可知cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形． (3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝49
25，
又sin A >0，cos A <0，∴sin A －cos A >0， ∴sin A －cos A ＝7
5
，②
∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－3
5，
∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35
＝－4
3
.
14.解：(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ
＋cos θ
1－
sin θcos θ
＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝
3＋1
2
， (2)由已知，得sin θ＋cos θ＝
3＋12，sin θcos θ＝m
2
， 又1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，可得m ＝3
2
. (3)由???
??
sin θ＋cos θ＝3＋1
2，sin θcos θ＝3
4
知
???
sin θ＝32
，
cos θ＝12
，或???
sin θ＝12
，
cos θ＝3
2
.
又θ∈(0,2π)， 故θ＝π6或θ＝π3
.
同角三角函数基本关系与诱导公式练习（三）
一、选择题
1．sin 43π·cos 5
6
π·tan ????－43π的值是( ) A ．－334 B.334 C ．－ 34 D.34
2．α是第四象限角，tan α＝－5
12
，则sin α等于( )
A.15 B ．－15
C.513 D ．－513 3.已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则tan
α=（ ） (A) -1
(B) 2-
(C) 2
(D) 1 4．已知cos(α－π)＝－5
13
，且α是第四象限的角，则sin(－2π＋α)＝( )
A ．－1213 B.1213 C ．±1213 D.512
5．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( )
A.12 B ．2
C ．－1
2
D ．－2 6.已知sinθ+cosθ=
，)4
,0(π
θ∈，则sinθ﹣cosθ的值为（ ）
A ．
B ．﹣
C ．
D ．﹣
7．已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)
cos α
(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )
A ．{1，－1,2，－2}
B ．{－1,1}
C ．{2，－2}
D ．{1，－1,0,2，－2}
8．已知A 为锐角，lg(1＋cos A )＝m ，lg 1
1－cos A
＝n ，则lg sin A 的值为( )
A ．m ＋1n
B ．m －n C.12????m ＋1n D.1
2
(m －n ) 二、填空题
9．如果cos α＝1
5
，且α是第四象限的角，那么cos ????α＋π2＝__________. 10．已知函数f (x )＝sin n π
3(n ∈N *)，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2014)的值为__________．
11．若sin α＋cos α＝7
13
(0＜α＜π)，则tan α＝__________.
三、解答题
12．已知0＜α＜π2，若cos α－sin α＝－5
5，求：2sin αcos α－cos α＋11－tan α
的值．
13．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23????π
2＜α＜π.求下列各式的值： (1)sin α－cos α； (2)sin 3????π2－α＋cos 3???
?π
2＋α.
14.已知(0,)απ∈，1
sin cos 5
αα+=
，求值： （1）sin cos αα （2）sin cos αα-
2.解析：∵?????
sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝－512，
解得sin α＝±5
13
. 又∵α为第四象限角，∴sin α＜0. ∴sin α＝－5
13
.故选D. 答案：D
3.答案及解析：.A
4解析：由cos(α－π)＝－513得，cos α＝5
13
，而α为第四象限角，∴sin(－2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝
－12
13
，所以选A. 答案：A 5.解析：由?????
cos α＋2sin α＝－5，①
sin 2
α＋cos 2
α＝1，
②
)将①代入②得(5sin α＋2)2＝0，
∴sin α＝－255，cos α＝－5
5
.∴tan α＝2.故选B. 答案：B
6.答案及解析：.B
7.解析：当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos α
cos α＝2， k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α
＝－2. 答案：C
8.解析：两式相减得lg(1＋cos A )－lg 1
1－cos A
＝m －n ?lg[(1＋cos A )(1－cosA)]＝m －n ?lgsin 2A ＝m －n ，
∵A 为锐角，∴sin A ＞0， ∴2lg sin A ＝m －n ，∴lg sin A ＝m －n
2
. 答案：D
9.解析：α是第四象限的角且cos α＝15， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－26
5
，
于是cos ????α＋π2＝－sin α＝265. 答案：265
10.解析：由函数f (n )＝sin n π
3
(n ∈N *)的周期为6
可知f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0 又2014＝6×335＋4
∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2014)＝32. 答案：3
2
11.解析：由sin α＋cos α＝713(0＜α＜π)① 得2sin αcos α＝????7132－1＝－120
169
＜0， ∴π2＜α＜π，即sin α＞0，cos α＜0. ∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝ 1＋120169＝1713
，② 由①②解得sin α＝1213，cos α＝－513，∴tan α＝－125.答案：－12
5
∴2sin αcos α－cos α＋11－tan α＝cos α(2sin αcos α－cos α＋1)cos α－sin α
＝55????45－55＋1－5
5
＝55－9
5.
13.解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝2
3.①
将①式两边平方，得1＋2sin α·cos α＝29， 故2sin α·cos α＝－7
9
，
又π
2
＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0. ∴sin α－cos α＞0. (1)(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－????－79＝169， ∴sin α－cos α＝43
. (2)sin 3????π2－α＋cos 3????π
2＋α＝cos 3α－sin 3α＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cos α·sin α＋sin 2α) ＝????－43×????1－718＝－2227. 14．答案及解析：.(1)2512-
(2)5
7
同角三角函数基本关系与诱导公式练习（三）教师版
一、选择题
1．sin 43π·cos 5
6
π·tan ????－43π的值是( ) A ．－334 B.334 C ．－ 34 D.34
解析：原式＝sin ????π＋π3·cos ????π－π6·tan ?
???－π－π3＝????－sin π3·????－cos π6·????－tan π3＝????－32·????－32·(－3)＝－334
答案：A
2．α是第四象限角，tan α＝－5
12
，则sin α等于( )
A.15 B ．－15 C.513 D ．－513 解析：∵?????
sin 2
α＋cos 2
α＝1，sin αcos α
＝－512，解得sin α
＝±513. 又∵α为第四象限角，∴sin α＜0.
∴sin α＝－5
13
.故选D.
答案：D
3.已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则tan α
=（ ） (A) -1
(B) (C) (D) 1 答案及解析：.A
4．已知cos(α－π)＝－5
13
，且α是第四象限的角，则sin(－2π＋α)＝( )
A ．－1213 B.1213 C ．±1213 D.512
解析：由cos(α－π)＝－513得，cos α＝5
13
，而α为第四象限角，∴sin(－2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝
－12
13
，所以选A. 答案：A
5．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( )
A.12 B ．2 C ．－1
2
D ．－2 解析：由?????
cos α＋2sin α＝－5，
①
sin 2
α＋cos 2
α＝1，
②
)
将①代入②得(5sin α＋2)2＝0，
∴
sin α＝－255，cos α＝－5
5
.∴tan α＝
2.故选B.
答案：B
6.已知
sinθ+cosθ= ，)4
,0(
π
θ∈，则sinθ﹣cosθ的值为（ ）
A ．
B ．﹣
C ．
D ．﹣
答案及解析：.B
7．已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)
cos α
(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )
A ．{1，－1,2，－2}
B ．{－1,1}
C ．{2，－2}
D ．{1，－1,0,2，－2}
解析：当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos α
cos α
＝2，
k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos α
cos α
＝－2.
答案：C
8．已知A 为锐角，lg(1＋cos A )＝m ，lg 1
1－cos A
＝n ，则lg sin A 的值为( )
A ．m ＋1n
B ．m －n C.12????m ＋1n D.1
2
(m －n ) 解析：两式相减得lg(1＋cos A )－lg 1
1－cos A
＝m －n ?lg[(1＋cos A )(1－cosA)]＝m －n ?lgsin 2A ＝m －n ，
∵A 为锐角，∴sin A ＞0，
∴2lg sin A ＝m －n ，∴lg sin A ＝m －n
2
.
答案：D 二、填空题
9．如果cos α＝1
5
，且α是第四象限的角，那么cos ????α＋π2＝__________. 解析：α是第四象限的角且cos α＝1
5
，
∴sin α＝－1－cos 2α＝－26
5
，
于是cos ????α＋π2＝－sin α＝265. 答案：265
10．已知函数f (x )＝sin n π
3
(n ∈N *)，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2014)的值为__________．
解析：由函数f (n )＝sin n π
3
(n ∈N *)的周期为6
可知f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0 又2014＝6×335＋4
∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2014)＝3
2
.
答案：3
2
2017届高三数学（理）练习 班级： 姓名：
11．若sin α＋cos α＝7
13
(0＜α＜π)，则tan α＝__________.
解析：由sin α＋cos α＝7
13(0＜α＜π)①
得2sin αcos α＝????7132－1＝－120
169＜0， ∴π
2
＜α＜π，即sin α＞0，cos α＜0. ∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝ 1＋120169＝17
13
，②
由①②解得sin α＝1213，cos α＝－513，∴tan α＝－12
5
.
答案：－12
5
三、解答题
12．已知0＜α＜π2，若cos α－sin α＝－5
5
，求：
2sin αcos α－cos α＋1
1－tan α
的值．
解析：∵cos α－sin α＝－55，∴1－2sin α·cos α＝1
5
，
∴2sin α·cos α＝4
5
，
∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝9
5
.
∵0＜α＜π2，∴sin α＋cos α＝3
5
5，
与cos α－sin α＝－5
5
联立解得：
cos α＝55，sin α＝2
5
5.
∴2sin αcos α－cos α＋11－tan α＝cos α(2sin αcos α－cos α＋1)cos α－sin α
＝55????45－55＋1－55
＝55－95
. 13．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23????π
2
＜α＜π.求下列各式的值： (1)sin α－cos α；
(2)sin 3????π2－α＋cos 3???
?π
2＋α. 解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝2
3
，
得sin α＋cos α＝2
3
.①
将①式两边平方，得1＋2sin α·cos α＝2
9
，
故2sin α·cos α＝－7
9
，
又π
2
＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0. ∴sin α－cos α＞0.
(1)(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－????－79＝169
， ∴sin α－cos α＝4
3
.
(2)sin 3????π2－α＋cos 3???
?π
2＋α＝cos 3α－sin 3α ＝(cos α－sin α)(cos 2
α＋cos α·sin α＋sin 2α)
＝????－43×????1－718 ＝－2227
.
14．已知sin(θ＋k π)＝－2cos(θ＋k π)，k ∈Z .求： (1)4sin θ－2cos θ5cos θ＋3sin θ； (2)14sin 2θ＋2
5
cos 2θ. 解析：由已知得cos(θ＋k π)≠0，
∴tan(θ＋k π)＝－2，k ∈Z ，即tan θ＝－2. (1)4sin θ－2cos θ5cos θ＋3sin θ＝4tan θ－25＋3tan θ
＝10. (2)14sin 2θ＋25cos 2θ＝14
sin 2θ＋25cos 2θ
sin 2θ＋cos 2θ ＝14tan 2θ＋25tan 2θ＋1 ＝725. 15.已知(0,)απ∈，1
sin cos 5
αα+=
，求值： （1）sin cos αα （2）sin cos αα- 答案及解析：.(1)2512- (2)5
7
培优锐角三角函数辅导专题训练含详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再
解直角三角形培优练习题(含答案)
l1．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，那么AB的长为（）A．3sinαB．3cosαC．D． 2．在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，如果BC=a，∠B=α，那么AD等于（）A．asin2αB．acos2αC．asinαcosαD．asinαtanα 3．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC边上一点，若tan∠DBA=，则tan∠CBD的值为（） A．B．C．1 D． （第3题）（第4题）（第8题） 4．△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，∠C=90°，点C的坐标为（，﹣），则点B 的坐标是（） A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（2，0） 5．等腰三角形的底角为30°，底边长为2，则腰长为（） A．4 B．2C．2 D． 6．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A=α，AB=c，那么BC等于（） A．c?sinαB．c?cosαC．c?tanαD．c?cotα 7．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（） A．csinA=a B．bcosB=c C．atanA=b D．ctanB=b 8．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=30m，EC=15m，CD=30m，则河的宽度AB长为（） A．90m B．60m C．45m D．30m
9．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，若AC=6米，则树高BC为（）A．6sinα米B．6tanα米C．米D．米 10．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是（） A．2 B．C．D． （第9题）（第10题）（第11题）11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB，垂足为D，则BD：AD的值为（）A．B．C．D． 12．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD 的余弦值是（） A．B．C．D． （第12题）（第13题）（第14题） 13．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上，若sin∠DFE=，则tan∠EBF的值为（） A．B．C．D． 14．如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径是OA，点P是优弧 上的一点，则tan∠APB的值是（）
锐角三角函数练习题及答案
锐角三角函数 1．把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A ，A ′的余弦值的关系为（ ） A ．cosA=cosA ′ B ．cosA=3cosA ′ C ．3cosA=cosA ′ D ．不能确定 2．如图1，已知P 是射线OB 上的任意一点，PM ⊥OA 于M ，且PM ：OM=3：4，则cos α的值等于（ ） A ．34 B ．43 C ．45 D ．35 图1 图2 图3 图4 图5 3．在△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，则下列各项中正确的是（ ） A ．a=c ·sin B B ．a=c ·cosB C ．a=c ·tanB D ．以上均不正确 4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=23 ，则tanB 等于（ ） A ．35 B ．3 C ．25 D ．2 5．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则sinA=______，cosA=______，?tanA=_______． 6．如图2，在△ABC 中，∠C=90°，BC ：AC=1：2，则sinA=_______，cosA=______，tanB=______． 7．如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，b=20，，则∠B 的度数为_______． 8．如图4，在△CDE 中，∠E=90°，DE=6，CD=10，求∠D 的三个三角函数值． 9．已知：α是锐角，tan α=724 ，则sin α=_____，cos α=_______． 10．在Rt △ABC 中，两边的长分别为3和4，求最小角的正弦值为 10．如图5，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x 轴上，?另一边经过点P （2，，求角α的三个三角函数值． 12．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD ⊥AC 于D ，∠CBD=α，AB=3，?BC=4，?求sin α，cos α，tan α的值． 解直角三角形 一、填空题 1． 已知cosA=2 3，且∠B=900-∠A ，则sinB=__________．
八年级下册第一章《直角三角形》培优习题
八年级下册第一章《直角三角形》培优习题 一、知识要点填空： 1、直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角_________ （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________; （3）直角三角形30°角所对的直角边是______的一半； （4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°. 2、直角三角形的判定方法： （1）有一个角是直角的三角形是直角三角形； （2）有两个角______的三角形是直角三角形； （3）如果一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是_____,且两条直角边相等。等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。 二、练习题 1、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C， 则则∠1+∠2等于__________. 2、设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示 等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（） A. B. C. D. 3、如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于E， EF∥AC，下列结论一定成立的是（） A.AB=BF B．AE=ED C．AD=DC D．∠ABE=∠DFE 4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点， 则AP的长不可能的是（） A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7 5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线 于F， 若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（） A．3 B．2 C．3 D．1
新人教版八年级数学《三角形》重点、难点、培优训练习题集
三角形重难点培优突破 1、知：a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简︱a+b-c ︱+︱b-a-c ︱-︱c-a+b ︱ 2、知：a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简︱a-b-c ︱+︱b-c-a ︱-︱c+a-b ︱. 3、为△ABC 内任意一点，BP 延长线交AC 于D ，试说明： （1）AB+AC+BC>2BD （2）AB+AC>PB+PC 4、所示②③两条路线，哪一条比较近？为什么？ 5、三角形中，一腰上的中线把三角形的周长分为6cm 和15cm 的两部分，求此三角形的腰和底边的长. 6、所示，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63o， 求∠DAC 的度数． 7、图所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠C=32°,∠D=28°,求∠P 的度数. A B C D P ② ③ A B C D E 2 1C A
8、已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为50°，则∠BAC的度数为。 9如图，把△ABC的纸片沿着DE折叠． （1）若点A落在四边形BCDE的内部点A′的位置．（如图1）且∠1=40°，∠2=24°，求：∠A′的度数； （2）若点A落在四边形BCDE的外部（BE的上方）点A′的位置（如图2），则∠A′与∠1，∠2有怎样的关系？请说明你的理由； （3）若点A落在四边形BCDE的外部（CD的下方）点A′的位置（如图3），∠A′与∠1，∠2又有怎样的关系？直接写出你的结论． 10、，∠MON=90°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，BD是∠NBA的平分线，BD的反向延长线与∠BAO的平分线相交于点C．试猜想：∠ACB的大小是否随A、B的移动发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B的移动发生变化，请给出变化范围．
培优锐角三角函数辅导专题训练附答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，△ABC 内接于⊙O ，2,BC AB AC ==，点D 为AC 上的动点，且10 cos B =. (1)求AB 的长度； (2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD?AE 的值是否变化？若不变，请求出AD?AE 的值；若变化，请说明理由. (3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH CD DH =+. 【答案】(1) 10AB ；(2) 10AD AE ?=；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长； （2）连接DG ，则可得AG 为⊙O 的直径，继而可证明△DAG ∽△FAE ，根据相似三角形的性质可得AD?AE=AF?AG ，连接BG ，求得AF=3，FG= 1 3 ，继而即可求得AD?AE 的值； （3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，通过证明△ADC ≌△ADN ，可得AC=AN ，继而可得AB=AN ，再根据AH ⊥BN ，即可证得BH=HD+CD. 【详解】（1)过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ， ∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴BF=CF=1 2BC=1， 在RtΔAFB 中，BF=1，∴AB=10 cos 10 BF B == （2）连接DG ， ∵AF ⊥BC ，BF=CF ，∴AG 为⊙O 的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°， 又∵∠DAG=∠FAE ，∴△DAG ∽△FAE ， ∴AD ：AF=AG ：AE ， ∴AD?AE=AF?AG ， 连接BG ，则∠ABG=90°，∵BF ⊥AG ，∴BF 2=AF?FG ， ∵22AB BF -=3， ∴FG= 13 ，
三角形培优训练100题集锦
E D F C B A 三角形培优训练专题 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围. 2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
锐角三角函数练习题(含答案)
锐角三角函数练习题 一、选择题（本大题共10小题，每小题３分，共30分） 1．一段公路的坡度为1︰3，某人沿这段公路路面前进100米，那么他上升的最大高度是（D） A.30米 B.10米 C. 米 D. 米 2．如图，坡角为的斜坡上两树间的水平距离AC为，则两树间的坡面距离AB为 （C） Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 3.如图，小雅家（图中点Ｏ处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点Ａ处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（A） Ａ.250ｍＢ．ｍＣ．ｍＤ．ｍ 4．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sinB的值是（C） Ａ．2 3 B. 3 2 C. 3 4 D. 4 3 （第2题）（第3题）（第4题） 5．如果∠A是锐角，且，那么∠A=（B） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 6. 等腰三角形的一腰长为，底边长为，则其底角为（A） A. B. C. D. 7．若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（B） A．150 B．C．9 D．7 8．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，，则边AC的长是（A） A．B．3 C．D． 9．如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影部分)的路面面积是（ A ） A. (m2) B. (m2) C.1600sinα(m2) D.1600cosα(m2) 10.如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD＝AB，连结CD，若tan∠BCD＝，则tanA ＝（C） A.1 B. C. D. （第9题）（第10题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题３分，共12分） 11．已知为锐角, sin( )=0.625, 则cos =___ 0.625 。 12．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，cos∠BAC= ，则梯子长AB = 4 米。 13．一棵树因雪灾于A处折断，如图所示，测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米，∠ABC约45°，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为米 （答案可保留根号）。 14．如图，张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为，旗杆底部
等腰三角形培优提高练习题[1]
等腰三角形提高训练题1 培优训练 1．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形 底边的长为 ． 2．△ABC 中，AB ＝AC ，∠A=40°，BP=CE ，BD=CP ，则∠DPF= 度． 3．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点F ， 若BF ＝AC ，则∠ABC 的大小是 ． (烟台市中考题) 4．△ABC 的一个内角的大小是40°，且∠A=∠B ，那么∠C 的外角的大小是( ) A ．140° B ．80°或100° C ．100°或140° D ．80°或140° 5．已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点， 两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点F 、F ，给出以下四个结论：①AE=CF ； ②△EPF 是等腰直角三角形，③S AEPF 四边形=2 1 S ABC ；④EF=AP ．当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，上述结论中始终正确的是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个 (苏州市中考题) 6．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC ＝AE ，BC ＝BF ，则∠ECF ＝( ) A ．60° B ．45° C ．30° D ．不确定 7．如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线相交于O 点．作MN ∥BC ，EF ∥AB ，GH ∥AC ，BC ＝a ，AC=b ，AB ＝c ，则△GMO 周长+△ENO 的周长－△FHO 的周长 ． 8．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB+BD=AC ，则∠B ：∠C 的值= ． （“五羊杯”竞赛题） 9．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于E 点，若AC 平分∠DAB ，且AB=AE ，AC=AD ，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ；②BC=DE ；③∠DBC=2 1∠DAB ；④△ABE 是等边三角形．请写出正确结论的序号 ．(把你认为正确结论的序号都填上) (天津市中考题) 10．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ． 120°或150° D ．30°或120°或150° (“希望杯”邀请赛) 11．在锐角△ABC 中，三个内角的度数都是质数，则这样的三角形( ) A ．只有一个且为等腰三角形 B ．至少有两个且都为等腰三角形 7题 6题 8题 9题 5题
相似三角形培优训练含答案
相似三角形分类提高训练 一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动 点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C 沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作 EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值． 2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C 移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒． （1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC 于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N． （1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ 4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着 AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的 速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x． （1）当x为何值时，PQ∥BC？ （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．
三角形培优训练100题集锦.docx
三角形培优训练专题 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变 换中的“对折” 。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的 思维模式是全等变换中的“旋转” 。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角 形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移” 或“翻转折叠” 。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条 线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证 明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连 线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连 接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图△ ABC 中， AB=5， AC=3，求中线 AD 的取值范围 . 2、如图，△ ABC中， E、 F 分别在 AB、 AC 上， DE⊥ DF， D 是中点，试比较BE+CF与 EF的大小 . A E F B D C
典型锐角三角函数练习题(用)
典型锐角三角函数题 一、选择题 1. 三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示，则sin α的值是（ ） Ａ． 34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45 2．一人乘雪橇沿如图2所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（ ） Ａ．24米 Ｂ．12米 Ｃ．米 Ｄ．6米 3．下列计算错误的是（ ） A ．sin60sin30sin30?-?=? B ．2 2 sin 45cos 451?+?= C ．sin 60cos60cos60??= ? D ．cos30cos30sin 30? ?=? 4．如图3，在ABC ?中30A ∠=? ,tan 2 B = , AC =则AB 的长是( ) A ．3 B ．2+ C ．5 D ．92 5．如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点 处．已知8AB =， 10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( ) Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45 6．如图5，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在1A 处，已知OA =1AB =，则点1A 的坐标是（ ） Ａ．32? ??? ?， Ｂ．3? ???? Ｃ．32? ?? Ｄ．12? ?? ， 7．已知正三角形ABC ，一边上的中线长为a ，则此三角形的边长为( ) A ． B ． 3 C D ． 3 a 图3 α 图1 图2 A D E C B F 图4 图5
8． 点()sin60,cos60M -??关于x 轴对称的点的坐标是（ ） A ． 12????? B ． 12??- ? ??? C ．12?? ? ??? D ． 12?- ?? 9．在ABC ?中，A ∠、B ∠都是锐角， 且1 sin 2 A = ，cos B =则ABC ?的形状是 ( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定 10．如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =， D 为AC 上一点，若1 tan 5 DBA ∠= ，则AD 的长为( ) A B ．2 C ．1 D ．（中考深圳市 11 ，3分）、小明想测一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图3，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影 长为4米，已知斜坡的坡角为30，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ） A. (6米 B. 12米 C ( )+423米 D. 10米 二、填空题 11．如图7，在坡度为1﹕2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米， 斜坡上相邻两树间的坡面距离是________米． 12．如图8，Rt ABC ?中，90C ∠=?,D 是直角边AC 上的点，且2AD DB a ==, 15A ∠=? ，则BC 边的长为 ． 13．如图9，在ABC ?中，90C ∠=,2BC =,1 sin 3 A = ， 则AB =______．． 14．如图10，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点， 图7 图9 图8 图6 图3 2 1 图3-1
最新初中数学锐角三角函数的专项训练及答案
最新初中数学锐角三角函数的专项训练及答案 一、选择题 1．如图，在菱形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点C 和点D 为圆心，大于12 CD 为半径作弧，两弧交于点M ，N ；②作直线MN ，且MN 恰好经过点A ，与CD 交于点E ，连接BE ，则下列说法错误的是（ ） A ．60ABC ∠=? B ．2ABE ADE S S ?=V C ．若AB=4，则7BE = D ．21sin 14 CBE ∠= 【答案】C 【解析】 【分析】 由作法得AE 垂直平分CD ，则∠AED=90°，CE=DE ，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，从而得到∠ABC=60°；利用AB=2DE 得到S △ABE =2S △ADE ；作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，则可计算出CH=12 CE=1，337 ；利用正弦的定义得sin ∠CBE= 21EH BE =． 【详解】 解：由作法得AE 垂直平分CD ， ∴∠AED=90°，CE=DE ， ∵四边形ABCD 为菱形， ∴AD=2DE ， ∴∠DAE=30°，∠D=60°， ∴∠ABC=60°，所以A 选项的说法正确； ∵AB=2DE ， ∴S △ABE =2S △ADE ，所以B 选项的说法正确； 作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，
在Rt △ECH 中，∵∠ECH=60°， CH=12CE=1，EH=3CH=3， 在Rt △BEH 中，BE=22(3)527+=，所以C 选项的说法错误； sin ∠CBE= 32114 27EH BE ==，所以D 选项的说法正确． 故选C ． 【点睛】 本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质和解直角三角形． 2．如图，在ABC ?中，AB AC =，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重合，点N 不与点C 重合），且12 MN BC =，MD BC ⊥交AB 于点D ，NE BC ⊥交AC 于点E ，在MN 从左至右的运动过程中，设BM x =，BMD ?的面积减去CNE ?的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ） A ． B ． C ．
中考数学专题训练---锐角三角函数的综合题分类及详细答案
中考数学专题训练---锐角三角函数的综合题分类及详细答案 一、锐角三角函数 1．（6分）某海域有A ，B 两个港口，B 港口在A 港口北偏西30°方向上，距A 港口60海里，有一艘船从A 港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B 港口南偏东75°方向的C 处，求该船与B 港口之间的距离即CB 的长（结果保留根号）． 【答案】． 【解析】 试题分析：作AD ⊥BC 于D ，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据 正切的定义求出CD 的长，得到答案． 试题解析：作AD ⊥BC 于D ，∵∠EAB=30°，AE ∥BF ，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD= ，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°， ∴∠C=60°，在Rt △ACD 中，∠C=60°，AD=，则tanC= ，∴CD= =， ∴BC= ．故该船与B 港口之间的距离CB 的长为 海里． 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 2．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为 1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=， 2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到
1cm）？ 【答案】 【解析】 于F，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值，又可证过A作AF CD 四边形ABCE为平行四边形，故有EC=AB=25cm，再再根据DC=DE+EC进行解答即可． 3．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC． (1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由； (2) 求证：∠ACF=90°； (3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长. 图1 图2 【答案】（1）BE="FH" ；理由见解析 （2）证明见解析 （3）=2π 【解析】 试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH
北师大版初二年级下册三角形的证明培优练习带答案
三角形的证明单元检测卷 1．（4分）（2013?钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（） A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20° 2．（4分）下列命题的逆命题是真命题的是（） A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0 B．直角都相等 C．两直线平行，同位角相等D．若a=6，则|a|=|b| 3．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是 A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 4．（4分）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE 的是（） A．∠A=∠C B．A D=CB C．B E=DF D．A D∥BC 5．（4分）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（） A．10 B．8C．5D．2.5 6.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD的长为（） A．2.5 B．1.5 C．2D．1 7．（4分）如图，AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF相交于点D，则①△ABE≌△ACF； ②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是（） A．①B．②C．①②D．①②③ 8．（4分）如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD等于（） A．10 B．12 C．24 D．48 9．如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是（） A． 6 B．8 C．9 D．10
八年级数学培优专题(一) 直角三角形
数学培优专题(一) 直角三角形 知识要点： 1、直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角_________ （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________; （3）直角三角形30°角所对的直角边是______的一半； （4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°. 2、直角三角形的判定方法： （1）有一个角是直角的三角形是直角三角形； （2）有两个角______的三角形是直角三角形； （3）如果一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理公式：_____ _ 勾股定理逆定理：_____ _ 直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质：两锐角互余（角的关系）、勾股定理（边的关系）、30°角所对的直角边等于斜边的半（边角关系）、斜边上的中线等于斜边的一半（直角三角形中线性质），这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用。 培优练习： 1、如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则则∠1+∠2等于__________. 2、已知一直角三角形木板，三边长的平方和为1800，则斜边长为__________ 3、图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________ 4、在三角形ABC 中，AB=5，AC=9，AD 是边BC 上的中线，则AD 的取值范围_______ 5、如图，等腰直角三角形ABC 直角边长为1，以它的斜边上的高AD 为腰作第一个等腰直角三角形ADE ，再以所作的第一个等腰直角三角形ADE 的斜边上的高AF 为腰作第二个等腰直角三角形AFG ；……以此类推，这样所作的第n 个等腰直角三角形的腰长为_______ 6、等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=2 1BC ，则△ABC 底角的度数为____________ 7、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P 是BC 边上的动点，则AP
三角形培优训练100题集锦(1)
精心整理 D 三角形培优训练专题 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 123456、71、2、. 3、4、以?90,=?连接DE ，（1）如图①当为直角三角形时，探究：AM 与DE 的位置关系和数量关系；（2）将图①中的等腰Rt ABD ?绕点A 沿逆时针方向旋转? θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由． 5、如图，ABC ?中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC. 6、如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC 。
C B A 7、如图，已知在△ABC 内，0 60BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是 BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 8、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证： 0180=∠+∠C A 9、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC 10、 11、AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点，△ABC A EBC 12、EC ，取（1 （213、相交于点O 14、于E ， DF ⊥AC （1. 15OP 所 角形（1、CE 。请你（2(1) 中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 16、正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 17、D 为等腰Rt ABC ?斜边AB 的中点，DM ⊥DN,DM,DN （1） 当MDN ∠绕点D 转动时，求证DE=DF 。 （2） 若AB=2，求四边形DECF 的面积。 18、如图，ABC ?是边长为3的等边三角形，BDC ?D 为顶点做一个060角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N O P A M N E B C D F 图① 图② _ A
中考数学复习锐角三角函数应用专题练习
中考数学复习锐角三角函数应用专题练习 1．如图28-2-2-1，某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O为圆心，AD长为直径的圆形区域，为了测量受污染的圆形区域的直径，在⊙O的切线BD（点D为切点）上选择相距300米的B、C两点，分别测得∠ABD=30o，∠ACD=60o，则直径AD=_______米．（结果精确到1米）（参考数23 据：≈1.414，≈1.732） 2．（2018吉林长春九台一模）如图28-2-2-2，点A、B为地球仪的南、北极点，直线AB与放置地球仪的平面交于点D，所成的角度约为67o，半径OC所在的直线与放置平面垂直，垂足为点E.DE=15 cm，AD=14 cm.求半径OA的长．（精确到0.1 cm）(参考数据：sin 67o≈0.92，cos 67o≈0.39,tan67o≈2.36) 3．（2018重庆涪陵模拟）如图28-2-2-3，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受风的影响，以30米/分钟的速度沿与地面成75o角的方向飞行．25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30o，则小山东西两侧A，B两点间的距离为( )
2266 A.750m B.375m C.375m D.750m 4．（2018湖南邵阳二模）如图28-2-2-4所示，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500 m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60o和45o，则隧道AB的长为______．（参考数据：3 =1.73） 5．（2017吉林中考）如图28-2-2-5，一枚运载火箭从距雷达站C处5 km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34o，45o，其中点O，A，B在同一条直线上，求A，B两点间的距离．（结果精确到0.1 km）(参考数据：sin 34o=0.56，cos 34o=0.83,tan 34o=0.67) 6．（2017广西南宁中考）如图28-2-2-6，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45o方向，距离灯塔60 n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔p的北偏东30o方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为( )
直角三角形培优训练题
专题九：直角三角形 知识点一：直角三角形的基本概念 1.已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） （A ）25 （B ）14 （C ）7 （D ）7或25 2 .如图，MP ⊥NP ，MQ 为△MNP 的角平分线，MT ＝MP ，连接TQ ，则下列结论中不正确的是（ ） A 、TQ ＝PQ B 、∠MQT ＝∠MQP C 、∠QTN ＝90° D 、∠NQT ＝∠MQT N T Q P M 3.有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B 处有健身器材，由于居住在A 处的居民践踏了绿地，小明想在A 处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是（ ）. （A ）3米 （B ）4米 （C ）5米 （D ）6米 4.直角三角形的周长是2+6,斜边的中线长为1,则它的面积为____________.（2006年希望杯 ） 5. 如图6，直角△ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC ＝78°，过C 作CF ∥AB ，连接AF 与BC 相交于G ，若GF ＝2AC ，则∠BAG 的大小是______． 6.如图是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形拼和而成.若图中大小正方形的面积分别为522cm 和42cm ，则直角三角形的两条直角边的和是 cm . 7. 在△ABC 中，AB=5cm ，BC=6cm ，BC 边上的中线AD=4cm ，则∠ADC 的度数是 度 8、如图：△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，请你添加一个适当的条件： ，使△AEH ≌△CEB 。 9．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处。另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高____________米。 A B 24 7 3题图 (第6题) D B C A
北师大八年级下三角形的证明练习题培优训练
第一章 培优训练 1．在△ABC 中，∠BAC=130°，若PM 、QN 分别垂直平分AB 和AC ，那么∠PAQ= 度． 2．在等腰三角形ABC 中，AB=AC=5，BC=6，D 是BC 上一点，作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则 DE+DF= ． 3．如图，一张直角三角形的纸片，象图中那样折叠，使A 与B 重合，∠B=30°，AC=3，则折痕DE 等于 ． 4．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交DE 于F ，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠E=105° ∠DAC=10°则∠DFB= ． (3题图) (4题图) 5.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1200，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，DE AB FG AC ⊥⊥，， E 、G 在BC 上，BC=15cm ，求EG 的长度 6、如图，∠AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH …… 添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根。 7．两个三角形如果具有下列条件： ①三边对应相等；②两边和其中一边上的中线对应相等；③两边和第三边上的高对应相等；④三个角对应相等；⑤两边和一个角对应相等；其中一定全等的有( )个 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8．在数学活动课上，小明提出一个问题：“如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，∠CMD=35°，则∠MAB 是多少度？”大家经过了一翻热烈的讨论交流之后，小雨第一个 得出了正确结论，你知道他说的是( ) A ．20° B ．35° C ．55° D ．70° 9．从边长为1的等边三角形内一点分别向三边作垂线，三条垂线段长的和为( ) A ．23 B ．32 C ．2 D ．22 10．如图，在等边三角形ABC 的三边上有三点D 、 E 、 F ，且△DEF 也是等边三角形，其中BD=3，CF=1，则△ABC 的高等于( ) A ．3 B ． 23 C ．10 D ．4 (1题图) (2题图) A B C D E F A B C D M (5题图) E D (B) B C A (10题图)
