立体几何二轮复习材料
【课程目标】
本模块的内容包括：立体几何初步、平面解析几何初步。
通过立体几何初步的教学，使学生经历直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质的过程；使学生直观认识和理解空间点、线、面的位置关系，能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证，了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力；使学生感受、体验从整体到局部、从具体到抽象，由浅入深、由表及里、由粗到细等认识事物的一般科学方法。
【学习要求】
1．立体几何初步
（1）空间几何体
直观了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征；能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构。
能画出简单空间图形（棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型；能使用纸板等材料制作简单空间图形（例如长方体、圆柱、圆锥等）的模型，会用斜二测法画出它们的直观图。
了解空间图形的两种不同表示形式（三视图和直观图），了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系。
会画某些简单实物的三视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，直观图的尺寸、线条等不作严格要求）。
（2）点、线、面之间的位置关系
理解空间点、线、面的位置关系；会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系。了解如下可以作为推理依据的4条公理、3条推论和1条定理：
◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
◆公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
◆公理3：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。
◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
了解空间线面平行、垂直的有关概念；能正确地判断空间线线、线面与面面的位置关系；理解如下的4条关于空间中线面平行、垂直的判定定理：
◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
◆一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
并能用图形语言和符号语言表述这些判定定理（这4条定理的证明，这里不作要求）。
理解如下的4条关于空间中线面平行、垂直的性质定理：
◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。
◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。
◆垂直于同一个平面的两条直线平行。
◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
能用图形语言和符号语言表述这些性质定理，并能加以证明。
能运用上述4条公理、3条推论和9条定理证明一些空间位置关系的简单命题。
了解异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角及其平面角的概念；了解点到平面的距离、平行于平面的直线到平面的距离、两个平行平面间的距离的概念（上述角与距离的计算不作要求）。
（3）柱、锥、台、球的表面积和体积
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式），会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积。
2008江苏高考数学科考试说明
对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C 表示）。
了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题。
理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题。
掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题。
16．(08江苏卷)（14分）在四面体ABCD 中，BD AD CD CB ⊥=,，且E 、F 分别是AB 、BD 的
中点， 求证：（1）直线EF//面ACD
（2）面EFC ⊥面BCD
【解析】：本小题考查空间直线于平面、平面与平面的位置
关系的判定，考查空间想象能力、推理论证能力。
（1）∵E 、F 分别是AB 、BD 的中点 ∴EF 是△ABD 的中位线
∴EF//AD
又∵EF ?面ACD ，AD ?面ACD ∴直线EF//面ACD （2）
//EF AD EF BD AD BD ?
?⊥?⊥?
C CB C
D F BD F BD =??⊥??为中点 B D C
E
F E F C B C D
B D B
C D
?⊥?
?⊥???面面面面 C F EF F =
19．(08山东文科)（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，
AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，2AB =（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积．
（Ⅰ）证明：在ABD △中，
由于4AD =，8BD =，AB = 所以2
2
2
AD BD AB +=．
故AD BD ⊥．
又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，
BD ?平面ABCD ， 所以BD ⊥平面PAD ， 又BD ?平面MBD ，
故平面MBD ⊥平面PAD ．
（Ⅱ）解：过P 作PO AD ⊥交AD 于O ， 由于平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．
因此PO 为四棱锥P ABCD -的高， 又PAD △是边长为4的等边三角形．
因此4PO =
= 在底面四边形ABCD 中，AB DC ∥，2AB DC =，
所以四边形ABCD 是梯形，在Rt ADB △中，斜边AB = 此即为梯形ABCD 的高，
A
B
C
M P
D O
B
C A F
D E
所以四边形ABCD
的面积为24S ==．
故1
243
P ABCD V -=
??= 12．(08宁夏卷)已知平面α⊥平面β，l αβ= ，点A α∈，A l ?，直线AB l ∥，直线AC l ⊥，直线m m αβ∥，∥，则下列四种位置关系中，不一定．．．成立的是（ D ） A ．AB m ∥
B ．A
C m ⊥
C ．AB β∥
D ．AC β⊥
18．(08宁夏卷)（本小题满分12分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．它的正视图和俯视图在下面画出（单位：cm ）
（Ⅰ）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（Ⅲ）在所给直观图中连结BC '，证明：BC '∥面EFG ．
解：（Ⅰ）如图
···························································································· 3分 （Ⅱ）所求多面体体积 V V V =-长方体正三棱锥 1144622232??
=??-???? ???
2284
(cm )3
=
．········································································· 7分 （Ⅲ）证明：在长方体ABCD A B C D ''''-中， 连结AD '，则AD BC ''∥．
因为E G ，分别为AA '，A D ''中点， 所以AD EG '∥，
从而EG BC '∥．又BC '?平面EFG ， 所以BC '∥面EFG ． ········································································································· 12分
（俯视
（正视
（侧
视
E D A
C F G B '
C '
D '
A
C
D
E F G
A '
B '
C '
D '
7．(08广东卷)将正三棱柱截去三个角（如图1所示A ，B ，C 分别是△CHI 三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为A
18. (08广东卷)（本小题满分14分）
如图5所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，∠ABD =60°,∠BDC =45°,△ADP ～△BAD .
(1)求线段PD 的长；
(2)若PC
，求三棱锥P-ABC 的体积. 解：（1）因为BD 是圆的直径，所以90BAD ∠=
又△ADP ～△BAD . 所
以
()()22
3
4sin 604,3sin 3022R BD AD DP AD DP R BA AD BA BD R ?
=====?
（2）在Rt BCD
中，cos45CD BD ==
因为 22222
9211PD CD R R R +=+=
所以PD CD ⊥ 又90PDA ∠=
所以PD ⊥底面ABCD
(
)111sin 604522222ABC S AB BC R =?+=+???
2R = 三棱锥P ABC -体积为
23
111133344
P ABC ABC V S PD R R R -=??=??=
11．（06江苏卷）两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有(D)
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）无穷多个 73.（06天津卷）如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱
//
1
2
EF BC =． （1）证明FO //平面CDE ；
（2
）设BC =，证明EO ⊥平面CDF ．
E
F D
I A H G
B C E
F D
A B C
侧视 图1 图2 B E
A ．
B E
B ． B E
C ． B E
D ．
P
A
B
图5
D
33．（06安徽卷）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是：_①③④⑤_____（写出所有正确结论的编号．．
） ①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 34．（06安徽卷）平行四边形的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，已知其中有两个顶点到α的距离分别为1和2 ，那么剩下的一个顶点到平面α的距离可能是：①1； ②2； ③3； ④4；
以上结论正确的为_____①③_________。（写出所有正确结论的编号．．） 36.（06广东卷）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____27π
37.（06湖南卷）过三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的任意两条棱的中点作直线，其
中与平面ABB 1A 1平行的直线共有 6 条.
38.（06江西卷）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90?，AC ＝6，BC ＝CC 1
P 是BC 1上一动点，则CP ＋P A 1的最小值是
___________39.（06江西卷）如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周．．到达1A 点的最短路线的长为 10.
41.（06辽宁卷）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥
P ABCDEF -，则此正六棱锥的侧面积是
_______43.（06全国II ）圆1o 是以R 为半径的球O 的小圆，若圆1o 的面积1S 和球O 的表面积S 的比为1:2:9S S =，则圆心1o 到球心O 的距离与球半径的比1:OO R =＿＿＿＿1:1:3OO R =
49.（06四川卷）m 、n 是空间两条不同直线，α、β是空间两条不同平面，下面有四个命题： ①m ⊥α，n ∥β，α∥β?m ⊥n ②m ⊥n ，n ∥β，m ⊥α?n ∥β ③m ⊥n ，α∥β，m ∥α?n ⊥β ④m ⊥α，m ∥n ，α∥β?n ⊥β
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
α
F
A
B
C D
α
C 1
C
B
A 1
A
C B
C 1
B 1
A 1
P
其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）。①、④.
52.（06上海春）正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 .．3
16
4．(07江苏)已知两条直线m n ，，两个平面αβ，．给出下面四个命题： ①m n ∥，m n αα?⊥⊥；②αβ∥，m α?，n m n β??∥； ③m n ∥，m n αα?∥∥；④αβ∥，m n ∥，m n αβ?⊥⊥． 其中正确命题的序号是（ Ｃ ） Ａ．①、③ Ｂ．②、④ Ｃ．①、④
Ｄ．②、③
18．(07江苏)如图，已知1111ABCD A BC D -是棱长为3的正方体， 点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AE FC ==． （1）求证：1E B F D ，，，四点共面；（4分）
（2）若点G 在BC 上，2
3
BG =，点M 在1BB 上，
GM BF ⊥，垂足为H ，求证：EM ⊥平面11BCC B ；（4分）
本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力．满分12分． 解法一：
（1）如图，在1DD 上取点N ，使1DN =，连结EN ，CN ，则1AE DN ==，12CF ND ==． 因为AE DN ∥，1ND CF ∥，所以四边形ADNE ，1CFD N 都为平行四边形． 从而EN AD ∥，1FD CN ∥．
又因为AD BC ∥，所以EN BC ∥，故四边形BCNE 是平行四边形，由此推知CN BE ∥，从而1FD BE ∥． 因此，1E B F D ，，，四点共面．
（2）如图，GM BF ⊥，又BM BC ⊥，所以BGM CFB =∠∠，
tan tan BM BG BGM BG CFB == ∠∠23132
BC BG CF ==?= ．
因为AE BM ∥，所以ABME 为平行四边形，从而AB EM ∥． 又AB ⊥平面11BCC B ，所以EM ⊥平面11BCC B ．
3．(07山东)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ D ）
C B
A
G H
M
D
E
F
1B
1A
1D
1C
C
A
H
M
D
E
F 1B
1A
1D
1C
N
A ．①②
B
．①③
C ．①④
D
．②④
20．(07山东)（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中， 已知122DC DD AD AB ===，AD DC AB DC ⊥，∥． （1）求证：11DC AC ⊥；
（2）设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使1D E ∥平面
1A BD ，并说明理由．
（1）证明：在直四棱柱1111ABCD A BC D -中， 连结1C D ，1DC DD = ，
∴四边形11DCC D 是正方形．11DC DC ∴⊥．
又AD DC ⊥，11AD DD DC DD D =⊥，⊥，
AD ∴⊥平面11DCC D ， 1D C ?平面11DCC D ，
1AD DC ∴⊥．
1AD DC ? ，平面1ADC ，
且AD DC D =⊥，1D C ∴⊥平面1ADC ，
又1AC ?平面1ADC ，1DC AC ∴1⊥．
（2）连结1AD ，连结AE ，
设11AD A D M = ，
BD AE N = ，连结MN ，
平面1AD E 平面1A BD MN =，
要使1D E ∥平面1A BD ，须使1MN D E ∥，
①正方形 ②圆锥
③三棱台 ④正四棱锥
B
C
D
A
1A
1D
1C
1B
B
C
D
A
1A
1D
1C
1B
M
E
A
B
C
D 又M 是1AD 的中点．N ∴是A
E 的中点． 又易知ABN EDN △≌△ AB DE ∴=．
即E 是DC 的中点．综上所述，当E 是DC 的中点时，可使1D E ∥平面1A BD ．
19．(07广东卷)（本小题满分14分）如图6所示，等腰ABC △
的底边AB =3CD =，点E 是线段BD 上异于点B D ，的动点，点F 在BC 边上，且EF AB ⊥，现沿EF 将BEF △折起到PEF △的位置，使PE AE ⊥，记BE x =，()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积． （1）求()V x 的表达式；
（2）当x 为何值时，()V x 取得最大值？
（3）当()V x 取得最大值时，求异面直线AC 与PF
所成角的余弦值． （1）由折起的过程可知，P E ⊥平面ABC ， ABC S ?=22
54BEF
BDC x S S ??=?= 21
(9)12
x -（0x << （2）21
'())4
V x x =
-，所以(0,6)x ∈时，'()0v x > ， V(x)单调递增；6x <<'()0v x < ，V(x)单调递减； 因此x=6时，V(x)取得最大值
（3）过F 作MF//AC 交AD 与M, 则
,2122
BM BF BE BE
MB BE AB BC BD AB
=====，PM= MF BF PF ===
=
在△PFM 中， 84722cos 427PFM -∠=
=，∴异面直线AC 与PF 所成角的余弦值为2
7
； （15）(07浙江卷)如图，已知球O 点面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，则球O 点体积等于 。
9π
2
（关键是找出球心，从而确定球的半径。由题意，三角形DAC, 三角形DBC 都是直角三角形，且有公共斜边。所以DC 边的中点就是 球心（到D 、A 、C 、B 四点距离相等），所以球的半径就是线段DC 长度 的一半。）
图6
P
E
D F B
C
A
F 图6
P
E
D B
A
2008～2009江苏各地考试试卷
16．（15分）已知等腰梯形PDCB 中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC =2，A 为PB 边上一点，且P A=1，将△P AD 沿AD 折起，使面P AD ⊥面ABCD （如图2）. （1）证明：平面P AD ⊥PCD ；
（2）试在棱PB 上确定一点M ，使截面AMC 把几何体分成的两部分
1:2:=MACB PD CMA V V ；
（3）在M 满足（2）的情况下，判断直线PD 是否平行面AMC. （1）证明：依题意知：ABCD PAD AD CD 面面又⊥⊥ . .PAD DC 平面⊥∴
…………2分
.PCD PAD PCD DC 平面平面面又⊥∴?…4分
（2）由（1）知⊥PA 平面ABCD
∴平面P AB ⊥平面ABCD . …………5分
在PB 上取一点M ，作MN ⊥AB ，则MN ⊥平面ABCD ， 设MN =h
则312213131h
h h S V ABC ABC M =????=?=?- 2
1
112)21(3131=??+?=?=?-PA S V ABC ABCD P …………8分
要使2
1
,1:23:)321(,1:2:==-=h h h V V MACB PDCMA 解得即
即M 为PB 的中点.
…………10分
（3）连接BD 交AC 于O ，因为AB//CD ，AB=2，CD=1，由相似三角形易得BO=2OD
∴O 不是BD 的中心……………………10分 又∵M 为PB 的中点
∴在△PBD 中，OM 与PD 不平行 ∴OM 所以直线与PD 所在直线相交 又OM ?平面AMC
∴直线PD 与平面AMC 不平行.……………………15分
16．已知ABCD 是矩形，AD ＝4，AB ＝2，E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点，PA ⊥平面ABCD ． (Ⅰ)求证：PF ⊥FD ；(Ⅱ)问棱PA 上是否存在点G ，使EG //平面PFD ，若存在，确定点G
的位置，
若不存在，请说明理由．
（Ⅰ）证明:连结AF,在矩形ABCD 中,因为
AD=4,AB=2,点F 是BC 的中点,所以∠AFB=∠DFC=45°. 所以∠AFD=90°,即AF ⊥FD. 又PA ⊥平面ABCD,所以PA ⊥FD. 所以FD ⊥平面PAF. 故PF ⊥FD.
（Ⅱ）过E 作EH//FD 交AD 于H,则EH//平面PFD,且 AH=1
4
AD. 再过H 作HG//PD 交PA 于G,则GH//平面PFD,且 AG=1
4
PA. 所以平面EHG//平面PFD,则EG//平面PFD, 从而点G 满足AG=
1
4
PA. 18、在直三棱柱111ABC A B C -中，13AB AC AA a ===，2BC a =，
D 是BC 的中点，F 是1C C 上一点，且2CF a =．
（1）求证：1B F ⊥ 平面ADF ； （2）求三棱锥1D AB F -的体积；
（3）试在1AA 上找一点E ，使得//BE 平面ADF ．
（1）证明：,AB AC D = 为BC 中点 AD BC ∴⊥，又直三棱柱中：1BB ⊥底面 ,ABC AD ?底面ABC ，1AD BB ∴⊥，AD ∴⊥平面11BCC B ， 1B F ?平面11BCC B
1AD B F ∴⊥．在 矩形11BCC B 中：1C F CD a ==，
112CF C B a == 11Rt DCF Rt FC B ∴???，11CFD C B F ∴∠=∠ 190B FD ∴∠= ，
即1B F FD ⊥， AD FD D = ，1B F ∴⊥平面AFD ； ----------5分 （2）解： AD ⊥平面11BCC B 111
1
3
D A B
F A B D F B D F V V S A D
-
-∴==??
=11132B F FD AD ???= -------10分
（3）当2AE a =时，//BE 平面ADF ．
证明：连,EF EC ，设E C A F M =
，连DM ，2AE CF a == AEFC ∴为矩形，M ∴为EC 中点，D 为BC 中点，//MD BE ∴，M D ? 平面ADF ，BE ?平面ADF
//BE ∴平面ADF ． ------16分
B
D
A
B
C
D
1
A 1
B 1C
F
17、已知直角梯形ABCD 中, //AB CD
,,1,2,1AB BC AB BC CD ⊥===过A 作
AE CD ⊥,垂足为E ,G 、F 分别为AD 、CE 的中点,现将ADE ?沿AE 折叠,使得DE EC ⊥.
（1）求证：BC CDE ⊥面；（5分）（2）求证：//FG BCD 面；（5分） （3）在线段AE 上找一点R ,使得面BDR ⊥面DCB ,并说明理由. （5分）
解：（1）证明：由已知得：,DE AE DE EC ⊥⊥, DE ABCE ∴⊥面…………（2分） DE BC ∴⊥, BC CE ⊥又,BC DCE ∴⊥面……………………（5分） （2）证明：取AB 中点H ，连接GH ,FH ,
//GH BD ∴， //FH BC , //GH BCD ∴面， //FH BCD 面……………（7分） //FHG BCD ∴面面, //GF BCD ∴面 …………………………（10分）
（3）分析可知，R 点满足3AR RE =时，BDR BDC ⊥面面 ……………………（11分） 证明：取BD 中点Q ，连结DR 、BR 、CR 、CQ 、RQ
容易计算2,222
CD BD CR DR CQ ==
=== 在BDR
中2BR DR BD =
== ,
可知RQ =
, ∴在CRQ 中,2
2
2
CQ RQ CR += ,∴CQ RQ ⊥……………………………（13分） 又在CBD 中,,CD CB Q BD CQ BD =∴⊥为中点,
CQ BDR ∴⊥面, BDC BDR ∴⊥面面………………………………………（15分）
（说明:若设AR x =,通过分析,利用BDC BDR ⊥面面推算出1
2
x =
,亦可,不必再作证明） A
B
C
D
E
G
F
·
· A
B
C
D
E
G
F
16．在几何体ABCDE 中，∠BAC=
2
π
，DC ⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ，F 是BC 的中点，AB=AC=BE=2，CD=1
（1）求证：DC ∥平面ABE ； （2）求证：AF ⊥平面BCDE ；
（3）求证：平面AFD ⊥平面AFE ．
解：(Ⅰ) ∵DC ⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ∴DC//EB ，又∵DC ?平面ABE ，EB ?平面ABE ，∴DC ∥平面ABE ……（4分）
(Ⅱ)∵DC ⊥平面ABC ，∴DC ⊥AF ，又∵AF ⊥BC ，∴AF ⊥平面BCDE ……（8分）
(Ⅲ)由(2)知AF ⊥平面BCDE ，∴AF ⊥EF ，在三角形DEF 中，由计算知DF ⊥EF ， ∴EF ⊥平面AFD ，又EF ?平面AFE ，∴平面AFD ⊥平面AFE ．……（14分） 17．一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点）. （1）求证：MN ∥平面CDEF ； （2）求多面体A —CDEF 的体积. 解：由三视图可知，该多面体是底面为直角三
角形的直三棱住ADE —BCF ， 且AB =BC =BF =2，DE =CF =2.2
∴∠CBF =
.2
π
取BF 中点G ，连M G 、N G ，
由M 、N 分别为AF 、BC 的中点可得， N G ∥CF ，M G ∥EF ， ∴平面MN G ∥平面CDEF ∴MN ∥平面CDEF .
（2）取DE 的中点H .∵AD =AE ，∴AH ⊥DE ，
在直三棱柱ADE —BCF 中，平面ADE ⊥平面CDEF ，面ADE ∩面CDEF =DE .∴AH ⊥平面CDEF . ∴多面体A —CDEF 是以AH 为高，以矩形CDEF 为底面的棱锥，在△ADE 中，
AH =24,2=?=EF DE S CD EF 矩形， ∴棱锥A —CDEF 的体积为.3
8
2243131=??=??=
AH S V CDEF 矩形 17 如图，矩形ABCD 中，A B E AD 平面⊥，2===BC EB AE ，F 为CE 上的点，且
ACE BF 平面⊥，AC 、BD 交于点G.
（1）求证：BCE AE 平面⊥（6分）； （2）求证；BFD AE 平面//（6分）； （3）求三棱锥BGF C -的体积（4分）.
17 解.（1）证明： ABE AD 平面⊥，
AD // ∴ABE BC 平面⊥，
AE ?平面ABE, ∴BC AE ⊥
B
C
又 ACE BF 平面⊥，∴BF AE ⊥ 又∵BC ∩BF=B ，BC BCE ?、BF 平面 ∴BCE AE 平面⊥ ………………… 6分 （Ⅱ）证明：依题意可知：G 是AC 中点
ACE BF 平面⊥ 则BF CE ⊥，而
BC
=
∴F 是EC 中点 ,
在AEC ?中，AE FG //，且FG ?平面∴BFD AE 平面// …………… 12分（Ⅲ）解： BFD AE 平面//
∴FG AE //，而BCE AE 平面⊥ ∴BCE FG 平面⊥ ∴BCF FG 平面⊥ G 是AC 中点
∴F 是CE 中点 ∴FG AE //且12
1
==AE FG ACE BF 平面⊥ ∴CE BF ⊥
∴BCE Rt ?中，22
1
===CE CF BF ∴1222
1
=??=
?CFB S ∴3
1
31=??==?--FG S V V CFB BCF G BFG
C ………………… 16分
(其它求法一样给分)
16． 如图为正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1切去一个三棱锥B 1—A 1BC 1后得到的几何体． （1） 画出该几何体的正视图； （2） 若点O 为底面ABCD 的中心，求证：直线D 1O ∥平面A 1BC 1； （3）． 求证：平面A 1BC 1⊥平面BD 1D ． 解：（1）该几何体的正视图为：------------------3分
（2）将其补成正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，设B 1D 1和A 1C 1交于
B
C
点O 1，连接O 1B ，
依题意可知，D 1O 1∥OB ，且D 1O 1=OB ，即四边形D 1OB O 1为平行四边形，--6分
则D 1O ∥O 1B ，因为BO 1?平面BA 1C 1，D 1O ?平面BA 1C 1，
所以有直线D 1O ∥平面BA 1C 1；-------------------------------------------------------8分
（3）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，
则DD 1⊥A 1C 1，---------------------------------------------------10分
另一方面，B 1D 1⊥A 1C 1，---------------------------------------------------------12分 又∵DD 1∩B 1D 1= D 1，∴A 1C 1⊥平面BD 1D ，
∵A 1C 1?平面A 1BC 1，则平面A 1BC 1⊥平面BD 1D ．-------------------14分 6、如图是利用斜二测画法画出的ABO ?的直观图,已知''B O =4, 且ABO ?的面积为16,过'A 作'''x C A ⊥轴,则''C A 的 长为
17、一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M 、N 分别是AB 、AC 的中点，G 是DF 上的一动点.
（1）求证：;AC GN ⊥（7分）
（2）当FG=GD 时，在棱AD 上确定一点P ，使得GP//平面FMC,并给出证明.（8分）
证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF 中A D ⊥DF,DF=AD=DC (1)连接DB ，可知B 、N 、D 共线，且AC ⊥DN 又FD ⊥AD FD ⊥CD ，
∴FD ⊥面ABCD ∴FD ⊥AC ∴AC ⊥面FDN FDN GN 面? ∴GN ⊥AC
（2）点P 在A 点处
证明：取DC 中点S ，连接AS 、GS 、GA G 是DF 的中点，∴GS//FC,AS//CM ∴面GSA//面FMC GSA GA 面?
∴
GA//面FMC 即GP//面
FMC
a
a a
俯视图
左视图
主视图G E F N
M
D C
B A
17．如图所示,在直四棱柱1111D C B A ABCD -中,BC DB =, DB AC ⊥,点M 是棱1BB 上一点.
(Ⅰ)求证：//11D B 面BD A 1；(5分) (Ⅱ)求证：MD AC ⊥；(5分)
(Ⅲ)试确定点M 的位置,使得平面1DMC ⊥平面D D CC 11. (Ⅰ)证明：由直四棱柱,得1111//,BB DD BB DD =且, 所以11BB D D 是平行四边形,所以11//B D BD …(3分)
而1BD A BD ?平面,111B D A BD ?平面, 所以//11D B 面BD A 1 …(5分)
(Ⅱ)证明：因为1BB ⊥?面ABCD,AC 面ABCD , 所以
1BB ⊥AC
………(7分)
又因为BD ⊥AC ,且1BD BB B ?=，所以AC ⊥1面BB D 而MD ?1面BB D ，所以MD AC ⊥
……(10分)
(Ⅲ)当点M 为棱1BB 的中点时,平面1DMC ⊥平面D D CC 11
取DC 的中点N,11D C 1的中点N ,连结1NN 交1DC 于O ,连结OM .因为N 是DC 中点,BD=BC,所以BN DC ⊥；又因为DC 是面ABCD 与面11DCC D 的交线,而面ABCD ⊥面11DCC D ,所以11BN DCC D ⊥面……………(13分)
又可证得,O 是1NN 的中点,所以BM ∥ON 且BM=ON,即BMON 是平行四边形,所以BN ∥OM,所以OM ⊥平面D D CC 11,因为OM 面DMC 1,所以平面1DMC ⊥平面D D CC 11……………(15分)
2已知一几何体的三视图如图，主视图与左视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为6，俯视图为正方形，（1）求点A 到面SBC 的距离；（2）有一个小正四棱柱内接于这个几何体，棱柱底面在面ABCD 内，其余顶点在几何体的棱上，当棱柱的底面边长与高取何值时，棱柱的体积最大，并求出这个最大值。 （1）32；
（2）底面边长为4、高为2时体积最大，最大体积为32
M
A
B
C
D A 1
B 1
C 1
D 1
M
A
B
C
D A 1
B
1 C 1
D 1 N
N 1
O A
C
B
D
S
A A
B D S
主视图 左视图
俯视图
17． 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a,E 为棱CC 1上的的动点． （1）求证：A 1E ⊥BD ；
（2）当E 恰为棱CC 1的中点时，求证：平面A 1BD ⊥平面EBD ； （3）在（2）的条件下，求BDE A V _1
。
证明：（1）连AC,A 1C 1
正方体AC 1中，AA 1⊥平面ABCD ∴AA 1⊥BD 正方形ABCD ， AC ⊥BD 且AC AA 1=A
∴BD ⊥平面ACC 1A 1 且E ∈CC 1
∴A 1E ?平面ACC 1A 1 ∴BD ⊥A 1E 4分
（2）设AC BD=O ，则O 为BD 的中点，连A 1O,EO 由（1）得BD ⊥平面A 1ACC 1 ∴BD ⊥A 1O,BD ⊥EO
EO A 1∠∴即为二面角A 1-BD-E 的平面角 6分 AB=a ，E 为CC 1中点 ∴A 1O=
a 26 A 1E=a 2
3
EO=a 23
∴A 1O 2+OE 2=A 1E 2 ∴A 1O ⊥OE 0190=∠∴OE A
∴平面A 1BD ⊥平面BDE 10分
(3)由（2）得A 1O ⊥平面BDE 且∴A 1O=a 2
6
246a S B D E =? ∴V=
34
1
31a Sh = 14分 16.一个多面体的直观图和三视图如下:
(其中N M ,分别是BC AF ,中点) (1)求证://MN 平面CDEF ; (2)求多面体CDEF A -的体积.
E
A
B
D C
1
A 1
B 1
D 1
C A
2
22 2
2
2A
(1)由三视图知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱,且2===BF BC AB ,
22==CF DE ,∴?=∠90CBF .
(1)取BF 中点G ,连NG MG ,,由N M ,分别是BC AF ,中点,可设:EF MG CF NG //,//, ∴面//MNG 面CDEF ∴//MN 面CDEF .
(2)作DE AH ⊥于H ,由于三棱柱BCF ADE -为直三棱柱
∴⊥AH 面DCEF ,且2=AH ∴3
8
22223131=???=?=-AH S V CDEF CDEF A ,
17．（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为
正方形，PA ⊥底面ABCD ,2AB =,2PA =,E 为PD 的中点. （1）求证：PB||平面EAC ；
（2）求证：平面PBD ⊥平面P AC ；
（3）在侧面PAB 上找一点N ，使NE ⊥面PAC 。
21． 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，
E 、
F 分别为1DD 、DB 的中点．
（1）求证：EF //平面11BC D ； （2）求证：1EF B C ⊥； （3）求三棱锥EFC B V -1的体积．
解：（1）连接1BD ，已知E 、F 分别为1DD 、DB 的中点． EF 是三角形BD 1D 的中位线，∴EF//BD 1；…(3分)
又11EF BDC ?面，111BD BD C ?面，∴EF//面BD 1C 1…(5分) （2）连接1BD 、BC 1，
正方体中，D 1C 1⊥面BCC 1B 1，BC 1?面BCC 1B 1，所以D 1C 1⊥ B 1C ……………………………6分 在正方形BCCB 中，两对角线互相垂直，即BC 1⊥B 1C ，………………7分 D 1C 1 、BC 1?面BC 1D 1，所以B 1C ⊥面BC 1D 1…(8分) BD 1?面BC 1D 1，所以有B 1C ⊥ BD 1，…(9分)
在（1）已证：EF//BD 1，所以EF ⊥B 1C ．………………………10分 （3）连接B 1D 1，在各直角三角形中，计算得：
EB 1=3，
FB 1
B 1
C= …………………………………12分
1111
166
B EF
C V B F FC EF -∴=
??==………………………………14分
C
D
B
F
E
D 1
C 1
B 1
A
A 1
空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题四立体几何第 一讲空间几何体课时作业文 1.如图为一个几何体的侧视图和俯视图，则它的正视图为( ) 解析：根据题中侧视图和俯视图的形状，判断出该几何体是在一个正方体的上表面上放置一个四棱锥(其中四棱锥的底面是边长与正方体棱长相等的正方形、顶点在底面上的射影是底面一边的中点)，因此结合选项知，它的正视图为B. 答案：B 2．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( ) A．2πB．π C．2 D．1 解析：所得圆柱体的底面半径为1，母线长为1，所以其侧面积S＝2π×1×1＝2π，故选A. 答案：A 3．一个侧面积为4π的圆柱，其正视图、俯视图是如图所示的两个边长相等的正方形，则与这个圆柱具有相同的正视图、俯视图的三棱柱的相应的侧视图可以为( ) 解析：三棱柱一定有两个侧面垂直，故只能是选项C中的图形． 答案：C 4．(2016·郑州质量预测)已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方体的正视图的面积等于( ) A．1 B.2 C．2 D．22 解析：由题意知，所求正视图是底边长为2，腰长为2的正方形，其面积与侧视图面积相等为2. 答案：C 5．(2016·河北五校联考)某四面体的三视图如图，则其四个面中最大的面积是( ) A．2 B．22 C. 3 D．23 解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即为D1-BCB1，如图所示，其四个面的面积分别为2,22，22，23，故选D. 答案：D 6.(2016·郑州模拟)如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为( ) 立体几何的解题思路 四川省成都第七中学 张世永 巢中俊 周建波 《高中数学课程标准》建议：立体几何教学应注意引导学生通过对实际模型的认识，学会将自然语言转化为图形语言和符号语言.教师可以使用具体的长方体的点、线、面关系作为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系；通过对图形的观察、实验和说明，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题。 理科学生不仅要掌握必修2《立体几何初步》，还要掌握选修2-1《空间中的向量与立体几何》.文科学生要求掌握必修2《立体几何初步》，为了更好地解答立体几何问题，建议教师补充讲授选修2-1《空间中的向量与立体几何》中的坐标法，让文科学生能熟练地使用坐标法，而对空间中的向量的其它知识不做介绍，以免加重文科学生的负担。另外，文科学生不要求掌握求二面角的问题。 一.求解空间三类角：两直线所成角、直线与平面所成角、二面角，关键是转化为空间两直线所成角，常常要借助于平面的法向量.要善于一题多变. 例1．（1）已知直线b a ,所成角为o 60，经过空间中一点P 作直线l ，使直线l 与a 、b 所成角均为o 60，则这样的直线l 有几条？ 解：经过点P 作直线m//a, n//b, 则直线n m ,所成角为o 60或 120, 点P 作直线n m ,的两条角平分线，其中有一条与n m ,所成角均为o 60，另一条与n m ,所成角均为 30，把这条角平分线沿着点P 旋转可以得到两条直线与n m ,所成角均为o 60，从而与a 、b 所成角均为o 60的直线有三条. 问题的推广：已知直线b a ,所成角为o 60，经过空间中一点P 作直线l ，使直线l 与a 、 b 所成角均为θ，这样的直线l 有四条，则角θ应满足什么条件？有两条呢？有一条呢？有 零条呢？ 答案：有四条时，o o 9060<<θ；有两条时，o o 6030<<θ；有一条时，o o 90,30=θ;有零条时， 300<<θ. 变式：（1）已知直线a 与平面α所成角的大小为o 60，经过空间中一点P 作直线l ，使直线l 与直线a 和平面α所成角均为o 45，则这样的直线l 有几条？ （2）已知平面α与平面β所成锐二面角的大小为o 60，经过空间中一点P 作直线l ，使直线l 与平面α和平面β所成角均为o 60，则这样的直线l 有几条？ (3)正三棱锥P —ABC 中，CM=2PM ，CN=2NB ，对于以下结论： ①二面角B —PA —C 大小的取值范围是（ 3 π ，π）； 第一部分 一 13(文) 一、选择题 1．(2015·东北三校二模)设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是( ) A ．若l ⊥m ，m ?α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ?α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m [答案] B [解析] 当l 、m 是平面α内的两条互相垂直的直线时，满足A 的条件，故A 错误；对于C ，过l 作平面与平面α相交于直线l 1，则l ∥l 1，在α内作直线m 与l 1相交，满足C 的条件，但l 与m 不平行，故C 错误；对于D ，设平面α∥β，在β内取两条相交的直线l 、m ，满足D 的条件，故D 错误；对于B ，由线面垂直的性质定理知B 正确． 2．已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ?β⊥γ”是真命题，如果把α、β、γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 [答案] C [解析] 若α、β换成直线a 、b ，则命题化为“a ∥b ，且a ⊥γ?b ⊥γ”，此命题为真命题；若α、γ换为直线a 、b ，则命题化为“a ∥β，且a ⊥b ?b ⊥β”，此命题为假命题；若β、γ换为直线a 、b ，则命题化为“a ∥α，且b ⊥α?a ⊥b ”，此命题为真命题，故选C. 3．(2015·重庆文，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.1 3＋2π B.13π 6 C.7π3 D.5π2 [答案] B [解析] 由三视图可知该几何体是由一个圆柱和一个半圆锥组成，圆柱的底面半径为1， 高三二轮复习-立体几何 题型一三视图与直观图 考查形式：选填题 【例1】如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A . 20 n B. 24 n C. 28 n D. 32 n 例2】将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( ) 【过关练习】 1. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( ) 2. 一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( ) 题型二几何体的表面积与体积 考查形式：选填题 空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧. 【例1】（1）三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） 1 1 1 A.6 B.3 C.2 D - 1 【例2】如图，在棱长为6的正方体ABCD —A1B1C1D1中，点E, F分别在C1D1与C1B1上，且GE= 4, C1F =3，连接EF , FB , DE , BD，则几何体EFC1 —DBC的体积为（） 【过关练习】 1. _____________________________________________________ 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_________________________________________________________ 题型三多面体与球 考查形式：选填题 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置， 确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正 方体的棱长等于球的直径?球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直 径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心 （或 “切点”“接点”）作出截面图. 【例1】已知三棱锥S—ABC的所有顶点都在球0的球面上，SA丄平面ABC, SA= 2.3, AB = 1, AC= 2, / BAC 2020年高考数学专题复习（立体几何） 1．如图，一个圆柱的底面半径为3，高为2，若它的两个底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．323 π B ．16π C ．8π D ．4π 2．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”. 已知某“堑堵”的三视图如图所示，正视图中的虚线平分矩形的面积， 则该“堑堵”的体积为( ) A ． 2 3 B ．1 C ．2 D ．4 3．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中， 点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图 的面积之和为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ） A ．4π B ．16π C ．36π D ． 643 π 3．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中， AC 与BD 相交于O .剪去AOB ?，将剩余部分沿 OC ，OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以()A B 、 C 、D 、O 为顶点的四面体的外接球的体积为________. 6．一副直角三角板（如图1）拼接，将BCD ?折起，得到三棱锥A BCD -（如图2）. （1）若,E F 分别为,AB BC 的中点，求证：//EF 平面ACD ； （2）若平面ABC ⊥平面BCD ，求证：平面ABD ⊥平面ACD . 7．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，设E 是棱1CC 的中点． （1）求证：； （2）求证：平面 ； （3）求三棱锥的体积． 图 1 立体几何初步 【专题测试】 一、选择题： 1、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（ ） （A ）7 （Ｂ）6 （Ｃ）5 （Ｄ）3 2、如图1，在空间四边形ABCD 中，点E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且 CF CB ＝CG CD ＝2 3 ，则（ ） （A ）EF 与GH 互相平行 （B ）EF 与GH 异面 （C ）EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上 （D ）EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上 3、下列说法正确的是（ ） （A ）直线l 平行于平面α内的无数直线，则l ∥α （B ）若直线l 在平面α外，则l ∥α （C ）若直线l ∥b ，直线b ?α，则l ∥α （D ）若直线l ∥b ，直线b ?α，那么直线l 就平行平面α内的无数条直线 4 A ．10π B ．12π C ．13π D ．14π 5、设b a ,是两条直线，βα,是两个平面， 则b a ⊥的一个充分条件是 （ ） (A) βαβα⊥⊥,//,b a (B) βαβα//,,⊥⊥b a (C) βαβα//,,⊥?b a (D) βαβα⊥?,//,b a 6、如图，下列四个正方体图形中，A B ，为正方体的两个顶点，M N P ，，分别为其所在棱的中点， 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 第10题图 能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是（ ）．（A ）①④（B ）②④（C ）①③④（D ） ①③ 7、如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成的角的余弦值是（ ） （A ） 23 （B ）10 10 （C ）52 （D ）53 8、如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值 为（ ） A. 3 B. 5 C. 5 D. 5 9、在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）A. 32π B. 52π C. 72π D. 9 2 π 10、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，AB ＝10，AD ＝5，1AA ＝4。分别过BC 、11D A 的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为111AEA DFD V V -=，11112D FCF A EBE V V -=， C F C B E B V V 11113-=。若123::1:3:1V V V =，则截面11EF D A 的面积为( ) （A ）104 （B ）38 （C ） （D ） 16 11、连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于27、43，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题： ①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为l 其中真命题的个数 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 12、 在该几何体的正视图中， D C B A F E A B C A 1 O B 1 C 1 1 2015届高三二轮复习立体几何专题训练 1．如图所示的多面体中， ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD ,3 BAD π ∠= ． （1）求证：平面//BCF 面AED ； （2）若BF BD a ==，求四棱锥A BDEF -的体积． 2．如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E （不同于点D ），延长AE 交BC 于F ， 将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，如图2所示. （1）若M 是FC 的中点，求证：直线DM //平面1A EF ； （2）求证：BD ⊥1A F ； （3）若平面1A BD ⊥平面BCD ，试判断直线1A B 与直线CD 能否垂直？并说明理由. 3．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面M ABCD ,和N 分别是AD 和BC 的中点。 （1）求证：MN PM ⊥； （2）求证：平面PMN ⊥平面PBC ； （3）在PA 上是否存在点Q ，使得平面//QMN 平面PCD ？若在求出Q 点位置，并证明；若不存在，请说明理由。 4．如图，四边形ABCD 是菱形，四边形MADN \是矩形，平面⊥MADN 平面ABCD ，F E ,分别为DC MA ,的中点，求证： （1）//EF 平面MNCB ； （2）平面MAC ⊥平面BND ． 5．如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=?,//CD AB ,1 22 AD CD AB == =, 点E 为AC 中点.将ADC ?沿AC 折起, 使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示. （1）在CD 上找一点F ,使//AD 平面EFB ; （2）求点C 到平面ABD 的距离. 6．如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，O 是AC 的中点，O A 1⊥平面0 90,=∠BCA ABC ，BC AC AA ==1. （1）求证：1AC ⊥平面BC A 1; （2）若21=AA ，求三棱锥AB A C 1-的高的大小． 7．已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：（１）//1O C 面11AB D ； （2）1A C ⊥面11AB D ． （3）平面//11D AB 平面BD C 1 A B C D 图2 E B A C D 图1 E 1 图 2018届高三二轮复习讲义--立体几何 分值：17-22分 题型：题型不固定，一般1-2个小题1个解答题； 难度：低、中档； 考查内容：如果是小题，主要考查三视图还原为几何体，几何体对应的三视图，空间几何体的表面积与体积的计算。对于解答题，主要考查空间线面平行、垂直关系的判定与性质，几何体的体积，表面积，距离。 第一讲空间几何体的三视图、表面积及体积 高考体验: 1、（2016年全国卷Ⅱ）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（） A.20π B. 24π C. 28π D. 32π 2、（2016年全国Ⅲ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（） A.18+54+90 D.81 3、（2015年全国卷Ⅱ）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分的体积比值为（） A.1 8 B. 1 7 C. 1 6 D. 1 5 （第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图） 4、（2016年全国Ⅰ卷）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径。若该几何体的体积为 283 π ，则它的表面积是（ ） A.17π B. 18π C. 20π D ．28π 5、（2015年全国卷Ⅱ）已知,A B 是球面上两点，90o AOB ∠=，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ） A.36π B.64π C.144π D.256π 6.（2015新课标1）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约 为3，估算出堆放斛的米约有（ ） A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 高考感悟：（1）由网格图给出三视图或由空间直角坐标系给出几何体。（2）由三视图还原直观图求线段的长 度、面积、体积等；（3）与求有关的“接”“切”问题。 例题讲解: 热点一: 空间几何体的三视图 考向1：几何体三视图的识别 例1 (1)（2016年天津卷）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的 几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为（ ） 高考立体几何专题复习 一．考试要求： （1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。 （2）了解空两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。 （3）了解空间直线和平面的位置关系，掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理，掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，了解三垂线定理及其逆定理。 （4）了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理和性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、两个平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。 （5）会用反证法证明简单的问题。 （6）了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。 （7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。 （8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。 （9）了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。 （10）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。 二．复习目标： 1．在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的基础上，研究有关平行和垂直的的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用．2．在掌握空间角(两条异面直线所成的角，平面的斜线与平面所成的角及二面角)概念的基础上，掌握它们的求法(其基本方法是分别作出这些角，并将它们置于某个三角形内通过计算求出它们的大小)；在解决有关空间角的问题的过程中，进一步巩固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线(面)和垂直线(面)的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力． 3．通过复习，使学生更好地掌握多面体与旋转体的有关概念、性质，并能够灵活运用到解题过程中．通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧，发掘不同问题之间的内在联系，提高解题能力． 4．在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和“说话要有根据”的逻辑思维的习惯、提高思维品质．使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力． 5．使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法，能够熟练地使用分割与补形求体积，提高空间想象能力、推理能力和计算能力． 三．教学过程： （Ⅰ）基础知识详析 重庆高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题1--2道, 解答题1道), 共计总分20分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题. 1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 专题--立体几何 1．[2014·安徽卷] 一个多面体的三视图如图1-1所示，则该多面体的体积是( ) 图1-1 图1-2 图1-3 图1-4 A.233 B.47 6 C ．6 D ．7 2．[2014·北京卷] 某三棱锥的三视图如图1-2所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________． 3．[2014·湖南卷] 一块石材表示的几何体的三视图如图1-3所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．[2014·浙江卷] 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( ) A ．72 cm 3 B ．90 cm 3 C ．108 cm 3 D ．138 cm 3 5．[2014·辽宁卷] 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ?α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α 6．[2014·浙江卷] 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( ) A ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α B ．若m ∥β，β⊥α，则m ⊥α C ．若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥α D ．若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α 7.（2016年3卷9题）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（） （A ）18+B ）54+C ）90（D ）81 7． [2014·安徽卷] 如图1-5所示，四棱锥P - ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217. 点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH . (1)证明：GH ∥EF ； (2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积． 图1-5 8．[2014·北京卷] 如图1-6，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点． (1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ； (3)求三棱锥E - ABC 的体积． 图1-6 空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国8）正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是（） A、90° B、60° C、45° D、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国18）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF 上移动，若CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 立体几何综合习题 一、考点分析 1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 ①? ? ??????→?? ?????→? ? ?? L 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱 直棱柱 其他棱柱 ★ 底面为矩形 底面为正方形侧棱与底面边长相等 2. 棱锥 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3 ．球 球的性质： ①球心与截面圆心的连线垂直于截面； ★②r（其中，球心到截面的距离为 d、球的半径为R、截面的半径为r） ★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长 方体，球与正方体等的内接与外切. 注：球的有关问题转化为圆的问题解决. B 1．求异面直线所成的角(]0,90θ∈??： 解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移 另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行； 三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角； 2求直线与平面所成的角[]0,90θ∈??：关键找“两足”：垂足与斜足 解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）； 二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。 3求二面角的平面角[]0,θπ∈ 解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证： 证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。 高三二轮复习-立体几何 第一讲空间几何体 知识点 、多面体 ? 1? 棱柱棱锥棱台 疋义 由一个平面多边形沿某一 方向平移形成的空间几何体。 当棱柱的一个底面收缩为 一点时，得到的几何体。 棱锥被一个平行于底面的平 面所截后，截面和底面之间的部 分。 性质(1) 两个底面与平行于底面的截 面是对应边互相平行的全等多边 形； (2) 侧面都是平行四边形，侧棱 都相等； (3) 过棱柱不相邻的两条侧棱的 截面都是平行四边形。 (1) 底面是多边形； (2) 平行于底面的截面与底面相 似； (3) 侧面是有一个公共顶点的三 角形。 (1) 两个底面是相似多边形； (2) 两个底面以及平行于底面的 截面是对应边互相平行的相似多 边形； (3) 侧面都是梯形。 ?1.投影一一是光线(投射线)通过物体，向选定的面(投影面)投射，并在该面上得到图形的方法。投射 线交于一点的投影称为中心投影。投射线相互平行的投影称为平行投影。平行投影按投射方向是否正对着投影面，可分为斜投影和正投影。 ?2.视图一一物体按正投影向投影面投射所得的图形。光线从物体的前面向后投射所得的投影称为主视图或正视图，自上向下的称为俯视图，自左向右的称为左视图。正视图、俯视图、左视图称为三视图；作图关键：按 “长对正、高平齐、宽相等”。 ?3.空间几何体画在纸上，要体现立体感，底面常用斜二侧画法，画岀它的直观图。三角形ABC的面积为S, 用斜二测画法画得它的直观图三角形ABC的面积为S，则S -42S。作图关键：倾斜45，横“等”纵“半”。 三、平面基本性质：(三公理三推论) 名称内容 公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线。 公理3经过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面。 正方体 / / 棱长 相等 长方体 2012届高考理科数学第二轮立体几何复习教案 2012届高考数学二轮复习专题六立体几何【重点知识回顾】稳定中有所创新,由知识立意转为能力立意（1）考查重点及难点稳定：高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定,以及求线面角、二面角等知识都是重点考查的内容，其中线线角、线面角、二面角的求解更是重中之重在难度上平稳过渡，始终以中等偏难为主。实行新课程的高考，命题者在求稳的同时注重创新高考创新，主要体现在命题的立意和思路上注重对学生能力的考查（2）空间几何体中的三视图仍是高考的一个重要知识点解答题的考查形式仍要注重在一个具体立体几何模型中考查线面的关系（3）使用，“向量”仍将会成为高考命题的热点，一般选择题、填空题重在考查向量的概念、数量积及其运算律在有些立体几何的解答题中，建立空间直角坐标系，以向量为工具，利用空间向量的坐标和数量积解决直线、平面问题的位置关系、角度、长度等问题，比用传统立体几何的方法简便快捷，空间向量的数量积及坐标运算仍是2012年高考命题的重点（4）支持新课改，在重叠部分做文章,在知识交汇点处命题立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线面平行的判定：线面平行的性质：三垂线定理（及逆定理）：线面垂直：面面垂直：三类角的定义及求法（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90° （2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90° （三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）三类角的求法：①找出或作出有关的角。②证明其符合定义，并指出所求作的角。③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。如：正方形ABCD―A1B1C1D1中，棱长为a，则：（1）点C到面AB1C1的距离为___________；（2）点B 到面ACB1的距离为____________；（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________；（4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________；（5）点B到直线A1C1的距离为_____________。你是否准确理解正 肥东锦弘中学2014届高考二轮专题复习 专题三 立体几何 一.探索性问题 例1. 如图，在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是正方形,P A ⊥底面ABCD ,垂足为A ,P A =AB ,点M 在棱PD 上,PB ∥平面ACM . (1)试确定点M 的位置； (2)设点N 在棱PB 上,当N 在何处时,使得MN ⊥平面P AC ? (3)设点E 在棱PC 上，当点E 在何处时，使得AE ⊥平面PBD ？ 例2 多面体ABCDEF 中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,FD ⊥底面 ABCD ,CD FD EC FD =且,//,M,N 分别是AB,AC 的中点,G 是DF 上一个动点. （1）求该多面体的体积和表面积; (2)求证：GN ⊥AC ； （3）当FG =GD 时，在棱AD 上确定一点P ，使得GP ∥平面FMC ，并给出证明. 练习: 1. 如图，在四棱锥S -ABCD 中，平面SAD ⊥平面ABCD ．四边形ABCD 为正方形， 且P 为AD 的中点，Q 为SB 的中点． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求证：PQ ∥平面SCD ； （Ⅲ）若SA =SD ，M 为BC 中点，在棱SC 上是否存在点N ，使得平面DMN ⊥平面ABCD ，并证明你的结论． 2. 在四棱锥P —ABC D 中，底面ABCD 是菱形，AC ∩BD =O . （1）若PD AC ⊥，求证：AC 平面PBD ； （2）若平面P AC ⊥平面ABCD ，求证：PB =PD ； （3）在棱PC 上是否存在点M （异于点C ）使得BM //平面P AD ?若存在，求PC PM 的值；若不存在，说明理由. 3. 如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 、E 分别是棱BC 、AB 的中点，点F 在棱CC1上，已知AB =A C ，AA 1=3，BC = CF =2. (1)求证：C 1E ∥平面ADF ； (2)设点M 在棱BB 1上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF ? 4. 如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中AA 1=AD =1，E 为CD 中点. （1）求证：B 1E ⊥AD 1； （2）若二面角A -B 1EA 1的大小为30°，求AB 的长; （3）在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由. 2021-2021 二轮专题复习立体几何专题测试卷 1．下列说法中正确的是( D ) A ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B ．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫 圆锥 C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥 D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 2．在长方体 A B C D -A 1B 1C 1D 1 中，A B ＝B C ＝2，A C 1 与平面 B B 1C 1C 所成的角为 30°，则该长 方体的体积为( C ) A ．8 B ．6 2 C ．8 2 D ．8 3 3．平面α截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面α的距离为 2，则此球的体积为( B ) B ．4 3π C ．4 6π D ．6 3π 4. ．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为( A ) 81π A. B ．16π 4 C ．9π 27π . 4 5．设 A ，B ，C ，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，△A B C 为等边三角形且其面积为 9 3，则三棱锥 D -A B C 体积的最大值为( B ) A ．12 3 B ．18 3 C ．24 3 D ．54 3 6．下列说法错误的是( ) A ．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B ．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直 C ．如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直 D ．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行 解析：选 D 7.如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形 A B C D 为正方形，E F 分别为 P A ，P D 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论： ①直线 BE 与直线 CF 异面； A. 6π D 高考数学二轮复习 专题六 立体几何 【重点知识回顾】 稳定中有所创新,由知识立意转为能力立意 （1） 考查重点及难点稳定：高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定,以及求线面角、二面角等知识都是重点考查的内容，其中线线角、线面角、二面角的求解更是重中之重在难度上平稳过渡，始终以中等偏难为主。实行新课程的高考，命题者在求稳的同时注重创新高考创新，主要体现在命题的立意和思路上注重对学生能力的考查 （2）空间几何体中的三视图仍是高考的一个重要知识点解答题的考查形式仍要注重在一个具体立体几何模型中考查线面的关系 （3）使用，“向量”仍将会成为高考命题的热点，一般选择题、填空题重在考查向量的概念、数量积及其运算律在有些立体几何的解答题中，建立空间直角坐标系，以向量为工具，利用空间向量的坐标和数量积解决直线、平面问题的位置关系、角度、长度等问题，比用传统立体几何的方法简便快捷，空间向量的数量积及坐标运算仍是2019年高考命题的重点 （4）支持新课改，在重叠部分做文章,在知识交汇点处命题 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化： 线∥线线∥面面∥面 判定线⊥线线⊥面面⊥面性质 线∥线线⊥面面∥面 ←→?←→??→??←→?←→?←? ??←→?←→? 线面平行的判定： a b b a a ∥，面，∥面???ααα a b α 线面平行的性质： αααβαβ∥面，面，∥?=? b a b 三垂线定理（及逆定理）： PA AO PO ⊥面，为在内射影，面，则αααa ? a OA a PO a PO a AO ⊥⊥；⊥⊥?? 高三数学二轮复习专题28（立体几何04） 【2016新课标1卷T6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个 圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283 π ，则它的表面积是 A A ．17π B ．18π C ．20π D ．28π 【2016新课标1卷T11】平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,αI 平面ABCD =m ,αI 平面AB B 1A 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为 A A A A A ．13 【2016新课标1卷T19】如图,在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ,， 90AFD ∠=，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60． （I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值． 解析：（I ）由已知可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,所以F A ⊥平面FDC E ． 又F A ?平面F ABE ,故平面F ABE ⊥平面FDC E ． （II ）过D 作DG F ⊥E ,垂足为G ,由（I ）知DG ⊥平面F ABE ． 以G 为坐标原点,GF 的方向为x 轴正方向,GF 为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -． 由（I ）知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角,故DF 60∠E =,则DF 2=,DG 3=,可得 ()1,4,0A ,()3,4,0B -,()3,0,0E - ,(D ． 由已知,//F AB E ,所以//AB 平面FDC E ． 又平面CD AB 平面FDC DC E =,故//CD AB ,CD//F E ． 由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,所以C F ∠E 为二面角C F -BE -的平面角, C F 60∠E = ．从而可得(C -． 所以(C E =,()0,4,0EB = ,(C 3,A =--,()4,0,0AB =-． 设(),,n x y z =是平面C B E 的法向量,则C 00n n ??E =???EB =??, 即040x y ?+=??=? ? ，所以可取(3,0,n =． 设m 是平面CD AB 的法向量,则C 0 m m ??A =???AB =??,同理可取() 0,3,4m =． 则219 cos ,19 n m n m n m ?= =-，故二面角C E-B -A 的余弦值为19-． C B D E F高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题四 立体几何 第一讲 空间几何体课时作业 文
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