3.5 一元二次方程的应用
列方程解应用题的一般步骤
(1)审：审题，弄清已知量和未知量及问题中的等量关系．
(2)设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异．
(3)列：列方程，一般找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系，列代数式表示等量关系中的各个量，构成方程。
(4)解：求出所列方程的解
(5)验：检验方程的解是否正确，是否符合题意．
(6)答：写出答案
例：滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空．
解：设应邀请x支球队参赛，则每对共打场比赛，比赛总场数用代数式表示为．根据题意，可列出方程
整理，得
解这个方程，得
合乎实际意义的解为，
答：应邀请支球队参赛.
题型一列一元二方程解决几何问题
例1 如图所示，张大叔从市场上买回来一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好围成一个容积为15m3的无
盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2m，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？
解：设这种箱子底部宽为xm，则长为(x+2)m，依题意，得
x(x+2)×1=15，
解得x1=-5（舍），x2=3
从而x+2=3+2=5．
所以，这种箱子底部长为5m，宽为3 m.
由长方体展开图知，要购买的矩形铁皮的面积为(5+2)×(3+2)=35(m2)．
则购回这张矩形铁皮所花钱数为35×20 =700（元）．
练习：1如图所示，在宽为2Om．长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．
题型二列一元二次方程解决增长率一回题
例2 某电脑公司2011年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2013年经营总收入要达到2 160万元，且计划从2011年到2013年，每年经营总收入的增长率相同，问2012年预计经营总收入为多少万元？
解：2011年的经营总收入为600÷40%=1 500（万元）．
设年增长率为x，由题意得
1 500(1+X)
2 =2 160．即
(1+X)2 =1. 44，
1+x=±1.2．
X1=0.2，X2=-2.2（不合题意，舍去）．
1500(l+x)=1 500×1.2=1 800(万元).
故2012年预计经营总收入为1 800万元．
练习：某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2 000 kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60 000kg，求南瓜
亩产量的增长率．
1为落实房地产调控政策，某县加快了经济适用房的建设力度．2011年该县政府在这项建设中已投资3亿元，预计2013年投资5. 88亿元，则该项投资的年平均增长率是多少？
题型三列一元二次方程解决利润问题
例3 中百超市如果将进货价为40元的商品按50元销售，就能卖出500个，但如果这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，如果你是超市的经理，为了赚得8 000元的利润，你认为售价应定为多少（售价不能超过进价的160%）?这时应进货多少个？
解答这种商品销售问题时，需要明确：总利润=单利润×售出商品的总量．解：设此商品的单价为(50+x)元，则每个商品的利润是[(50+x) -40]元，销售数量为(500-l0x)个。
由题意，得[(50+x)-40](500-l0x)=8 000,
整理得x2 -40x- 300=0．
解得x1=10 ,x2=30
∵商品售价不能超过进价的160%，
∴取x=10.
这时应进货500 -l0x=400（个）．
故售价定为60元，这时应进货400个．
练习：某商店购进一种商品，单价30元，试销中发现这种商品每天的销售量P （件）与每件的售价x（元）满足关系：P=100 - 2x，若商店每天销售这种商品要获得200元的销售利润，那么每件商品的售价应为多少元？每天要售出这种商品多少件？
习题
1某西瓜经营户以2元／千克的价格购进一批小型西瓜，以3元／千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促进销售，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？
2某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售有如下关系，若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售1部，所有出售的汽车的进价均降低0.1万元／部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内，含10部，每部返利0.5万元，销售量
在10部以上，每部返利1万元． (1)若该公司当月卖出3部汽车，则每部汽车的进价为万元；
(2)如果汽车的销售价位28万元／部，该公司计划当月盈利12万元，那么要卖出多少部汽车？（盈利=销售利润十返利）
3 据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境总人数约为7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：
（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率。
（2）如果2012年扔保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？