第三章综合测试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．在对两个变量x, y实行线性回归分析时有下列步骤：
①对所求出的回归直线方程作出解释；②收集数据(x i，y i)，i＝1，2，…，n；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．
若根据可靠性要求能够作出变量x，y具有线性相关结论，则下列操作顺序准确的是( ) A．①②⑤③④B．③②④⑤①
C．②④③①⑤D．②⑤④③①
答案D
解析由对两个变量实行回归分析的步骤，知选D.
2．为了考查两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法准确的是( )
A．l1和l2有交点(s，t) B．l1与l2相交，但交点不一定是(s，t)
C．l1与l2必定平行D．l1与l2必定重合
答案A
解析由回归直线定义知选A.
3．实验测得四组(x，y)的值为(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，则y与x之间的回归直线方程为( )
A．y∧＝x＋1 B．y∧＝x＋2
C．y∧＝2x＋1 D．y∧＝x－1
答案A
解析求出样本中心(x，y)代入选项检验知选A.
4．(2014·重庆)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )
A．y∧＝0.4x＋2.3 B．y∧＝2x－2.4
C．y∧＝－2x＋9.5 D．y∧＝－0.3x＋4.4
答案A
解析利用正相关和样本点的中心在回归直线上对选项实行排除．
因为变量x和y正相关，则回归直线的斜率为正，故能够排除选项C和D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3，3.5)的坐标分别代入选项A和B中的直线方程实行检验，能够排除B，故选A.
5．(2014·湖北)根据如下样本数据
得到的回归方程为y＝b x＋a，则( )
A．a∧>0，b∧>0 B．a∧>0，b∧<0
C．a∧<0，b∧>0 D．a∧<0，b∧<0
答案B
解析用样本数据中的x，y分别当作点的横、纵坐标，在平面直角坐标系xOy中作出散点图，由图可知b<0，a>0.故选B.
6．下面是一个2×2列联表
其中a、b处填的值分别为(
A．52 54 B．54 52
C．94 146 D．146 94
答案A
解析由a＋21＝73，得a＝52，a＋2＝b，得b＝54.故选A.
7．设有一个回归方程为y∧＝3－5x，则变量x增加一个单位时( )
A．y平均增加3个单位B．y平均减少5个单位
C．y平均增加5个单位D．y平均减少3个单位
答案B
解析∵－5是斜率的估计值，说明x每增加一个单位时，y平均减少5个单位．故选B. 8．在一个2×2列联表中，由其数据计算得K2＝13.097，则其两个变量间相关系的可能性为( )
A．99% B．95%
C．90% D．无关系
答案A
解析∵如果K2的估计值k>10.828时，就有99.9%的把握认为“x与y相关系”．故选A. 9．两个相关变量满足如下关系：
A. y ∧
＝0.56x ＋997.4 B. y ∧
＝0.63x －231.2 B. y ∧
＝50.2x ＋501.4 D. y ∧
＝60.4x ＋400.7
答案 A
解析 利用公式b ∧
＝
＝0.56，a ∧＝y －－b ∧
x ＝997.4.
∴回归直线方程为y ∧
＝0.56x ＋997.4.故选A. 10.线性回归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧
必过（ ） A.（0，0） B.（x ，0） C.（0，y ） D.（x ，y ）
答案 D
解析 回归直线方程一定过样本点的中心（x ，y ）.故选D.
11.在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相对应位置的差异的是（ ） A.总偏差平方和 B.残差平方和 C.回归平方和 D.相关指数R 2
答案 B
解析 y i －y ∧＝e ∧
i ，∑n i ＝1
e ∧
i 2
为残差平方和.故选B. 12.如果根据性别与是否爱好运动的列联表得到K 2
≈3.852>3.841，所以判断性别与运动相关，那么这种判断犯错的可能性不超过（ ） A.2.5% B.0.5% C.1% D.5%
答案 D
解析 ∵P（K 2
≥3.841）≈0.05，故“判断性别与运动相关”出错的可能性为5%. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算得K 2
＝27.63，根据这个数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是 的（相关，无关）. 答案 相关
解析 K 2
>10.828就有99.9%的理由认为两个量是相关的.
14.在研究硝酸钠的可溶性水准时，观测它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果如下：,
温度（x ） 0 10 20 50 70 溶解度（y ）
66.7
76.0
85.0
112.3
128.0
由此得到回归直线的斜率是 .
答案 0.880 9
解析 把表中的数据代入公式b ∧
=
≈0.880 9.
15.用身高（cm ）预报体重（kg ）满足y ∧
＝0.849x －85.712，若要找到41.638 kg 的人，________是在150 cm 的人群中．(填“一定”、“不一定”) 答案 不一定
解析 因为统计的方法是可能犯错误的，利用线性回归方程预报变量的值不是精确值，但一般认为实际测量值应在预报值左右．
16．某高校教“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些学生的情况，具体数据如下表：
非统计专业
统计专业
男 14 11 女
7
18
为了判断主修统计的数据，得到K 2＝n （ad －bc ）2
（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）
＝50×（14×18－11×7）2
25×25×21×29≈4.023.
因为 4.023>3.841，所以判定主修统计专业与性别相关系，那么这种判断出错的可能性为________． 答案 5%
解析 ∵查临界值表，得P(K 2≥3.841)＝0.05，故这种判断出错的可能性为5%. 三、解答题(本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x(个) 2 3 4 5 加工的时间y(小时)
2.5
3.0
4.0
4.5
(1)
(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ∧
＝b ∧
x ＋a ∧
，并在坐标系中画出回归直线；
(3)试预测加工10个零件需要多少时间？
解析 （1）散点图如下图：,
（2）由表中数据得：∑4i ＝1x i y i ＝52.5，x －＝3.5，y －＝3.5，∑4
i ＝1
x i 2
＝54，∴b ∧＝0.7，a ∧＝1.05，∴y ∧
＝0.7x ＋1.05.,回归直线如图中所示.
（3）将x ＝10代入回归直线方程，,得y ∧
＝0.7×10＋1.05＝8.05（小时）. ∴预测加工10个零件需要8.05小时.
18.（12分）某企业的某种产品产量与单位成本数据如下：
月份 1 2 3 4 5 6 产量（千件） 2 3 4 3 4 5 单位成本（元）
73
72
71
73
69
68
（1）试确定回归直线；
（2）指出产量每增加1 000件时，单位成本下降多少？
（3）假定产量为6 000件时，单位成本是多少？单位成本为70元时，产量应为多少件？ 解析 （1）设x 表示每月产量（单位：千件），y 表示单位成本（单位：元）作散点图.
由图知y 与x 间呈线性相关关系，设线性回归方程为y ∧
＝b ∧
x ＋a ∧
由公式可求得b ∧
＝－1.818，a ∧
＝77.363. ∴线性回归方程为y ∧＝－1.818x ＋77.363.
（2）由线性回归方程知，每增加1 000件产量，单位成本下降1.818元. （3）当x ＝6 000时，y ＝－1.818×6＋77.363＝66.455（元）， 当y ＝70时，70＝－1.818x ＋77.363，得x ＝4.05（千件）.
19.（12分）某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
（1）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ∧
＝bx+a ； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．
解析 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程．为此对数据预处理如下：
对预处理后的数据，容易算得x ＝0，y ＝3.2.
b ＝（－4）×（－21）＋（－2）×（－11）＋2×19＋4×2942＋22＋22＋42＝26040＝6.5，
a ＝y －－
b x －
＝3.2.
由上述计算结果，知所求回归直线方程为y ∧
－257＝b(x －2 006)＋a ＝6.5(x －2 006)＋3.2， 即y ∧
＝6.5(x －2 006)＋260.2.
①
(2)利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为
6．5×(2 012－2 006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)≈300(万吨)．
20．(12分)某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度实行了调查，统计数据如下表所示：
(1)到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？
(2)试使用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否相关？并说明理由．
解析 (1)积极参加班级工作的学生有24名，总人数为50名，概率为2450＝12
25.
不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19名，概率为19
50.
(2)K 2＝
50×（18×19－6×7）2
25×25×24×26
≈11.5.
∵K 2>10.828，∴有99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度相关系．
21．(12分)某运动队研制了一种有助于运动员在大运动量的训练后快速恢复体力的口服制剂，为了实验新药的效果而抽取若干名运动员来实验，所得资料如下：
解析 对男运动员
K 2＝
270×（60×45－45×120）2
105×165×180×90
≈7.013>6.635，
有99%的把握认定药剂对男运动员有效． 对女运动员
K 2＝
540×（45×255－60×180）2
105×435×225×315
≈0.076<2.706，
没有充足的证据显示药剂与女运动员体力恢复相关系．所以该药对男运动员药效较好． 22．(12分)第17届亚运会于2014年9月19日至10月4日在韩国仁川实行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余人不喜爱运动． (1)根据以上数据完成以下2×2列联表：
(2)动相关？
(3)如果从喜欢运动的女志愿者中(其中恰有4人会外语)，抽取2名负责翻译工作，那么抽出的志愿者中至少有1人能胜任翻译工作的概率是多少？
参考公式：K 2＝n （ad －bc ）2
（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d.
参考数据：
解析(1)
(2)假设：
K2＝
30×（10×8－6×6）2
（10＋6）（6＋8）（10＋6）（6＋8）≈1.1 575<2.706.
所以，在犯错误的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别相关．
(3)喜欢运动的女志愿者有6人，
设喜欢运动的女志愿者分别为A、B、C、D、E、F，其中A、B、C、D会外语，则从这6人中任取2人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种取法，
其中两人都不会外语的只有EF这1种取法．
故抽出的志愿者中至少有1人能胜任翻译工作的概率是P＝1－1
15＝14 15.