高一数学预科资料
前言
课时安排：
第一讲集合的含义与表示(1)及集合间的基本关系(2) 第二讲集合的基本运算（一）
第三讲集合的基本运算（二）
第四讲第一章复习及检测
第五讲补充容不等式
第六讲函数的概念及函数的表示法
第七讲单调性与最大（小）值
第八讲奇偶性
第九讲函数单调性与奇偶性的复习
第十讲指数与指数幂的运算
第十一讲指数函数及其性质（一）
第十二讲指数函数及其性质（二）
第十三讲对数及对数函数
第十四讲幂函数
第十五讲二次函数（加强）及单元自测
第一讲 集合的含义与表示（1）
I 、引入
在小学和初中，我们已经接触过一些集合，例如：
（1）自然数的集合；
（2）有理数的集合；
（3）不等式37<-x 的解的集合；
（4）到一个定点的距离等到于定长的点的集合（即）；
（5）到一条线段的两个端点距离相等的点的集合（即）
II 、新授
一、集合的概念：
新教材：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），把一些元素组成的总体叫做集合（set ）（简
称为集 ）。
旧教材：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集。集合中的每一个对象叫做这个集
合的元素。
例1：判断下列哪些能组成集合。
（1）1~20以的所有质数； （2）我国从1991~2003年的13年所发射的所有人造卫星；
（3）金星汽车厂2003年生产的所有汽车； （4）2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；
（5）所有的正方形；（6）到直线l 的距离等于定长d 的所有的点；
（7）方程0232=-+x x 的所有实数根；（8）新华中学2004年9月入学的所有的高一学生。
（9）身材较高的人；（10）{1，1}；（11）我国的大河流；
问：（1）{3，2，1}、{1，2，3}、{2，1，3}这三个集合有何关系？
（2）{{1，2}，{2，3}，{2，4}，{3，5}}是否为一个集合？
点评：
1、集合的性质：
（1）、
（2）、
（3）、
2、经常用大写拉丁字母A ，B ，C ， 表示集合，用小写拉丁字母a,b,c, 表示集合中的元素。 例如：A={太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}；
B={a,b,c,d,e,f,g};
特例：C={A,B}
3、如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to ）集合A ，记作； 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（not belong to ）集合A ，记作。
例如：太平洋 A a B h B
4、数学中一些常用的数集及其记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作；
所有正整数组成的集合称为正整数集，记作 ；
有理数组成的集合称为有理数集，记作 ；
全体实数组成的集合称为实数集，记作 。
二、集合的表示方法
我们可以用自然语言描述一个集合，还可以用列举法、描述法等来表示集合。
1、 列举法
概念：把集合中的元素一 一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法 自然语言描述：“地球上的四大洋”组成的集合
列举法：
自然语言描述：“方程0)2)(1(=+-x x 的所有实数根”组成的集合
列举法：
例2、用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x x =2的所有实数根组成的集合；
（3）由1~20以的所有质数组成的集合。
问：（1）你能用自然语言描述集合{2，4，6，8}吗？
（2）你能用列举法表示不等式37<-x 的解集吗？
2、描述法
我们不能用列举法表示不等式37<-x 的解集，因为这个集合中的元素是列举不完的。但是，我们可以用这个集合中元素所具有的共同特征来描述。
例如，不等式37<-x 的解集中所含元素的共同特征是：10,37,<<-∈x x R x 即且
所以，我们可以把这个集合表示为 D=
又如，任何一个奇数都可以表示为)(12Z k k x ∈+=的形式。所以，我们可以把所有奇数的集合表示为 E=
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。
点评：R x ∈，Z k ∈有时可以省略
例如：D=
E=
例3、试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）方程022=-x 的所有实数根组成的集合；
（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。
三、拓广探索
1、已知由实数12+-a a ，3，a ，1-为对象组成的集合为M ，且M 中仅含有3个元素，数a 的值。
2、已知集合A={R a x ax R x ∈=++∈,012|2}。
（1）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求出该元素；
（2）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值围。
3、已知集合M={ d a d a a 2,,++ }，N={ 2,,aq aq a }表示同一集合，其中0≠a ，求q 的值
四、思考（本题仅供参考）
4、设集合M = {z y x y x z z ∈-=,,|22}。
（1）试验证5和6是否属于集合M ；
（2）关于集合M ，还能得到什么结论吗？
五、家庭作业
1、用列举法表示下列集合：
（1）{既是质数又是偶数的数}：
（2）{（y x ,）|6=+y x ，N y x ∈,}：
2、用描述法表示下列集合：
（1）方程52=+y x 的解集：
（2）集合{1，2，3，2，5， }：
3、用符号“∈”或“?”填空：
（1）若A={x x x =2|}，则1- A
（2）若B={06|2=-+x x x }，则3B
（3）若C={101|≤≤∈x N x }，则8 C
（4）若D={32|<<-∈x Z x }，则1.5D
家长签字：
集合间的基本关系（2）
I 、温故知新
1、 用描述法表示集合：{1，
21，31，41，51，6
1}
2、用列举法表示集合：{x |02223=+--x x x }
3、若R x ∈，则{3，x ，x x 22-}中的元素x 应满足什么条件？
II 、新授
一、几个概念
观察下面几个例子，你能发现两个集合间的关系吗？
（1）A={1，2，3}， B={1，2，3，4，5}；
（2）设A 为新华中学高一（2）班全体女生组成的集合，
B 为这个班全体学生组成的集合；
（3）设A={x |x 是两条边相等的三角形}， B={x |x 是等腰三角形}。
子集：一般地，对于两个集合A ，B ， 如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个
集合有包含关系， 称集合A 为集合B 的子集（subset ）， 记作
（或）
读作“”（或“”）
如：{x |3>x } {x |063>-x }；
两集合相等：如果集合A 是集合B 的子集（A ?B ），且集合B 是集合A 的子集（B ?A ），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作
{x |012=-x } {1-，1}
真子集：如果集合A ?B ，但存在元素∈x B ，且?x A ，我们称集合A 是集合B 的
（proper subset ），记作（或）。