10.4 《用科学计算器计算方差和标准差》导学案
单位：青州市庙子初级中学姓名：高云升孙玲丁秀武
一、教学内容：P105—P107
二、学习目标：
1、会用科学计算器求一组数据的平均数，方差和标准差。
2、养成耐心、细致的学习态度和实事求是的科学精神。
三、重点、难点：
会用科学计算器求一组数据的平均数，方差和标准差。
四、教学过程：
1、课前预习：预习课本P105—P107页，完成下列填空。（要求必须熟悉计算器操作程序）
（1）按键，打开计算器。
（2）按键，，进入统计状态，计算器显示“SD”符号。（3）按键，，=，清除计算器中原有寄存的数据。（4）输入统计数据，按键顺序为：第一数据；第二数据为，……最后一个数据。
（5）按键，，=，计算器显示出输入的所有统计数据的平均数。
（6）按键，，=，计算器显示出输入的所有统计数据的标准差。
（7）按键=计算器显示出输入的所有统计数据的方差。
（8）若又准备保留数据，可按键，，结束求方差运算。
2、课堂探究：
（1）小组合作完成例1
（2）已知：甲、乙两组数据分别为：
甲：1，2，3，4，5，6，
乙：2，3，4，5，6，7，
计算这两组数据的方差
3、达标检测：
（1）一组数据2，3，2，3，5的方差是（）
A、6
B、3
C、1.2
D、2
（2）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人射击成绩的平均数都是9.2环，
方差分别为S2
甲=0.56，S2
乙
=0.60，S2
丙
=0.50，S2
丁
=0.45，则成绩最稳定的是（）
A、甲
B、乙
C、丙
D、丁
（3）有一组数据如下：3，a，4，6，7，它们的平均数是5，那么这组数据的方差是（）
A、10
B、√10
C、2
D、√2
四、课外延伸：
甲组：76，90，84，86，81，87，86，82，88，85
乙组：82，84，85，89，79，91，80，89，74，79
回答：
（1）甲组数据众数是，乙组数据中位数是。
（2）若甲组数据的平均数为X，乙组数据的平均数为Y，则X与Y的大小关系是。
（3）经计算可知：S2
甲=14.45，S2
乙
=26.36，S2
甲
＜S2
乙
，这表明。
（用简要文字语言表达）
1．数据8，10，9，11，12的方差是 （ ） A ．2 C. 10 D ．50 2．如果一组数据1x , 2x ,… n x 的方差是2，那么另一组数据13x , 23x ,… 3n x 的方差是 （ ）A. 2 B. 18 C. 12 D. 6 3．（2003?四川）某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，班平均分和方差分别为甲=82分，乙=82分，S 甲2=245，S 乙2 =190，那么成绩较为整齐的是（ ） A ．甲班 B ．乙班 C ．两班一样整齐 D ．无法确定 4．若一组数据a 1，a 2，…，a n 的方差是5，则一组新数据2a 1，2a 2，…，2a n 的方差是（ ） A ．5 B ．10 C ．20 D ．50 5.小明与小华本学期都参加了5次数学考试(总分均为100分)，数学老师想判断这两位同学的数学成绩谁更稳定，在作统计分析时，老师需比较这两人5次数学成绩的( ). A.平均数; B.方差; C.众数; D.中位数. 二、填空题 1．（2006?浙江）甲、乙两台机器分别罐装每瓶质量为500克的矿泉水．从甲、乙罐装的矿 泉水中分别随机抽取了30瓶，测算得它们实际质量的方差是：S 甲2=4.8，S 乙2=3.6．那么 _________ 罐装的矿泉水质量比较稳定． 2．（2002?宁夏）已知一个样本1，4，2，5，3，那么这个样本的标准差是 _________ ． 3．已知一个样本1，2，3，x ，5，它的平均数是3，则这个样本的极差是 _________ ；方差是 ________ ． 4．（2007?贵阳）如图所示是甲、乙两地某十天的日平均气温统计图，则甲、乙两地这10 天的日平均气温的方差大小关系为：S 甲2 _________ S 乙2（用＞，=，＜填空）． 5. 如果一组数据 1x , 2x ,… n x 的平均数是x ，方差为2S ,那么 （1）新数据 1ax , 2ax ,… n ax 的平均数是 ，方差为 ； （2）新数据 1x b +, 2x b +,… n x b +的平均数是 ，方差为 ； （3）新数据 1ax b +, 2ax b +,… n ax b +的平均数是 ，方差为 .
2.3.2 方差与标准差 1．理解样本数据方差与标准差的意义和作用，会计算数据的方差、标准差．(重点、难点) 2．掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想．(难点 ) [基础·初探] 教材整理方差与标准差 阅读教材P69～P70“例4”上边的内容，并完成下列问题． 1．极差的概念 我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差． 2．方差与标准差的概念 (1)设一组样本数据x1，x2，…，x n，其平均数为x － ，则称s2＝ 1 n ∑ i＝1 n (x i－x － )2为这个样本的方差． (2)方差的算术平方根s＝ 1 n ∑ i＝1 n ?x i－x － ?2为样本的标准差． 填空： (1)已知样本方差为s2＝ 1 10 ∑ i＝1 n (x i－5)2，则样本的平均数x － ＝________；x1＋x2＋…＋x10＝________. 【导学号：】 【解析】由题意得x＝5，n＝10， ∴x＝ x1＋x2＋x3＋…＋x10 10 ＝5，∴x1＋x2＋x3＋…＋x10＝50. 【答案】 5 50 (2)数据10,6,8,5,6的方差s2＝________.
【解析】 5个数的平均数x ＝10＋6＋8＋5＋6 5 ＝7， 所以s 2＝15×[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2 ]＝. 【答案】 [小组合作型] 方差与标准差的计算 (1)某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图如图2-3-7， 则该运 动员在这五场比赛中得分的方差为________． 图2-3-7 (2)设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数， i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和标准差分别为________、________. 【精彩点拨】 根据方差和均值的定义进行计算． 【自主解答】 (1)依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8,9,10,13,15，其平均数为8＋9＋10＋13＋15 5 ＝11. 故方差为s 2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2 ]＝15(9＋4＋1 ＋4＋16)＝. (2)样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值x ＝1 10(x 1＋x 2＋…＋x 10)＝1， 方差s ′2＝110[(x 1－1)2＋(x 2－1)2＋…＋(x 10－1)2 ]＝4， 新数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x 10＋a 的均值 x ＝110(x 1＋a ＋x 2＋a ＋…＋x 10＋a )＝110 (x 1＋x 2＋…＋x 10)＋a ＝1＋a . 新数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x 10＋a 的方差 s 2＝110 [(x 1＋a －1－a )2＋(x 2＋a －1－a )2＋…＋(x 10＋a －1－a )2]
标准差（Standard Deviation ） ，也称均方差（mean square error ），是各数据偏离平均数的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用S （σ）表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。 标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式如下两式： ()1 n x x S n 1 i 2 i --= ∑= 或 1 n n x x S 2 n 1i i n 1 i 2i -??? ??- =∑∑ == 即： () 1 n x x 1 n n x x S n 1 i 2 i 2 n 1i i n 1 i 2i --= -??? ??- = ∑∑∑ === 如是总体，标准差公式根号内除以n 如是样本，标准差公式根号内除以（n-1) 因为我们大量接触的是样本，所以普遍使用根号内除以（n-1) 公式意义 所有数减去其平均值的平方和，所得结果除以该组数之个数（或个数减一)，再把所得值开根号，所得之数就是这组数据的标准差。 标准差越高,表示实验数据越离散,也就是说越不精确；反之,标准
差越低,代表实验的数据越精确 简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。 例如，两组数的集合{0, 5, 9, 14} 和{5, 6, 8, 9} 其平均值都是7 ，但第二个集合具有较小的标准差。 标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。 标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越细，代表回报较为稳定，风险亦较小。 例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差为17.07分，B组的标准差为2.37分（此数据时在R统计软件中运行获得），说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。
本文以计算样本数据1，2，3，4，5的标准差（方差）为例，加“[]”表示按钮。 第一类：CASIO型 这种机型的特点是计算器上部有“CAISO”字样；双行显示；测试机型详细型号数据为“CAISO fx-82MS 学生用计算器S-V.P.A.M.” 1.开机之后按[MODE]，[2]进入统计模式； 2.依次按[1]，[M+]，[2]，[M+]，……，[4]，[M+]，5，[M+]，输入数据； 3.按[SHIFT]，[2]，[2]，[=]即求出该样本的标准差，需要方差的话只需要将结果平方即可。第二类：KENKO型 这种机型的特点是计算器上部有“KENKO字样；双行显示；测试机型详细型号数据为“KENKO(R) Scientific calculator S-V.P.A.M.” 1.开机之后按[MODE]，[2]进入统计模式； 2.依次按[1]，[M+]，[2]，[M+]，……，[4]，[M+]，5，[M+]，输入数据； 3.按[SHIFT]，[2]，[=]即求出该样本的标准差，需要方差的话只需要将结果平方即可。注：部分此类机型需要在第三步，开头再按一下[1]才可以，即需要系数。 第三类：a·max型 这种机型的特点是计算器上部有“a·max”字样；双行显示；测试机型详细型号数据为“江苏省共创教育发展有限公司总经销a·max（TM）SC-809a” 1.开机之后按[MODE]，[1]进入统计模式； 2.依次按[1]，[M+]，[2]，[M+]，……，[4]，[M+]，5，[M+]，输入数据； 3.按[RCL]，[÷]即求出该样本的标准差，需要方差的话只需要将结果平方即可。 以上为本人的一些心得，希望各位能提出建议和意见
方差与标准差 班级姓名学号 学习目标：1.经历方差与标准差概念的引进和形成过程，知道方差和标准差是表示一组数据波动程度的量； 2.会计算一组数据的方差和标准差； 3.能根据一组数据的方差或标准差来解释数据的波动性，并用于解决简单 的实际问题. 学习重点：通过对一组数据的波动性的分析，引进方差和标准差的概念和计算方法，并初步进行实际应用 学习难点：方差和标准差的计算. 学习范围： 学习过程 一、引入： 1.下列各组数据的平均数、中位数、众数分别为A组:_______;B组:_______. A组: 0, 10, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5; B组: 4, 6, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 1, 9. 2.某食品厂有甲乙两条流水线生产某种100克的袋装食品,在试生产时,从这两条流水线分别随机各抽取5袋食品,称出各袋食品的重量(克)分别是: 甲:100,101,99,101,99; 乙:102,98,101,98,101.由上述提供的信息,你认为哪一条流水线生产的5袋食品的重量比较稳定(即波动较小)? 甲:100,101,99,101,99; 乙:102,98,101,98,101. 甲、乙两条流水线生产的5袋食品重量的平均数分别为:_______________ 由此能不能说这两条流水线生产的5袋食品重量的波动大小一样? 为了直观地看出甲乙两条流水线生产的5袋食品重量的波动大小,用下图表示出来. 从图中可以看出,两组数据都在100附近,但甲的数据波动程度较小,乙的数据波动程度较大.学习要点
二、新知新觉： 如果一组数据:x1,x2,…,xn,它们的平均数为x,那么这n个数与平均数x的差的平方的平均数叫做这n个数的方差,记作S2.即_____________________ 方差的非负平方根叫做标准差,记作S.即____________________________ 方差与标准差反映了一组数据波动的大小,即一组数据偏离平均数的程度.一组数据越接近于它们的平均数,方差与标准差就越小,这时平均数就越具有代表性.只有当一组数据中所有的数都相等时,方差与标准差才可能为零. 方差(标准差)越大,说明数据的波动越大,越不稳定. 分别计算上述问题的方差和标准差， 三、合作探究: 例题1. 某区要从甲乙两名射击运动员中挑选一人参加全市比赛.在选拔赛中,每人进行了5次射击,甲的成绩(环)为: 9.7,10,9.6,9.8,9.9;乙的平均成绩为9.8环,方差为0.032. (1) 甲的射击成绩的平均数和方差分别是多少? (2) 据估计,如果成绩达到9.8环就可能夺得金牌,为了夺得金牌,应选谁参加比赛? 例题2. 100克的鱼和家禽中,可食用部分蛋白质的含量如图所示. (1) 100克的鱼和家禽中,可食用部分的蛋白质含量的平均数各是多少克? (2) 100克鱼和家禽的蛋白质的平均含量中,哪一个更具有代表性?请说说判断的理由.
标准差σ的4种计算公式: 简易标准差,Rbar/d2，Sbar/C4和Minitab中 标准差σ的4种计算公式: 简易标准差,Rbar/d2，Sbar/C4和Minitab中的Pooled standard deviation(合并标准差) 做数据分析，经常会碰到提到标准差σ这个概念，关于标准差σ的计算方式，目前，本人知道有4种标准差σ的计算方法，如下： 一，简易标准差σ的计算方式 上面是计算整体的标准差，如果是计算样本的标准差，这里的N, 应该为N-1. 一般情况下，都是计算样本的标准差。关于这个标准的详细运算公式和案例分析，可以参考附件，里面有比较详细的解释。 标准差的简易计算公式和案例分析.rar(28.19 KB, 下载次数: 1262) 二，XBAR－R管制图分析( X－R Control Chart)图中的Rbar/d2 算法 XBAR－R管制图分析( X－R Control Chart)：由平均数管制图与全距管制图组成。 ●品质数据可以合理分组时，可以使用X管制图分析或管制制程平均；使用Ｒ管制图分析制程变异。 ●工业界最常使用的计量值管制图。
关于上面公式中用到的A2、A3、D2、D3、D4等常数请参考帖子下面的表格三，XBAR－ｓ管制图分析( X－ｓControl Chart)中的Sbar/C4算法 XBAR－S 管制图分析( X－S Control Chart)：由平均数管制图与标准差管制图组成。 ●与X－R管制图相同，惟s管制图检出力较R管制图大，但计算麻烦。 ●一般样本大小ｎ小于等于8可以使用R管制图，ｎ大于8则使用S管制图。 ●有电脑软件辅助时，使用S管制图当然较好。
标准差 次数分布中的数据不仅有集中趋势，而且还有离中趋势。所谓离中趋势指的是数据具有偏离中心位置的趋势，它反映了一组数据本身的离散程度和差异性程度。标准差能综合反映一组数据的离散程度或个别差异程度。 例如，甲、乙两班学生各50人，其语文平均成绩都是80分，但甲班最高成绩98分，最低42分，而乙班最高成绩86分，最低60分。初步看出，两班语文成绩是不一样的，甲班学生的语文成绩个别差异程度大、水平参差不齐；而乙班学生的语文成绩差异程度小，语文水平整齐度大些。怎样用标准差这个特征量数来刻画一组数据的差异程度呢？下面介绍标准差的概念及计算。 一、标准差概念与计算 1.标准差定义与计算公式 一组数据的标准差，指的是这组数据的离差平方和除以数据个数所得商的算术平方根。若用S 代表标准差，则标准差的计算公式为： 标准差的平方，称为方差，用S2表示方差。 计算标准差时，首先要计算数据的平均数，接着要计算各数据与平均数之间的离差 平方，即（）2，最后由公式（2-5）计算标准差S。 例如，4名儿童的身高分别是110厘米，100厘米，120厘米和150厘米，若求4名儿童身高数据的标准差时，其基本步骤如下： ①求平均数：（厘米） ②求离差平方和： )2=(110―120)2+(100―120)2+(120―120)2+(150―120)2 =100+400+0+900=1400（平方厘米） ③求标准差S：S= （厘米）
这样，我们大体可认为，这4名儿童身高差异程度，从平均角度来看，约相差18.71厘米。 2.标准差的计算中心方法 计算标准差的方法有三种，一是按公式逐步分析计算，如上述所示；二是以列表计算的方式；三是利用计算器或计算机进行计算。下面再举一例说明采用列表方式计算标准差S。 [例7] 已知8 位同学在某图形辨认测验中的成绩数据（见表2-2），计算这组数据的标准差。 [分析解答] 采用列表计算方式,应用公式（2-5）确定数据的标准差，详见表2-2。 表2-2 计算标准差S的示例 - () (1) = (2) () = 标准差在实际中有广泛的用途，同时对深化研究数据也具有重要的作用。如不同班级考试成绩的平均数和标准差，不同年度或不同学科测验分数的平均数和标准差，以及其他体能测试或心理测验数据的平均数和标准差，就是一些具体的应用。后续各章内容的学习，将经常用到平均数、标准差和方差这些概念。 由于标准差计算公式结构适合于代数处理，因此，许多具有统计功能的计算器，都有计算方差和标准差的相应功能。学习者只要花少量时间学习与掌握有关计算器的使用，即可以轻松自如地处理大量数据，求取平均数和标准差。 在利用公式（2-5）手工求标准差时,如表2-２所示，由于平均数有小数，这使计算离差平方的数据更加复杂,小数点的位数加倍增加，同时四舍五入的计算误差以及出错的可能性都有所增加。为克服这个弊病，我们可从公式（2-5）出发,通过代数演算，推导出另一个与公式（2-5）等价的新公式，即公式（2-6）。这一新公式对计算标准差来讲，不用通过计 算平均数以及离差平方和，用原始数据直接计算标准差，因而在许多情况下，具有更简便、准确的特点。其计算公式：
xx学校xx学年xx学期xx试卷 姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________ 题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分 得分 一、xx题 评卷人得分 （每空xx 分，共xx分） 试题1: 若一组数据1，2，3，x的极差为6，则x的值是（） A．7 B．8 C．9 D．7或－3 试题2: 小明与小华本学期都参加了5次数学考试（总分均为100分），数学老师想判断这两位同学的数学成绩谁更稳定，在作统计分析时，老师需比较这两人5次数学成绩的（）. A．平均数；B．方差；C．众数；D．中位数. 试题3: 若一组数据1，2，x，3，4的平均数是3，则这组数据的方差是( ) A. 2 B. C. 10 D. 试题4: 刘翔在出征北京奥运会前刻苦进行110米跨栏训练，教练对他20次的训练成绩进行统计分析，判断他的成绩是否稳定，则教练需要知道刘翔这20次成绩的（） A、众数 B、平均数 C、频数 D、方差 试题5: 为了考察甲、乙两班期中考试数学成绩的波动大小，从这两班各抽10人的数学成绩进行比较，算出甲班10人的成绩方差比乙班10人的成绩方差大，由此可估计出 ( ) A.甲班比乙班整齐 B.乙班比甲班整齐 C.甲、乙两班成绩一样整齐 D.无法确定
试题6: 甲、乙、丙、丁四名射手在预选赛中所得的平均环数及其方差s2如下表所示，则选拔一名参赛的人选，应是 ( ) 。 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 试题7: 一组数据的方差是2，将这组数据都扩大3倍，则所得一组新数据的方差是( ) A.2 B.6 C.9 D.18 试题8: 将一组数据中每个数据的值都减去同一个常数，那么下列结论成立的是( ) A.平均数不变 B.方差和标准差都不变 C.方差改变 D.方差不变但标准差改变 试题9: 在“手拉手，献爱心”捐款活动中，某校初三年5个班级的捐款数分别为260、220、240、280、290（单位：元），则这组数据的极差是元. 试题10: 下列数据是从一个总体中抽取的一个样本：101、102、103、99、98、100，求得样本方差为。 试题11: 某运动员在一次射击练习中，打靶的环数为7、9、6、8、10，样本的平均数是；样本的方差是；样本的标准差是。 试题12:
方差 一. 教学目的： 1. 了解方差的定义和计算公式。 2. 理解方差概念的产生和形成的过程。 3. 会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。 二. 重点、难点和难点的突破方法： 1. 重点：方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题。 2. 难点：理解方差公式 三. 例习题的意图分析： 1. 教材P125的讨论问题的意图： （1）.创设问题情境，引起学生的学习兴趣和好奇心。 （2）.为引入方差概念和方差计算公式作铺垫。 （3）.介绍了一种比较直观的衡量数据波动大小的方法——画折线法。（4）.客观上反映了在解决某些实际问题时，求平均数或求极差等方法的局限性，使学生体会到学习方差的意义和目的。 2. 教材P154例1的设计意图： （1）.例1放在方差计算公式和利用方差衡量数据波动大小的规律之后，不言而喻其主要目的是及时复习，巩固对方差公式的掌握。（2）.例1的解题步骤也为学生做了一个示范，学生以后可以模仿例1的格式解决其他类似的实际问题。 四.课堂引入： 除采用教材中的引例外，可以选择一些更时代气息、更有现实意
义的引例。例如，通过学生观看2004年奥运会刘翔勇夺110米栏冠军的录像，进而引导教练员根据平时比赛成绩选择参赛队员这样的实际问题上，这样引入自然而又真实，学生也更感兴趣一些。 五. 例题的分析： 教材P154例1在分析过程中应抓住以下几点： 1.题目中“整齐”的含义是什么？说明在这个问题中要研究一组数 据的什么？学生通过思考可以回答出整齐即波动小，所以要研究两组数据波动大小，这一环节是明确题意。 2.在求方差之前先要求哪个统计量，为什么？学生也可以得出先求 平均数，因为公式中需要平均值，这个问题可以使学生明确利用方差计算步骤。 3.方差怎样去体现波动大小？ 这一问题的提出主要复习巩固方差，反映数据波动大小的规律。 六. 随堂练习： 1. 从甲、乙两种农作物中各抽取1株苗，分别测得它的苗高如下：（单位：cm） 甲：9、10、11、12、7、13、10、8、12、8； 乙：8、13、12、11、10、12、7、7、9、11； 问：（1）哪种农作物的苗长的比较高？ （2）哪种农作物的苗长得比较整齐？ 2. 段巍和金志强两人参加体育项目训练，近期的5次测试成绩如下表所示，谁的成绩比较稳定？为什么？
九年级数学方差与标 准差 Revised on November 25, 2020
方差与标准差 班级姓名学号 学习目标： 1、了解方差的定义和计算公式。 2.理解方差概念的产生和形成的过程。 3.会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。 4.经历探索极差、方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法时以及区别，积累统计经验。 学习重点 掌握方差与标准差的概念及计算公式，会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。 学习难点 探索极差、方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法时以及区别，积累统计经验。 教学过程 一、情境引入: 1.世乒赛派谁去你有什么办法 厂：，，，，，(单位：mm) ，，，，； B厂：，，，，， ，，，，。 怎么描述这些数据相对于它门的平均数的离散程度呢 二、知识点 在一组数据中x1,x2…xn，个数据与它们的平均数分别是(x1－x)2,(x2－x)2…,(x n－x)2
我们用它们的平均数，即用S 2=[(x 1－x)2＋(x 2－x)2＋…＋(x n －x)2] 来描述这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差。 在有些情况下，需要用方差的算术平方根，即 来描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。 注意：一般来说，一组数据的方差或标准差越小，这组数据离散程度越小，这组数据越稳定。 三、试一试 1、一组数据：2-，1-，0，x ，1的平均数是0，则x =.方差=2S . 2、如果样本方差 [] 242322212)2()2()2()2(4 1-+-+-+-=x x x x S ， 那么这个样本的平均数为.样本容量为. 3、已知321,,x x x 的平均数=x 10，方差=2S 3，则3212,2,2x x x 的平均数为，方差为. 4、样本方差的作用是（） A 、估计总体的平均水平 B 、表示样本的平均水平 C 、表示总体的波动大小 D 、表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小 四、例题：1.甲、乙两台机床生产同种零件，10天出的次品分别是 甲：0、1、0、2、2、0、3、1、2、4 乙：2、3、1、2、0、2、1、1、2、1 分别计算出两个样本的平均数和方差，根据你的计算判断哪台机床的性能较好 思维点拨：方差是描述一组数据波动大小的特征数，可通过比较其大小判断波动的大小，方差越小越稳定，说明机床的性能较好。 2.已知，一组数据x 1,x 2,……，x n 的平均数是10，方差是2， ①数据x 1+3,x 2+3,……，x n +3的平均数是方差是， ②数据2x 1,2x 2,……，2x n 的平均数是方差是， ③数据2x 1+3,2x 2+3,……，2x n +3的平均数是方差是， 思维点拨：本题可通过相关计算公式进行实际计算，得出相应的结果。
标准差σ的4种计算公式
标准差σ的4种计算公式: 简易标准差,Rbar/d2，Sbar/C4和Minitab中标准差σ的4种计算公式: 简易标准差,Rbar/d2，Sbar/C4和Minitab中的Pooled standard deviation(合并标准差) 做数据分析，经常会碰到提到标准差σ这个概念，关于标准差σ的计算方式，目前，本人知道有4种标准差σ的计算方法，如下： 一，简易标准差σ的计算方式 上面是计算整体的标准差，如果是计算样本的标准差，这里的N, 应该为N-1. 一般情况下，都是计算样本的标准差。关于这个
关于上面公式中用到的A2、A3、D2、D3、D4等常数请参考https://www.doczj.com/doc/4311030528.html,/thread-476-1-1.html帖子下面的表格 三，XBAR－ｓ管制图分析( X－ｓControl Chart)中的Sbar/C4算法 XBAR－S 管制图分析( X－S Control Chart)：由平均数管制图与标准差管制图组成。
●与X－R管制图相同，惟s管制图检出力较R 管制图大，但计算麻烦。 ●一般样本大小ｎ小于等于8可以使用R管制图，ｎ大于8则使用S管制图。 ●有电脑软件辅助时，使用S管制图当然较好。 关于上面公式中用到的A2、A3、D2、D3、D4等常数请参考https://www.doczj.com/doc/4311030528.html,/thread-476-1-1.html帖子下面的表格 四，Minitab中所使用的Pooled standard
deviation(合并标准差) Minitab中所使用的Pooled standard deviation，这个标准差的计算和一般的不一样，这个是Minitab默认的，相关的计算公式可以参考《Minitab: Pooled standard deviation》https://www.doczj.com/doc/4311030528.html,/thread-288-1-1.html Minitab: Pooled standard deviation(合并标准差), Rbar, Sbar Pooled standard deviation(合并标准差) is a way to find a better estimate of the true standard deviation given several different samples taken in different circumstances where the mean may vary between samples but the true standard deviation (precision) is assumed to remain the same. It is calculated by where sp is the pooled standard deviation,
10.4 《用科学计算器计算方差和标准差》导学案2013.4.17 初二数学组 【学习目标】： 1、会用科学计算器求一组数据的平均数，方差和标准差。 2、养成耐心、细致的学习态度和实事求是的科学精神。 【重点、难点】： 会用科学计算器求一组数据的平均数，方差和标准差。 【教学过程】： 一、情境导入： 1、课前预习：预习课本P105—P107页，完成下列填空。（要求必须熟悉计算器操作程序） （1）按键，打开计算器。 （2）按键，，进入统计状态，计算器显示“SD”符号。（3）按键，，=，清除计算器中原有寄存的数据。（4）输入统计数据，按键顺序为：第一数据；第二数据为，……最后一个数据。 （5）按键，，=，计算器显示出输入的所有统计数据的平均数。 （6）按键，，=，计算器显示出输入的所有统计数据的标准差。 （7）按键=计算器显示出输入的所有统计数据的方差。 （8）若又准备保留数据，可按键，，结束求方差运算。二、新课探究： (一)自主学习： （1）小组合作完成例1 （2）已知：甲、乙两组数据分别为： 甲：1，2，3，4，5，6， 乙：2，3，4，5，6，7， 计算这两组数据的方差 （二）、达标测试：
（1）一组数据2，3，2，3，5的方差是（ ） A 、6 B 、3 C 、1.2 D 、2 （2）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人射击成绩的平均数都是9.2环，方差分别为S 2甲=0.56，S 2乙=0.60，S 2丙=0.50，S 2丁=0.45，则成绩最稳定的是（ ） A 、甲 B 、乙 C 、丙 D 、丁 （3）有一组数据如下：3，a ，4，6，7，它们的平均数是5，那么这组数据的方差是（ ） A 、10 B 、√10 C 、2 D 、√2 四、课外延伸： 甲组：76，90，84，86，81，87，86，82，88，85 乙组：82，84，85，89，79，91，80，89，74，79 回答： （1）甲组数据众数是 ，乙组数据中位数是 。 （2）若甲组数据的平均数为X ，乙组数据的平均数为 Y ，则X 与Y 的大小关系是 。 （3）经计算可知：S 2甲=14.45，S 2乙=26.36，S 2甲＜S 2乙，这表明 。 （用简要文字语言表达） 三、课堂小结： 这堂课你学会了什么？有什么疑惑？ 四、布置作业： 必做题：习题10.4 A 组1、2题 选做题： B 组1题 反思：
（新课标）华东师大版八年级下册 第二十章第三节20.3.1方差同步练习 一、选择题 1．数据7，9，10，11，13的方差是() A. 2 B．2 C．3 D．4 2．如果一组数据x1，x2，…，x n的方差为4，则另一组数据x1＋3，x2＋3，…，x n＋3的方差是() A．4 B．7 C．8 D．19 3．某村引进甲、乙两种水稻品种，各选6块条件相同的实验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为550 kg/亩，方差分别为S甲2＝141.7，S乙2＝433.3，则产量稳定，适合推广的品种为 ( ) A．甲、乙均可 B．甲 C．乙 D．无法确定 4．两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们的成绩的( ) A．众数 B．中位数 C．方差 D．以上都不对 5、在社会实践活动中，某同学对甲、乙、丙、丁四个城市一至五月份的 白菜价格进行调查．四个城市5个月白菜的平均值均为3.50元，方差分别为S甲2＝18.3，S乙2＝17.4，S丙2＝20.1，S丁2＝12.5．一至五月份白菜价格最稳定的城市是（） A、甲 B、乙 C、丙 D、丁
6、一次数学测试，某小组五名同学的成绩如下表所示（有两个数据被遮盖）． 组员甲乙丙丁戊方差平均成绩 得分81 79 ■80 82 ■80 那么被遮盖的两个数据依次是（） A．80，2B．80，C．78，2D．78， 7、下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则下 列说法正确的是（） A、甲比乙的成绩稳定 B、乙比甲的成绩稳定 C、甲、乙两人的成绩一样稳定 D、无法确定谁的成绩更稳定 8．某学习小组5位同学参加初中毕业生实验操作考试（满分20分）的平均成绩是16分．其中三位男生的方差为6（分2），两位女生的成绩分别为17分，15分．则这个学习小组5位同学考试分数的标准差为（）A．B．2C．D．6 9．已知样本x1，x2，…，x n的方差是2，则样本3x1＋5，3x2＋5，…，3x n ＋5的方差是( )
方差和标准差——知识讲解 责编：杜少波 【学习目标】 1. 了解方差和标准差的概念，会计算简单数据的方差，体会它们刻画数据离散程度的意义； 2. 知道可以通过样本的方差来推断总体的方差.能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测； 3. 能综合运用统计知识解决一些简单的实际问题. 【要点梳理】 要点一、方差和标准差 1.方差 在一组数据12,,n x x x …，中，设它们的平均数是x ，各数据与平均数的差的平方的平均数()[] 222212 )(...)(1 x x x x x x n S n -++-+-= 叫做这组数据的方差. 方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定. 要点诠释： （1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况. 方差越大，稳定性越差；反之，则稳定性越好． （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的k 倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的2 k 倍. 2.标准差 一般地，一组数据的方差的算术平方根 称为这组数据的标准差. 要点诠释： （1）标准差的数量单位与原数据一致. （2）一组数据的方差或标准差越小，这组数据的离散程度越小，这组数据就越稳定. 要点二、方差和标准差的联系与区别 联系：方差和标准差都是用来衡量一组数据偏离平均数的大小（即波动大小）的指标，常用来比较两组数据的波动情况. 区别：方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标. 在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小. 方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同. 【典型例题】 类型一、方差和标准差 1. 一组数据－2，－1，0，1，2的方差是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
第8课时 方差与标准差 【学习目标】 1．通过实例是学生理解样本数据的方差、标准差的意义和作用； 2．学会计算数据的方差、标准差； 3．使学生掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想． 【问题情境】 有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个标本（如表）检查它们的抗拉强度（单位： 2/mm kg ），通过 计算发现，两个样本的平均数均为125． 甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145 哪种钢筋的质量较好？ 【合作探究】 将甲、乙两个样本数据分别标在数轴上，如下图所示． 由图可以看出，乙样本的最小值 ，低于甲样本的最小值 ，最大值 高于甲样本的最大值 ，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定． 我们把一组数据的 称为极差（range ）．由图可以看出，乙的极差较大，数据点较分散；甲的极差小，数据点较集中，这说明甲比乙稳定．运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论．那又该如何刻画抗拉强度的稳定性呢？ 【知识建构】 1．设一组样本数据12,,,n x x x L ，其平均数为x ，
则方差2s ＝___________________________________________=________________； 标准差s ＝____________________________________________=________________． 2．方差和标准差的意义：描述样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大． 【展示点拨】 例1．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量（单位：2 /hm t ）如下，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定． 例2．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差． 例3．⑴若样本x 1，x 2，……，x n 的平均数为10，方差为2，则样本x 1+2，x 2+2，……，
方差和标准差教案 八年级数学教案 教学目标（含重点、难点）及 设置依据1、知识目标：了解方差、标准差的概念. 2、能力目标：会求一组数据的方差、标准差，并会用他们表示数据的离散程度． 能用样本的方差来估计总体的方差。 3、情感目标：通过实际情景，提出问题，并寻求解决问题的方法，培养学生应用数学的意识和能力． 教学重点：本节教学的重点是方差的概念和计算。. 教学难点：方差如何表示数据的离散程度，学生不容易理解，是本节教学的难点. 教学准备 教学过程 内容与环节预设个人二度备课 一、创设情景，提出问题
甲、乙两名射击手的测试成绩统计如下表： 第一次第二次第三次第四次第五次 甲命中环数7 8 8 8 9 乙命中环数10 6 10 6 8 ①请分别算出甲、乙两名射击手的平均成绩； ②请根据这两名射击手的成绩在图中画出折线图； ③ 现要挑选一名射击手参加比赛，若你是教练，你认为挑选哪一位比较适宜？为什么？（各小组讨论） 二、合作交流，感知问题 请根据统计图，思考问题： ①、甲、乙两名射击手他们每次射击成绩与他们的平均成绩比较，哪一个偏离程度较低？（甲射击成绩与平均成绩的偏差的和：(7－8)＋(8－8)＋(8－8)＋(8－8)＋(9－8) ＝0；乙射击成绩与平均成绩的偏差的和：(10－8)＋(6－8)＋(10－8)＋(6－8)＋(8－8) ＝0） ②、射击成绩偏离平均数的程度与数据的离散程度与折线的波动情况有怎样的联系？（甲射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：(7－8)2＋(8－8) 2＋(8－8) 2＋(8－8) 2＋(9－8) 2＝2；乙射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：(10－8) 2＋(6－8) 2＋(10－8) 2＋(6－8) 2＋(8－8) 2 ＝16）
标准差和标准偏差 1）首先给出计算公式 标准差：σ=（1） 标准偏差：s =（2）方差就是标准偏差的平方 这下大家就困惑了，这两个公式分别表示什么意义？他们分别在什么情况下用？这两个公式是怎么来的？ 2）公式由来 标准差又叫均方差、标准方差，这个大家都不陌生，它是各数据偏离平均数的距离的平均数，是距离均差平方和平均后的方根，用σ表示。。说白了就是表示数据分本离散度的一个值。计算公式也很好理解，从一开始接触我们用的看的都是这个公式。 那么第二个公式，怎么来的呢？其实标准偏差从样本估计中来的。比如我们有一批数据，共10000个点，他们服从正太分布，很容易计算出它的均值和标准差。在这里我们叫做样本均值和样本标准差。表示如下： 样本均值：1 1n i i X X n ==∑ 样本方差：2211()n n i i s X X n ==-∑ 这两个公式就是大家常用的公式。那么现在我们认为，我们想用采集到的这10000个样本估计数据的真实分布，想要求出其均值μ和方差2σ。 对于均值μ，我们容易通过期望获得：
但是对于方差，我们知道 2 1 2 () n i i X X σ = - ∑ 是服从卡分分布2 1 n χ - 的（这一点请查阅卡分分布的 定义）。因此有下面的公式： 这个公式的第一个等号后面是利用期望的性质，试图构造卡分分布来求解。第二个等号后面是利用卡分分布的均值计算出来的。请自行查阅卡方分布的定义和性质。 这么一来，我们就能看出，X是μ的无偏估计，而2 n s则不是2σ的无偏估计。但是我们 可以通过对样本方差进行重新构造，从而是2 n s就是2σ的无偏估计。我们定义：这样我们重新来求解方差的期望： 这样一来，2s就是2σ的无偏估计，这也就是这个公式的由来。 3）这两个公式的应用。 在实际中，公式（2）用的更多。因为当样本容量比较小的时候，公式（1）会过小的估计实际标准差；如果样本容量较大，公式（1）和公式（2）很接近。这时候公式（1）叫做渐近无偏估计，当然还是比不上公式（2）的无偏估计喽。 看了上面这段话，你可能还不知道该用哪个。其实是这样的：如果我们想求一批数据的标准差，那么自然就用公式（1）。如果我们是利用现在的样本估计真实的分布，那么就用公式（2）。 4）在EXCEL中，方差是VAR(),标准偏差是STDEV()，函数里解释是基于样本，分母是除的N-1，其实就是公式（2）。还有个VARP()和STDEVP(),基于样本总体，分母是N，也就是说你关注的就是这批数据。 在Excel透视表中 标准偏差为=STDEVA()
初二数学知识点归纳：方差 初二数学知识点归纳：方差 方差的计算、知识点归纳 方差在考试中考察不是很难，记住基本公式往里带就能解答正确，但是方差的概念让不少同学为此很是头痛。那方差到底是什么，怎样计算呢，下面小编就为大家整理一些题型和解题方法技巧。 一、概念和公式 方差的概念与计算公式，例1 两人的次测验成绩如下：X：0，100，100，60，0 E(X)=72;：73，70，7，72，70 E()=72。平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D(X)：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：这里是一个数。推导另一种计算公式得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。其中，分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差，方差描述波动程度。 基本定义：设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]2}存在，则称E{[X-E(X)]2}为X的方差，记为D(X),Var(X)或DX。即D(X)=E{[X-E(X)]2}称为方差，而σ(X)=D(X)0(与X有相同的量纲)称
为标准差(或均方差)。即用衡量一组数据的离散程度的统计量。方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。(标准差、方差越大，离散程度越大。否则，反之)若X的取值比较集中，则方差D(X)较小,若X的取值比较分散，则方差D(X)较大。因此，D(X)是刻画X 取值分散程度的一个量，它是衡量取值分散程度的一个尺度。 当数据分布比较分散(即数据在平均数附近波动较大)时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大;当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。因此方差越大，数据的波动越大;方差越小，数据的波动就越小 二、计算方法和原理 若x1,x2,x3xn的平均数为则方差方差公式方差公式例1 两人的次测验成绩如下： X：0，100，100，60，0 E(X )=72; ：73，70，7，72，70 E( )=72。 平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。 单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D(X )： 直接计算公式分离散型和连续型，具体为：这里是一个数。推导另一种计算公式 得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。