平行四边形单元检测题
一、选择题（每题3分，共30分）
1.一块均匀的不等边三角形的铁板，它的重心在（ ）
A.三角形的三条角平分线的交点
B.三角形的三条高线的交点
C.三角形的三条中线的交点
D.三角形的三条边的垂直平分线的交点
2.如图1，如果□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，那么图中的全等三角形共有（ ） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
3.平行四边形的一边长是10cm ，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（ ） A.4cm 和6cm B.6cm 和8cm C.8cm 和10cm D.10cm 和12cm
4.在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( ) A.AC ＝BD ，AB ＝CD ，AB ∥CD B.AD //BC ，∠A ＝∠C
C.AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BD
D.AO ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC
5.如图2，过矩形ABCD 的四个顶点作对角线AC 、BD 的平行线，分别相交于E 、F 、G 、H 四点，则四边形EFGH 为（ ）
A.平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D. 正方形
6.如图3，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S 1、S 2，那么S 1、S 2的大小关系是（ ）
A.S 1 > S 2
B.S 1 = S 2
C.S 1
D.S 1、S 2 的大小关系不确定
7.矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和3cm 两部分，则这个矩形的面积为（ ） A.3cm 2 B. 4cm 2 C. 12cm 2 D. 4cm 2或12cm 2
8.如图4，菱形花坛 ABCD 的边长为 6m ，∠B ＝60°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分的图形的周长（粗线部分）为（ ）
A.123m
B.20m
C.22m
D.24m
9.如图5，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则折痕EF 的长是( ) A ．3
B ．23
C ．5
D ．25
10.如图6，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD ，小明从顶点A 沿着花坛间小路直到
图6 图4 F
E D
C
B A 图5 图3 A D
C B H
E
F
G
图2
O A B D C
图1
走到长边中点O ，再从中点O 走到正方形OCDF 的中心O 1，再从中心O 1走到正方形O 1GFH 的中心O 2，又从中心O 2走到正方形O 2IHJ 的中心O 3，再从中心O 3走2走到正方形O 3KJP 的中心
O 4，一共走了31 2 m ，则长方形花坛ABCD 的周长是（ ）
A.36 m
B.48 m
C.96 m
D.60 m 二、填空题（每题3分，共30分）
11.如图7, 若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD 的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角的值等于＿＿＿.
12.如图8，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ，那么图中矩形AMKP 的面积S 1与矩形QCNK 的面积S 2的大小关系是S 1 S 2（填“＞”或“＜”或“＝”）.
13.如图9，四边形ABCD 是正方形，P 在CD 上，△ADP 旋转后能够与△ABP ′重合，若AB ＝3，DP ＝1，则PP ′＝＿＿＿.
14，已知菱形有一个锐角为60°，一条对角线长为6cm ，则其面积为＿＿＿cm 2.
15.如图10，在梯形ABCD 中,已知AB ∥CD ,点E 为BC 的中点, 设△DEA 的面积为S 1,梯形ABCD 的面积为S 2,则S 1与S 2的关系为＿＿＿.
16.如图11，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直，A 1B 1C 1D 1四边形ABCD 的中点四边形.如果AC ＝8，BD ＝10，那么四边形A 1B 1C 1D 1的面积为＿＿＿.
17.如图12，□ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F ，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为＿＿＿.
18.将一张长方形的纸对折,如图13所示，可得到一条折痕(图中虚线),继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到 条折痕，如果对折n 次，可以得到 条折痕.
…… 第一次对折 第二次对折 第三次对折
图13 图11 A 1 B 1
C 1
D 1 D A
B C D A B C E F 图12 D
C B A 图7 图9 图8
K
N M Q C B 图10 E D C B
A
三、解答题（共40分）
19.如图1,4，等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠DBC =45°,翻折梯形ABCD ,使点B 重合于D ,折痕
分别交边AB 、BC 于点F 、E ,若AD =2,BC =8.求BE 的长.
20.在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD 分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；
(1)根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有＿＿＿组；
（2）请在图15的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线； （3）由上述实验操作过程，你发现所画的饿两条直线有什么规律？
21.如图16，已知四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD 的平分线CF 交边AB 于F ，∠ADC 的平分线DG 交边AB 于G .
（1）线段AF 与GB 相等吗？
（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG 为等腰直角三角形,并说明理由.
A B C D A B C D D C
B A 图15 图16
F E D C
B A 图14
22.如图17，已知□ABCD 中，E 为AD 的中点，CE 的延长线交BA 的延长线于点E . （1）试说明线段CD 与FA 相等的理由； （2）若使∠F ＝∠BCF ，□ABCD 的边长之间还需再添加一个什么条件？请你补上这个条件，并说明你的理由(不要再增添辅助线).
23.如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且
ACE △是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD 是菱形；
（2）若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．
24.已知：如图19，四边形ABCD 是菱形，E 是BD 延长线上一点，F 是DB 延长线上一点，且DE ＝BF .请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）.
（1）连结____________；（2）猜想：______=______；（3）证明：
E
B A
O C 图19
D A B
E
F A
B
C D E
F 图17
25.如图20，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，连结EB ，过点A 作AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 交BD 于点F .
(1)试说明OE ＝OF ；
(2)如图21，若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥BE 于点M ，交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE ＝OF ”还成立吗?如果成立，请给出说明理由；如果不成立，请说明理由.
图
20 图21
参考答案：
一、1，C ；2，D ；3，D ；4，C ；5，C ；6，A ；7，D ；8，B ；9，D ；10，C .
二、11，30°；12，＝；13，；14，或
15，121
2
S S =
；16，20；17，7；18，15、2n －1. 三、19.由题意得△BEF≌△DFE,∴DE=BE,∵在△BDE 中,DE=BE,∠DBE=45°,∴∠BD
E=∠DBE=45°,∴∠DEB=90°,∴DE⊥BC.∴EC=12(BC-AD)= 1
2
(8-2)=3.∴BE=5；
20.（1）无数；（2）只要两条直线都过对角线的交点即可；（3）这两条直线过平行四边形的对称中心（或对角线的交点）；
21.（1）四边形ABCD 是平行四边形，AO CO ∴=． 又ACE △是等边三角形，EO AC ∴⊥，即DB AC ⊥．
∴平行四边形ABCD 是菱形；
（2）ACE △是等边三角形，60AEC ∴∠=．
EO AC ⊥，1
302
AEO AEC ∴∠=∠=．
2AED EAD ∠=∠，15EAD ∴∠=．45ADO EAD AED ∴∠=∠+∠=． 四边形ABCD 是菱形，290ADC ADO ∴∠=∠=．
∴四边形ABCD 是正方形．
22.（1）说明△CED ≌△CEA 即可，（2）BC ＝2AB ，理由略； 23.（1）四边形ABCD 是矩形.连结OE .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DO =OB ，∵四边形DEBF 是菱形，∴DE =BE ，∴EO ⊥BD ，∴∠DOE = 90°，即∠DAE = 90°，又四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形.（2）解：∵四边形DEBF 是菱形，∴∠FDB =∠EDB ，又由题意知∠EDB =∠EDA ，由（1）知四边形ABCD 是矩形，∴∠ADF =90°即∠FDB +∠EDB +∠ADE =90°，则∠ADB = 60°，∴在Rt △ADB 中，有AD ∶AB =1：3，即
3=BC
AB
； 24.（1）连结AF ；（2）猜想AF =AE ；（3）连结AC ，交BD 于O ，因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD 于O ，DO =BO ，因为DE ＝BF ，所以EO ＝BO 所以AC 垂直平分EF ，所以AF ＝AE ；
25.(1)因为四边形ABCD 是正方形，所以∠BOE =∠AOF ＝90°，OB ＝OA ，又因为AM ⊥BE ，所以∠MEA +∠MAE ＝90°=∠AFO +∠MAE ，所以∠MEA ＝∠AFO ，所以Rt △BOE 可以看成是绕点O 旋转90°后与Rt △AOF 重合，所以OE =OF ；(2)OE ＝OF 成立.证明：因为四边形ABCD 是正方形，所以∠BOE =∠AOF ＝90°，OB ＝OA 又因为AM ⊥BE ，所以∠F +∠MBF ＝90°＝∠B +∠OBE ，又因为∠MBF ＝∠OBE ，所以∠F ＝∠E ，所以Rt △BOE 可以看成是由Rt △AOF 绕点O 旋转90°以后得到的，所以OE =OF ；