西安电子 ( 高西全丁美玉第三版 ) 数字信号处理课后答案
1.2 教材第一章习题解答
1. 用单位脉冲序列 (n) 及其加权和表示 题 1 图所示的序列。
解：
x( n)(n
4) 2 (n 2) ( n 1)
2 (n)(n 1) 2 (n 2) 4 ( n 3)
0.5
(n 4)
2 (n 6)
2n 5, 4 n 1
2. 给定信号： x( n)
6,0
n 4
0, 其它
（1）画出 x( n) 序列的波形，标上各序列的值； （2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示 x(n) 序列；
（3）令 x 1( n) 2x(n 2) ，试画出 x 1( n) 波形；
（4）令 x 2 (n) 2x(n 2) ，试画出 x 2 (n) 波形；
（5）令 x 3 (n) 2x(2 n) ，试画出 x 3 (n) 波形。
解：
（ 1） x(n) 的波形如 题 2 解图（一） 所示。
（ 2）
x(n)3 ( n 4)
(n 3) (n 2) 3 ( n 1) 6 (n) 6 (n 1)
6 ( n 2)
6
(n 3) 6 (n 4)
（ 3） x 1 (n) 的波形是 x(n) 的波形右移 2 位，在乘以 2，画出图形如 题 2 解图（二） 所示。 （ 4） x 2 (n) 的波形是 x(n) 的波形左移 2 位，在乘以 2，画出图形如 题 2 解图（三） 所示。 （ 5）画 x 3 (n) 时，先画 x(-n) 的波形，然后再右移
2 位， x
3 ( n) 波形如 题 2 解图（四） 所
示。
3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。 （1） x( n)
Acos(
3
n
) ，A 是常数；
7
8
（2）
x(n)
j ( 1
n
)
e 8
。
解：
（1）w 3214
T=14 ；7
,，这是有理数，因此是周期序列，周期是
w3
（2）w 1 , 216 ，这是无理数，因此是非周期序列。
8w
5. 设系统分别用下面的差分方程描述，x(n) 与 y(n) 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
（1）y( n)x(n)2x(n 1) 3x(n2) ；
（3）
y( n)x(n n0 ) ， n0为整常数；
（5）y( n)x2 (n) ；
n
（7）y( n)x( m) 。
m 0
解：
（1）令：输入为x(n n0 ) ，输出为
y' (n) x(n n0 )2x(n n01)3x(n n02)
y(n n0 )x( n n0 )2x(n n01)3x(n n0 2)y' ( n)
故该系统是时不变系统。
y(n)T[ax1 (n)bx2 (n)]
ax1 (n)bx2 (n) 2(ax1 (n1)bx2 (n 1))3(ax1( n 2) bx2 (n 2))
T[ ax1( n)]ax1( n) 2ax1( n 1)3ax1 (n 2)
T [ bx2 (n)]bx2 ( n) 2bx2 ( n 1)3bx2 ( n 2)
T[ ax1(n)bx2 ( n)]aT[ x1 (n)]bT[ x2 (n)]
故该系统是线性系统。
（3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。
令输入为 x(n n1) ，输出为 y' (n) x(n n1 n0 ) ，因为
y(n n1 )x(n n1n0 )y' (n)
故延时器是一个时不变系统。又因为
T [ ax1( n) bx2 (n)]ax1 (n n0 )bx2 ( n n0 )aT[ x1( n)] bT[ x2 (n)]
故延时器是线性系统。
（5）y( n)
2
x ( n)
令：输入为 x(n n0 ) ，输出为 y' (n) x2 ( n n0 ) ，因为
y( n n0 )x2 (n n0 )y' (n)
故系统是时不变系统。又因为
T [ax1 (n)bx2 (n)](ax1 (n)bx2 ( n)) 2
aT[ x1 (n)] bT[ x2 (n)]
ax12 ( n)bx22 ( n)
因此系统是非线性系统。
n
（7）y(n)x( m)
m 0
n
令：输入为 x(n n0 ) ，输出为y'(n)x( m n0 ) ，因为
m 0
n n0
y' (n)
y(n n0 )x( m)
m 0
故该系统是时变系统。又因为
n
T[ ax1 (n) bx2 ( n)](ax1 (m)bx2 (m)) aT[ x1 (n)] bT[ x2 (n)]
m0
故系统是线性系统。
6.给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。
1 N1
（1） y( n)x(n k ) ；
N k0
n n0
（3）y( n)x( k) ；
k n n0
（5）y(n) e x(n )。
解：
（1）只要N1，该系统就是因果系统，因为输出只与n 时刻的和 n 时刻以前的输入有关。如果 x(n)M ，则 y(n)M ，因此系统是稳定系统。
（3）如果x( n)M ， y(n)
n n0
x(k ) 2n0 1 M ，因此系统是稳定的。系统是非因k n n0
果的，因为输出还和x(n) 的将来值有关 .
（ 5 ）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n) 的未来值。如果x(n) M ，则y(n) e x( n )e x( n)e M，因此系统是稳定的。
7.设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n) 和输入序列 x(n) 如题7图所示，要求画出输出输出y( n) 的波形。
解：
解法（ 1） :采用图解法
y( n)x(n)h(n)x( m)h(n m)
m 0
图解法的过程如题 7 解图所示。
解法（ 2） :采用解析法。按照题 7 图写出 x(n) 和 h(n)的表达式 :
x(n)(n 2)(n 1) 2 ( n 3)
h(n)2(n)(n1)1(n2)
2
x(n)*(n)x( n)
因为
A (n k )Ax (n k )
x(n)*
y( n)x(n)*[2( n)(n 1)1(n2)]
所以2
1
x( n
2 x(n)x( n1)2)
2
将 x(n) 的表达式代入上式，得到
y( n)2 (n2)(n1)0.5(n)2(n1)(n 2)
4.5 (n3)2( n 4)(n5)
8.设线性时不变系统的单位取样响应h(n) 和输入 x(n) 分别有以下三种情况，分别求出输出y(n) 。
（1）h(n)R ( n), x(n)R ( n) ；
45
（2）h(n)2R4 (n), x(n)( n)(n2) ；
（3）h( n)0.5n u(n), x n R5(n) 。
解：
（1）y( n)x(n)* h( n)R4 (m)R5 (n m)
m
先确定求和域，由 R4 (m) 和 R5(n m) 确定对于m的非零区间如下：
0m3, n 4m n
根据非零区间，将n 分成四种情况求解：
① n 0, y( n)0
n
② 0n3, y( n) 1 n1
m0
3
③ 4n7, y(n)18 n
m n 4
④ 7n, y( n)0
最后结果为
0,n0, n7
y( n)n1,0n3
8n,4n7
y(n) 的波形如题 8 解图（一）所示。
（2）
y(n) 2R4 (n)*[(n)(n 2)]2R4 (n)2R4 (n 2)
2[ (n)(n 1)(n 4)(n5)]
y(n) 的波形如题 8 解图（二）所示 .
（3）
y( n)x(n)* h( n)
R5 (m)0.5n m u( n m)0.5n R5 ( m)0.5 m u(n m)
m m
y(n) 对于 m 的非零区间为0m4, m n。
① n0, y( n) 0
n
10.5n1
② 0n 4, y( n)0.5n0.5 m0.5n(1 0.5 n 1)0.5n 2 0.5n
m 010.5
1
4
10.55
③ 5n, y( n) 0.5n0.5 m0.5n31 0.5n
m 010.5
1
最后写成统一表达式：
y( n)(20.5n )R5 ( n)310.5n u( n 5) 11.设系统由下面差分方程描述：
y(n) 1 y(n 1) x(n) 1x(n 1)；
22
设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。
解：
令： x(n)( n)
h(n)1
h(n1)(n)
1
(n1) 22
n0,h(0)1
h(1)(0)
1
1)1 2
(
2
n1,h(1)11
1 h(0)(1)(0)
22
n2,h(2)1
h(1)1 22
n3, h(3)1
h(2)(1)2 22
归纳起来，结果为
h(n)(1)n1 u( n 1)(n)
2
12. 有一连续信号x a(t ) cos(2ft), 式中，f20Hz,
2
（1）求出x a(t )的周期。
（2）用采样间隔T0.02 s对x a(t )进行采样，试写出采样信号x a (t ) 的表达式。（3）画出对应x a(t)的时域离散信号 (序列 )x( n) 的波形，并求出x(n) 的周期。
————第二章————
教材第二章习题解答
1.设 X ( e jw ) 和 Y(e jw ) 分别是x( n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换：（1）x( n n0 ) ；
（2）x( n)；
（3）x( n) y( n)；
（4）x(2n)。
解：
（1）FT [ x( n n0)]x(n n0 )e jwn
n
令n' n n0 , n
（2）FT [ x*(n)]（3）FT [ x(n)]令 n'n ，则
（4）
证明：
令k=n-m ，则n'n0，则
FT [ x(n n0 )]')e jw( n
'
n)
e jwn X (e jw)
x(n00
n
jwn
x* (n)e[x(n)e jwn ]*X * (e jw )
n n
x( n)e jwn
n
jwn '
FT [ x( n)]x(n' )e X (e jw )
n'
FT
[(
n
)*( )]
X
(
e
jw )(
e
jw
)
x y n Y
x(n)* y( n)x(m) y(n m)
m
FT [ x(n)* y(n)][x(m) y(n m)] e jwn
n m
FT[ x(n)* y(n)][x(m) y(k)]e jwk e jwn
k m
y(k )e jwk x(m)e jwn
k m
X (e jw )Y (e jw )
2.
1, w w0已知 X (e jw )
0, w0w
求 X (e jw ) 的傅里叶反变换x(n) 。
解：x( n)1 e jwn dw sin w0 n
w0
2w0n
3.线性时不变系统的频率响应(传输函数 ) H (e jw)H (e jw ) e j (w ) , 如果单位脉冲响应 h(n)为实序列，试证明输入x(n) Acos(w0n) 的稳态响应为
y( n) A H (e jw ) cos[w0 n(w0 )] 。
解：
假设输入信号 x(n)
e jw 0 n ，系统单位脉冲相应为
h(n)，系统输出为
jw 0 n
y( n ) h ( n )* x (n )
h( m) e
jw
( n m )
e
jw
n
h( m ) e
jw
m
H ( e jw 0 )e
m
m
上式说明， 当输入信号为复指数序列时， 输出序列仍是复指数序列，且频率相同，
但幅度和
相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。
x(n)
A cos(w n
) 1 A[e
jw 0
n
e j
e
jw 0
n
e
j
]
2
1
y(n)
A[ e j e jw 0n
H (e
jw 0
) e j e jw 0 n
H (e
jw 0
)]
2
1
A[ e j
e
jw 0n
H (e jw 0
) e
j (w 0
)
e j
e
jw 0
n
H (e
jw
) e
j ( w 0 )
]
2
上式中 H ( e jw ) 是 w 的偶函数，相位函数是
w 的奇函数，
H (e jw ) H ( e jw ) , (w) ( w)
y( n)
1
A H (e jw
) [ e j
e jw 0n
e
j ( w 0
)
e j
e
jw 0
n
e
j ( w 0 )
]
2
A H (e jw 0 ) cos(w 0 n
(w 0 ))
1,n
0,1
将 x(n) 以 4 x(n) ，画出 x(n) 和
4. 设 x(n)
为周期进行周期延拓， 形成周期序列
0,其它
x(n) 的波形，求出 x(n) 的离散傅里叶级数
X (k) 和傅里叶变换。
解：
画出 x(n) 和 x(n) 的波形如 题 4 解图 所示。
3
j 2
1
j kn j k
X (k)
DFS[ x(n)]
kn
x(n)e
4
e
2
1 e
2
n 0
n 0
,
j k
j k
e
j k ) 2cos(
k ) e
j k
e 4
(e 4
4
4
4
X (k) 以 4 为周期，或者
1
j kn
1 e
j k
e
X (k)
e
2
j k
n 0
1 e 2
e
X (k) 以 4 为周期
1 j
k
2
j 1
k 4
(e (e
1
j
k
2
j 1
k 4
e
e
1 j
k
2
j 1
k 4
)
j 1
k
e
4
)
sin 1
k
2
,
1
sin k
X (e jw
) FT [ x(n)] 2
X ( k) ( w 2
k )
4 k 4 2 k
X (k ) (w
k)
2
cos( j k
k )
k )e 4
(w
k
4
2
5. 设如图所示的序列 x(n) 的 FT 用 X (e jw ) 表示，不直接求出 X (e jw ) ，完成下列运算：
（1） X ( e j 0 ) ；
（2）
X (e jw )dw ；
X (e jw ) 2
（5） dw
解：
（1） X (e j 0 )
7
x(n) 6
n
3
（2）
X (e jw )dw x(0) 2 4
2
7 2
（5）X (e jw
) dw 2
x(n) 28
n
3
6. 试求如下序列的傅里叶变换 : （2） x 2 (n)
1
( n 1)
( n) 1 (n 1) ；
2
2
（3） x 3 (n) a n u( n),0 a 1
解： （2）
X 2 ( e jw )
x 2 (n)e jwn
1 e jw
1 1 e jw
n
2
2
1 1 (e jw e jw )
1 cosw
2
（3）
X 3 (e jw )
a n u(n) e jwn
a n e
jwn
1
n
n 0
1 ae jw
7. 设:
（1） x(n) 是实偶函数，
（2）x(n)是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，x(n) 的傅里叶变换性质。解：
令 X ( e jw )x(n) e jwn
n
（1） x(n) 是实、偶函数，X (e jw)x(n)e jwn
n
两边取共轭，得到
X * ( e jw )x(n)e jwn x(n)e j ( w )n X (e jw )
n n
因此 X (e jw )X * ( e jw )
(e jw)具有共轭对称性质。
上式说明x(n) 是实序列，X
X (e jw )x(n)e jwn x(n)[cos wn j sin wn]
n n
由于 x(n) 是偶函数， x(n)sinwn 是奇函数，那么
x(n)sin wn0
n
因此 X (e jw )x(n)cos wn
n
该式说明 X (e jw ) 是实函数，且是w 的偶函数。
总结以上x(n) 是实、偶函数时，对应的傅里叶变换X (e jw ) 是实、偶函数。
（2） x(n) 是实、奇函数。
上面已推出，由于x(n) 是实序列，X (e jw ) 具有共轭对称性质，即
X (e jw )X * (e jw )
X (e jw )x(n)e jwn x(n)[cos wn j sin wn]
n n
由于 x(n) 是奇函数，上式中x(n)cos wn 是奇函数，那么x(n)cos wn0
n
因此 X (e jw ) j x(n)sin wn
这说明X (e jw ) 是纯虚数，且是w 的奇函数。
10. 若序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式:H R (e jw ) 1 cosw 求序列 h(n) 及其傅里叶变换H (e jw ) 。
解：
H R(e jw ) 1 cos w1 1 e jw 1 e jw
22
1
, n1
2
h e (n)1,n0
1
, n1
2
0, n01,n0
h(n)h e( n), n 01,n1
2h e (n), n00, 其它 n
H (e jw )h( n)e jwn 1 e jw2e
n
FT [ h e (n)]h e (n)e jwn
n
jw /2 cos w
2
12. 设系统的单位取样响应h(n) a n u( n),0 a 1 ，输入序列为x(n)( n) 2 (n 2) ，完成下面各题：
（1）求出系统输出序列y( n) ；
（2）分别求出x(n) 、 h( n) 和 y( n) 的傅里叶变换。
解：
（1）
y(n) h( n)* x(n)a n u(n)*[ (n) 2 ( n 2)]
a n u(n) 2a n2u(n 2)
（2）
X (e jw )[(n)2(n2)]e jwn12e j 2w
n
H (e jw )a n u( n)e jwn a n e jwn1
n n 0
1 ae jw
Y(e jw)jw jw 12e j 2w
H (e) X (e)
ae jw
1
13. 已知x a(t )2cos(2 f 0t) ，式中 f0100Hz ，以采样频率 f s400Hz 对 x a (t ) 进行采
x (t )
（1）写出x a(t )的傅里叶变换表示式X a( j )；
（2）写出x a(t )和x(n)的表达式；
（3）分别求出x a(t)的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。
解：
（1）
X a ( j )x a (t )e j t dt2cos(0t )e j t dt
(e j 0t e j0t)e j t dt
上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅里叶变换可以表示成：
X a ( j) 2[(0 ) (0 )])
（2）? ()x
a ()()2cos(
0 nT
)(t nT)
x a t t t nT
n n
x( n)2cos( 0 nT),n
2 f0 200 rad ,T 1
0 2.5ms
f s
（3）
?
)1
X a ( j jk s
)
X a ( j T
k
2
[ (0k s )(0k s )]
T k
式中s 2 f s800rad / s
X (e jw )x(n)e jwn2cos(0nT )e jwn2cos(w0n)e jwn
n n n
[e jw0n e jw 0n]e jwn2[ ( w w02k )(w w02k )]
n k
式中 w00T
0.5 rad
上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。
14.求以下序列的 Z 变换及收敛域：
（2）2n u( n 1)；
（ 3） 2 n u ( n ) ； （ 6） 2 n [u(n) u(n 10)]
解 ：
（2）
ZT[2 n u(n)]
2 n u(n)z n
2 n z n
1 1 z 1 , z
1
n
n
1 2
2
（3）
ZT[ 2 n u( n 1)]
2 n u( n 1)z n
2 n z n
2n z n
n
n
1
n 1
2z 1 1 1 2z 1
2 1 z 1
, z
2
（ 6）
9
2 n z n
ZT [2 n u(n) u( n 10)] n 0
1 2 10 z 10
1 2 1 z
1 ,0 z
16. 已知 :
3
2 X ( z)
1 2z
1
1
z 1
1
2
求出对应 X ( z) 的各种可能的序列的表达式。
解：
有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况： 三种收敛域对应三种不同的原序列。
（1）当收敛域 z
0.5 时，
x(n)
1 X (Z )z n 1dz
2 j c
令 F (z) X ( z)z n 1
5 7 z 1 2z 1)
z n 1
5z 7
z n
(1 0.5z 1 )(1
( z 0.5)(z
2)
n 0 ，因为 c 内无极点， x(n)=0 ； n 1 ， C 内有极点 0，但 z=0 是一个 n 阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有
z 1 0.5,z 2 2 ，那么
x(n)
Re s[ F ( z),0.5] Re s[ F ( z), 2] (5z 7) z n ( z 0.5) z 0.5 (5 z 7) z n
( z 0.5)(z ( z 0.5)(z ( z 2) z 2
2) 2) [3 ( 1 )n 2 2n ]u( n 1)
2 （2）当收敛域 0.5 z
2 时，
F ( z)
(5z 7) z n
0.5)(z 2)
( z n
0 ， C 内有极点 0.5；
x(n)
Re s[ F ( z),0.5]
3 ( 1
) n
n 0
2
， C 内有极点 0.5，0，但 0 是一个 n 阶极点，改成求 c 外极点留数， c 外极点只有一
个，即 2，
x(n)
Re s[ F ( z),2] 2 2n u( n
1)
最后得到 x(n)
3 ( 1)n
u(n) 2 2n u( n
1)
2
（3）当收敛域
2 z 时，
F ( z)
(5z 7) z n
0.5)(z 2)
( z
n 0 ， C 内有极点 0.5，2；
x(n) Re s[ F (z),0.5] Re s[ F ( z), 2] 3 (1
) n 2 2n
2
n<0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此 x(n)=0 。
或者这样分析， C 内有极点 0.5， 2， 0，但 0 是一个 n 阶极点，改成求
c 外极点留数， c 外
无极点，所以 x(n)=0 。
最后得到
x(n) [3 ( 1
) n
2 2n ]u( n)
2
17. 已知 x(n) a n u(n),0
a 1 ，分别求：
（ 1） x(n) 的 Z 变换； （ 2） nx (n) 的 Z 变换；
（ 3） a n u ( n ) 的 z 变换。解：
（1）
X ( z) ZT [ a n u( n)]a n u(n)z n11 , z a
n1az
（2）
ZT[ nx(n)]
d
X ( z)
az 1
2 , z a z
(1 az
1
)
dz
（3）ZT [ a n u(n)] a n z n a n z n
11, z a 1
n 0n 0az
18. 已知X (z)
3z1
，分别求：25z 12z 2
（1）收敛域0.5z 2 对应的原序列x(n) ；（2）收敛域z 2对应的原序列x(n)。
解：
x( n)1
c X ( z) z n1dz
2j
F ( z)X ( z) z n 1
3z 1
z n 1
3 z n
25z1 2 z22(z 0.5)( z 2)
（1）当收敛域0.5 z 2 时，n 0， c 内有极点0.5，
x(n) Res[ F (z),0.5]0.5n 2 n,n 0,
c 内有极点 0.5,0,但 0 是一个 n 阶极点 ,改求 c 外极点留数 ,c 外极点只有2,
x(n)Re s[ F ( z),2]2n,
最后得到
x(n) 2 n u( n) 2n u( n1) 2 n
（2（当收敛域z 2 时，
n0, c内有极点0.5,2,
x(n) Re s[ F (z),0.5]Re s[ F ( z),2]
0.n 3z n
2 )
5
2 (z 0.
z(
5z) ( 2 )z 2
0.n n 52
n 0, c内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,可是c外没有极点,
因此 x( n) 0 , 最后得到
x(n) (0.5n
2n )u(n)
25. 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为
x( n) a n u(n), h(n) b n u( n),0 a 1,0 b
1 ，
试：
（1）用卷积法求网络输出 y(n) ；
（2）用 ZT 法求网络输出 y( n) 。
解：
（1）用卷积法求 y(n)
y(n) h( n)
x(n)
b m u(m) a n m u(n m) ， n
0 ,
m
n
n
a m
b m a n 1 a
n 1 n 1
n 1
n
1
y( n)
a n m
b m
a n
b
a
a b ， n
0 ， y(n) 0
m 0
m 0
1 a 1b
b
最后得到
y(n)
a n 1
b n 1
a
u(n)
b
（2）用 ZT 法求 y(n)
1
1
X (z)
1 az 1
, H ( z)
1 bz 1
Y(z)
X (z)H ( z)
1
1 az
1
1 bz
1
y(n)
1 Y (z)z n 1dz
2 j
c
令 F (z) Y( z) z n 1
z n 1
bz 1
z n 1
1 az 1 1
( z a)( z b)
n 0 ,c 内有极点 a,b
y(n) Re s[ F (z), a]
a n 1
b n 1
a n 1
b n 1
Re s[ F ( z), b]
b
b a
a b
a
因为系统是因果系统，n 0 , y( n)0 ，最后得到
a n 1
b n 1
y(n)u(n)
a b
28.若序列 h(n) 是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：
H R (e jw )1a cos w, a 1
1a22a cosw
求序列 h(n) 及其傅里叶变换H (e jw ) 。
解：
H R (e jw)1 a cosw10.5a(e
jw e jw )
a22a cosw1a2a(e jw e jw )
1
H R ( z)
10.5a( z z 1)10.5a(e jw e jw ) 1a2a(z z 1 )(1az 1 )(1az)
求上式 IZT ，得到序列h(n)的共轭对称序列h (n)。
e
h e (n)1H R( z)z n 1dz
2j c
F ( z)H R (z)z n 10.5az2z0.5a z n 1
a( z a)( z a 1)
因为 h(n) 是因果序列，h e(n)必定是双边序列，收敛域取：a z a 1。n 1时，c内有极点a,
h e ( n) Re s[ F (z), a]0.5az2z0.5a
z n 1( z a)
1n a(z a)( z a
1
)
a
z a 2
n=0 时， c 内有极点a ,0，
F ( z)H R (z)z n 10.5az2z0.5a z1
a( z a)( z a 1 )
所以
h e (n)Re s[ F ( z), a] Res[ F ( z),0]1又因为
h e (n)h e ( n)
所以
1,n
h e (n)
0.5a n ,n 0
0.5a n , n
h e ( n), n 0 1,n 0
h( n)
2h e (n), n 0
a n , n 0 a n u(n)
0, n 0
0, n
H ( e jw )
a n e jwn
1
n
1
ae jw
3.2 教材第三章习题解答
1. 计算以下诸序列的 N 点 DFT, 在变换区间 0
n
N 1 内 ,序列定义为
（2） x(n) (n) ；
（4） x(n) R m ( n),0
m N ；
（6） x(n)
cos(
2
nm),0 m
N ；
N
（8） x( n) sin(w 0n) R N (n) ；
（10） x(n) nR N (n) 。
解：
N
1
N 1
（2） X ( k)
(n)W N kn
( n) 1, k
0,1, , N
1
n
n 0
N 1 km
（4） X ( k)W N kn
1 W N n 0
1 W N k
j
k( m 1) e
N
sin(
mk)
N
, k 0,1, , N 1
sin( m)
N
1 N 1 j
2 ( m k ) n 1 N 1
j 2
(m k )n e
N
e
N
2 n 0
2 n 0
2
( m k) N
1 1
j
e
e N
1 2 j 2
(m k )
e 1 e N
1
2 j
(m k) N
N
j 2
( m k ) N
1 且 k
N m
, k
m
N
, 0 k N 1
0,k 或 k
N m
m
N 1
N 1
2
j 2
2
kn
（6） X ( k)
cos
2
mn W N
kn
j mn
mn
)e
j
1
(e N
e
N
N
n 0
N n 0
2
（8）解法 1
直接计算
x 8 (n) sin( w 0 n) R N (n)
1
e jw 0
n
e
jw 0
n R N (n)
2 j
N 1
1N
1
2 kn
x(n)W N
kn
e
jw 0
n
e
jw 0
n
j
X 8 (k )
e
N
n 0
2 j n 0
1 N 1 j （ w 2
）n
j （ w 2
） n
1 1 e jw 0 N
N
N
e
2 j n 0 e
2 j
j (w 0
N
1 e
2
k )
解法 2
由 DFT 的共轭对称性求解
因为
x 7 (n)
e
jw 0 n
R N
(n)
cos(w 0 n) j sin(w 0 n) R N (n)
x 8 ( n)
sin(w 0n) R N ( n) Im x 7 ( n)
所以
1 e jw 0
N
j ( w 0
2
k )
1 e
N
DFT jx 8 (n) DFT j Im x 7 (n)
X 70 (k)
即
X 8 (k)
jX 70 ( k)
j 1
X 7 (k ) X 7 ( N k)
2
1
1e jw 0
N
(1e jw 0
N
1
1e jw 0
N
(1e jw 0
N
)
)
2 j
j (w 0
2 k ) j (w 0
2
( N k ) 2 j
j (w 0
2 k) j ( w 0
2 k)
e
N
1 e
N
e
N
1 e
N
1
1
结果与解法 1 所得结果相同。此题验证了共轭对称性。 （ 10）解法 1
N 1
X (k)
nW N kn k 0,1, , N 1
n 0
上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解
X(k) 。
因为
x(n)
nR N (n)
所以
x( n) x(( n 1)) N R N (n) N ( n) R N ( n)
等式两边进行 DFT 得到
X ( k)
X ( k)W N k
N N ( k)
故
X ( k)
N [ (k ) 1] , k 1,2
, N
1
1 W N k
当 k
0 时，可直接计算得出
X （0）
N 1
W N 0 N 1
N (N 1)
X (0)
n
n
n 0
n 0
2 这样， X （ k ）可写成如下形式：
N ( N 1)
2 , k
X ( k)
N
1 , k 1,
2 , N 1
W N k
解法 2
k
0 时，
N 1 N ( N 1)
X (k )
n
2
n 0
k 0 时，
X (k ) 0 W N k
2W N 2k 3W N 3k
( N 1)W N (N 1) k
W N kn X (k ) 0 W N 2k 2W N 3k 3W N 4 k
(N
2)W N (N 1) k
(N 1)
N 1
N 1
X (k ) W N kn X (k )
W N kn
(N 1)
W N kn
1(N1)
N
n 1
n 0
所以，
X (k )
1 N k , k
W N
即
N ( N 1) , k 0
X ( k)
2
N
, k
1,2 , N 1
1 k
W N
2. 已知下列 X (k ) ，求 x(n) IDFT [ X (k)];
N
e j , k
m
2
（1） X ( k)
N e j , k N m ;
2
0, 其它 k