用线通过O′的力F′R。
最终，将原力系简化为一个力F′R和与这一力共线的力偶M，如图2-14b所示。这种由共线的力F′R和力偶M组成的特殊力系称为力螺旋（wrench of force system）。
螺丝刀拧紧螺钉(图2－15)，以及钻头钻孔时，作用在螺丝刀及钻头上的力系都是力螺旋。
平面力系与空间力系简化的最后结果的差别在于平面力系不可能产生力螺旋。这一结论读者自己是可以证明的。
２－４－４ 关于实际约束的简化模型
第1章和本章中分别介绍了铰链约束与固定端约束。这两种约束的差别就在于前者允许被约束物体转动，后者则不允许。因此，固定端约束与铰链约束相比，增加了一个约束力偶。实际结构中的约束，有时可能既不属于铰链，也不属于固定端。
实际结构中构件之间的相互连接，其连接方式以及连接处刚度决定了它们属于哪一种约束，但很难一次确定，有时还需要经过实验验证。
例如，桥梁和房屋的桁架结构中的杆件与杆件的连接处，大都通过垫板采用铆接或焊接。如果连接处刚度不太大，则可以简化为铰链约束；如果刚度比较大，连接处则简化为固定端。实际上，这些结构中杆件连接处的约束介于铰链和固定端之间，工程上为了方便计算，一般都简化为铰链。对于杆件的实际测量结构表明，这种简化基本上是合理的。
２－４－５ 关于力偶性质推论的应用限制
本章中关于力偶性质及其推论，在力系简化以及平衡问题研究中都是非常重要的。但是，这些推论仅适用于刚体。将其应用于变形体时则有一定的限制。
请读者结合图2—16a、b中所示之实例，分析力偶性质的推论在弹性体中应用时，将会
受到什么限制。
图2－16 力偶性质推论的限制性
习题
2－1作用于管扳子手柄上的两个力构成一力偶，试求其力偶矩矢量。
习题2－1图
2－2齿轮箱有三个轴，其中A轴水平，B和C轴位于yz铅垂平面内，轴上作用的力偶如图所示。试求合力偶。
习题2－2图
2－3平行力（F,–2F）间距为d，试求其合力。
习题2－3图
2－4 已知一平面力系对A（3,0），B（0,4）和C（–4.5,2）三点的主矩分别为：M A = 20kN·m，M B = 0，M C =–10kN·m。试求该力系合力的大小、方向和作用线。
习题2－4图
2－5电动机固定在支架上，它受到自重160N、轴上的力120N以及力偶矩为25N·m的力偶的作用。试求此力系向点A简化的结果。
习题2－5图
2－6三个大小均为F的力分别与三轴平行，且在三个坐标平面内。试问l1、l2、l3需满足何种关系，此力
系才可简化为一合力。
习题2－6图
2－7已知F1 = 150N，F2 = 200N，F3 = 300N，F =F′= 200N。求力系向点O的简化结果，并求力系合力
的大小及其与原点O的距离d。
习题2－7图
2－8图示平面任意力系中F1 = 402N，F2 = 80N，F3 = 40N，F4 = 110M，M = 2000 N·mm。各力作用位置如图所示，图中尺寸的单位为mm。求（1）力系向O点简化的结果；（2）力系的合力的大小、方向及
合力作用线方程。
习题2－8图
2－9图示等边三角形板ABC，边长a，今沿其边缘作用大小均为F P的力，方向如图（a）所示，求三力
的合成结果。若三力的方向改变成如图（b）所示，其合成结果如何？
习题2－9图
2－10图示力系F1 = 25kN，F2 = 35kN，F3 = 20kN，力偶矩m = 50kN·m。各力作用点坐标如图。试计算
（1）力系向O点简化的结果；（2）力系的合力。
习题2－10图
2－11图示载荷F P=1002N，F Q=2002N，分别作用在正方形的顶点A和B处。试将此力系向O点
简化，并求其简化的最后结果。
习题2－11图
2－12图示三力F1、F2和F3的大小均等于F，作用在正方体的棱边上，边长为a。求力系简化的最后
结果。
习题2－12图
2－13某平面力系向两点简化的主矩皆为零，此力系简化的最终结果可能是一个力吗？可能是一个力偶吗？可能平衡吗？
2－14平面汇交力系向汇交点以外一点简化，其结果可能是一个力吗？可能是一个力和一个力偶吗？
2－15什么力系的简化结果与简化中心无关？
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本讲主要内容 1、空间任意力系向一点的简化及结果分析 2、空间任意力系的平衡方程及常见的空间约束 3、重心的计算
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
(1) 空间任意力系向一点简化·主矢和主矩 F 1 F 2 F n 1 F ￠ 2F ￠ n F ￠ 1M 2 M n M 空间汇交力系与空间力偶系等效代替一空间任意力系. ) (i O i i i F M M F F ==￠及结果分析
主矢 汇交力系的合力 主矢大小方向作用点: 一般令其作用于简化中心上 2 2 2 R )()()(???++=￠iz iy ix F F F F R R ),cos(F F iz ￠= ￠?k F 1F ￠ 2F ￠n F ￠ 1 M 2 M n M k j i F F ????++==￠z y x i R F F F R F ￠R R ),cos(F F ix ￠= ￠?j F R R ),cos(F F ix ￠ = ￠?i F (与简化中心无关)
主矩 空间力偶系的合力偶矩 主矩大小方向作用位置: 刚体上任意位置 1 M 2 M n M ) (??==i O i O F M M M R F ￠O ),cos(M M x O ?= i M O M 由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有 k j i M )()()(???++=i z i y i x O F M F M F M 2 2 2 ) ()()(???++=z y x O M M M M O ),cos(M M y O ?= j M O ),cos(M M z O ?= k M (一般与简化中心有关)
第2章 力系的等效与简化 2－1试求图示中力F 对O 点的矩。 解：（a ）l F F M F M F M M y O y O x O O ?==+=αsin )()()()(F （b ）l F M O ?=αsin )(F （c ）)(sin cos )()()(312l l Fl F F M F M M y O x O O +--=+=ααF （d ）2 22 1sin )()()()(l l F F M F M F M M y O y O x O O +==+=αF 2－2 图示正方体的边长a =0.5m ，其上作用的力F =100N ，求力F 对O 点的矩及对x 轴的力矩。 解：)(2 )()(j i k i F r F M +-? +=?=F a A O m kN )(36.35) (2 ?+--=+--= k j i k j i Fa m kN 36.35)(?-=F x M 2－3 曲拐手柄如图所示，已知作用于手柄上的力F =100N ，AB =100mm ，BC =400mm ，CD =200mm ， α = 30°。试求力F 对x 、y 、z 轴之矩。 解： )cos cos sin (sin )4.03.0()(2k j i k j F r F M αααα--?-=?=F D A k j i αααα22sin 30sin 40)sin 4.03.0(cos 100--+-= 力F 对x 、y 、z 轴之矩为： m N 3.43)2.03.0(350)sin 4.03.0(cos 100)(?-=+-=+-=ααF x M m N 10sin 40)(2?-=-=αF y M m N 5.7sin 30)(2?-=-=αF z M 2—4 正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB =a ，在平面ABED 内沿对角线AE 有一个力F ， 图中θ =30°，试求此力对各坐标轴之矩。 习题2-1图 A r A 习题2-2图 （a ） 习题2-3图
平面一般力系的平衡 一、 判断题： 1.下图是由平面汇交力系作出的力四边形，这四个力构成力多边形封闭，该力系一定平衡。（ ） 图 1 2.图示三个不为零的力交于一点，则力系一定平衡。（ ） 图 2 3.如图3所示圆轮在力F和矩为m的力偶作用下保持平衡，说明力可与一个力偶平衡。（ ） 4.图4所示力偶在x轴上的投影ΣX=0，如将x轴任转一角度 轴，那么Σ =0。（ ） 图 3 图 4
5.如图5所示力偶对a的力矩Ma（F，F＇）=F·d，如将a任意移到b，则力矩Mb（F，F＇）将发生变化。（ ） 图 5 图 6 6.图6所示物体的A、B、C、D四点各有一力作用，四个力作出的力多边形闭合，则此物体处于平衡状态。（ ） 7.如果两个力偶的力偶矩大小相等，则此两个力偶等效。（ ） 8.图示构件A点受一点力作用，若将此力平移到B点，试判断其作用效果是否相同（ ） 图 7 图 8 9.图8所示梁，若求支反力 时，用平面一般力系的平衡方程不能全部求出。 （ ） 10.图9所示物体接触面间静摩擦系数是f，要使物体向右滑动。试判断哪种施力方法省力。（ ） 图 9 图 10 11.力在坐标轴上的投影和该力在该轴上分力是相同的。（ ）
12.如果将图10所示力F由A点等效地平移到B点，其附加力矩M ＝Fa （ ）。 13.平面任意力系，其独立的二力矩式平衡方程为 ∑Fx＝0， ∑M A ＝0， ∑M B＝0，但要求矩心A、B的连线不能与x轴垂直。（ ） 二、选择题 1.同一个力在两个互相平行的同向坐标轴上的投影（ ）。 A.大小相等，符号不同 B.大小不等，符号不同 C.大小相等，符号相同 D.大小不等，符号相同 2.图11所示圆轮由O点支承，在重力P和力偶矩m作用下处于平衡。这说明（ ）。 图 11 A． 支反力R0与P平衡 B． m与P平衡 C． m简化为力与P平衡 D． R0与P组成力偶，其m（R0，P）=-P·r与m平衡 3. 图12所示三铰刚架，在D角处受一力偶矩为m的力偶作用， 如将该力力偶移到E角出，支座A、B的支反力 （ ）。 图12 A．A、B处都变化 B．A、B处都不变 C．A处变，B处不变
第二章力系的等效与简化 一、刚体和平衡的概念 刚体：在受力作用后而不产生变形的物体称为，刚体是对实际物体经过科学的抽象和简化而得到的一种理想模型。而当变形在所研究的问题中成为主要因素时（如在材料力学中研究变形杆件），一般就不能再把物体看作是刚体了。 平衡：指物体相对于地球保持静止或作匀速直线运动的状态。显然，平衡是机械运动的特殊形态，因为静止是暂时的、相对的，而运动才是永衡的、绝对的。 二、力系、等效力系、平衡力系 力系：作用在物体上的一组力。按照力系中各力作用线分布的不同形式， 力系可分为： （1）汇交力系力系中各力作用线汇交于一点； （2）力偶系力系中各力可以组成若干力偶或力系由若干力偶组成； （3）平行力系力系中各力作用线相互平行； （4）一般力系力系中各力作用线既不完全交于一点，也不完全相互平行。 按照各力作用线是否位于同一平面内，上述力系各自又可以分为平面力系和 空间力系两大类，如平面汇交力系、空间一般力系等等。 等效力系：两个力系对物体的作用效应相同，则称这两个力系互为等效力系。当一个力与一个力系等效时，则称该力为力系的合力；而该力系中的每一个力称为其合力的分力。把力系中的各个分力代换成合力的过程，称为力系的合成；反过来，把合力代换成若干分力的过程，称为力的分解。 平衡力系：若刚体在某力系作用下保持平衡。在平衡力系中，各力相互平衡，或者说，诸力对刚体产生的运动效应相互抵消。可见，平衡力系是对刚体作用效应等于零的力系。 第一节静力学基本公理 静力学公理是人们从实践中总结得出的最基本的力学规律，这些规律的正确性已为实践反复证明，是符合客观实际的。 一、二力平衡公理 作用于刚体上的两个力平衡的充分与必要条件是这两个力大小相等、方向相反、作用线相同。 这一结论是显而易见的。如图所示直杆，在杆的两端施加一对大小相等的拉力（F1、F2）或压力（F2、F1），均可使杆平衡。 图2-1 应当指出，该条件对于刚体来说是充分而且必要的；而对于变形体，该条件只是必要的而不充分。如柔索当受到两个等值、反向、共线的压力作用时就不能平衡。 在两个力作用下处于平衡的物体称为二力体；若为杆件，则称为二力杆。根据二力平衡公理可知，作用在二力体上的两个力，它们必通过两个力作用点的连线（与杆件的形状无关）且等值、反向。
第2章 力系的等效与简化 作用在实际物体上的力系各式各样，但是，都可用归纳为两大类：一类是力系中的所有力的作用线都位于同一平面内，这类力系称为平面力系；另一类是力系中的所有力的作用线位于不同的平面内，称为空间力系。这两类力系对物体所产生的运动效应是不同的。同一类力系，虽然其中所包含的力不会相同，却可能对同一物体产生相同的作用效应。在就是前一章中提到的力系等效的概念。 本章将在物理学的基础上，对力系的基本特征量加以扩展，引入力系主矢与主矩的概念；以此为基础，导出力系等效定理；进而应用力向一点平移定理以及力偶的概念对力系进行简化。力系简化理论与方法将作为分析所有静力学和动力学问题的基础。 §2-1 力系等效定理 ２－１－１ 力系的主矢和主矩 ２－１－２ 力系等效定理 §2-2 力偶与力偶系 ２－２－１ 力偶与力偶系 ２－２－２ 力偶的性质 ２－２－３ 力偶系的合成 §2-3 力系的简化 ２－３－１ 力向一点平移定理 ２－３－２ 空间一般力系的简化 ２－３－３ 力系简化在固定端约束力分析中的应用
§2-4 结论和讨论 ２－４－１ 关于力矢、主矢、力矩矢、力偶矩矢以及 主矩矢的矢量性质 ２－４－２ 关于合力之矩定理及其应用 ２－４－３ 关于力系简化的最后结果 ２－４－４ 关于实际约束的简化模型 ２－４－５ 关于力偶性质推论的应用限制 习 题 本章正文 返回总目录
第2章 力系的等效与简化 §２－１ 力系等效定理 物理学中，关于质点系运动特征量已有明确论述，这就是：质点系的线动量和对某一点的角动量。 物理学中还指明线动量对时间的变化率等于作用在质点系上的合外力；角动量对时间的变化率等于作用在质点系上外力对同一点的合力矩。这里的合外力，实际上只有大小和方向，并未涉及作用点或作用线。因而，需要将其中的合外力与外力的合力矩扩展为力系的主矢和主矩。 ２－１－１ 力系的主矢和主矩 主矢：一般力系（F 1，F 2，…，F n ）中所有力的矢量和（图2—1），称为力系的主矢量，简称为主矢（principal vector ），即 ∑=n i i 1 R F F ＝ (2－1) 图2－1力系的主矢 其中F R 为力系主矢；F i 为力系中的各个力。式（2－1）的分量表达式为 ∑∑∑===== =n i iy y n i iy y n i ix x F F F F F F 1 R 1R 1R (2－2) 主矩：力系中所有力对于同一点之矩的矢量和（图2－2），称为力系对这一点的主矩（principal moment ），即 ()∑∑==×n i i i n i i O O 1 1 F r F M M ＝＝ (2－3) 主矩的分量式为
第五章 空间任意力系 解：cos 45sin 60 1.22x F F KN ==o o cos45cos600.7y F F KN ==o o sin 45 1.4z F F KN ==o 6084.85x z M F mm KN mm ==? 5070.71y z M F mm KN mm ==? 6050108.84z x y M F mm F mm KN mm =+=? 解：21sin cos sin x F F F αβα=- 1cos cos y F F βα=- 12sin cos z F F F βα=+12sin cos x z M F a aF aF βα==+ 1sin y M aF β= 121cos cos sin cos sin z y x M F a F a aF aF aF βααβα=-=--- 解：两力F 、F ′能形成力矩1M 1502M Fa KN m ==? 11cos 45x M M =o 10y M = 11sin 45z M M =o 1cos 4550x M M KN m ==?o 11sin 4550100z z M M M M KN m =+=+=?o 22505C z x M M M KN m =+=?63.4α=o 90β=o 26.56γ=o 如图所示，置于水平面上的网格，每格边长a = 1m ，力系如图所示，选O 点为简化中心，坐标如图所示。已知：F 1 = 5 N ，F 2 = 4 N ，F 3 = 3 N ；M 1 = 4 N·m，M 2 = 2 N·m，求力系向 O 点简化所得的主矢'R F 和主矩M O 。 题图
第九讲内容 一、平面一般力系平衡方程的其他形式 前面我们通过平面一般力系的平衡条件导出了平面一般力系平衡方程的基本形式，除了这种形式外，还可将平衡方程表示为二力矩形式及三力矩形式。 1．二力矩形式的平衡方程 在力系作用面内任取两点A 、B 及X 轴，如图4－13所示，可以证明平面一般力系的平衡方程可改写成两个力矩方程和一个投影方程的形式，即 ?? ? ?? =∑=∑=∑000B A M M X (4－6) 式中X 轴不与A 、B 两点的连线垂直。 证明：首先将平面一般力系向A 点简化，一般可得到过A 点的一个力和一个力偶。若0A =M 成立，则力系只能简化为通过A 点的合力R 或成平衡状态。如果0B =∑M 又成立，说明R 必通过B 。可见合力R 的作用线必为AB 连线。又因0=∑X 成立，则0X =∑=X R ，即合力R 在X 轴上的投影为零，因AB 连线不垂直X 轴，合力R 亦不垂直于X 轴，由0X =R 可推得 0=R 。可见满足方程（4－6）的平面一般力系，若将其向A 点简化，其主 矩和主矢都等于零，从而力系必为平衡力系。 2．三力矩形式的平衡方程 在力系作用面内任意取三个不在一直线上的点A 、B 、C ，如图4－14所示，则力系的平衡方程可写为三个力矩方程形式，即
?? ? ?? =∑=∑=∑000C B A M M M （4－7） 式中，A 、B 、C 三点不在同一直线上。 同上面讨论一样，若0A =∑M 和0B =∑M 成立，则力系合成结果只能是通过A 、B 两点的一个力（图4－14）或者平衡。如果0C =∑M 也成立，则合力必然通过C 点，而一个力不可能同时通过不在一直线上的三点，除非合力为零，0C =∑M 才能成立。因此，力系必然是平衡力系。 综上所述，平面一般力系共有三种不同形式的平衡方程，即式（4－5）、 式（4－6）、式（4－7），在解题时可以根据具体情况选取某一种形式。无论采用哪种形式，都只能写出三个独立的平衡方程，求解三个未知数。任何第四个方程都不是独立的，但可以利用这个方程来校核计算的结果。 【例4－7】 某屋架如图4－15（a ）所示，设左屋架及盖瓦共重 kN 31=P ，右屋架受到风力及荷载作用，其合力kN 72=P ，2P 与BC 夹角 为?80，试求A 、B 支座的反力。 【解】 取整个屋架为研究对象，画其受力图，并选取坐标轴X 轴和Y 轴，如图4－15（b ）所示，列出三个平衡方程 kN 39.2342.0770cos 0 70cos 02A 2A =?=?==?-=∑P X P X X 30tan 470cos 1270sin 416 0221B A =????+??-?-?=∑P P P Y M
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 装．．．．．．．．．．．．．订．．．．．．．．．． 线 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．
分配记 20 ∑Fy＝0 ∑MO(F)＝0 不难看出，平面平行力系的二矩式平衡方程为 ∑MＡ(F) ＝0 ∑MＢ(F) ＝0 其中A、B两点的连线不能与各力平行。 平面平行力系只有两个独立的方程，因而最多能解出两个未知量。 三.应用平面一般力系平衡方程的解题步骤如下： (1) 根据题意，选取适当的研究对象。 (2) 受力分析并画受力图。 (3) 选取坐标轴。坐标轴应与较多的未知反力平行或垂直。 (4) 列平衡方程，求解未知量。列力矩方程时，通常选未知力较多的交点为矩心。 (5) 校核结果。 应当注意：若由平衡方程解出的未知量为负，说明受力图上原假定的该未知量的方向与其实际方向相反。而不要去改动受力图中原假设的方向。 例4-2 已知F=15kN，M=3kN.m，求A、B处支座反力。 解(1) 画受力图，并建坐标系 (2) 列方程求解 图4-8
分配记 20例4-3 如图3-9所示外伸梁上作用有集中力FC＝20kN，力偶矩M＝10kN.m ，载荷集度为q＝10kN/m的均布载荷。求支座A、B处的反力。 图4-9 解取水平梁AB为研究对象, 画受力图如图4-9(b)所示。 列平衡方程并求解
分配记 结果均为正，说明图示方向与实际方向一致。 例3-4 塔式起重机如图4-10所示。设机架自重为G，重心在C点，与右轨 距离为e，载重W，吊臂最远端距右轨为l，平衡锤重Q，离左轨的距离为a， 轨距为b。试求塔式起重机在满载和空载时都不致翻倒的平衡锤重量的范围。 图4-10 解取塔式起重机为研究对象，作用在起重机上的力有重物W、机架重G、 平衡锤的重力Q及钢轨的约束反力NA和NB，这些力构成了平面平行力系，起 重机在该平面平行力系作用下平衡。 (1)满载时W＝Wmax，Q＝Qmin，机架可能绕B点右翻，在临界平衡状 态，A处悬空，NA＝0，受力图如图3-10b所示。则
第二章力系的简化和平衡方程 一、填空题 1、在平面力系中，若各力的作用线全部，则称为平面汇交力系。 2、求多个汇交力的合力的几何法通常要采取连续运用力法则来求得。 3、求合力的力多边形法则是：将各分力矢首尾相接，形成一折线，连接其封闭边，这一从最先画的分力矢的始端指向最后面画的分力矢的的矢量，即为所求的合力矢。 4、平面汇交力系的合力作用线过力系的。 5、平面汇交力系平衡的几何条件为：力系中各力组成的力多边形。 6、平面汇交力系合成的结果是一个合力，这一个合力的作用线通过力系的汇交点，而合力的大小和方向等于力系各力的。 7、若平面汇交力系的力矢所构成的力多边形自行封闭，则表示该力系的等于零。 8、如果共面而不平行的三个力成平衡，则这三力必然要。 9、在平面直角坐标系内，将一个力可分解成为同一平面内的两个力，可见力的分力是量，而力在坐标轴上的投影是量。 10、合力在任一轴上的投影，等于各分力在轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。 11、已知平面汇交力系合力R在直角坐标X、Y轴上的投影，利用合力R与轴所夹锐角a的正切来确定合力的方向，比用方向余弦更为简便，也即tg a= | Ry / Rx | 。 12、用解析法求解平衡问题时，只有当采用坐标系时，力沿某一坐标的分力的大小加上适当的正负号，才会等于该力在该轴上的投影。 13、当力与坐标轴垂直时，力在该坐标轴上的投影会值为；当力与坐标轴平行时，力在该坐标轴上的投影的值等于力的大小。 14、平面汇交力系的平衡方程是两个的方程，因此可以求解两个未知量。 15、一对等值、反向、不共线的平行力所组成的力系称为_____。 16、力偶中二力所在的平面称为______。 17、在力偶的作用面内，力偶对物体的作用效果应取决于组成力偶的反向平行力的大小、力偶臂的大小及力偶的______。 18、力偶无合力，力偶不能与一个_____等效，也不能用一个______来平衡. 19、多轴钻床在水平工件上钻孔时，工件水平面上受到的是_____系的作用。 20、作用于物体上并在同一平面内的许多力偶平衡的必要和充分条件是，各力偶的_____代数和为零。 21、作用于刚体上的力，可以平移到刚体上的任意点，但必须同时附加一力偶，此时力偶的_____等于_____对新的作用点的矩。 22、一个力不能与一个力偶等效，但是一个力却可能与另一个跟它_____的力加一个力偶等效。 23、平面任意力系向作用面内的任意一点（简化中心）简化，可得到一个力和一个力偶，这个力的力矢等于原力系中所有各力对简化中心的矩的_____和，称为原力系主矢；这个力偶的力偶矩等于原力系中各力对简化中心的矩的和，称为原力对简化中心的主矩。 24、平面任意力系向作用面内任一点（简化中心）简化后，所得的主矢与简化中心的位置____，而所得的主矩一般与简化中心的位置______。 25、平面任意力系向作用面内任一点和简化结果，是主矢不为零，而主矩不为零，说明力系无论向哪一点简化，力系均与一个_____等效。 26、平面任意力系向作用面内任一点简化结果，是主矢不为零，而主矩为零，说明力系与通过简化中心的一个______等效。 27、平面任意力系向作用面内任一点简化后，若主矢_____，主矩_____,则原力系必然是平衡力系。 28、平面任意力系向作用面内的一点简化后，得到一个力和一个力偶，若将其再进一步合成，则可得到一个_____。 29、平面任意力系只要不平衡，则它就可以简化为一个______或者简化为一个合力。 30、对物体的移动和转动都起限制作用的约束称为______约束，其约束反力可用一对正交分力和一个力偶来表示。 31、建立平面任意力系的二力矩式平衡方程应是：任取两点A、B为矩心列两个力矩方程，取一轴X轴为投影列一个投影方程，但A、B两点的连线应_____于X轴。
第五讲内容 第二章力系的等效与简化 一、刚体和平衡的概念 刚体：在受力作用后而不产生变形的物体称为，刚体是对实际物体经过科学的抽象和简化而得到的一种理想模型。而当变形在所研究的问题中成为主要因素时（如在材料力学中研究变形杆件），一般就不能再把物体看作是刚体了。 平衡：指物体相对于地球保持静止或作匀速直线运动的状态。显然，平衡是机械运动的特殊形态，因为静止是暂时的、相对的，而运动才是永衡的、绝对的。 二、力系、等效力系、平衡力系 力系：作用在物体上的一组力。按照力系中各力作用线分布的不同形式， 力系可分为： （1）汇交力系力系中各力作用线汇交于一点； （2）力偶系力系中各力可以组成若干力偶或力系由若干力偶组成； （3）平行力系力系中各力作用线相互平行； （4）一般力系力系中各力作用线既不完全交于一点，也不完全相互平行。 按照各力作用线是否位于同一平面内，上述力系各自又可以分为平面力系和 空间力系两大类，如平面汇交力系、空间一般力系等等。 等效力系：两个力系对物体的作用效应相同，则称这两个力系互为等效力系。当一个力与一个力系等效时，则称该力为力系的合力；而该力系中的每一个力称为其合力的分力。把力系中的各个分力代换成合力的过程，称为力系的合成；反过来，把合力代换成若干分力的过程，称为力的分解。 平衡力系：若刚体在某力系作用下保持平衡。在平衡力系中，各力相互平衡，或者说，诸力对刚体产生的运动效应相互抵消。可见，平衡力系是对刚体作用效应等于零的力系。
第一节静力学基本公理 静力学公理是人们从实践中总结得出的最基本的力学规律，这些规律的正确性已为实践反复证明，是符合客观实际的。 一、二力平衡公理 作用于刚体上的两个力平衡的充分与必要条件是这两个力大小相等、方向相反、作用线相同。 这一结论是显而易见的。如图所示直杆，在杆的两端施加一对大小相等的拉力（F1 、F2）或压力（F2、F1），均可使杆平衡。 图2-1 应当指出，该条件对于刚体来说是充分而且必要的；而对于变形体，该条件只是必要的而不充分。如柔索当受到两个等值、反向、共线的压力作用时就不能平衡。 在两个力作用下处于平衡的物体称为二力体；若为杆件，则称为二力杆。根据二力平衡公理可知，作用在二力体上的两个力，它们必通过两个力作用点的连线（与杆件的形状无关）且等值、反向。 二、加减平衡力系公理 在作用于刚体上的已知力系上，加上或减去任意平衡力系，不会改变原力系对刚体的作用效应。这是因为平衡力系中，诸力对刚体的作用效应相互抵消，力系对刚体的效应等于零。根据这个原理，可以进行力系的等效变换。 推论1 力的可传性原理 作用于刚体上某点的力，可沿其作用线任意移动作用点而不改变该力对刚体的作用效应。利用加减平衡力系公理，很容易证明力的可传性原理。设力F作用于刚体上的A点。现在其作用线上的任意一点B加上一对平衡力系F1、F2，并且使F1= —F2=F，
平面力系合成与平衡习题 1、判断题： （1）无论平面汇交力系所含汇交力的数目是多小，都可用力多边形法则求其合力。（）（2）应用力多边形法则求合力时，所得合矢量与几何相加时所取分矢量的次序有关。（）（3）若两个力在同一轴上的投影相等，则这两个力的大小必定相等。（） （4）两个大小相等式、作用线不重合的反向平行力之间的距离称为力臂。（） （5）平面力偶系合成的结果为一合力偶，此合力与各分力偶的代数和相等。（） （6）平面任意力系向作用内任一点简化的主矢，与原力系中所有各力的矢量和相等。（）（7）一平面任意力系向作用面内任一点简化后，得到一个力和一个力偶，但这一结果还不是简化的最终结果。（） （8）平面任意力系向作用面内任一点简化，得到的主矩大小都与简化中心位置的选择有关。（） （9）只要平面任意力系简化的结果主矩不为零，一定可以再化为一个合力（）。 （10）在求解平面任意力系的平衡问题时，写出的力矩方程的矩心一定要取在两投影轴的交点处。（） （11）平面任意力系平衡方程的基本形式，是基本直角坐标系而导出来的，但是在解题写投影方程时，可以任意取两个不相平行的轴作为投影轴，也就是不一定要使所取的两个投影轴互相垂直。（） 2、填空题： （1）在平面力系中，若各力的作用线全部，则称为平面汇交力系。 （2）平面汇交力系平衡的几何条件为：力系中各力组成的力多边形。 （3）若平面汇交力系的力矢所构成的力多边形自行封闭，则表示该力系的等于零。（4）合力在任一轴上的投影，等于各分力在轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。 （5）平面任意力系向作用面内任一点简化结果，是主矢不为零，而主矩为零，说明力系与通过简化中心的一个______等效。 （6）平面任意力系向作用面内的一点简化后，得到一个力和一个力偶，若将其再进一步合成，则可得到一个_____。 （7）平面任意力系向作用面内任一点简化后，若主矢_____，主矩_____,则原力系必然是平衡力系。 （8）平面任意力系只要不平衡，则它就可以简化为一个______或者简化为一个合力。（9）建立平面任意力系的二力矩式平衡方程应是：任取两点A、B为矩心列两个力矩方程，取一轴X轴为投影列一个投影方程，但A、B两点的连线应_____于X轴。 （10）平面任意力系的平衡方程可以表示成不同的形式，但不论哪种形式的独立方程应为______个。 （11）平面平行力系的平衡方程，也可以是任取A、B两点为矩心而建成两个力矩方程，但
第五章 空间任意力系 5.1解：cos 45sin 60 1.22x F F KN == cos45cos600.7y F F KN == sin 45 1.4z F F KN == 6084.85x z M F mm KN mm ==? 5070.71y z M F mm KN mm ==? 6050108.84z x y M F mm F mm KN mm =+=? 5.2 解：21sin cos sin x F F F αβα=- 1cos cos y F F βα=- 12sin cos z F F F βα=+12sin cos x z M F a aF aF βα==+ 1sin y M aF β= 121cos cos sin cos sin z y x M F a F a aF aF aF βααβα=-=--- 5.3解：两力F 、F ′能形成力矩1M 1502M Fa KN m ==? 11cos 45x M M =10y M = 11sin 45z M M = 1cos 4550x M M KN m ==? 11sin 4550100z z M M M M KN m =+=+=? 22505C z x M M M KN m =+=?63.4α= 90β= 26.56γ= 5.4 如图所示，置于水平面上的网格，每格边长a = 1m ，力系如图所示，选O 点为简化中心，坐标如图所示。已知：F 1 = 5 N ，F 2 = 4 N ，F 3 = 3 N ；M 1 = 4 N·m，M 2 = 2 N·m，求力系向O 点简化所得的主矢' R F 和主矩M O 。 题5.4图 解：' 1236R F F F F N =+-=
平面一般力系的平衡作业 及答案 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
平面一般力系的平衡 一、判断题： 1.下图是由平面汇交力系作出的力四边形，这四个力构成力多边形封闭，该力系一定平衡。（） 图 1 2.图示三个不为零的力交于一点，则力系一定平衡。（） 图 2 3.如图3所示圆轮在力F和矩为m的力偶作用下保持平衡，说明力可与一个力偶平衡。（） 4.图4所示力偶在x轴上的投影ΣX=0，如将x轴任转一角度轴，那么Σ=0。（）
图 3 图 4 5.如图5所示力偶对a的力矩Ma（F，F＇）=F·d，如将a任意移到b，则力矩Mb（F，F＇）将发生变化。（） 图 5 图 6 6.图6所示物体的A、B、C、D四点各有一力作用，四个力作出的力多边形闭合，则此物体处于平衡状态。（） 7.如果两个力偶的力偶矩大小相等，则此两个力偶等效。（） 8.图示构件A点受一点力作用，若将此力平移到B点，试判断其作用效果是否相同（） 图 7 图 8
9.图8所示梁，若求支反力时，用平面一般力系的平衡方程不能全部求出。（） 10.图9所示物体接触面间静摩擦系数是f，要使物体向右滑动。试判断哪种施力方法省力。（） 图 9 图 10 11.力在坐标轴上的投影和该力在该轴上分力是相同的。（） 12.如果将图10所示力F由A点等效地平移到B点，其附加力矩M ＝Fa （）。 13.平面任意力系，其独立的二力矩式平衡方程为∑Fx＝0，∑M A＝0，∑M B＝0，但要求矩心A、B的连线不能与x轴垂直。（） 二、选择题 1.同一个力在两个互相平行的同向坐标轴上的投影（）。 A.大小相等，符号不同 B.大小不等，符号不同 C.大小相等，符号相同 D.大小不等，符号相同
平面一般力系的平衡作业及答案 平面一般力系的平衡 一、判断题： 1.下图是由平面汇交力系作出的力四边形，这四个力构成力多边形封闭，该力系一定平衡。（） 图1 2.图示三个不为零的力交于一点，则力系一定平衡。（） 图2 3.如图3所示圆轮在力F和矩为m的力偶作用下保持平衡，说明力可与一个力偶平衡。（） 4.图4所示力偶在x轴上的投影ΣX=0，如将x轴任转一角度轴，那么 Σ=0。（）
图3图4 5.如图5所示力偶对a的力矩Ma（F，F＇）=F·d，如将a任意移到b，则力矩Mb（F，F＇）将发生变化。（） 图5图6 6.图6所示物体的A、B、C、D四点各有一力作用，四个力作出的力多边形闭合，则此物体处于平衡状态。（） 7.如果两个力偶的力偶矩大小相等，则此两个力偶等效。（） 8.图示构件A点受一点力作用，若将此力平移到B点，试判断其作用效果是否相同（） 图7图8 9.图8所示梁，若求支反力时，用平面一般力系的平衡方程不能
全部求出。（） 10.图9所示物体接触面间静摩擦系数是f，要使物体向右滑动。试判断哪种施力方法省力。（） 图9图10 11.力在坐标轴上的投影和该力在该轴上分力是相同的。（） 12.如果将图10所示力F由A点等效地平移到B点，其附加力矩M＝Fa（）。 13.平面任意力系，其独立的二力矩式平衡方程为∑Fx＝0，∑M A ＝0，∑M B＝0，但要求矩心A、B的连线不能与x轴垂直。（） 二、选择题 1.同一个力在两个互相平行的同向坐标轴上的投影（）。 A.大小相等，符号不同 B.大小不等，符号不同 C.大小相等，符号相同 D.大小不等，符号相同 2.图11所示圆轮由O点支承，在重力P和力偶矩m作用下处于平衡。 这说明（）。
第九讲内容 一、平面一般力系平衡方程的其他形式 前面我们通过平面一般力系的平衡条件导出了平面一般力系平衡方程 的基本形式，除了这种形式外，还可将平衡方程表示为二力矩形式及三力矩 形式。 1．二力矩形式的平衡方程 在力系作用面内任取两点 A 、B 及 X 轴，如图 4－13 所示，可以证明 平面一般力系的平衡方程可改写成两个力矩方程和一个投影方程的形式，即 X =0 M A = 0 M B = 0 式中X 轴不与A 、B 两点的连线垂直。 证明：首先将平面一般力系向A 点简化， 一般可得到过A 点的一个力 和一个力偶。若M A = 0成立，则力系只能简化为通过 A 点的合力R 或成平 衡状态。如果M B = 0又成立，说明 R 必通过 B 。可见合力 R 的作用线必 为AB 连线。又因 X = 0成立，则R X =X =0，即合力R 在X 轴上的投 影为零，因 AB 连线不垂直 X 轴，合力 R 亦不垂直于 X 轴，由 R X =0可推 得R = 0 。可见满足方程（4－6）的平面一般力系，若将其向 A 点简化，其 主矩和主矢都等于零，从而力系必为平衡力系。 2．三力矩形式的平衡方程 在力系作用面内任意取三个不在一直线上的点 A 、B 、C ，如图 4－14 所示，则力系的平衡方程可写为三个力矩方程形式，即 （4－6）
M A = 0 M B = 0 M = 0 式中，A 、B 、C 三点不在同一直线上。 同上面讨论一样，若M A =0和M B = 0成立，则力系合成结果只能 是通过A 、B 两点的一个力（图4－14）或者平衡。如果 M C = 0也成立， 则合力必然通过 C 点，而一个力不可能同时通过不在一直线上的三点，除 非合力为零，M C = 0才能成立。因此，力系必然是平衡力系。 综上所述，平面一般力系共有三种不同形式的平衡方程，即式（4－5）、 式（4－6）、式（4－7），在解题时可以根据具体情况选取某一种形式。无论 采用哪种形式，都只能写出三个独立的平衡方程，求解三个未知数。任何第 四个方程都不是独立的，但可以利用这个方程来校核计算的结果。 【例 4－7】 某屋架如图 4－15（a ）所示，设左屋架及盖瓦共重 P 1 = 3kN ，右屋架受到风力及荷载作用，其合力P 2 =7kN ，P 2与BC 夹角 轴，如图 4－15（b ）所示，列出三个平衡方程 X = 0 X -P cos70 = 0 X =P cos70 = 7 0.342= 2.39kN M =0 Y 16-4P -P sin 7012 + P cos70 4 tan30 = 0 4－7） 为80 ，试求 A 、B 支座的反力。
第六章 力系的简化与平衡 一、目的要求 1．平面汇交力系（多个力）简化与平衡的几何法和解析法，并能应用平衡条件求解平面汇交力系的平衡问题。 2.力偶系的简化与平衡。 3、了解空间力系向一点简化的方法，明确空间力系合成的四种结果。 4．深入理解平面力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。 5．能熟练地计算在平面任意力系作用下单个刚体和物体系统平衡问题。 6.理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法及其综合作用。 7、会应用各种形式的空间力系平衡方程求解简单空间平衡问题。 8、对平行力系中心和重心应有清晰的概念，能熟练地应用坐标公式求物体的重心。 9. 牢固掌握滑动摩擦的性质，深刻理解库仑摩擦定律的内涵，熟练求解考虑滑动摩擦时的平衡问题（解析法、几何法）。了解全反力、摩擦角、自锁等概念，了解滚动摩擦现象。 二、基本内容 1．平面汇交力系的简化 平面汇交力系可合成为通过汇交点的合力，其大小和方向等于各分力的矢量和。即 ∑==+++=n i i 11F F F F F n 2R Λ 合力R F 的大小和方向可用力三角形法则或力多边形法则得到。作出图示首尾相接的开口的力多边形abcde ，封闭边矢量ae 即所求的合力。通过力多边形
求合力的方法称为几何法。 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力等于零。 其矢量表达式为 ∑==0F F R 力系平衡的几何条件是：力系的力多边形自行封闭。 合力投影定理：合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个坐标轴上的投影的代数和分别为零。即 00x y F F ?=??=??∑∑ 两个独立的平衡方程，可解两个未知量。 2.力偶系的简化与平衡条件 （1）力偶系的简化 力偶系可简化为一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即 i M M ∑= 力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的和等于零，即 ∑=0M 或∑∑∑===000z y x M M M 3. 空间力系的简化与合成的最终结果 1）空间力系向已知点O 简化 力的平移定理：可以把作用在刚体上点A 的力F 平行移到任一点B ，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶矩等于原来的力F 对新作用点B 的矩。 空间力系向已知点O 简化的一般结果为一个作用在O 点的力和一个力偶，该力矢量等于此力系的主矢。该力偶的力偶矩矢量等于力系对简化中心O 的主矩。主矢与简化中心的选取无关。一般情况下，主矩与简化中心的选取有关。 2）空间力系合成的最终结果 空间力系的最终合成结果有四种可能：一个合力、一个合力偶、一个力螺旋和平衡，这四种结果可由力系的主矢和力系对任意一点的主矩来判断。具体归纳如下：
装............. 订.......... 线 ......................
不难瞧出,平面平行力系得二矩式平衡方程为 ∑MA(F) =０?∑MB(Ｆ) ＝0 其中A、Ｂ两点得连线不能与各力平行。 平面平行力系只有两个独立得方程,因而最多能解出两个未知量。 三、应用平面一般力系平衡方程得解题步骤如下: (1)根据题意,选取适当得研究对象。 (2)受力分析并画受力图。?(３) 选取坐标轴。坐标轴应与较多得未知反力平行或垂直、 (４)列平衡方程,求解未知量、列力矩方程时,通常选未知力较多得交点为矩心、 (5) 校核结果。 应当注意:若由平衡方程解出得未知量为负,说明受力图上原假定得该未知量得方向与其实际方向相反、而不要去改动受力图中原假设得方向。 例4—２已知F=１５kＮ,M=３kN、m,求A、B处支座反力。 ?解(１)画受力图,并建坐标系 (2)列方程求解 图4－８
? 例４-３如图3-９所示外伸梁上作用有集中力FC＝20kＮ,力偶矩M＝10kN。ｍ,载荷集度为ｑ＝10ｋN/m得均布载荷。求支座A、Ｂ处得反力。 ?图4-9 解取水平梁AＢ为研究对象, 画受力图如图4—9(b)所示。 列平衡方程并求解 结果均为正,说明图示方向与实际方向一致。
例３—４塔式起重机如图４-10所示。设机架自重为G,重心在Ｃ点,与右轨距离为e,载重W,吊臂最远端距右轨为ｌ,平衡锤重Q,离左轨得距离为a,轨距为b。试求塔式起重机在满载与空载时都不致翻倒得平衡锤重量得范围。 ?图4—10 解取塔式起重机为研究对象,作用在起重机上得力有重物Ｗ、机架重G、平衡锤得重力Q及钢轨得约束反力NＡ与NＢ,这些力构成了平面平行力系,起重机在该平面平行力系作用下平衡。 (1)满载时W=Wmａx,Q=Ｑmiｎ,机架可能绕B点右翻,在临界平衡状态,Ａ处悬空,NA＝0,受力图如图3—10b所示。则 (2)空载时W＝0,Q＝Qｍax,机架可能绕A点左翻,在临界平衡状态,B处悬空,NB＝0,受力图如图3—１0c所示、则 故平衡锤得范围应满足不等式 ? 例４-5 一简易起重机如图4-1１所示、横梁ＡB得A端为固定铰支座,B端用拉杆BC与立柱相连。已知梁得重力G1＝4kN,载荷G2=12kN,横梁长L＝6m,α＝3０°,求当载荷距Ａ端距离x=４m时,拉杆BC得受力与铰支座A得约束反力。
第2章力系的简化
工程力学学习指导 第2章力系的简化 2.1 教学要求与学习目标 1. 正确掌握下列基本概念与定义： 1) 力系。 2) 力系的主矢与主矩。 3) 等效的概念。 2. 正确掌握下列重要定理及其应用： 1) 等效力系定理。 2) 力向一点平移定理。 3) 合力之矩定理。 3. 正确掌握并应用力系简化的基本方法。 4. 正确掌握固定端约束的性质及其约束力。 2.2 理 论 要 点 2.2.1等效的概念及有关等效的原理 等效力系定理：如果作用于刚体上的力系可以用另一个力系来代替，而不改变刚体的运动状态，则称这两个力系等效。 加减平衡力系原理：在已知力系上附加任意平衡力系，或除去任意平衡力系，则不改变原来力系对刚体的作用。这一原理又叫做“加减平衡力系原理”。它表明，加减平衡力系后，新力系与原来的力系等效。 根据这一原理，可以将已知力沿其作用线移至任意点而不改变力对物体的作用效果。这就是所谓力的可传性。 上述有关等效的概念和加减平衡力系原理以及力的可传性，都是针对运动效果而言的，因而只适用于刚体。当研究力对变形体所产生的变形效果时，这些都不适用。 2.2.2力向一点平移 将一个力分解为一个力和力偶的过程叫做“力向一点平移”。应用加减平衡
力系原理，可以证明；作用于刚体上的已知力F可以向同一刚体上的任意一点平行移动，平移时需要附加一力偶，附加力偶的力偶矩M等于已知力F对平移点之矩。 力向一点平移的结果说明：作用于刚体上A点的力F与作用另一点O的力F及力偶M等效。这也证明了力偶与力是不能等效的。 利用力向一点平移的结果不仅可以解决力系简化和平衡问题，而且在材料力学中讨论到平衡问题时，还可以将变形体视为刚体，从而可以应用上述结果，使问题简化。但必须注意，这一结果在材料力学中应用时是要受到严格限制的。 2.2.3平面力系的简化 为了得到平面力系向一点简化的结果，可以将力系中的所有力向该点平移，得到一个平面汇交力系和平面力偶系。前者可以进一步合成一合力F R，后者则合成一合力偶M。因此，平面力系向任意简化中心O简化时，得到一个力F R 和一力偶M。 为了度量这个力和力偶，需要引进“主矢”和“主矩”的概念。平面力系各个力的几何和，称为力系的主矢，它决定了力F R的大小和方向，但没有确定其作用线，因而不同于汇交力系的合力。 主矢在x、y平面座标轴上的投影为F R x、F R y。 在平面力系中，因其中各个力均在同一平面内，所以各个力对简化中心O 之矩的代数和称为力系对简化中心的主矩，它决定了力偶M的力偶矩的大小及方向。主矩只是度量合力偶对刚体转动的物理量，而合力偶却代表一个力系。 需要指出的是，平面力系的主矢是一不变量，它不随简化中心的不同而改变。但主矩却与简化中心有关。 上述简化结果表明：平面力系对刚体的作用效果取决于它的主矢和主矩。 根据上述简化结果，得出平面力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢量和力系对任选点的主矩分别等于零。 2.2.4插入端约束的约束力 插入端约束力的分析可以作为平面力系简化理论应用的一个例子。在处于纸平面内的主动力作用下，插入端的约束力将是一个分布比较复杂的平面力系。但是，当研究平衡时，只需要研究这一分布力系总的作用效果，因而可以简化成一个力F和一个力偶M。工程上为进一步计算方便起见，又将力F分解为水平与垂直分量，F x、F y。 2.2.5空间力系的简化 与平面力系类似，应用力向一点平移的方法，可以将空间力系分解为两个基本力系：空间汇交力系和空间力偶系。这两个力系对刚体的作用与原空间力系等效。 所得到的空间汇交力系和空间力偶系还可以进一步简化为通过简化中心的主矢和对简化中心之矩的矢量。 2.3 学 习 建 议