③限时作业 数列的综合应用

课后限时作业（二十九）

A 级

（时间：40分钟 满分：90分）

一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）

1.数列{a n }中，a 1=-60,a n+1=a n +3,则数列{a n }的前30项的绝对值之和为 （ ） A.120 B.495 C.765 D.3 105

解析：由已知易得a n =3n-63.S 30=|a 1|+|a 2|+…+|a 30|=60+57+…+3+0+3+6+27=

603

2

+×20+ 327

2

+×9=765. 答案:C

2. 在△ABC 中，A 、B 、C 成等差，且a,b,c 也成等差，又ac=6，则b 的值是 ( )

解析：由已知得B=60°，2b=a+c,根据余弦定理b 2

=c 2

+a 2

-2cacos 60°,又ac=6,

所以b 2

=（a+c ）2

-18,b 2

故选D. 答案：D

3.数列{a n }中，a n =

1

(1)

n n +，若{a n }的前n 项和为20102011,则项数n 为 （ ）

A.2 008

B.2 009

C.2 010

D.2 011 解析：S n =a 1+a 2+…+a n =1-

11n +,所以1-11n += 20102011

,所以n=2 010.

答案:C

4. 在如图所示的表格里填上数字，使每一行的数字成等差数列，每一列的数字成等比数列，则a+b 的值为 ( )

A.

32

B.

2

C.

2

D.

4

【解析】由题意得第一行第二列的数字为4，从而有a=1；第二行第三列的数字为3，从而有b=

34，所以a+b=74

. 答案:D

5.（2013届·合肥第一次质检）数列111

1,

,,12123123n

+++++++…，…的前n 项和n S 等

于 （ ） A.

311n n -+ B.21n n + C.31n n + D.43

n

n + 解析：211

2()(1)1

n a n n n n =

=-++,

所以1111111122(1)2(1).2231111

n n

S n n n n n n =-+-++-+-=-=-+++… 答案：B

6.计算机是将信息转换成二进制数进行处理的.二进制即“逢二进一”，如（1101）2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1×23

+1×22

+0×21

+1×20

=13，那么将二进制数（()2161

11111

个转换成十进制形式是 ( )

A.217

-2

B.216

-2

C.216

-1

D. 215

-1

【解析】（()2161

11111

个=1×215

+1×214

+…+1×21

+1×20

=216

-1.

答案:C

二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 7.数列{(-1)n

·n}的前2 011项的和S 2 011= .

解析：S 2 011=(-1)·1+（-1）2

·2+（-1）3

·3+（-1）4

·4+…+（-1）

2 009

·2 009+

（-1）

2 010

·2 010+（-1）

2 01 1

×2 011=

1

2

·2 010-2 011=-1 006. 答案:-1 006

8.已知数列{a n }的前n 项和为S n 且a n =n ·2n

,则S n = . 解析：S n =1·2+2·22

+3·23

+…+n ·2n

,① 2S n =22

+2·23

+3·24

+…+(n-1)·2n

+n ·2

n+1

,②

由①-②得-S n = 2n （1-2）1-2

-n ·2n+1

,

所以S n =n ·2n+1

-2

n+1

+2.

答案:n ·2

n+1

-2

n+1

+2

9.（2013届·龙岩模拟）数列{a n }满足递推式a n =3a n-1+3n

-1(n ≥2)，又a 1=5，则使得3n n

a λ+??

????

为等差数列的实数λ= . 【解析】易求

a 1=5,a 2=23,a 3=95,则

52395,,3927

λλλ

+++成等差数列，235952,9327λλλ+++?

=+，解得λ=1

2-. 答案:1

2-

10. 定义运算符号:“Π”表示若干个数相乘，如：1×2×3×…×n=

1

n

i i =∏（n ∈N*）.记

1

n

n i i T a ==∏,其中a i 为数列{a n }（n ∈N*）中的第i 项.

（1）若a n =2n-1,则T 4= ;

（2）若T n =n 2

（n ∈N*），则a n = . 解析：（1）T 4=a 1a 2a 3a 4=1×3×5×7=105.

（2）T n =a 1a 2…a n =n 2

, ① 当n ≥2时,T n-1=a 1a 2…a n-1=2(1)n -. ② 由①÷②得, 2

(

)1

n n a n =- 当n=1时，a 1=T 1=1.综上，21,1;(), 2.1n n a n n n =??

=?≥?-?

答案：（1）105（2）21,1;(),21

n n a n n n =??

=?≥?-?

三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）

11.据统计测量，某养鱼场第一年鱼的总重量增长率为200%,以后每年的增长率为前一年的一半.

（1）饲养5年后，鱼的总重量预计是原来的多少倍？

（2）如因死亡等原因，每年约损失预计重量的10%，那么，经过几年后，鱼的总重量开始下降？

解：(1)设原来的产量为a,因为q=200%=2, 所以a 5=a(1+2)(1+1)23111405

11122232

a ??????+++= ???????????. 所以

540532

a a =.

(2)因为a n =a n-1(1+

1

22n -),

由题意知实际重量a n =a n-1(1+

1

22n -)·

910

. 设第n 年底鱼的总重量开始减少，

所以18≤2n

≤36,n ∈N*,所以n=5. 所以经过5年后，鱼的总重量开始减少. 12. 已知曲线2log (1)

()1

x f x x +=

+（x ＞0）上有一点列(,)n n n P x y （n ∈N*）

，点Pn 在x 轴上的射影是(,0)n n Q x ，且121n n x x -=+（n ∈N*），1x =1. （1）求数列{n x }的通项公式；

（2）设四边形11n n n n P Q Q P ++的面积是n S ，求证：

12111

... 4.2n

S S nS +++< （1）解：由121n n x x -=+（n ∈N*）得112(1)n n x x -+=+. 因为1x =1,所以n x +1≠0,故{n x +1}是公比为2的等比数列. 则n x +1=（1x +1）·2

n-1

,所以n x =2n

-1（n ∈N*）.

（2）证明：因为2log (211)(),2112

n n n n n n y f x -+==

=-+ 所以|1n n Q Q +|=1

(2

1)(21)2,n n n +--=而|n n P Q |=

2n

n

, 所以四边形11n n n n P Q Q P ++的面积为:

n S =12（|11n n P Q ++|+|n n P Q |）

·|1n n Q Q +|11131()2.2224

n

n n n n n +++=+?= 所以

1412111111

12()12()4(),(31)3(31)3313331

n nS n n n n n n n n n n ===-<-=-+++++ 故

121111...4(1) 4.21

n S S nS n +++<-<+

B 级

1.已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 1=2，若数列{1+a n }也是等比数列，则S n 等于（ ） A.2n B.3n C.2

n+1

-2 D.3n

-1

解析：由题意得（2q+1)2

=3(2q 2

+1),解得q=1,所以a n =2,S n =2n. 答案:A

2. 已知数列{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，其公比q ≠1,且b i >0(i=1,2,…,n),若a 1=b 1,a 11=b 11，则

( )

A.a 6>b 6

B.a 6=b 6

C.a 6

D.a 6>b 6或a 6

【解析】a 6=

111

2

a a +，

b 6=因为q ≠1，且b i >0,所以a 1≠a 11,且a 1>0,a 11>0,所以a 6>b 6,故选A. 答案:A

3.已知a,b,c 成等比数列，m 是a,b 的等差中项，n 是b,c 的等差中项，则a c

m n

+= . 解析：取特值a=b=c=1，易求得a c

m n

+=2. 答案:2

4.对正整数n,设曲线y=x n

(1-x)在x=2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ,则数列1

n

a n +的前n 项和S n = . 解析：y ′=nx

n-1

-(n+1)x n

,

切线方程为y+2n

=n ·2

n-1

-(n+1)·2n

(x-2),

令x=0,得a n =-2n

-n ·2n

+(n+1)·2n+1

=(n+1)·2n

.

令b n =

1

n a n +=2n

, S n =b 1+b 2+…+b n =2+22

+ (2)

=2n+1

-2.

答案:2

n+1

-2

5.数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *）,点（a n ,S n )在直线y=2x-3n 上.

（1）若数列{a n +c}成等比数列，求常数c 的值； （2）求数列{a n }的通项公式；

（3）数列{a n }中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由.

解：（1）由题意知S n =2a n -3n,S n+1=2a n+1-3(n+1), 得a n+1=2a n +3,所以

13

3

n n a a +++=2,所以c=3.

（2）因为a 1=S 1=2a 1-3,所以a 1=3. 由（1）知：a n +3=(a 1+3)·2n-1

,

所以a n =3×2n

-3(n ∈N*）.

（3）设存在s,p,r ∈N*,且s

即2(3·2p

-3)=(3·2s

-3)+(3·2r

-3). 所以2

p+1

=2s +2r ,所以2

p-s+1

=1+2

r-s

, ①

因为s 、p 、r ∈N*,且s

p-s+1

、2

r-s

为偶数,1+2

r-s

为奇数，①式产生矛盾.

所以这样的三项不存在.

6. 已知数列{a n },{b n }满足: 112

,4,(1)(321)3

n n n n n a a a n b a n λ+==

+-=--+,S n 是数列{b n }的前n 项和.

（1）对于任意实数λ,证明数列{a n }不是等比数列;

（2）对于给定的实数λ,求数列{b n }的通项，并求出S n ;

（3）设0＜a ＜b,是否存在实数λ,使得对任意正整数n,都有a ＜S n ＜b?若存在，求λ的取值范围，若不存在，说明理由.

（1）证明：假设存在一个实数λ,使{a n }是等比数列，则有2

213,a a a =

即2

222444

(3)(4)494903

999

λλλλλλλ-=-?-+=-?=矛盾. 所以{a n }不是等比数列. （2）解:因为1

11(1)

[3(1)21]n n n b a n +++=--++

1222

(1)(214)(1)(321),333

n n n n n a n a n b +=--+=--?-+=-

当λ≠-18时，b 1=(18)λ--≠0,由上可得b n ≠0,所以

12

3

n n b b +=-（n ∈N*）. 故当λ≠-18时，数列{n b }是以(18)λ--为首项，2

3

-

为公比的等比数列, 12(18)()3n n b λ-=---,32(18)(1())53

n n S λ=-+--.

当λ=-18时，n b =0, n S =0.

（3）由（2）知,当λ=-18时，n b =0, n S =0，不满足题目要求.所以λ≠-18. 要使a ＜n S ＜b 对任意正整数n 成立， 即3

2(18)[1()]53

n

a b λ<-+--<（n ∈N*）,

得

3(18)2251()1()33

n n a

b

λ<-+<

----. ① 令2()1()3

n

f n =--,则

当n 为正奇数时，51()3f n <≤;当n 为正偶数时，5

() 1.9f n ≤<

所以f （n ）的最大值为5(1)3f =,f （n ）的最小值为f （2）=5

9

,

于是，由①式得933

(18),555

a b λ<-+<

所以-b-18＜λ＜-3a-18.

当a ＜b ≤3a 时，由-b-18≥-3a-18,不存在实数满足题目要求;

当b ＞3a 时，存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a ＜n S ＜b,且λ的取值范围是（-b-18,-3a-18）.

2012届高三数学一轮复习 5.5 数列的综合应用课时训练解析 新人教A版

第五章 第五节 数列的综合应用 (时间60分钟，满分80分) 一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分) 1．(2011·济南模拟)已知数列{a n }是首项为a 1＝4的等比数列，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，则其公比q 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1 D. 2 解析：依题意有2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1q 4 ＝4a 1－2a 1q 2 ，整理得q 4 ＋q 2 －2＝0，解得q 2 ＝1(q 2 ＝－2舍去)，所以q ＝1或－1. 答案：C 2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 4＝36，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N * )的直线的一个方向向量的坐标可以是( ) A ．(－1 2，－2) B ．(－1，－1) C ．(－1 2 ，－1) D ．(2，1 2 ) 解析：设数列{a n }的公差为d ，则有????? 2a 1 ＋2×12 d ＝104a 1 ＋4×3 2 d ＝36，解得d ＝4，于是直线PQ 的 斜率k ＝ a n ＋2－a n n ＋2－n ＝d ＝4，故直线的一个方向向量的坐标可以是(－1 2 ，－2)． 答案：A 3．(2011·福州模拟)等差数列中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是( ) A ．156 B ．52 C ．26 D ．13 解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 10＋a 13＝3a 10， ∴6(a 4＋a 10)＝24，a 4＋a 10＝4， ∴S 13＝13a 1＋a 13 2＝13a 4＋a 102 ＝26. 答案：C 4．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2 －b n x ＋2n 的两个零点，则 b 10等于( ) A ．24 B ．32

5-5第五节 数列的综合应用练习题(2015年高考总复习)

第五节 数列的综合应用 时间：45分钟 分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，1 2a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4 的值为( ) A.5－12 B.5＋12 C.1－52 D.5－12或5＋12 解析 设{a n }的公比为q (q ＞0)，由a 3＝a 2＋a 1，得q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52.而a 4＋a 5a 3＋a 4 ＝q ＝1＋5 2. 答案 B 2．据科学计算，运载“神舟”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( ) A ．10秒钟 B ．13秒钟 C ．15秒钟 D ．20秒钟 解析 设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…a n 则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求和公式有na 1＋n (n －1)d 2＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得n ＝15. 答案 C 3．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列???? ?? 1f (n )(n

∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n 解析 由f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1得m ＝2，a ＝1. ∴f (x )＝x 2 ＋x ，则1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 . ∴S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1 n ＋1 ＝1－ 1n ＋1＝n n ＋1 . 答案 A 4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1 n ＋2(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ( ) A ．有最小值63 B ．有最大值63 C ．有最小值31 D ．有最大值31 解析 ∵a n ＝log 2n ＋1 n ＋2 ＝log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝log 22－log 23＋log 23－log 24＋…＋log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)＝1－log 2(n ＋2)． 由S n <－5，得log 2(n ＋2)>6， 即n ＋2>64，∴n >62，∴n 有最小值63. 答案 A 5．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2 －b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于( ) A ．24 B ．32

2019版一轮优化探究理数练习：第六章第五节数列的综合应用含解析

一、填空题 1．设等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1＝4d ，若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k 的值为________．解析：由条件知a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4d ＋(n －1)d ＝(n ＋3)d ，即a n ＝(n ＋3)d (n ∈N *)．又a 2k ＝a 1·a 2k ，所以(k ＋3)2d 2＝4d ·(2k ＋3)d ，且d ≠0，所以(k ＋3)2＝4(2k ＋3)，即k 2－2k －3＝0，解得k ＝3或k ＝－1(舍去)． 答案：3 2．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线 连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12 n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________． 解析：由已知可得第n 年的产量a n ＝f (n )－f (n －1)＝3n 2；当n ＝1时也适合．据题意令a n ≥150?n ≥52，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年． 答案：7 3．等差数列中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是________． 解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 10＋a 13＝3a 10， ∴6(a 4＋a 10)＝24，a 4＋a 10＝4， ∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2 ＝26.答案：26 4．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于________． 解析：依题意有a n a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n ＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2×24＝32，a 11＝1×25＝32，又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64. 答案：64 5．有限数列A ：a 1，a 2，…，a n ，S n 为其前n 项和，定义S 1＋S 2＋…＋S n n 为A 的“凯森和”，若有99项的数列a 1，a 2，…，a 99的“凯森和”为1000，则有100项的数列1，a 1，a 2，…，a 99的“凯森和”为________． 解析：设a 1，a 2，…，a 99的“凯森和”为

2021年高考数学 第五节 数列的综合应用教材

2021年高考数学第五节数列的综合应用教材 考点串串讲 1．用数学模型解题的基本模式 (1)日常生活中涉及到的利息、产量、繁殖等与增长率有关的实际问题，以及经济活动中的分期付款、期货贸易等问题均可转化为相应的数列问题，利用数列的有关知识去解决． (2)建立数学模型的一般步骤 ①认真审题，准确理解题意，明确问题属于哪类应用问题，弄清题目的已知事项，明确题目所求的结论； ②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达出来； ③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学表达式．2．常见的数列模型 (1)等差数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等差数列，利用等差数列有关知识解决问题． (2)等比数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等比数列，利用等比数列有关知识解决问题．

(3)递推数列模型：通过读题分析，由题意把所给条件用数列递推关系式表达出来，然后通过分析递推关系式求解． 注意 ①认真阅读题干，明确所给条件是组成等差数列、等比数列还是一个递推关系式，确定出相应的数列模型． ②如果是等差数列、等比数列，应明确a1，an ，n ，d ，q ，Sn 这些基本量，已知哪几个，要求哪几个；如果是递推关系式，应明确关系式是关于Sn 的还是an 的，又或者是二者综合的，然后再确定要求解的量． 3．数列与其他知识的综合 (1)数列与函数、不等式的综合主要是由函数解析式得到数列递推关系式，或利用函数的单调性证明数列中的不等关系． (2)数列与解析几何的综合主要是利用曲线上点的坐标满足曲线的方程，利用解析几何的有关知识，如中点坐标公式，弦长公式等建立递推关系式，然后用数列知识求解． 注意 ①数列与其他知识的综合，关键是根据题中条件，结合相关知识的概念与公式，列出递推关系式． ②数列与其他知识的综合是近几年高考命题的热点，除了传统的数列与函数、不等式的综合外，数列与解析几何、三角函数、程序框图等的综合也经常出现，对此需要引起注意. 典 例 对 对 碰 题型一等差数列模型 例1如图，在一直线上共插有13面小旗，相邻两面间距离为10m ，在第一面小旗处某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？ 分析 本题求走的总路程最短，是一个数列求和问题，而如何求和是关键，应先画一草图，研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程，然后求和． 解析 设将旗集中到第x 面小旗处，则从第一面旗到第x 面旗处，共走路程为10(x －1)，然后回到第二面处再到第x 面处是20(x －2)，……，从第x 面处到第(x ＋1)面处的路程为20，从第x 面处到第(x ＋2)面取旗再到第x 面处，路程为20×2，…… 总的路程为 S ＝10(x －1)＋20(x －2)＋20(x －3)＋…＋20×2＋20×1＋20＋20×2＋…＋20×(13－x) ＝10(x －1)＋20×x －1x －22＋20×13－x 14－x 2 ＝10[(x －1)＋(x －2)(x －1)＋(13－x)(14－x)] ＝10(2x2－29x ＋183) ＝20(x －294)2＋31154 ∵x ∈N*，∴x ＝7时，S 有最小值S ＝780(m)． 答：将旗集中到第7面小旗处，所走路程最短． 点评 本题属等差数列应用问题，应用等差数列前n 项和公式，在求和后，利用二次函数求最短路程. 变式迁移1 某种汽车购买时的费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的

2020年一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第五章第五节数列的综合应用Word版含解析.doc

课时规范练 A 组基础对点练 3 * 1. （2018嘉兴调研）已知a n =亦二而（n € N ），数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,则使 各>0的n 的 最小值为（ ） A . 99 B . 100 C . 101 D . 102 、 、 3 解析： 由通项公式得 a 1 + a 100= a 2 + a ?9= a 3+ a 98 =??? = a 50 + a 51 = 0, a 1°1 = 101>0，故选 C. 答案：C 2. （2018昆明七校调研）在等比数列｛a n ｝中，S n 是它的前n 项和，若q = 2，且a ?与2a 4的等 差中项为18,则S 5=（ ） A . 62 B . - 62 D . - 32 62,选 A. 答案：A 5 3. 已知等差数列｛a n ｝的各项均为正数，a 1= 1，且a 3, a °+ ?, an 成等比数列?若p -q = 10, 则 a p — a q = （ ） A . 14 B . 15 C . 16 D . 17 5 解析：设等差数列｛a n ｝的公差为d ,由题意分析知d>0，因为a 3, a °+ ?, an 成等比数列， 所以 a 4 + 5 2 = a 3an ，即 §+ 3d 2= (1 + 2d) (1 + 10d)，即 44d — 36d — 45 = 0,所以 d =号 15谷土 I 才「、『 3n — 1 3 d =— 22舍去，所以 a n = — ?所以 a p — a q = ^(p — q)= 15. 答案：B 4. 已知数列｛a n ｝满足 a n + 2— a n +1= a n +1 — a n , n € N *，且 a 5 =寸，若函数 f(x)= sin 2x + 2cos^, 记y n = f(a n )，则数列｛y n ｝的前 9项和为( ) A . 0 B . — 9 C . 9 D . 1 C . 32 解析: 依题意得 a 2 + 2a 4= 36, q = 2，则 2a 1 + 16a 1 = 36,解得 a 1 = 2, 因此S 5 = 5 2X( 1 — 25 )_ 1-2 =

高中数学第六章数列第五节数列的综合应用

第五节 数列的综合应用 题型一 数列在数学文化与实际问题中的应用 [典例] (1)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第4天和第5天共走了( ) A ．60里 B ．48里 C ．36里 D ．24里 (2)(2019·北京东城区模拟)为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a 元 的一年期定期储蓄，若年利率为p ，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期．到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________元． [解析] (1)由题意知，此人每天走的里数构成公比为1 2的等比数列{a n }， 设等比数列的首项为a 1，则a 1() 1－1 26 1－ 12＝378， 解得a 1＝192，所以a 4＝192×18＝24，a 5＝24×1 2＝12， 则a 4＋a 5＝24＋12＝36，即此人第4天和第5天共走了36里． (2)2022年1月1日可取出钱的总数为 a (1＋p )4＋a (1＋p )3＋a (1＋p )2＋a (1＋p ) ＝a ·(1＋p )[1－(1＋p )4] 1－(1＋p ) ＝a p [(1＋p )5－(1＋p )] ＝a p [(1＋p )5－1－p ]． [答案] (1)C (2)a p [(1＋p )5－1－p ] [方法技巧] 1．数列与数学文化解题3步骤 1．在我国古代著名的数学名著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？( ) A ．9日 B ．8日 C ．16日 D ．12日 解析：选A 由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n }，其中a 1＝103，d ＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n }，其中b 1＝97，d ＝－0.5.设第m 天相逢，则a 1＋a 2＋…＋a m ＋b 1＋b 2＋…＋b m ＝103m ＋ m (m －1)×13 2

第六章 第五节 数列的综合应用

第五节 数列的综合应用 题型一 数列在数学文化与实际问题中的应用 [典例] (1)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第4天和第5天共走了( ) A ．60里 B ．48里 C ．36里 D ．24里 (2)(2019·北京东城区模拟)为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a 元 的一年期定期储蓄，若年利率为p ，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期．到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________元． [解析] (1)由题意知，此人每天走的里数构成公比为1 2 的等比数列{a n }， 设等比数列的首项为a 1，则a 1????1－1261－12 ＝378， 解得a 1＝192，所以a 4＝192×18＝24，a 5＝24×1 2＝12， 则a 4＋a 5＝24＋12＝36，即此人第4天和第5天共走了36里． (2)2022年1月1日可取出钱的总数为 a (1＋p )4＋a (1＋p )3＋a (1＋p )2＋a (1＋p ) ＝a ·(1＋p )[1－(1＋p )4] 1－(1＋p ) ＝a p [(1＋p )5－(1＋p )] ＝a p [(1＋p )5－1－p ]． [答案] (1)C (2)a p [(1＋p )5－1－p ] [方法技巧] 1．数列与数学文化解题3步骤

高考总复习北师大版数学文第五章 第五节数列的综合应用

第五节数列的综合应用 错误! 考点一等差数列与等比数列的综合问题 [典例] n１１１１，a１３成等比数列． （１）求{a n}的通项公式； （２）求a１＋a４＋a7＋…＋a３n—２. [解] （１）设{a n}的公差为d，由题意得a错误!＝a１a１３. 即（a１＋１0d）２＝a１（a１＋１２d）． 于是d（２a１＋２５d）＝0． 又a１＝２５，所以d＝0（舍去）或d＝—２． 故a n＝—２n＋２7． （２）令S n＝a１＋a４＋a7＋…＋a３n—２. 由（１）知a３n—２＝—6n＋３１， 故{a３n—２}是首项为２５，公差为—6的等差数列． 从而S n＝错误!（a１＋a３n—２）＝错误!（—6n＋５6）＝—３n２＋２8n. [类题通法] 解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．[针对训练] 在等比数列{a n}（n∈N＋）中，a１>１，公比q>0，设b n＝log２a n，且b１＋b３＋b５＝6，b１b３b５＝0． （１）求证：数列{b n}是等差数列；

（２）求{b n}的前n项和S n及{a n}的通项a n. 解：（１）证明：∵b n＝log２a n， ∴b n＋１—b n＝log２错误!＝log２q为常数， ∴数列{b n}为等差数列且公差d＝log２q. （２）设数列{b n}的公差为d，∵b１＋b３＋b５＝6，∴b３＝２． ∵a１>１，∴b１＝log２a１>0． ∵b１b３b５＝0，∴b５＝0． ∴错误!解得错误! ∴S n＝４n＋错误!×（—１）＝错误!. ∵错误!∴错误! ∴a n＝２５—n（n∈N＋）. 考点二等差数列与等比数列的实际应用[典例] 00万元．该企业年底分红后的资金为１000万元． （１）求该企业年底分红后的资金； （２）求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过３２５00万元．[解] 设a n为（２0１0＋n）年年底分红后的资金， 其中n∈N＋， 则a１＝２×１000—５00＝１５00， a２＝２×１５00—５00＝２５00，…，a n＝２a n—１—５00（n≥２）．∴a n—５00＝２（a n—１—５00）（n≥２）， 即数列{a n—５00}是首项为a１—５00＝１000，公比为２的等比数列．∴a n—５00＝１000×２n—１， ∴a n＝１000×２n—１＋５00． （１）a４＝１000×２４—１＋５00＝8 ５00， ∴该企业年底分红后的资金为8 ５00万元． （２）由a n>３２５00，即２n—１>３２，得n>6，

高中数学 第三章 第五节数列的综合应用同步检测训练 新人教A版必修5

第三章 第五节数列的综合应用 同步检测训练 一、选择题 1．数列{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则( ) A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10 B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10 C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10 D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小不确定 答案：B 解析：由数列的性质易得 a 3＋a 9≥2a 3a 9＝2a 6＝2 b 7＝b 4＋b 10.故选B. 2．(2008·桂林模拟)数列1，11＋2，11＋2＋3，…，1 1＋2＋…＋n ，…的前n 项和为( ) A.2n 2n ＋1 B.2n n ＋1 C.n ＋2n ＋1 D.n 2n ＋1 答案：B 解析：a n ＝11＋2＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2n －2 n ＋1， ∴S n ＝(21－22)＋(22－23)＋(23－24)＋…＋(2n －2n ＋1)＝2(1－1n ＋1)＝2n n ＋1 .故选B. 3．已知一个等比数列首项为1，项数为偶数，其奇数项和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 答案：C 解析：设项数为2n ，公比为q . 由已知S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1.① S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ② ②÷①得，q ＝170 85 ＝2， ∴S 2n ＝S 奇＋S 偶＝255＝a 1(1－q 2n ) 1－q ＝1－22n 1－2 ?2n ＝8.故选C. 4．如果数列{a n }满足：首项a 1＝1，a n ＋1＝? ?? ?? 2a n (n 为奇数)， a n ＋2 (n 为偶数)，那么下列说法中正确 的是( ) A ．该数列的奇数项a 1，a 3，a 5，…成等比数列，偶数项a 2，a 4，a 6，…成等差数列 B ．该数列的奇数项a 1，a 3，a 5，…成等差数列，偶数项a 2，a 4，a 6，…成等比数列 C ．该数列的奇数项a 1，a 3，a 5，…分别加4后构成一个公比为2的等比数列 D ．该数列的偶数项a 2，a 4，a 6，…分别加4后构成一个公比为2的等比数列 答案：D 解析：列出数列的项如下：1,2,4,8,10,20,22,44，…观察可得，答案为D. 5．已知等比数列{a n }的各项均为正数，数列{b n }满足b n ＝ln a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }前n 项和的最大值等于( ) A ．126 B ．130 C ．132 D ．134 答案：C

第五章 第5节 数列的综合应用

第五章第五节数列的综合应用 1.已知a，b，c成等比数列，a，m，b和b，n，c分别成两个等差数列，则a m＋c n等于() A．4B．3 C．2 D．1 解析：由题意得b2＝ac,2m＝a＋b,2n＝b＋c，则a m＋ c n＝ an＋cm mn＝ a· b＋c 2＋c· a＋b 2 a＋b 2· b＋c 2 ＝ ab＋ac＋ac＋bc ab＋ac＋b2＋bc 2 ＝2. 答案：C 2．数列{a n}是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a6＝b7，则有() A．a3＋a9≤b4＋b10 B．a3＋a9≥b4＋b10 C．a3＋a9≠b4＋b10 D．a3＋a9与b4＋b10的大小不确定 解析：∵a3＋a9≥2a3a9＝2a26＝2a6＝2b7＝b4＋b10，当且仅当a3＝a9时，不等式取等号． 答案：B 3．(文)已知等差数列{a n}的前n项和为S n且满足a2＝3，S6＝36. (1)求数列{a n}的通项公式； (2)若数列{b n}是等比数列且满足b1＋b2＝3，b4＋b5＝24.设数列{a n·b n}的前n项和为 T n，求T n. 解：(1)∵数列{a n}是等差数列， ∴S6＝3(a1＋a6)＝3(a2＋a5)＝36. ∵a2＝3，∴a5＝9，∴3d＝a5－a2＝6，∴d＝2， 又∵a1＝a2－d＝1，∴a n＝2n－1. (2)由等比数列{b n}满足b1＋b2＝3，b4＋b5＝24， 得b4＋b5 b1＋b2 ＝q3＝8，∴q＝2， ∵b1＋b2＝3，∴b1＋b1q＝3，∴b1＝1，b n＝2n－1， ∴a n·b n＝(2n－1)·2n－1. ∴T n＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－3)·2n－2＋(2n－1)·2n－1，