湖南师大附中2020届高三上学期第三次月考(理数)

湖南师大附中2020届高三上学期第三次月考

数 学（理科）

时量：120分钟 满分：150分

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A ＝??????

－13，12，B ＝{}x |ax ＋1＝0，且B ?A ，则a 的可能取值组成的集合为

(D)

A.{}－3，2

B.{}－3，0，2

C.{}3，－2

D.{}3，0，－2 2．已知复数z ＝11＋i

，命题p ：复数z 的虚部为1

2，命题q ：复数z 的模为1.下列命题为

真命题的是(D)

A ．p ∨q

B ．p ∧(綈q )

C ．p ∧q

D ．(綈p )∧(綈q ) 【解析】z ＝11＋i ＝1－i 2＝12－12i ，所以z 的虚部为－1

2，模为

????122＋????122

＝22

，所以命

题p ，q 均为假命题，故选D.

3．若向量a 与b 满足(a ＋b )⊥a ，且|a |＝1，|b |＝2，则向量a 在b 方向上的投影为(B) A. 3 B ．－12 C ．－1 D.3

3

【解析】利用向量垂直的充要条件有：(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0，∴a ·b ＝－1，向量a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－1

2

.

4．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米．当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－3

米时，乌龟爬行的总距离为(B)

A.105－190米

B.106－19000米

C.106－9900米

D.105－9

900

米

【解析】乌龟爬行的总距离为100＋10＋1＋0.1＋0.01＋0.001＝106－19000

(米)．

5．已知定义在R 上的函数f (x )＝2||x －m －1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f ()log 25，c ＝f ()2＋m ，则a ，b ，c 的大小关系为(B)

A ．a

B ．a

C ．c

D ．c

【解析】∵函数f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )在R 上恒成立，∴m ＝0，∴当x ≥0时，易得f (x )＝2||x －1为增函数，∴a ＝f (log 0.53)＝f (log 23)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2)，∵log 23<2

6．设p ：?x ∈(0，＋∞)，x 2－ax ＋1≥0，则使p 为真命题的一个充分非必要条件是(A) A ．a ≤1 B ．a ≤2 C ．a ≤3 D ．a >2

【解析】若p 为真命题，则当x ＞0时，不等式x 2－ax ＋1≥0恒成立，即a ≤x ＋1

x 恒成立，

所以a ≤????x ＋1x min .因为当x ＞0时，x ＋1x

≥2x ·1

x

＝2，当且仅当x ＝1时取等号，所以命题p 为真的充要条件是a ≤2，则a ≤1是使p 为真命题的一个充分非必要条件．故选A.

7．已知α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，给出下列说法：

①若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β；②若l ∥α，α∥β，则l ∥β；③若l ⊥α，α∥β，则l ⊥β；④若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β.

其中说法正确的个数为(C) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0

【解析】①若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β或l ?β；②若l ∥α，α∥β，则l ∥β或l ?β；③若l ⊥α，α∥β，则l ⊥β，正确；④若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β或l ∥β或l 与β相交且l 与β不垂直．故选C.

8．若5个人各写一张卡片(每张卡片的形状、大小均相同)，现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有(D)

A ．20

B ．90

C ．15

D ．45

【解析】根据题意，分2步分析：①先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，有C 51种选法，②对于剩余的4人，因为每个人都不能拿自己写的卡片，因此第一个人有3种拿法，被拿了自己卡片的那个人也有3种拿法，剩下的2人拿法唯一，所以不同的拿卡片的方法有C 51·C 31·C 31＝45种．

9．设双曲线的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为双曲线在第二象限上的点，直线BO 交双曲线于C 点，若直线AC 平分线段BF 于M ，则双曲线的离心率是(D)

A.12 B ．2 C.1

3

D ．3 【解析】由题知BF 中点为M ，连接OM ，CF ，则OM 为△BCF 的中位线，于是a

c －a

＝OM CF ＝1

2

，可得c ＝3a ，∴e ＝3. 10．已知函数f (x )＝?

???

?－x 2＋ax ，x ≤1，a 2x 2－7，x >1，若存在x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，使f (x 1)＝f (x 2)，则实

数a 的取值范围是(A)

A ．a <3

B ．－2

C ．－2≤a ≤2

D ．a <2

【解析】当a

2<1，即a <2时，函数f (x )＝－x 2＋ax ，x ≤1上存在x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，使

f (x 1)＝f (x 2)，所以a <2时满足题意；当a ≥2时，需满足－1＋a >a 2－7，解得－2

11．将函数f (x )＝sin(2ωx ＋φ)(ω>0，φ∈[]0，2π)图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数g (x )，函数g (x )的部分图象如图所示，且g (x )在[]0，2π上恰有一个最大值和一个最小值(其中最大值为1，最小值为－1)，则ω的取值范围是(C)

A.????712，1312

B.???

?712，1312 C.????1112，1712 D.???

?1112，1712 【解析】由已知得函数g (x )＝sin(ωx ＋φ)，由g (x )图象过点?

??

?

0，

32以及点在图象上的位置，

知sin φ＝

32，φ＝2π3，∵0≤x ≤2π，∴2π3≤ωx ＋2π3≤2πω＋2π3

， 由g (x )在[]0，2π上恰有一个最大值和一个最小值，∴5π2≤2πω＋2π3<7π

2，

∴1112≤ω<17

12

. 12．已知球O 是三棱锥P －ABC 的外接球，P A ＝AB ＝PB ＝AC ＝1，CP ＝2，点D 是PB 的中点，且CD ＝

7

2

，则球O 的表面积为(A) A.7π3 B.7π6 C.721π27 D.721π54

【解析】由P A ＝AB ＝PB ＝AC ＝1，CP ＝2，得P A ⊥AC .由点D 是PB 的中点及P A ＝AB ＝PB ，易求得AD ＝

32，又CD ＝7

2

，所以AD ⊥AC ，所以AC ⊥平面P AB .以△P AB 为底面，AC 为侧棱补成一个直三棱柱，则球O 是该三棱柱的外接球，球心O 到底面△P AB 的距离d

＝12AC ＝12，由正弦定理得△P AB 的外接圆半径r ＝P A 2sin 60°＝13，所以球O 的半径为R ＝d 2＋r 2＝712，所以球O 的表面积为S ＝4πR 2＝7π

3

.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知cos ????α－π3＝13，则sin ????2α－π6＝__－7

9

__． 【解析】sin ????2α－π6＝sin ????2????α－π3＋π2＝cos2????α－π3＝2cos 2????α－π3－1＝－79

. 14．湖南师大附中第33届体育节高二年级各班之间进行篮球比赛，某班计划从甲、乙两人中挑选服务人员，已知甲可能在16：00－17：00到达篮球场地，乙可能在16：30－17：

00到达，若规定谁先到达就安排谁参加服务工作，则甲参加服务工作的概率是__3

4

__．

【解析】设甲和乙到校的时刻分别为16时x 分和16时y 分，(x ，y )可以看成平面直角坐标系中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤60，30≤y ≤60}，这是一个长方形区域，面积为30×60＝1800，而甲比乙先到篮球场应满足y >x ，则符合题意的图形的面积

为1800－12×30×30＝1350，所以甲参加服务工作的概率是13501800＝3

4

.

15．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M ，

N ，过弦MN 的中点P 作抛物线准线的垂线PQ ，垂足为Q ，则

||PQ ||

MN 的最大值为2．

【解析】过点M ，N 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为M ′，N ′，则||PQ ＝1

2(||MM ′＋||NN ′)≤

||MM ′2＋||

NN ′2

2

＝

||MF 2＋||

NF 2

2

＝

||

MN 2

2

＝

||

MN 2

，可得

||PQ ||MN ≤2

2

，当且仅当||MF ＝||NF 时等号成立，所以

||PQ ||

MN 的最大值为2

2.

16．对于数列{}a n ，定义A n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －

1a n

n

为数列{}a n 的“好数”，已知某数列{}a n 的“好数”A n ＝2n ＋

1，记数列{}a n －kn 的前n 项和为S n ，若S n ≤S 7对任意的n ∈N *恒成立，则实

数k 的取值范围是__????

94，167__．

【解析】由题意，当n ＝1时，a 1＝A 1＝22＝4，由nA n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －

1a n ，可得(n －

1)A n －1＝a 1＋2a 2＋…＋2n －

2a n －1(n ≥2)，两式相减可得nA n －(n －1)A n －1＝2n －

1a n ，

整理得a n ＝nA n －（n －1）A n －12n －1＝n ·2n ＋

1－（n －1）·2n

2n －

1

＝4n －2(n －1)＝2n ＋2， 由于a 1＝2×1＋2＝4，则数列{}a n 的通项公式为a n ＝2n ＋2，则a n －kn ＝(2－k )n ＋2，

由于S n ≤S 7对任意的n ∈N *恒成立，则k >2且a 7－7k ≥0，a 8－8k ≤0，解得94≤k ≤16

7.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

(一)必考题：共60分． 17．(本小题满分12分)

在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos 2C －cos 2B ＝sin 2A －sin A sin C . (1)求角B 的值；

(2)若BC 边上的高AH 满足||AH ＝12||BC ，求b 2c ＋c

2b 的取值范围．

【解析】(1)由cos 2C －cos 2B ＝sin 2A －sin A sin C ， 得sin 2B －sin 2C ＝sin 2A －sin A sin C .

由正弦定理，得b 2－c 2＝a 2－ac ，即a 2＋c 2－b 2＝ac ， 所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝1

2.

因为0

3

.6分

(2)因为BC 边上的高AH 满足||AH ＝12||BC ，所以12×a 2×a ＝1

2

bc sin A ，即a 2＝2bc sin A ，

可得b 2c ＋c 2b ＝b 2＋c 22bc ＝a 2

＋2bc cos A 2bc ＝2bc sin A ＋2bc cos A 2bc

＝sin A ＋cos A ＝2sin ???

?A ＋π

4，9分

由(1)知B ＝π3，∴0

12π，

∴2sin ????A ＋π4∈? ??

??3－12，2， 所以b 2c ＋c 2b 的取值范围为? ??

??3－12，2.12分

18．(本小题满分12分)

如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，ED ∥FB ，DE ＝12BF ，

AB ＝FB ，FB ⊥平面ABCD .

(1)设BD 与AC 的交点为O ，求证：OE ⊥平面ACF ； (2)求二面角E －AF －C 的正弦值．

【解析】(1)由题意可知：ED ⊥平面ABCD ，从而DE ⊥AC ，

又因为四边形ABCD 是边长为2的正方形，所以DB ⊥AC ，又因为DB ∩DE ＝D ，∴AC ⊥平面DBE ，

∵OE ?平面DBE ，∴AC ⊥OE ，2分

在△EOF 中，OE ＝3，OF ＝6，EF ＝3，∴OE 2＋OF 2＝EF 2，∴OE ⊥OF ， 又AC ∩OF ＝O ，∴OE ⊥平面ACF .5分

(2)易知ED ⊥平面ABCD ，且DA ⊥DC ，

如图，以D 为原点，DA ，DC ，DE 方向建立空间直角坐标系， 从而E (0，0，1)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，F (2，2，2)，O (1，1，0)． 由(1)可知EO →

＝(1，1，－1)是平面AFC 的一个法向量，7分 设n ＝(x ，y ，z )为平面AEF 的一个法向量，

由?????AF →·n ＝2y ＋2z ＝0，AE →·n ＝－2x ＋z ＝0，令x ＝1得n ＝(1，－2，2)，9分

设θ为二面角E －AF －C 的平面角，

则|cos θ|＝|cos EO →

，n |＝|EO →·n ||EO →|·|n |＝33，∴sin θ＝63.

∴二面角E －AF －C 的正弦值为6

3

.12分