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考点7 指数函数、对数函数、幂函数
一、选择题
1. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ6）与（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ5）相同
函数)0)(11(log )(2>+=x x x f 的反函数()1=f x -（ ）
A.
()1021x x >- B.()1021
x x ≠- C.()21x x R -∈ D.()210x x -> 【解题指南】首先令)11(log 2x y +=求出x ，然后将y x ,互换，利用反函数的定义域为原函数的值域求解.
【解析】选A.由)11(log 2x
y +=，0>x ，得函数的值域为0>y ，又x y 112+=，解得121-=y x ，所以()1=f x -121-x )0(>x 2.(2013·北京高考理科·T5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称,则f(x)= ( )
+1 +1
【解题指南】把上述变换过程逆过来,求出y=e x 关于y 轴对称的函数,再向左平移1个单位长度得到f(x).
【解析】选D.与y=e x 关于y 轴对称的函数应该是y=e -x ,于是f(x)可由y=e -x 向左平移1个单位长度得到,所以f(x)=e -(x+1)=e -x-1.
3.（2013·广东高考文科·Ｔ2）函数lg(1)()1x f x x +=
-的定义域是（ ）
A ．(1,)-+∞
B ．[1,)-+∞
C ．(1,1)(1,)-+∞
D ．[1,1)(1,)-+∞
【解题指南】函数的定义域有两方面的要求：分母不为零，真数大于零，据此列不等式即可获解.
【解析】选C. 解不等式10,10x x +>-≠可得1,1x x >-≠是定义域满足的条件.
4.（2013·山东高考文科·Ｔ5）函数()123
x f x x =-+（ ）
A.(-3，0]
B.(-3，1]
C.(,3)(3,0]-∞--
D.(,3)(3,1]-∞--
【解题指南】定义域的求法:偶次根式为非负数，分母不为0.
【解析】选A. ???>+≥-03021x x ，解得03≤<-x .
5.（2013·陕西高考文科·Ｔ3）设a, b, c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 ( )
A ． ·log log log a c c b a b = B. b a b c c a log log log =?
C. c b bc a a a log log )(log ?=
D. ()log g og o l l a a a b b c c +=+ 【解题指南】a, b,c ≠1，掌握对数两个公式: a
b b y x xy
c c a a a a log log log ,log log log =+= 并灵活转换即可得解.
【解析】选B.对选项A: b
a b a b b c c a c c a log log log log log log =
?=?,显然与第二个公式不符，所以为假。对选项B:
a
b b b a b
c c a c c a log log log log log log =?=?,显然与第二个公式一致，所以为真。对选项C: c b bc a a a log log log ?=）（,显然与第一个公式不符，所以为假。对选项D: c b c b a a a log log )log +=+（,同样与第一个公式不符，所以为假。
6.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T8)设a =log 36,b =log 510,c =log 714,则 ( )
>b>a >c>a
>c>b >b>c
【解题指南】将a,b,c 利用对数性质进行化简,分离出1后,再进行比较大小即可.
【解析】选D.由题意
知:a=log 36=1+log 32=211,log 3+
5521log 101log 21log 5b ==+=+ 7721c=log 14=1+log 2=1,log 7
+因为log 23
A.a c b >>
B.b c a >>
C.c b a >>
D.c a b >>
【解析】选D.因为321log 21log 3=<，521log 21log 5
=<，又2log 31>，所以c 最大。又221log 3log 5<<，所以
2211log 3log 5>，即a b >，所以c a b >>，选D.
8.（2013·上海高考文科·T15）函数1)(f 2-=x x （x ≥0）的反函数为
f -1(x)，则f -1(2)的值是（ ）
A.3
B.－3 +2 －2
【解析】选A
31)(2,02=?-==≥x x x f x 由反函数的定义可知， 9.(2013·浙江高考理科·T3)已知x,y 为正实数,则 ( ) +lgy =2lgx +2lgy (x+y)=2lgx ·2lgy
·lgy
=2lgx +2lgy (xy)=2lgx ·2lgy 【解题指南】运用指数的运算性质与对数的运算性质解答.
【解析】选D.选项A,2lgx+lgy =2lgx ·2lgy ,故A 错误;选项B,2lgx ·2lgy =2lgx+lgy ≠2lg(x+y),故B 错误;选项C,2lgx ·lgy =(2lgx )lgy ,故C 错误.
10. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ12）若存在正数x 使2()1x x a -<成立，则a 的取值范围是（ ）
A.(,)-∞+∞
B.(2,)-+∞
C.(0,)+∞
D.(1,)-+∞
【解题指南】将2()1x x a -<，转化为122
x x x a --<=，然后分别画出(),()2x f x x a g x -=-=的图象，数形结合分析求解.
【解析】选D.因为20x >，所以由2()1x x a -<得122
x x x a --<
=，在坐标系中，作出函数(),()2x f x x a g x -=-= 的图象，
当0x >时，()21x g x -=<，
所以如果存在0x >，使2()1x x a -<，则有1a -<，即1a >-，所以选D.
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 （一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数
注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？ 提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义 如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 （2）几种常见对数 2、对数的性质与运算法则 （1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1 log 0a =，②l o g 1a a =，③l o g N a a N =，④l o g N a a N =。
第二章 函数 三 指数函数与对数函数 【考点阐述】指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．对数．对数的运算性质．对数函数． 【考试要求】（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 【考题分类】 （一）选择题（共15题） 1.（安徽卷文7）设 232555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. 2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系 中的图像可能是 【答案】D 【解析】对于A 、B 两图，|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-11矛盾，选D 。 3.（辽宁卷文10）设525b m ==，且112a b +=，则m = （A （B ）10 （C ）20 （D ）100 【答案】 D
解析：选A.211 log 2log 5log 102,10, m m m m a b +=+==∴= 又0,m m >∴= 4.（全国Ⅰ卷理8文10）设a= 3 log 2,b=In2,c=1 2 5 - ,则 A. a
天津市近五年高考数学试题分类汇总 [2011 ?天津卷]i是虚数单位，复数1 3i 1 i = C. 1 2i A. 2 i B. 2 i 【答案】A. 1 3i 【解析】'3i(1 3i)(1 i) 42i2 i. 1 i(1 i)(1 i)2 【2010】(1) i是虚数单位，复数 1 3i( 1 2i (A)1 + i(B)5+ 5i (C)-5-5i(D)-1 —i 5i 【2009,1】i是虚数单位，5=( ) 2 i (A) 1+2i(B) -1-2i(C) 1-2i 选择题1:—复数 【考点定位】本小题考查复数的运算，基础 题。) D. 1 2i (D) -1+2i 解析：旦5^ 2 i 5 1 2i，故选择D o 【2008 】 1. ?3 i是虚数单位i i 1() i是虚数单位，i1 (A) 1 (B) 1(C) i(D) i A 【2007】 2i3 1.i是虚数单位，——() 1 i A.1i B.1 i C.1 【答 案】 C 【分 析】2i32i3(1 i)2i(1 i)i 1，故选C 1i (1 i)(1 i)2 D. 1 i 2 (1)i 3 1,i 4 i,i1 复数运算技巧： 4n i 1,i 4n 1 4n 2 i,i 4n 3 hi n n 1n 2n 3 ■ i■ i■ i■ i0 复数概念、复数运算、共轭复数、复数几何意义。 (2)(1 i)2 2i
i i A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 .1 i i,r _ i ⑷设 -1+凋 3 2 1, — 2 3 , 0 2 , 选择题 2: 充要条件与命题 [2011 ? 天津卷］设x,y R,则 2 2 “x 2 且 y 2 ”是“ x y 4 的 充分而不必要条件 A . B .必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D .即不充分也不必要条件 【答案 】A 【解 析 】当x 2且y 2时， 「疋有x y 4 ；反过来当 【2010】(3)命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是 (A) 若f(x)是偶函数，则f(-x)是偶函数 (B) 若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数 (C) 若f(-x)是奇函数，贝U f(x)是奇函数 (D) 若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 B 【2009】(3)命题“存在x 0 R , 2x0 0”的否定是 (A )不存在 x 0 R, 2x0 >0 (B )存在 X 。R, 2x0 0 (C )对任意的x R, 2x 0 (D )对任意的x R, 2x >0 【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。 解析：由题否定即“不存在 x 0 R ，使2x0 0”，故选择D o 【2007 】3." —"是"ta n 2cos — "的 3 2 x 2 y 2 4，不一定有x 2且y 2，例如x 4, y 0也可以，故选A 【2008】(4)设 a,b 是两条直线, 是两个平面，则a b 的一个充分条件是 C (A) a , b 〃 ， (C) a ,b , // (B) a ,b , // (D) a ,b 〃 ,
一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量，a是常数（我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言,它们都具有下列性质:
a y x =有下列性质： （1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1); ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． （2）0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． （3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； （4）任何幂函数图象都不经过第四象限； (5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点:零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠)，那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-．
典型高考数学试题解读与变式2018版 考点 7 对数函数的图象与性质 【考纲要求】 1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 3．知道对数函数是一类重要的函数模型． 4．了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数． 【命题规律】 高考对对数函数的图象与性质考查题型一般是选择题或填空题，难度中等以下，主要考查对数运算、对数函数的性质及运用、对数函数的图象性质. 【典型高考试题变式】 （一）对数运算 例1. 【2017课标1】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则（ ） A ．235x y z << B ．523z x y << C ．352y z x << D ．325y x z << 【答案】D 【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，在用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式和0与1的对数表示. 【变式1】【改变例题中指数式的底数，结论变为求 x y z +的值】设x 、y 、z 为正数，且248x y z ==，则 x y z += . 【答案】 92 【解析】令248(1)x y z k k ===>，则2log x k =，4211log log 22 y k k x == =，
8211log log 33z k k x ===，所以39 2123 x x y z x +==. 【变式2】【改变例题中指数式的底数，结论变为求x 、y 、z 之间的关系式】设x 、y 、z 为正数，且346x y z ==，则x 、y 、z 之间的关系式为 . 【答案】 111 2z x y -= 【解析】设346x y z t ===，由0x >知1t >，取以t 为底的对数可得 log 3log 4log 61t t t x y z ===， 所以1log 3t x =，1log 4t y =，1log 6t z =，所以1111 log 6log 3log 2log 422t t t t z x y -=-===， 所以1112z x y -=. （二）对数函数的性质及运用 例2.【2017天津，文6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若 0.8221 (log ),(log 4.1),(2)5 a f b f c f =-==，则,,a b c 的大小关系为（ ） A.a b c << B.b a c << C.c b a << D.c a b << 【答案】C 【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题，属于基础题型，首先根据奇函数的性质和对数运算法则，()2log 5a f =，再比较0.8 22log 5,log 4.1,2比较大 小. 【变式1】【改变例题的条件】已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，
高考数学真题汇编——函数与导数 1．【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 2．【2018年理天津卷】已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D
【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：，， ， 据此可得：.本题选择D选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 3．【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.
点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 4．【2018年理新课标I卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 5．【2018年全国卷Ⅲ理】设，，则
(一）指数与指数函数 1.根式 （1）根式的概念 （２)．两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n m n a a m n N n a a - *= = >∈>、且 ③０的正分数指数幂等于０，0的负分数指数幂没有意义． 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2)有理数指数幂的性质 ①a r ａｓ =a r+ｓ （ａ＞0,r 、ｓ∈Ｑ）; ②（a r )s ＝a rs (a>0,r 、s ∈Q ）; ③(ａb)r =a r ｂs (a>０,b>0,r ∈Q );. 3.指数函数的图象与性质 y ＝ａ ｘ a>1 0 图象 定义域R 值域(０，+∞) 性质(１)过定点（0，1) （2)当ｘ＞0时，y>1; x<０时，0 1、（2009湖南文） 2、（2012安徽文） 指数函数与对数函数高考题 log^.2的值为 log 2 9 log 3 4 B. C. 3、（2009全国U 文）设a lg e,b (lg e)2,c A. a b c B. C. c 4、（ 2009广东理） 若函数 (、,a,a)，则 f (x)( A. log 2 x 5、（2009四川文）函数 A. y 1 log 2 x(x C. y 1 log 2 x(x 6 （ 2009全国U 理）设 A. a b c 7、（2009天津文）设a A. a b c B. D. lg e,则( b D. f （x ）是函数y a x (a 0,且a 1）的反函数，其图像经过 点 B. log-I x 2 C. 1 2x D. x 2 X 1 y 2 (x R ）的反函数是 （ 0) 0) a log 3 , b B. a c b B. y D. y log 2(x log 2(x log 2 3,c log^ 2， C. b 1)(x 1)(x 1) 1) D. 1 03 log 32,b 砸严？ 则（ a c b C. 8、(2009 湖南理) 若log 2av0，> 1，贝U ( B . a > 1,b v 0 A . a > 1,b > 0 9、（2009江苏）已知集合A x log 2 x 2 ,B C. 0v a v 1, b > 0 D. 0v a v 1, b ,a ），若A B 则实数a 的取值范围是 (c,)，其中 c = 10、（2010 辽宁文）设 2a 5b 2，则 A. B.10 C.20 D.100 指数函数和对数函数历年高考题汇编附答案 历届高考中的“指数函数和对数函数”试题汇编大全 一、选择题 1、已知 ?? ?≥<+-=1, log 1,4)13()(x x x a x a x f a 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取 值范围是 （A ）(0,1) （B ）1(0,)3 （C ）11[,)73 （D ）1 [,1)7 2.、函数y=㏒ 2 1 -x x (x ﹥1)的反函数是 A.y =122-x x (x >0) B.y = 1 22-x x (x <0) C.y = x x 212- (x >0) D. .y = x x 212- (x <0) 3、设f(x)＝x x -+22lg ，则)2 ()2(x f x f +的定义域为 A. ），（），（－4004 B.(－4,－1) (1，4) C. (－2,－1) (1， 2) D. (－4,－2) (2，4) 4 、函数y =( ) A.(3,+∞) B.[3, +∞) C.(4, +∞) D.[4, +∞) 5、与方程221(0) x x y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的 方程为（ ） Ａ．ln(1y = Ｂ．ln(1y = Ｃ．ln(1y =-+ Ｄ．ln(1y =-- 6、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x = 对称，则 A ．()22() x f x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x => C ．()22()x f x e x R =∈ D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+> 7、已知函数()ln 1(0)f x x x =+>，则()f x 的反函数为 （A ） 1() x y e x R +=∈ （B ） 1() x y e x R -=∈ （C ） 1(1) x y e x +=> （D ） 1(1) x y e x -=> 8、函数y ＝f (x )的图像与函数g (x )＝log 2x (x ＞0)的图像关于原点对称，则f (x )的表达式为 (A )f (x )＝1 log 2x (x ＞0) (B )f (x )＝log 2(－ x )(x ＜0) (C )f (x )＝－log 2x (x ＞0) (D )f (x )＝－log 2(－x )(x ＜0) 9、函数y=1+a x (0 一、指数函数 1．形如(0,0)x y a a a =>≠的函数叫做指数函数，其中自变量是x ，函数定义域是R ，值域是(0,)+∞． 2.指数函数(0,0)x y a a a =>≠恒经过点(0,1)． 3.当1a >时，函数x y a =单调性为在R 上时增函数； 当01a <<时，函数x y a =单调性是在R 上是减函数． 二、对数函数 1． 对数定义： 一般地，如果a （10≠>a a 且）的b 次幂等于N , 即N a b =，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作 b N a =log ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 着重理解对数式与指数式之间的相互转化关系，理解，b a N =与log a b N =所表示的是,,a b N 三个量之间的同一个关系。 2. 对数的性质： （1）零和负数没有对数；（2）log 10a =；（3）log 1a a = 这三条性质是后面学习对数函数的基础和准备，必须熟练掌握和真正理解。 3. 两种特殊的对数是：①常用对数：以10作底 10log N 简记为lg N ②自然对数：以e 作底（为无理数），e = 28…… ， log e N 简记为ln N ． 4.对数恒等式（1）log b a a b =；（2）log a N a N = 要明确,,a b N 在对数式与指数式中各自的含义，在指数式b a N =中，a 是底数，b 是指数，N 是幂；在对数式log a b N =中，a 是对数的底数，N 是真数，b 是以a 为底N 的对数，虽然,,a b N 在对数式与指数式中的名称不同，但对数式与指数式有密切的联系：求 对数log a N 就是求b a N =中的指数，也就是确定a 的多少次幂等于N 。 三、幂函数 1．幂函数的概念：一般地，我们把形如y x α =的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是 专题十 对数函数 【高频考点解读】 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 3.知道对数函数是一类重要的函数模型． 4.了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0，且a ≠1)． 【热点题型】 题型一 对数式的运算 【例1】 求值：(1)log 89log 23； (2)(lg 5)2＋lg 50·lg 2； (3)12lg 3249－4 3 lg 8＋lg 245. 【提分秘籍】 1．化同底是对数式变形的首选方向，其中经常用到换底公式及其推论． 2．结合对数定义，适时进行对数式与指数式的互化． 3．利用对数运算法则，在积、商、幂的对数与对数的和、差、倍之间进行转化． 【举一反三】 (1)若2a ＝5b ＝10，求1a ＋1 b 的值； (2)若x log 34＝1，求4x ＋4－ x 的值． 【热点题型】 题型二对数函数图象及应用 【例2】若实数a，b，c满足log a2 历届高考中的“指数函数和对数函数”试题汇编大全 一、选择题 1、已知???≥<+-=1,log 1 ,4)13()(x x x a x a x f a 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 （A ）(0,1) （B ）1 (0,)3 （C ）11[,)73 （D ）1[,1)7 2.、函数y=㏒2 1 -x x (x ﹥1)的反函数是 =122-x x (x >0) = 122-x x (x <0) =x x 212- (x >0) D. .y =x x 2 12- (x <0) 3、设f(x)＝x x -+22lg ，则)2 ()2(x f x f +的定义域为 A. ） ，（），（－4004Y B.(－4,－1)Y (1，4) C. (－2,－1)Y (1，2) D. (－4,－2)Y (2，4) 4、函数y =( ) A.(3,+∞) B.[3, +∞) C.(4, +∞) D.[4, +∞) 5、与方程221(0)x x y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为（ ） Ａ．ln(1y =+ Ｂ．ln(1y = Ｃ．ln(1y =-+ Ｄ．ln(1y =-- 6、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 A ．()22()x f x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x =>g C ．()22()x f x e x R =∈ D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+> 7、已知函数()ln 1(0)f x x x =+>，则()f x 的反函数为 （A ）1()x y e x R +=∈ （B ）1()x y e x R -=∈ （C ）1(1)x y e x +=> （D ） 1 (1)x y e x -=> 8、函数y ＝f (x )的图像与函数g (x )＝log 2x (x ＞0)的图像关于原点对称，则f (x )的表达式为 (A )f (x )＝1 log 2x (x ＞0) (B )f (x )＝log 2(－x )(x ＜0) (C )f (x )＝－log 2x (x ＞0) (D )f (x )＝－log 2(－x )(x ＜0) 9、函数y=1+a x (0 一、选择题（每小题4分，共计40分） 1．下列各式中成立的一项是 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ． 33 39= C ．4 343 3 )(y x y x +=+ D ．31243)3(-=- 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 9- B ．a - C ．a 6 D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确．．． 的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)]([+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 温馨提示： 此题库为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word 文档返回原板块。 考点7 指数函数、对数函数、幂函数 一、选择题 1. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ6）与（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ5）相同 函数)0)(11(log )(2>+=x x x f 的反函数()1=f x -（ ） A. ()1021x x >- B.()1021 x x ≠- C.()21x x R -∈ D.()210x x -> 【解题指南】首先令)11(log 2x y +=求出x ，然后将y x ,互换，利用反函数的定义域为原函数的值域求解. 【解析】选A.由)11(log 2x y +=，0>x ，得函数的值域为0>y ，又x y 112+=，解得121-=y x ，所以()1=f x -121-x )0(>x 2.(2013·北京高考理科·T5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称,则f(x)= ( ) +1 +1 【解题指南】把上述变换过程逆过来,求出y=e x 关于y 轴对称的函数,再向左平移1个单位长度得到f(x). 【解析】选D.与y=e x 关于y 轴对称的函数应该是y=e -x ,于是f(x)可由y=e -x 向左平移1个单位长度得到,所以f(x)=e -(x+1)=e -x-1. 3.（2013·广东高考文科·Ｔ2）函数lg(1)()1x f x x += -的定义域是（ ） A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞ 【解题指南】函数的定义域有两方面的要求：分母不为零，真数大于零，据此列不等式即可获解. 【解析】选C. 解不等式10,10x x +>-≠可得1,1x x >-≠是定义域满足的条件. 4.（2013·山东高考文科·Ｔ5）函数()123 x f x x =-+（ ） A.(-3，0] B.(-3，1] C.(,3)(3,0]-∞-- D.(,3)(3,1]-∞-- 【解题指南】定义域的求法:偶次根式为非负数，分母不为0. 【解析】选A. ???>+≥-03021x x ，解得03≤<-x . 5.（2013·陕西高考文科·Ｔ3）设a, b, c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 ( ) A ． ·log log log a c c b a b = B. b a b c c a log log log =? C. c b bc a a a log log )(log ?= D. ()log g og o l l a a a b b c c +=+ 【解题指南】a, b,c ≠1，掌握对数两个公式: a b b y x xy c c a a a a log log log ,log log log =+= 并灵活转换即可得解. 【解析】选B.对选项A: b a b a b b c c a c c a log log log log log log = ?=?,显然与第二个公式不符，所以为假。对选项B: 指数函数与对数函数 1、（2009湖南文）2log 的值为（ ） A ． B C ．12- D ． 12 2、（2012安徽文）23log 9log 4?=（ ） A ．14 B ．12 C ．2 D ．4 3、（2009全国Ⅱ文）设2lg ,(lg ),a e b e c === ( ) A.a b c >> B.a c b >> C.c a b >> D.c b a >> 4、（2009广东理）若函数()y f x =是函数(0,1)x y a a a =>≠且的反函数，其图像经过点)a ， 则()f x =（ ） A. 2log x B. 12log x C. 12 x D. 2x 5、（2009四川文）函数)(21R x y x ∈=+的反函数是（ ） A. )0(log 12>+=x x y B. )1)(1(log 2>-=x x y C. )0(log 12>+-=x x y D. )1)(1(log 2->+=x x y 6、（2009全国Ⅱ理）设323log ,log log a b c π=== ） A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. b c a >> 7、（2009天津文）设3.02131) 21(,3log ,2log ===c b a ，则（ ） A.c b a << B. b c a << C. a c b << D .c a b << 8、(2009湖南理) 若2log a ＜0，1()2b ＞1，则 ( ) A ．a ＞1,b ＞0 B ．a ＞1,b ＜0 C. 0＜a ＜1, b ＞0 D. 0＜a ＜1, b ＜0 9、（2009江苏）已知集合{}2log 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ?则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c = 10、（2010辽宁文）设25a b m ==，且112a b +=，则m =（ ） A.11、（2010全国文）函数)1)(1ln(1>-+=x x y 的反函数是( ) 历年高考试题汇编Ⅰ——集合与函数 考试内容： 集合.子集、交集、并集、补集. 映射.函数(函数的记号、定义域、值域). 幂函数.函数的单调性.函数的奇偶性. 反函数.互为反函数的函数图象间的关系. 指数函数.对数函数.换底公式.简单的指数方程和对数方程. 二次函数. 考试要求： (1)理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能掌握有关的术语和符号，能正确地表示一些较简单的集合. (2)了解映射的概念，在此基础上理解函数及其有关的概念掌握互为反函数的函数图象间的关系. (3)理解函数的单调性和奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的单调性和奇偶性，能利用函数的奇偶性与图象的对称性的关系描绘函数图象. (4)掌握幂函数、指数函数、对数函数及二次函数的概念及其图象和性质，并会解简单的指数方程和对数方程. 一、选择题 1.在下面给出的函数中，哪一个既是区间(0，π 2)上的增函数，又是以π为周期的偶函数(85(3)3分) ＝x 2 ＝|sinx | ＝cos 2x ＝e sin 2x 2.函数y ＝－x ＋1的反函数是(86(2)3分) ＝log 5x ＋1 ＝log x 5＋1 ＝log 5(x －1) ＝log 5x －1 3.在下列各图中，y ＝ax 2 ＋bx 与y ＝ax ＋b 的图象只可能是(86(9)3分) A . B . C . D . 4.设S ，T 是两个非空集合，且S T ，T S ，令X ＝S ∩T ，那么S ∪X ＝(87(1)3分) C .Φ 5.在区间(－∞，0)上为增函数的是(87(5)3分) x y x y x y x y 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 【巩固练习】 1．下列函数与 y x 有相同图象的一个函数是（ ） A ． y x 2 B ． y x 2 x C ． y a log a x (a 0且 a 1) D ． y log a a x 2．函数 y 3x 与 y 3 x 的图象关于下列那种图形对称（ ） A ． x 轴 B ． y 轴 C ．直线 y x D ．原点中心对称 3．（ 2015 年山东高考）若函数 f (x) 2x 1 是奇函数，则使 f （ x ）＞ 3 成立的 x 的取值范围为（ ） 2x a A ．（－ ∞，－ 1） B ．（－ 1， 0） C ．（ 0,1） D ．（ 1，+∞） 4．（ 2017 广西一模） 已知函数 f ( x) 2, 0 x 1 x (log 1 4x 1) f (log 3 x 1) 5 1, x 1 ，则不等式 log 2 4 的解集为（ ） 1 B ．[1，4] 1 D ．[1，+∞） A ． ( ,1) C ． ( ,4] 3 lg x 3 3 5．为了得到函数 y 的图象，只需把函数 y lg x 的图象上所有的点（ ） 10 A ．向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度； B ．向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度； C ．向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度； D ．向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度； 6．函数 y log 1 ( x 2 5x 6) 的定义域为（ ）； (x 2 ) A ． 1 , 2 3, B ． 1 ,1 1,2 3, 2 2 C ． 3 , 2 3, D ． 1, 3 3 , 2 3, 2 2 2 2 1 7．当 0 1.log89 log23的值为() A．1B．－1 C.2 3 D. 3 2 答案 C 2．(2013·陕西)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是() A．log a b·log c b＝log c a B．log a b·log c a＝log c b C．log a(bc)＝log a b·log a c D．log a(b＋c)＝log a b＋log a c 答案 B 解析利用对数的换底公式进行验证，log a b·log c a＝log c b log c a·log c a＝log c b，故选 B. 3．(2013·课标全国Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则() A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c 答案 D 解析a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y＝log3x，y ＝log5x，y＝log7x的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a>b>c，故选D. 4．log2sin π 12＋log2cos π 12的值为() A．－4 B．4 C．－2 D．2 答案 C 解析log2sin π 12＋log2cos π 12＝log2(sin π 12cos π 12)＝log2( 1 2sin π 6)＝log2 1 4＝－2，故 选C. 5．当0指数函数与对数函数高考题(含标准答案)
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