2011-2012学年八年级数学（人教版上）同步练习第十三章
第三节实数
一. 教学内容：
1. 无理数和实数的概念以及有理数和无理数的区别；
2. 数的范围扩大后，实数的运算有什么发展；
3. 实数和数轴上的点的关系，平面直角坐标系中的点和有序实数对之间的关系。
二. 知识要点：
1. 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
常见的无理数有以下几种形式：
①字母型：指含有某种特定意义的字母，如圆周率π，或化简后含有π的数，如＋8等；
②构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间多一个0）就是一个无限不循环的小数；
③根号型：如、、、…都是一些开方开不尽的数。
2. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数。
判断一个实数的属性（如有理数、无理数），应遵循：一化简，二辨析，三判断。要注意：“神似”而不是“形似”：①所有的有理数都可以写成分数，无理数不可化成分数。像虽看似分数形式，但分子中的不
是整数，因此它实际上并不是分数，而是一个无理数；②要注意将“3.525225222522225”与“3.525225222522225…”区别开来，前者是一个有限小数，因此是有理数；③判断时要看结果，不要看表面形式，如是一个有理数。
3. 实数的分类：
①实数
②实数
4. 当数从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。平面直角坐标系中的点和有序实数对也是一一对应的关系。
5. 实数的相反数、绝对值的概念及实数的运算
实数a的相反数是－a，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
当数从有理数扩展到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0），乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任何一个实数可以进行开立方运算。
6. 实数的运算
实数的运算法则：
①加：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同零相加，仍得这个数。
②减：减去一个数等于加上这个数的相反数。
③乘（除）：同号的两数相乘（或除），取正号；异号两数相乘（或除），取负号，并把绝对值相乘（或除）。任何数与零相乘都得零，零除以任何一个非零数都得零. 除以一个数（除数不为零），等于乘以这个数的倒数。
④几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数确定，当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。
⑤运算律：a＋b＝b＋a；（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）；ab＝ba；（ab）c＝a（bc）；（a＋b）c＝ac＋bc。
⑥混合运算的顺序：有括号时先算括号里的，没括号时，先算乘方、开方、再算乘除，最后加减. 同级运算可以按照从左到右的顺序进行。
⑦实数的混合运算应注意以下几点：一是先确定运算符号及顺序，再进行运算；二是运算过程中熟练运用运算律（正向或逆向）及各种运算法则，掌握一定的运算技巧.
7. 估算实数的大小
对形如（a≥0）的无理数能估计它介于哪两个整数之间，用来比较实数的大小，也能表示这个数的整数部分和小数部分。例如：，∵25＜28＜36，∴＜＜，∴5＜＜6，即是在5和6之间的一个无理数，那么它的整数部分和小数部分分别为5和－5。
三. 重点难点：
1. 重点：①无理数的概念及判别；②实数及其分类。
2. 难点：①实数与数轴上的点的关系；②实数的相反数、绝对值的概念及实数的运算。
【考点分析】
实数是数学知识的基础，在近年来全国各地的中考试题中经常出现，试题对实数的概念、性质和运算单独命题，试题难度低，中档次，题量约占总题量的2%~4%，题型有填空题、选择题和计算题，有的还设计了开放性、探索性的试题. 试题的特点是既考查双基又考查数学思想方法以及灵活运用知识的能力。
【典型例题】
例1 （1）（2007年四川宜宾）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式︱a＋b︱－a的结果是（）
A. 2a＋b
B. 2a
C. a
D. b
（2）实数a在数轴上的位置如图所示. 化简：︱a－π︱＋︱－a︱。
分析：本题主要考查实数绝对值的运算，并巧妙地涉及了数形结合的思想方法。（1）从图中获知a表示的数为负数，b表示的数为正数；由这两点距离原点的位置，知︱b︱＞︱a︱，∴︱a＋b︱＝a＋b，∴︱a ＋b︱－a＝a＋b－a＝b，故应选D。（2）在利用绝对值的概念进行实数的化简时，首先要判断绝对值内实数的正负，再根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数“进行”化简。
解：（1）D
评析：“形能启迪数的计算，数能澄清形的模糊”正是源于此，本题形式独特，思路清晰，解决此类问题时，要注意运用数形结合的数学方法，从数轴上挖掘题中的隐含条件，正确解答，切忌粗心导致判断上的
失误。
解：（1）3（2）C（3）B（4）B（5）＞
评析：（1）根据有理数和无理数的概念和常见无理数的三种形式来进行判断，注意不要被表面形式所迷惑，如：，是有理数而不是无理数。（2）本题的思维障碍是对有理数、无理数、实数的概念理解不清，分类标准不明，尽管实数的分类方法很多，但要注意分类的标准要一致，既不能重复，也不能遗漏。（3）（4）对无理数作近似估算是新课标要求的，它考查学生对数的观察和分析能力。像这样的新题型在新课标下已越来越显现出生命力，同学们必须掌握“估算法”这种解题方法，以便于在具体的实际问题中能及时作出快速处理。（5）①比较两个正无理数的大小，可用平方法，即比较这两个数的平方的大小。②本题也可以用计算器求出两数的近似值，再进行比较。
例3 写出所有适合下列条件的数。
评析：解此类题的关键是找到满足条件的最大数和最小数，然后再将它们之间所有满足条件的数都写出来。
评析：平方根和立方根的知识在实际生活中应用非常广泛，因此数的发展与现实需要密不可分。
例5 如果要把两个棱长分别是2.15cm，3.24cm的正方体铁块熔化，制成一个大的正方体铁块，那么这个大的正方体的棱长有多长？（结果保留3个有效数字）
分析：加工前两个正方体铁块的体积等于加工后一个正方体铁块的体积. 再根据正方体的体积与其棱长的关系便可求得。
解：设这个大正方体的棱长是xcm。
根据题意得x3＝2.153＋3.243，
∴x3≈9.938＋34.01，
x3≈43.948，
x≈3.53。
答：这个大的正方体的棱长是3.53cm。
评析：加工前后铁块的总体积不变是列方程解应用题中常见的一个等量关系。
【方法总结】
学习本节应注重对基本概念的理解，抓住概念的实质以及概念之间的联系，并能够在应用中加深对概念的理解，注意数形结合思想的使用，主要是用数轴比较实数的大小和绝对值的化简。
1 实数单元测试题 填空题：（本题共10小题，每小题2分，共20分） 1、()26-的算术平方根是__________。 2、 π π-+-43＝ _____________。 3、2的平方根是__________。 4、实数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示 化简c b c b a a ---++ 2＝________________。 5、若m 、n 互为相反数，则 n m +-5＝_________。 6、若 2)2(1-+-n m ＝0，则m ＝________，n ＝_________。 7、若 a a -=2，则a______0。 8、 12-的相反数是_________。 9、 3 8-＝________，3 8-＝_________。 10、绝对值小于π的整数有__________________________。 一、 选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 11、代数式12 +x ，x ，y ,2)1(-m ,33 x 中一定是正数的有（ ）。 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 12、若7 3-x 有意义，则x 的取值范围是（ ）。 A 、x ＞37- B 、x ≥ 3 7- C 、x ＞37 D 、x ≥37 13、若x ，y 都是实数，且42112=+-+-y x x ，则xy 的值（ ）。 A 、0 B 、 2 1 C 、2 D 、不能确定 14、下列说法中，错误的是（ ）。 A 、4的算术平方根是2 B 、 81的平方根是±3 C 、8的立方根是±2 Ｄ、立方根等于－１的实数是－１ 15、64的立方根是（ ）。 A 、±4 B 、4 C 、－4 D 、16 16、已知04)3(2 =-+-b a ，则 b a 3 的值是（ ）。 A 、 41 B 、－ 41 C 、433 D 、4 3 17、计算 33 841627-+-+的值是（ ）。 A 、1 B 、±1 C 、2 D 、7 18、有一个数的相反数、平方根、立方根都等于它本身，这个数是（ ）。 A 、－1 B 、1 C 、0 D 、±1 19、下列命题中，正确的是（ ）。 A 、无理数包括正无理数、0和负无理数 B 、无理数不是实数 C 、无理数是带根号的数 D 、无理数是无限不循环小数 20、下列命题中，正确的是（ ）。 A 、两个无理数的和是无理数 B 、两个无理数的积是实数 C 、无理数是开方开不尽的数 D 、两个有理数的商有可能是无理数 三、解答题：（本题共6小题，每小题5分，共30分） 21、求9 7 2的平方根和算术平方根。 22、计算252826-+的值。 0c b a
实数 知识点一、【平方根】如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2 ≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。因此： 1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身； 2、当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。 3、当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。 例1. （1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。 （3）若 x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是 （4）当x 时，x 23－有意义。 （5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 知识点二、【算术平方根】： 1、如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2 ，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根 号a”，其中，a 称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。 2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。 3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此， 算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为： a ±。 例2. （1）下列说法正确的是 （ ） A ．1的立方根是1±； B ．24±=； （ C ）、81的平方根是3±； （ D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ） A 、981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、235=- （3）2 )3(-的算术平方根是 。 （4）若x x -+ 有意义，则=+1x ___________。 （5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32 =-+-b a ，求c 的取值范围。 （7）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。求x － y 的值. （8）求下列各数的平方根和算术平方根. 64； 121 49 ； 0.0004； (－25)2； 11. 1.44， 0，8， 49 100 ， 441， 196， 10－4
初二数学-实数典型习题集
初二数学 实数典型习题集 一、选择题：（40分） 1、在实数70107.08 1221.03、、、、－ 。。 π中，其中无理数的个数为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2、16的算术平方根为（ ） A 、4 B 、4± C 、2 D 、2± 3、下列语句中，正确的是（ ） A 、无理数都是无限小数 B 、无限小数都是无理数 C 、带根号的数都是无理数 D 、不带根号的数都是无理数 4、若a 为实数，则下列式子中一定是负数的是（ ） A 、2a - B 、2)1(+-a C 、2a - D 、) 1(+--a 5、下列说法中，正确的个数是（ ） （1）－64的立方根是－4；（2）49的算术平方根是7±；（3） 271的立方根为31；（4）41是161的平方根。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、 6.估算728-的值在 A. 7和8之间 B. 6和7之间 C. 3和4之间 D. 2和3之间 7、下列说法中正确的是（ ） A 、若a 为实数，则0≥a B 、若a 为实数，则a 的倒数为a 1 C 、若y x 、为实数，且y x =，则y x = D 、若a 为实数，则02≥a
a b -，ab ，a b -中，是正数的有 个． 7.若3+x 是4的平方根，则=x ＿＿＿＿＿＿，若－8的立方根为1-y ，则y=________. 8、计算：2)4(3-+-ππ的结果是＿＿＿＿＿＿。 9.用“*”定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a *21b b +=．那么5*3 = ；当m 为实数 时，m*（m*2）= ． 10.右图是小李发明的填图游戏，游戏规则是：把5，6，7，8四个数分别填入图中的空格内，使得网格中每行、每列的数字从左至右和从上到下都按从小到大的顺序排列．那么一共有 种不同的填法． 三、解答题 （40分） 1. 计算：2020071(1) 22-??-+-?-- ??? （8分） 2.实数b a 、在数轴上的位置如图所示，化简：2a b a --. （10分） 1 2 4 3 9 b a 0
第一章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。 表示方法：记作“a ”，读作根号a 。 性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。 表示方法：正数a 的平方根记做“a ”，读作“正、负根号a ”。 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
《实数》精品教案 ●教学目标： 知识与技能目标： 1、了解实数的意义，能对实数按要求进行分类 2、了解实数和数轴上的点一一对应，能根据实数在数轴上的位置比较大小. 3、了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、 绝对值的意义完全一样. 过程与方法目标： 1、在利用数轴上的点来表示实数的过程中，让学生进一步体会数形结合的思想。 2、能够逐步培养分析和归纳概括的能力，了解辩证统一的思想。 情感态度与价值观目标： 1、在认识“实数”这一新知识时，学生应用已有的“有理数”的相关概念及运算规律 类比解决“实数”的相关概念及运算规律，从而获取解决实数相关问题的基本方法。 2、了解数系扩展对人类认识发展的必要性 ●重点： 1、了解实数意义，能对实数进行分类； 2、在实数范围求相反数、倒数和绝对值、明确实数的运算运算规律； 3、明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数。 ●难点： 利用数轴上的点表示无理数 ●教学流程： 一、课前回顾 1．有理数是如何分类的？分几种情况？ （1）按定义可分为：正整数 整数零 负整数 有理数正分数 分数 负分数
（2）按数的性质可分为： 正整数 正有理数 正分数 有理数零 负整数 负有理数 负分数 任何有理数都可以化成有限小数和无限循环小数的形式 2.什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？ 无理数是无限不循环小数. 带根号的数不一定是无理数. 无理数一般有哪些形式? （1）开不尽方的数是无理数。 （ 2）π及含有π的数是无理数 （3）有一定的规律，但不循环的无限小数是无理数。 练一练 把下列各数分别填入相应的集合内： ， 1 4 ，π，﹣ 5 2 0, 0.3737737773……（相邻两个3之间的7的个数逐次加1） 有理数集合无理数集合 二、探究新知 1、实数的定义
第二章：实数 一、基础测试 1．算术平方根：如果一个正数x 等于a ，即x 2=a ，那么这个x 正数就叫做a 的算术平方根，记作 ，0的算术平方根是 。 2．平方根：如果一个数x 的 等于a ,即x 2=a 那么这个数a 就叫做x 的平方根（也叫做二次方根式），正数a 的平方根记作 ．一个正数有 平方根，它们 ；0的平方根是 ；负数 平方根． 特别提醒：负数没有平方根和算术平方根． 3．立方根：如果一个数x 的 等于a ，即x 3= a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根，记作 ．正数的立方根是 ，0的立方根是 ，负数的立方根是 。 4、实数的分类 _________??????????????????????????????????????????????? ______整数____________有限小数或循环小数______实数负分数____________________________________________ 5．实数与数轴：实数与数轴上的点______________对应． 6．实数的相反数、倒数、绝对值：实数a 的相反数为______；若a,b
互为相反数，则a+b=______；非零实数a 的倒数为_____(a ≠0)；若 a ， b 互为倒数，则ab=________。 7.______(0)||______(0)a a a ≥?=? 二、专题讲解： 专题1 平方根、算术平方根、立方根的概念 若a ≥0，则a 的平方根是 a a<0，则 a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a 。 【例1 ______ 【例2】3 27 的平方根是_________ 【例3】下列各式属于最简二次根式的是（ ） A 【例4】（2010山东德州）下列计算正确的是 （Ａ） 020= （Ｂ）331-=- 3= （Ｄ） = 【例5】（2010年四川省眉山市） A ．3 B ．3- C ．3±
北师大版八年级数学上册第二章实数测试题（1） 一、选择题 1．下列各数：2π, 0·, 227，27，Λ1010010001.6，1中无理数个数为（ ) A ．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个 2．在实数03 2-，｜－2｜中，最小的是（ ）． A ．－23 B ． C ．0 D ．｜-2｜ 3．下列各数中是无理数的是（ ） A ． B C D ．4．下列说法错误的是（ ） A ．±2 B 是无理数 C D ． 2是分数 5．下列说法正确的是（ ） A ．0)2(π是无理数 B ．33是有理数 C ．4是无理数 D ．38-是有理数 6．下列说法正确的是（ ） A ．a 一定是正数 B ． 20163 是有理数 C ．22是有理数 D ．平方根等于自身的数只有1 7．估计20的大小在（ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间 8． (－2)2的算术平方根是（ ） A ．2 B ． ±2 C ．－2 D ．2 9．下列各式中，正确的是（ ） A ．3- B ．3- C 3=± D 3=± 10．下列说法正确的是（ ） A ．5是25的算术平方根 B ．±4是16的算术平方根 C ．－6是（－6）2的算术平方根 D ．0.01是0.1的算术平方根 11．36的算术平方根是（ ） A ．±6 B ．6 C ．±6 D ． 6 12．下列计算正确的是（ ） 4=± Ｂ．1= 4= 2=
13．下列运算正确的是（ ） A ．25=±5 B ．43－27=1 C ．18÷2=9 D ．24· 32 =6 14．下列计算正确的是（ ） A ．822-= B ．27－123＝9－4＝1 C ．(25)(25)1-+= D ．62322 -= 15．如图：在数轴上表示实数15的点可能是（ ） A ．点P B ．点Q C ．点M D ．点N 16．如图，矩形OABC 的边OA 长为2 ，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的 实数是 A ．2.5 B ．2 2 C ． 3 D ． 5 17．下列计算正确的是（ ）． A ．2234-＝4－3＝1 B ．)25()4(-?-＝4-×25-2）×（－5）＝10 C ．22511+＝11＋5＝16 D ．32＝3 6 18．已知n -12是正整数，则实数n 的最大值为（ ） A ．12 B ．11 C ．8 D ．3 19．2)9(-的平方根是x ， 64的立方根是y ，则x ＋y 的值为（ ） A ．3 B ．7 C ．3或7 D ．1或7 20．若||4x =29y =，且||x y x y -=-，则x y +的值为（ ） A ．5或13 B ．－5或13 C ．－5或－13 D ．5或－13 二、填空题 1．实数27的立方根是 2．若一个正数的两个平方根分别是2a －2和a －4，则a 的值是 ． 3．－6的绝对值是___________． 4．估计7的整数部分是
实数的运算 一、 知识点回顾： 考点一、实数的概念及分类 （3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； …等； （4）某些三角函数，如sin60o 等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分） 1、相反数
实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10分） 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 ；注意a 的双重非负性： -a （a <0） a ≥0 3、立方根 如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
13.3实数（一） 教学课题 13.3实数（一） 年级学科 八年级（上）数学 教学 第1 课型 新授课 主备教师 使用教师 教学目标 了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小； 教学重点与难点 重点：实数的意义和实数的分类 难点：体会数轴上的点与实数是一一对应的 教学准备及手段 多媒体教学 探究式教学 教 学 过 程 动态修改部分 ㈠创设情景，导入新课 略 ㈡合作交流，解读探究 探究 使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3 ， 35- ，478 ，911 ，11 9 ，59 我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即 3 3.0= ，30.65-=- ，47 5.8758= ，90.8111= ，11 1.29 = ，5 0.59 = 归纳 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数 观察 通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫无理数， 3.14159265π=也是无理数 结论 有理数和无理数统称为实数 试一试 把实数分类 ???? ????? ?→?整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数 像有理数一样，无理数也有正负之分。例如2，3 3，π是正无理数，2-，33-，π-是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类：
0??? ??? ? ???????? 正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以 用数轴上的点来表示呢？ 探究 如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O ′，点O ′的坐标是多少？ 总结 1、事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数 当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数 1、 与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总 比左边的点表示的实数大 讨论 当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？ 总结 数a 的相反数是a -，这里a 表示任意一个实数。一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 ㈢应用迁移，巩固提高 例1 把下列各数分别填入相应的集合里： 33 22 7 8,3, 3.141, , ,,2,0.1010010001,1.414,0.020202,7 378 π----- 正有理数{ } 负有理数{ } 正无理数{ } 负无理数{ } 备选例题 下列实数中是无理数的为（ ） A. 0 B. 3.5- C.2 D.9 ㈣总结反思，拓展升华 ㈤课堂跟踪反馈 1、下列各数中，是无理数的是（ ） A. 1.732- B. 1.414 C. 3 D. 3.14 2、已知四个命题，正确的有（ ） ⑴有理数与无理数之和是无理数 ⑵有理数与无理数之积是无理数 ⑶无理数与无理数之积是无理数 ⑷无理数与无理数之积是无理数 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个 3、若实数a 满足 1a a =-，则（ ） A. 0a > B. 0a < C. 0a ≥ D. 0a ≤ 4、下列说法正确的有（ ） ⑴不存在绝对值最小的无理数 ⑵不存在绝对值最小的实数
八年级数学上册实数教案 平方根与算术平方根 1.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即a 2，那么这个 x= 正数x叫做a的算术平方根（特别规定：0的算术平方根是0）。例如，4 22=，正数2是4的算术平方根。虽然4 )2 (2=，但－2不是正数，所以－2不是4的算术平方根，（“”是算术平方根的符号） 2.平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。就是说，如果x2＝a,那么x就叫做a的平方根。例如，4 22 ，2是4的平方根，4 (2=，－2是4的平方根，即2和－2都是4的平方根。 )2 知识点概括 概括1：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 概括2：求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平方。 开平方运算是已知指数和幂求底数。平方与开平方互为逆运算。一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0的平方是0。但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0的平方根是0。负数没有平方根。 概括3：“”是算术平方根的符号，a就表示a的算术平方根。 a的意义有两点： （1）被开方数a表示非负数，即a≥0； （2）a也表示非负数，即a≥0。也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数。负数不存在算术平方根，即a＜0时，a无意义。 概括4：平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。
概括5：如果x2＝a,那么x就叫做a的平方根，用±a来表示。 当a＞0时，a有两个平方根， 当a＝0时，a有一个平方根，就是它本身； 当a＜0时，a没有平方根。 正数a有两个平方根(表示为a ±)，我们把其中正的平方根，叫做a的算术平方根，表示为a。0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0，即0 0=。 平方根与算术平方根的区别在于： ①定义不同； ②个数不同：一个正数有两个平方根, 而一个正数的算术平方根只有一个； ③表示方法不同：正数a的平方根表示为a , 正数a的算术平方根表示为a； ④取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数, 正数的平方根是一正一负． ⑤0的平方根与算术平方根都是0． 立方根 立方根概念：如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。 表示法：用式子表示，就是，如果a 3，那么x叫做a的立方根。数a的立方 x= 根用符号“3a”表示，读作“三次根号a，其中a是被开方数，3是根指数。(注意：根指数3不能省略)。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 立方根性质：(1)正数的立方根是正数(2)负数的立方根是负数 (3)0的立方根是0． 平方根与立方根的区别与联系 区别：（1）根指数不同：平方根的根指数为2，且可以省略不写；立方根的根指数为3，且不能省略不写。
《实数》教案 教学目标 知识与技能目标 1．了解实数的意义，能对实数按要求进行分类； 2．了解实数和数轴上的点一一对应，能根据实数在数轴上的位置比较大小. 3．能进行无理数的大小比较和运算. 过程与方法目标 1．通过对实数分类的探究，增强学生的分类意识； 2．在利用数轴上的点来表示实数的过程中，将数和图形结合在一起，让学生进一步体会数形结合的思想. 情感与态度目标 1．通过对实数进行分类的练习、进一步领会分类的思想方法； 2．在探究利用数轴上的点表示实数的过程中，训练学生多角度思维，培养和发展学生的合作意识. 教学重点 1．了解实数意义，能对实数进行分类； 2．明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数； 3．能进行无理数的大小比较和运算. 教学难点 建立实数概念及分类． 教法学法 1．教学方法：自主探究—交流—发现. 2．课前准备：多媒体课件、投影仪、电脑. 教学过程 一、复习导入 内容：问题：(1)什么是有理数？有理数怎样分类？ (2)用计算器求得2是多少？用计算机求呢？ 意图：回顾以前学习过的内容，学生自己动手体验，为进一步学习引入无理数后数的范围的扩充作准备． 计算器显示结果为：1.414213562． 计算机显示结果为：1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731 76679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297……
得出结论：2不是一个有理数． 二、实数概念 2不是一个有理数，那是什么呢？ 是一个无线不循环小数！ 是无理数！ 2 π……等都是无理数． 有理数和无理数统称为实数． 即实数可以分为有理数和无理数． 把下列各数分别填入相应的集合内： 32，41，7，π，25-，2，320，5-，38-，9 4，0，0.3737737773……(相邻两个3之间7的个数逐次增加1) 意图：通过将以上各数填入有理数集合和无理数集合，加强实数概念． 效果：学生动手填写，并进行小组交流讨论，对带根号的数是否是无理数有了进一步认识． 三、实数分类 0属于正数吗？0属于负数吗？ 从符号考虑，实数可以分为正实数、0、负实数，即： ?? ???负实数正实数实数0 另外从实数的概念也可以进行如下分类： ? ??无理数有理数实数 意图：在实数概念形成的基础上对实数进行不同的分类．上面的数中有0，0 不能放入上 有理数集合 无理数集合
.填空题 - _ ? ? dd 、 ________________ Q 2. 下列各数：①3.141②0.701③、、5 . 7④n ⑤.2.25⑥ - 3 ⑦0⑧0.3030030003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加1）, 绝对值等于■ 2的数是 6.比较大小（填“〉”或“ <”） 5；亠 2 7. 大于?、5且小于..3的所有整数是 8. 如图，从帐篷AB 的顶部A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷?若绳子的长 度是6.5米，地面固定点C 到帐篷支撑竿底部B 的距离是5.5米，则帐篷 支撑竿的高AB 是 ____________ 米. 9. 若|x — 2|+ , y 3 = 0,则 xy = 11. 已知直角三角形的两条直角边分别是 4和5，这个直角三角形的斜边的长 度在两个相邻的整数之间，这两个整数是 _______ 和 ________ . 12. 若一个正数的平方根是 3a-2和-2a+1，则a = . 13. 如果 2 x 有意义,那么化简.（x 4）2 = __________ . ___ 初二数学 班级 _______ 学号 姓名 _________ 1.9的算术平方根是 ,3的平方根是 其中有理数是 ；无理数是 （填序号） 3. 在厶ABC 中,AC = BO 6cm,要使/ C = 90 ° ,则AB 的长必为 cm. 4.算术平方根等于它本身的数是 5.3- 6的相反数是 ;立方根等于它本身的数 —的倒数是丄； 10.若. (a 1)2 = 3,则 a =
14 .若2x+1的平方根是土 3,则?. 3x 4 = . 二选择题 1. 下列说法正确的是 （） A. 有理数是有限小数； B.无理数是无限小数； C.无限小数是无理数； D. _是分数 3 2 .—个直角三角形的两条直角边长分别为 3 cm 与 奇cm,则直角三角形的 面积 （） 2 2 2 2 A. 27cm ; B. 9cm ; C. 4.5cm ; D. 13.5cm 3.下列说法中正确的有 （） ①2都是8的立方根②3 x 3 x ③-81的平方根是3 ④3 8 2 A.1 个； B.2 个； C.3 个； D.4 个 4. 下列各式中，正确的是（ ） A. 25 =± 5； B. . (i 5)2 = 5 ； C. 16 1 = 41; D.6 - 2、、2=U ■ 4 2 3 2 5. 如图，若数轴上的点 A , B , C, D 表示数-2 , 1, 2, 3,则表示4 、7的 C. .2是2的平方根； D. - 3是..（3）2的平方根 点P 应在线段 （） A.AB 上; B.BC 上; C.CD 上; D.OB 上 6. 下列 说法错误的是 （ A O B C D ―* -- + ---- * ----- * --- * ---- * ----* --- *----- -3-2-101234 -1的立方根是-1；
1 ___ π___ _____ —, 3√22 , 9.7 , —, √4 , 3√－1 , 0 5 29 (1)正数集合{ …}; (2)负数集合{ …}; (3)有理数集合{ …}; (4)无理数集合{ …}; 2.求下列各数的平方根和算术平方根。 25 (1) ——(2) 484 (3) 2.89 (4) 104 36 3.求下列各数的立方根。 1 (1) ——(2) 0.512 (3) －1000 (4) 106 27 4.求下列各式的值。 _____ _____ ___ ___ 3√0.216 3√－729 √144 √10-2
5 ___ π___ _____ －—, 3√24 , 8 , —, √1 6 , 3√－8 , 0 6 29 (1)正数集合{ …}; (2)负数集合{ …}; (3)有理数集合{ …}; (4)无理数集合{ …}; 2.求下列各数的平方根和算术平方根。 1 (1) ——(2) 100 (3) 0.49 (4) 10-4 49 3.求下列各数的立方根。 125 (1) ——(2) 0.216 (3) 125 (4) 10-9 64 4.求下列各式的值。 _____ _____ ___ ___ 3√0.125 3√－216 √225 √10-6
3 ___ π___ _____ －—, 3√9 , 9.3 , —, √100 , 3√－125 , 0 2 5 (1)正数集合{ …}; (2)负数集合{ …}; (3)有理数集合{ …}; (4)无理数集合{ …}; 2.求下列各数的平方根和算术平方根。 49 (1) ——(2) 361 (3) 0.09 (4) 10-6 64 3.求下列各数的立方根。 1 (1) ——(2) －0.512 (3) －729 (4) 103 8 4.求下列各式的值。 _____ _____ ___ ___ 3√0.125 3√－216 √400 √106
实数 基础练习题 1．在下列实数中，属于无理数的是 A ．0 B C ．3 D ． 13 2．在1 3.140.231.131331333133331(3 π-，，，……每两个1之间依次多一个3)中，无理数的个数是 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3的值在 A ．0和1之间 B ．1和2之间 C ．2和3之间 D ．3和4之间 4．下列四个数中，最小的一个数是 A ． B 3-． C -． D π-． 5 A ．3 B ．3- 1 C 3． 1 D 3 -． 6．下列说法中，正确的个数有 ①不带根号的数都是有理数； ②无限小数都是无理数； ③任何实数都可以进行开立方运算； ④ 5 不是分数． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 7．下列各组数中互为相反数的一组是 A ．-|-2| B ．-4与 C ． D ．
8．如图，数轴上点P表示的数可能是 A6B．7C． 3.4 -D．11 932 -的相反数是__________，绝对值是__________． 10．计算：325262 +-=__________． 115的点表示的数是__________． 12313）=__________7（1 7 ）=__________． 13．把下列各数填入相应的集合内： 15416，2 3 3270.15，-7.5，-π，0，23.． ①有理数集合：｛…｝； ②无理数集合：｛…｝； ③正实数集合：｛…｝； ④负实数集合：｛…｝． 14．已知：x是|-3|的相反数，y是-2的绝对值，求2x2-y2的值． 15．已知a7的整数部分，b7的小数部分，|c7，求a-b+c的值．
八年级上册数学《实数》练习题 一、 1．写出和为8的两个无理数 ． 22，那么a = ． 3．下列实数： 1 2，π3 -，|1|-0.1010010001，0中，有m 个有理数，n 个无理数， 5位有效数字）． 4、若a 、b 都是无理数，且a +b =2，则a 、b 的值可以是 （填上一个满足条件的值即可）． 5、实数a 在数轴上的位置如图1所示，则|1|a -= ． 6．（2－3）2007（2－3）2008= ． 7、若一个正数的平方根是2a-1和-a+2，则a= ，这个正数是 ． 8．已知按一定规律排列一组数：1，12，13，…，119，120，…用计算器探索：如果从中选出若干个数，使它们的和大于3，那么至少需要选出 个 9、用计算器计算比较大小：（填“＞”、“＝”“＜”）． 10、观察下列各式：311+＝231，412+＝34 1，513+＝451，……，请你将猜想到的规律用含自然数n （n ≥1）的代数式表示出来是 ． 二、精心选一选，慧眼识金！ 11.如果一个有理数的平方根和立方根相同，那么这个数是（ ） A. ±1. B. 0. C. 1. D. 0和1. 12.一个直角三角形的两直角边分别是6、3，则它的斜边长一定是( ) A ．整数 B.分数 C.有理数 D. 无理数 13.3的值（ ） A ．在5和6之间 B ．在6和7之间
C ．在7和8之间 D ．在8和9之间 14.已知0＜x ＜1，那么在x ， x 1，x ，x 2中最大的是（ ） A ．x B ．x 1 C ．x D ．x 2 15、下列各组数中互为相反数的是（ ） Ａ．5Ｂ．5-和15 Ｃ．5- Ｄ．5--和()5-- 16、化简31-3+4的结果是( ) A. 3-1. B. 3-3. C. -1-3. D.1+3. 17= ） A. x ≥1 B. x ≥-1 C.-1≤x ≤1 D. x ≥1或x ≤-1 18、下列各式中计算正确的是（ ）. A.7434322=+=+ B.20)5()4(2516)25()16(=-?-=-?-=-?- C.228324 324=== D.53 8251242512 4=?= 19、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c 为斜边，a 、b 为两条直角边，则化简 2||c a b --的结果为（ ） A ．3a b c +- B ．33a b c --+ C ．33a b c +- D ．2a 20、设4a ，小整数部分为b ，则1 a b -的值为（ ） A ．12- B C ．12+ D ． 三、用心想一想，马到成功！ 21、用计算器求372258-的值．（保留两个有效数字） 22、如图的集合圈中，有5个实数．请计算其中的有理数的和与无理数的积的差．
八年级数学上册实数思维导图 汇总 实数的概念及分类 ①实数的分类 ②无理数 无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住无限不循环这一时之，归纳起来有四类： 开方开不尽的数，如 7 ,3 2等; 有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有的数，如 /+8等; 有特定结构的数，如0.1010010001等; 某些三角函数值，如sin60等 实数的倒数、相反数和绝对值 ①相反数 实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。
②绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。|a|0。0的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a0;若|a|=-a，则a0。 ③倒数 如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。0没有倒数。 ④数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可)。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 ⑤估算 实数大小的比较 ①实数比较大小 正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数; 数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大; 两个负数，绝对值大的反而小。 ②实数大小比较的几种常用方法 数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
求差比较：设a、b是实数 a-b0ab; a-b=0a=b; a-b0a 求商比较法：设a、b是两正实数， 绝对值比较法：设a、b是两负实数，则∣a∣∣b∣a 平方法：设a、b是两负实数，则 a2b2a
此文档下载后即可编辑 初二数学 班级 学号 姓 名 一.填空题 1.9的算术平方根是 ，3的平方根是 . 2.下列各数：① 3.141 ②? ?107.0 ③75- ④π ⑤252.± ⑥3 2 - ⑦0 ⑧0.3030030003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加1）, 其中有理数是 ；无理数是 .（填序号） 3.在△ABC 中,AC ＝BC ＝6cm,要使∠C = 90°,则AB 的长必为___ cm. 4.算术平方根等于它本身的数是 ；立方根等于它本身的数 . 5.3-6的相反数是 ； _____ _的倒数是2 1-； 绝对值等于 2的数是 . 6.比较大小 (填“>”或“<”) 5-______6-; 3 10; 21 3-_____2 1. 7.大于5-且小于3的所有整数是_______________ .
8.如图，从帐篷AB 的顶部A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷．若绳子的长度是6.5米，地面固定点C 到帐篷支撑竿底部B 的距离是5.5米，则帐篷支撑竿的高AB 9.若|x －2|+3-y ＝0,则xy ＝__ . 10.若2)1(-a ＝3，则a ＝ . 11.已知直角三角形的两条直角边分别是4和5，这个直角三角形的斜边的长度在两个相邻的整数之间，这两个整数是_______和_______. 12.若一个正数的平方根是3a-2和-2a+1，则a ＝ . 13.如果x -2有意义,那么化简2)4(-x ＝ . 14．若2x+1的平方根是±3,则43+x ＝ . 二.选择题 1.下列说法正确的是 ( ) A.有理数是有限小数; B.无理数是无限小数; C.无限小数是无理数; D.3 π是分数 2．一个直角三角形的两条直角边长分别为 3 cm 与 27 cm,则直 角三角形的面积 （ ） A.227cm ; B.29cm ; C.25.4cm ; D.25.13cm 3.下列说法中正确的有 （ ） ①2±都是8的立方根 ②x x =33 ③81的平方根是3 ④283=--
北师大版八年级数学上册第二章实数计算题 一、算术平方根： 例1 求下列各数的算术平方根： （1）900； （2）1； （3） 64 49 ； （4）14． 答案：解：（1）因为302=900，所以900的算术平方根是30，即30900=； （2）因为12=1，所以1的算术平方根是1，即11=； （3）因为6449 872 =? ? ? ??，所以 6449的算术平方根是87， 即876449=； （4）14的算术平方根是14． 反馈练习： 一、填空题： 1．若一个数的算术平方根是7，那么这个数是 ； 2．9的算术平方根是 ； 3．2)3 2(的算术平方根是 ； 4．若22=+m ，则2)2(+m = ． 二、求下列各数的算术平方根： 36， 144 121 ，15，0.64，410-，225，0)65(． 三、如图，从帐篷支撑竿AB 的顶部A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C 到帐篷支撑竿底部B 的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？ 答案：一、1.7；2.3 ；3.32 ；4．16；二、6；12 11；15； 0.8；210-；15；1； 三、解：由题意得 AC =5.5米，BC =4.5米，∠ABC =90°，在Rt △ABC 中，由勾股定理得105.45.52222=-=-=BC AC AB （米）．所以帐篷支撑竿的高是 10米． 识.对学生的回答，教师要给予评价和点评。 二、平方根 例2 求下列各数的平方根: (1)64；(2)49121 ；(3) 0.0004；(4)()2 25-； (5) 11
（1）解：()2 648=±Q ，648∴±的平方根是 8± =±即 (2)解：() 24949771211211111 ,=∴±±Q 的平方根为 711± =±即 （3）解：()2 0.0004,0.00040.020.02=∴±±Q 的平方根是 0.02± =±即 (4) 解：()()()2 2,25252525=∴±±--Q 2的平方根是 25=±即 (5) 解：11 Q 的平方根是思考提升 ()2 5-的平方根是 ，2 = = ，= =2a 。 2 ≥=当a ， 三、立方根 例3求下列各数的立方根： （1）27－； （2）1258 ； （3）8 3 3 ； （4）216.0 ； （5）5－. 解：（1）因为 2733 ＝－）（－，所以27－的立方根是3－，即3273＝－－； （2）因为1258523 =?? ? ??，所以1258的立方根是52，即5212583 ＝； （3）因为 8338272 3 3 ＝＝）（，所以833的立方根是2 3 ，即238333＝； （4）因为 216.06.03 ＝）（，所以216.0的立方根是6.0，即6.0216.03＝； （5）5－的立方根是35－. 例4 求下列各式的值：=