高中数学组卷—统计案例
1．（2016?延边州模拟）下表是高三某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩，结果统计如下：
月份9 10 11 12 1
历史（x分）79 81 83 85 87
政治（y分）77 79 79 82 83
（1）求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差
（2）一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关，根据上表提供的数据，求两个变量x、y的线性回归方程=x+
（附：==，=y﹣x）
2．（2016春?南城县校级月考）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表：
年份x 2 2014 2015
储蓄存款y（千亿元） 5 6 7 8 10
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t=x﹣2010，z=y﹣5得到如下表：
时间代号t 1 2 3 4 5
z 0 1 2 3 5
（Ⅰ）求z关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出y关于x的回归方程；
（Ⅲ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？
（附：对于线性回归方程，其中：，=﹣）
3．（2015?重庆）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
年份 2 2013 2014
时间代号t 1 2 3 4 5
储蓄存款y（千亿元） 5 6 7 8 10
（Ⅰ）求y关于t的回归方程=t+．
（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（t=6）的人民币储蓄存款．
附：回归方程=t+中
．
4．（2015?衡阳二模）某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料
日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日
温差x（°C）10 11 13 12 8
发芽数y（颗）23 25 30 26 16
（Ⅰ）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均小于25”的概率．
（Ⅱ）请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；
（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（Ⅱ）所得的线性回归方程是否可靠？
5．（2016?黄山一模）为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名
观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表：场数9 10 11 12 13 14
人数10 18 22 25 20 5
将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性．
（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关？
非歌迷歌迷合计
男
女
合计
（Ⅱ）将收看该节目所有场次（14场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．
P（K2≥k）0.05 0.01
k 3.841 6.635
附：K2=．
6．（2016?衡阳二模）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如右表：（单位：人）
几何题代数题总计
男同学22 8 30
女同学8 12 20
总计30 20 50
（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．
（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 X，求 X的分布列及数学期望 EX．
附表及公式
P（k2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
K2=．
7．（2016?宝鸡二模）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图直方图：
（Ⅰ）若直方图中前三组的频数成等比数列，后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；
（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如下数据：
是否近视
1～50 951～1000
年级名次
近视41 32
不近视9 18
根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？
（Ⅲ）在（Ⅱ）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50名的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．
P（K2≥k）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
附：
．
8．（2016?广州模拟）“冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的慈善公益活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动．若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．
（Ⅰ）若某参与者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？
（Ⅱ）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下2×2列联表：
接受挑战不接受挑战合计
男性45 15 60
女性25 15 40
合计70 30 100
根据表中数据，能否有90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？
附：K2=
P（K2≥k0）0.100 0.050 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
9．（2014?安徽）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300名学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．
（Ⅰ）应收集多少位女生的样本数据？
（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；
（Ⅲ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
P（K2≥k0）0.10 0.05 0.010 0.005
k0 2.706 3.841 6.635 7.879
附：K2=．
10．（2014?辽宁）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
喜欢甜品不喜欢甜品合计
南方学生60 20 80
北方学生10 10 20
合计70 30 100
（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．
附：X2=
P（x2＞k）0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
高中数学组卷—统计案例
参考答案与试题解析
1．（2016?延边州模拟）下表是高三某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩，结果统计如下：
月份9 10 11 12 1
历史（x分）79 81 83 85 87
政治（y分）77 79 79 82 83
（1）求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差
（2）一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关，根据上表提供的数据，求两个变量x、y的线性回归方程=x+
（附：==，=y﹣x）
【解答】解：（1）=（79+81+83+85+87）=83．
∵=（77+79+79+82+83）=80，
∴政治成绩的方差=[（77﹣80）2+（79﹣80）2+（79﹣80）2+（82﹣80）2+（83﹣80）2]=4.8
（2）（x i﹣）（y i﹣）=30，（x i﹣）2=40，
∴b=，
∴a=80﹣=17.75，
∴y=x+17.75．
2．（2016春?南城县校级月考）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表：
年份x 2 2014 2015
储蓄存款y（千亿元） 5 6 7 8 10
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t=x﹣2010，z=y﹣5得到如下表：
时间代号t 1 2 3 4 5
z 0 1 2 3 5
（Ⅰ）求z关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出y关于x的回归方程；
（Ⅲ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？
（附：对于线性回归方程，其中：，=﹣）
【解答】解：（Ⅰ），，，，
，
∴z=1.2t﹣1.4?…（6分）
（Ⅱ）t=x﹣2010，z=y﹣5，代入z=1.2t﹣1.4得到：y﹣5=1.2（x﹣2010）﹣1.4，
即y=1.2x﹣2408.4?…（9分）
（Ⅲ）x=2020，∴y=1.2×2020﹣2408.4=15.6，
∴预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元?…（12分）
3．（2015?重庆）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
年份 2 2013 2014
时间代号t 1 2 3 4 5
储蓄存款y（千亿元） 5 6 7 8 10
（Ⅰ）求y关于t的回归方程=t+．
（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（t=6）的人民币储蓄存款．
附：回归方程=t+中
．
【解答】解：（Ⅰ）
由题意，=3，=7.2，
=55﹣5×32=10，=120﹣5×3×7.2=12，
∴=1.2，=7.2﹣1.2×3=3.6，
∴y关于t的回归方程=1.2t+3.6．
（Ⅱ）t=6时，=1.2×6+3.6=10.8（千亿元）．
4．（2015?衡阳二模）某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料
日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日
温差x（°C）10 11 13 12 8
发芽数y（颗）23 25 30 26 16
（Ⅰ）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均小于25”的概率．（Ⅱ）请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；
（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（Ⅱ）所得的线性回归方程是否可靠？
【解答】解：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件共有C52=10种结果，
满足条件的事件是事件“m，n均小于25”的只有1个，
∴要求的概率是p=．
（II）∵，
∴b==
∴a=27﹣，
∴所求的线性回归方程是y=
（III）当x=10时，y=22，
当x=8时，y=17，
与检验数据的误差是1，满足题意，被认为得到的线性回归方程是可靠的．
5．（2016?黄山一模）为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表：场数9 10 11 12 13 14
人数10 18 22 25 20 5
将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性．
（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关？
非歌迷歌迷合计
男
女
合计
（Ⅱ）将收看该节目所有场次（14场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．
P（K2≥k）0.05 0.01
k 3.841 6.635
附：K2=．
【解答】解：（Ⅰ）由统计表可知，在抽取的100人中，“歌迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：