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课时提升作业(四十六)
抛物线
(45分钟100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.已知抛物线x2=ay的焦点恰好为双曲线y2-x2=2的上焦点,则a=( )
A.1
B.4
C.8
D.16
【解析】选 C.根据抛物线方程可得其焦点坐标为,双曲线的上焦点为(0,2),依题意则有=2,解得a=8.
2.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离
是( )
A.4
B.6
C.8
D.12
【解析】选B.因为点P到y轴的距离是4,延长使得和准线相交于点Q,则|PQ|等于点P到焦点的距离,而|PQ|=6,所以点P到该抛物线焦点的距离为6.
【方法技巧】求解抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题的技巧
抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离经常相互
转化:(1)若求点到焦点的距离,则可联想点到准线的距离.(2)若求点到准线的距离,则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意. 3.(2014·台州模拟)抛物线y=x2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标是( )
A. B.(1,1)
C. D.(2,4)
【解析】选B.设抛物线上任一点为(x,y),则由点到直线的距离得
d===
=≥.
当x=1时,取得最小值,此时点的坐标为(1,1).
【一题多解】本题也可以用如下的方法解决:
设2x-y+m=0与y=x2相切,则x2-2x-m=0.
Δ=4+4m=0,所以m=-1,此时x=1,
所以点的坐标为(1,1).
4.(2014·成都模拟)已知抛物线y2=4x的准线与双曲线-y2=1(a>0)相交于A,B两点,且F是抛物线的焦点,若△FAB是直角三角形,则双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.3
【解析】选B.
如图所示,F(1,0).
因为△FAB为直角三角形,
所以|AM|=|FM|=2,
所以A(-1,2),代入-y2=1,得a2=,
所以c2=a2+1=+1=,
所以e2==6,所以e=.
5.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )
A.x=1
B.x=-1
C.x=2
D.x=-2
【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线AB的方程为:y=x-,与y2=2px联立得:y2-2py-p2=0,所以y1+y2=2p,由题意知:y1+y2=4,
所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,
其准线方程为x=-1,故选B.
【一题多解】本题也可以用如下的方法解决:
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意得y1+y2=4,=2px1,=2px2,
两式相减得:k AB====1,
所以p=2,
所以抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
【方法技巧】弦中点问题的常用结论及求解技巧
(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,同时,要注意使用条件是Δ≥0.
(2)在椭圆+=1(a>b>0)中,以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=-.
(3)在双曲线-=1(a>0,b>0)中,以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=.
(4)在抛物线y2=2px(p>0)中,以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=.
6.(2013·天津高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=( )
A.1
B.
C.2
D.3
【解析】选C.双曲线的离心率e===2,
解得=,联立得y=.
又因为S△OAB=〓=,
将=代入解得p=2.
7.(2013·金华模拟)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( ) A. B.2 C. D.3
【解析】选B.因为抛物线的方程为y2=4x,所以焦点坐标F(1,0),准线方程为x=-1.所以设P到准线的距离为|PB|,则|PB|=|PF|.P到直线l1:4x-3y+6=0的距离为|PA|,所以|PA|+|PB|=|PA|+|PF|≥|FD|,其中|FD|为焦点到直线4x-3y+6=0的距离,所以|FD|===2,所以距离之和最小值是2.
【加固训练】
已知点P是抛物线y2=4x上一点,设点P到此抛物线准线的距离为d1,到直线x+2y+10=0的距离为d2,则d1+d2的最小值是.
【解析】由抛物线的定义知点P到准线的距离等
于点P到焦点F的距离,如图,过焦点F作直线
x+2y+10=0的垂线,此时d1+d2最小,因为F(1,0),
所以d1+d2==.
答案:
8.(能力挑战题)(2014·绍兴模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过抛物线C上一点A作准线l的垂线,垂足为M,若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1,则点A的坐标为( ) A.(1,±2) B.
C.(4,±1)
D.(2,±2)
【解析】选D.设A(x,y),如图,依题意知:
S△AMF=|AM|·|y|,
S△AOF=|OF|·|y|,
又S△AMF∶S△AOF=3∶1,
且|OF|=1,所以|AM|=3,
故A的横坐标为2,代入抛物线y2=4x得y2=8,
所以y=〒2,故A的坐标为(2,〒2).
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2013·北京高考)若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),则p= ;准线方程为.
【解析】因为抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),所以=1,解得p=2,所以准线方程为x=-1.
答案:2 x=-1
10.抛物线y=x2的焦点与双曲线-=1的上焦点重合,则m= .
【解析】因为抛物线y=x2的标准方程为x2=16y,焦点坐标为(0,4),
又因为双曲线-=1的上焦点坐标为(0,),依题意有4=,解得m=13.
答案:13
【误区警示】本题易出现y=x2的焦点为的错误,原因是对抛物线的标准方程记忆不准确.
11.(2014·杭州模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线与x 轴交于M点,过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A,B两点,若|AM|=|AF|,则k的值为.
【解析】设A(x0,y0),则M,
由抛物线定义得,|AF|=x0+,
因为|AM|=|AF|,所以
=,
两边平方并化简得=,
即=,
所以k==〒.
答案:〒
12.(2014·南京模拟)已知抛物线y2=8x的焦点为F,抛物线的准线与
x轴的交点为K,点A在抛物线上且AK=AF,则△AFK的面积为.
【解析】如图,过点A作AB⊥l于点B(l为准线),则由抛物线
的定义,得AB=AF.因为AK=AF,所以AK=AB,所以∠AKF=∠AKB=45°,设A(2t2,4t),由K(-2,0)得=1,得t=1,所以S△AKF=〓4〓4=8.
答案:8
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.如图,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l与抛物线C交于A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2)两点,T为抛物线的准线与x轴的交点.
(1)若·=1,求直线l的斜率.
(2)求∠ATF的最大值.
【解析】(1)因为抛物线y2=4x焦点为F(1,0),T(-1,0).
当l⊥x轴时,A(1,2),B(1,-2),
此时·=0,与·=1矛盾,
所以设直线l的方程为y=k(x-1),
代入y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
则x1+x2=,x1x2=1,①
所以=16x1x2=16,所以y1y2=-4, ②
因为·=1,所以(x1+1)(x2+1)+y1y2=1,
将①②代入并整理得,k2=4,所以k=〒2.
(2)因为y1>0,
所以tan∠ATF===≤1,
当且仅当=,即y1=2时,取等号,
所以∠ATF≤,所以∠ATF的最大值为.
14.(2013·福建高考)如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,
为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.
(1)若点C的纵坐标为2,求.
(2)若=·,求圆C的半径.
【解析】(1)抛物线y2=4x的准线l的方程为x=-1,
由点C的纵坐标为2,得点C的坐标为(1,2),
所以点C到准线l的距离d=2,又|CO|=.
所以|MN|=2=2=2.
(2)设C,则圆C的方程为+(y-y0)2=+, 即x2-x+y2-2y0y=0.
由x=-1,得y2-2y0y+1+=0,
设M(-1,y1),N(-1,y2),则:
由|AF|2=|AM|·|AN|,得|y1y2|=4,
所以+1=4,解得y0=〒,此时Δ>0,
所以圆心C的坐标为或,
从而|CO|2=,|CO|=,
即圆C的半径为.
15.(能力挑战题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C 有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
【解析】(1)将(1,-2)代入y2=2px,
得(-2)2=2p〓1,
所以p=2.
故所求的抛物线C的方程为y2=4x,
其准线方程为x=-1.
(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.
由得y2+2y-2t=0.
因为直线l与抛物线C有公共点,
所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.
由直线OA与l的距离d=,可得=,
解得t=〒1.
因为-1?,1∈,
所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.
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