第3节空间点、直线、平面之间的位置关系
【选题明细表】
基础巩固(时间:30分钟)
1.已知空间三条直线l,m,n,若l与m异面,且l与n异面,则( D )
(A)m与n异面
(B)m与n相交
(C)m与n平行
(D)m与n异面、相交、平行均有可能
解析:在如图所示的长方体中,m,n1与l都异面,但是m∥n1,所以A,B 错误;m,n2与l都异面,且m,n2也异面,所以C错误.
2.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( D )
解析: 在A图中分别连接PS,QR,易证PS∥QR,
所以P,Q,R,S共面;
在C图中分别连接PQ,RS,易证PQ∥RS,所以P,Q,R,S共面;
在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形,故四点共面;
D图中PS与QR为异面直线,所以四点不共面,故选D.
3.如图是某个正方体的侧面展开图,l1,l2是两条侧面对角线,则在正方体中,l1与l2( D )
(A)互相平行
(B)异面且互相垂直
(C)异面且夹角为
(D)相交且夹角为
解析:将侧面展开图还原成正方体如图所示,则B,C两点重合.故l1与l2相交,连接AD,△ABD为正三角形,所以l1与l2的夹角为.故选D.
ABCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列判断:①MN≥ (AC+BD);②MN> (AC+BD);③MN= (AC+BD);④MN< (AC+BD).
其中正确的是( D )
(A)①③(B)②④(C)② (D)④
解析:如图,取BC的中点O,连接MO,NO,则OM=AC,ON=BD.
在△MON中,MN 所以④正确. 5.在正方体ABCDA1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么正方体过P,Q,R的截面图形是( D ) (A)三角形(B)四边形 (C)五边形(D)六边形 解析:如图所示,作RG∥PQ交C1D1于G,连接QP并延长与CB延长线交于M,且QP反向延长线与CD延长线交于N, 连接MR交BB1于E,连接PE,则PE,RE为截面与正方体的交线,同理连接NG交DD1于F,连接QF,FG,则QF,FG为截面与正方体的交线,所以截面为六边形PQFGRE. DABC的三视图,点O在三个视图中都是所在边的中点,则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于( A ) (A) (B) (C) (D) 解析:由题意得如图的直观图,从A出发的三条线段AB,AC,AD两两垂直且AB=AC=2,AD=1,O是BC中点,取AC中点E,连接DE,DO,OE,则OE=1.又可知AE=1,由于OE∥AB,故∠DOE或其补角即为所求两异面直线所成的角.在直角三角形DAE中,DE=,由于O是中点,在直角三角形ABC 中可以求得AO=.在直角三角形DAO中可以求得DO=,又EO=1,所以△DOE为直角三角形,cos∠DOE==,故所求余弦值为,故选A. 7.如图所示,在三棱锥ABCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为菱形,当AC,BD满足条件时,四边形EFGH是正方形. 解析:易知EH∥BD∥FG,且EH=BD=FG,同理EF∥AC∥HG,且EF=AC=HG,显然四边形EFGH为平行四边形.要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF=EH,即AC=BD;要使平行四边形EFGH为正方形需满足EF=EH且EF ⊥EH,即AC=BD且AC⊥BD. 答案:AC=BD AC=BD且AC⊥BD ·安庆市二模)正四面体ABDC中,E,F分别为边AB,BD的中点,则异面直线AF,CE所成角的余弦值为. 解析:如图,连接CF,取BF的中点M,连接CM,EM,则ME∥AF,故∠CEM(或其补角)即为所求的异面直线所成的角. 设这个正四面体的棱长为2,在△ABD中,AF==CE=CF,EM=,CM=. 所以cos∠CEM==. 答案: 能力提升(时间:15分钟) 9.如图,ABCDA1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是( A ) (A)A,M,O三点共线(B)A,M,O,A1不共面 (C)A,M,C,O不共面(D)B,B1,O,M共面 解析:连接A1C1,AC,则A1C1∥AC,所以A1,C1,C,A四点共面,所以A1C?平 面ACC1A1, 因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,又A在平面ACC1A1和平面AB1D1的交线上.所以A,M,O三点共线.B,C 不正确,BB1与AO异面,所以D不正确.故选A. 10.长方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上,E为AB的中点,CE=3,异面直线A1C1与CE所成角的余弦值为,且四边形ABB1A1为正方形,则球O的直径为( C ) (A)4 (B) (C)4或(D)4或5 解析:设AE=x,则BC=,AC=. 因为A1C1∥AC,所以∠ACE为异面直线A1C1与CE所成的角, 由余弦定理得=,所以x4-7x2+6=0,所以x2=1或6,所以x=1或. 设球O的半径为R,则2R===4或.故选C. 11.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是棱C1D1,C1C的中点,给出以下四个结论:①直线AM与直线C1C相交;②直线AM与直线BN 平行;③直线AM与直线DD1异面;④直线BN与直线MB1异面.其中正确结论的序号为.(把你认为正确的结论的序号都填上) 解析:AM与C1C异面,故①错;AM与BN异面,故②错.易知③④正确. 答案:③④ 12.在正三棱柱ABCA1B1C1中,D是AC的中点,AA1∶AB=∶1,则异面直线AB1与BD所成的角为. 解析:如图,取A1C1的中点D1, 连接B1D1, 因为D是AC的中点,所以B1D1∥BD,所以∠AB1D1即为异面直线AB1与 BD所成的角.连接AD1,设AB=a,则AA1=a,所以AB1=a,B1D1=a, AD1==a. 所以,在△AB1D1中,由余弦定理得 cos∠AB1D1===,所以∠AB1D1=60°. 答案:60° ,在体积为的正三棱锥ABCD中,BD长为2,E为棱BC的中点,求: (1)异面直线AE与CD所成角的余弦值; (2)正三棱锥ABCD的表面积. 解:(1)过点A作AO⊥平面BCD,垂足为O,则O为△BCD的中心,由 ××22×3×AO=,得AO=1.又在正三角形BCD中得OE=1,所以AE=. 取BD中点F,连接AF,EF,故EF∥CD, 所以∠AEF就是异面直线AE与CD所成的角.在△AEF 中,AE=AF=,EF=. 所以cos∠AEF==.所以,异面直线AE与CD所成的角的余弦值为. (2)由AE=可得正三棱锥ABCD的侧面积为 S=3··BC·AE=×2×=3, 所以正三棱锥ABCD的表面积为S=3+·BC2=3+3.
相关主题
文本预览