函数典型例题

三角函数典型例题1 ．设锐角ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =.(Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围. 【解析】:(Ⅰ)由2sin ab A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2B =, 由ABC ∆为锐角三角形得π6B =. (Ⅱ)cos sin cos sin A CA A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 22A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.2 ．在ABC ∆中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C ．(Ⅰ)求角B 的大小; (Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>且m n ⋅的最大值是5,求k 的值.【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C , ∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ． 即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C )∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA ． ∵0<A <π,∴sin A ≠0. ∴cos B =21.∵0<B <π,∴B =3π. (II)m n ⋅=4k sin A +cos2A ． =-2sin 2A +4k sin A +1,A ∈(0,32π)设sin A =t ,则t ∈]1,0(.则m n ⋅=-2t 2+4kt +1=-2(t -k )2+1+2k 2,t ∈]1,0(. ∵k >1,∴t =1时,m n ⋅取最大值. 依题意得,-2+4k +1=5,∴k =23.3 ．在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22sin 2sin=++CB A .I.试判断△ABC 的形状;II.若△ABC 的周长为16,求面积的最大值.【解析】:I.)42sin(22sin 2cos 2sin 2sin ππ+=+=+-C C C C C 2242πππ==+∴C C 即,所以此三角形为直角三角形.II.ab ab b a b a 221622+≥+++=,2)22(64-≤∴ab 当且仅当b a =时取等号,此时面积的最大值为()24632-.4 ．在ABC ∆中,a 、b 、c 分别是角A ． B ．C 的对边,C =2A ,43cos=A , (1)求BC cos ,cos 的值; (2)若227=⋅BCBA ,求边AC 的长｡【解析】:(1)81116921cos 22cos cos 2=-⨯=-==A A C47sin ,43cos ;873sin ,81cos ====A A C C 得由得由()169814387347cos cos sin sin cos cos =⨯-⨯=-=+-=∴C A C A C A B (2)24,227cos ,227=∴=∴=⋅ac B ac BCBA ① 又a A a c A C C c A a 23cos 2,2,sin sin ==∴== ② 由①②解得a=4,c=625169483616cos 2222=⨯-+=-+=∴B ac c a b 5=∴b ,即AC 边的长为5.5 ．已知在ABC ∆中,A B >,且A tan 与B tan 是方程0652=+-x x 的两个根.(Ⅰ)求)tan(B A +的值;(Ⅱ)若AB 5=,求BC 的长.【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程0652=+-x x 的两根tan 3,tan 2A B ==.∴tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=-231123+==--⨯(Ⅱ)∵180=++C B A ,∴)(180B A C +-= .由(Ⅰ)知,1)tan(tan =+-=B A C,∵C 为三角形的内角,∴sin C =∵tan3A =,A 为三角形的内角,∴sin A =, 由正弦定理得:sin sin AB BCC A=∴BC ==6 ．在ABC∆中,已知内角A ．B ．C所对的边分别为a 、b 、c ,向量(2sin ,m B =,2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且//m n ｡(I)求锐角B 的大小; (II)如果2b=,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值｡【解析】:(1)//m n ⇒ 2sinB(2cos 2B2-1)=-3cos2B⇒2sinBcosB=-3cos2B ⇒ tan2B=- 3 ∵0<2B<π,∴2B=2π3,∴锐角B=π3(2)由tan2B =- 3 ⇒ B=π3或5π6①当B=π3时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a 2+c 2-ac≥2a c-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立) ∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=34ac ≤ 3∴△ABC 的面积最大值为 3②当B=5π6时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a 2+c 2+3ac≥2ac +3ac=(2+3)ac (当且仅当a=c =6-2时等号成立) ∴ac≤4(2-3)∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=14ac≤ 2- 3∴△ABC 的面积最大值为2- 37 ．在ABC ∆中,角A ． B ．C 所对的边分别是a ,b ,c ,且.21222ac b c a=-+ (1)求B CA 2cos 2sin2++的值; (2)若b =2,求△ABC 面积的最大值. 【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=142sin 2A C++cos2B= 41-(2)由.415sin ,41cos ==B B 得 ∵b =2, a2+c 2=12ac +4≥2ac ,得ac ≤38, S △ABC =12ac si nB ≤315(a =c 时取等号) 故S △ABC 的最大值为3158 ．已知)1(,tan >=a a α,求θθπθπ2tan )2sin()4sin(⋅-+的值｡ 【解析】aa -12;9 ．已知()()()()3sin 5cos cos 23sin cos tan 322f ππααπααππαααπ⎛⎫-⋅+⋅+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(I)化简()f α(II)若α是第三象限角,且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求()f α的值｡ 【解析】10．已知函数f(x)=sin 2x+3sinxcosx+2cos 2x,x ∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x ∈R)的图象经过怎样的变换得到?【解析】:(1)1cos 23()2(1cos 2)2x f x x x -=++3132cos 2223sin(2).62x x x π=++=++()f x ∴的最小正周期2.2T ππ== 由题意得222,,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈即,.36k x k k Z ππππ-≤≤+∈()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)先把sin 2y x =图象上所有点向左平移12π个单位长度, 得到sin(2)6y x π=+的图象,再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度,就得到3sin(2)62y x π=++的图象｡ 11．已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23a ,)4cos ,4(sin xx b ππ=,b a x f ⋅=)(｡ (1)求)(x f 的单调递减区间｡(2)若函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]34,0[∈x 时,)(x g y =的最大值｡【解析】:(1))34sin(34cos 234sin 23)(ππππ-=-=x x x x f ∴当]223,22[34ππππππk k x++∈-时,)(x f 单调递减 解得:]8322,8310[k k x ++∈时,)(x f 单调递减｡ (2)∵函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=34)2(sin 3)2()(ππx x f x g⎪⎭⎫⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=34cos 3342sin 3πππππx x∵]34,0[∈x ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+32,334ππππx ∴]21,21[34cos -∈⎪⎭⎫⎝⎛+ππx ∴0=x时,23)(max =x g 12．已知cos 2sin αα=-,求下列各式的值;(1)2sin cos sin 3cos αααα-+; (2)2sin2sin cos ααα+【解析】:1cos 2sin ,tan 2ααα=-∴=-(1)1212sin cos 2tan 1421sin 3cos tan 3532αααααα⎛⎫⨯-- ⎪--⎝⎭===-++-+ (2)2222sin 2sin cos sin 2sin cos sin cos αααααααα++=+ 2222112tan 2tan 322tan 15112ααα⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭13．设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈,函数()()f x a a b =⋅+(I)求函数()f x 的最大值与最小正周期;(II)求使不等式3()2f x ≥成立的x 的取值集合｡ 【解析】14．已知向量)1,32(cos --=αm,)1,(sin α=n ,m 与n 为共线向量,且]0,2[πα-∈(Ⅰ)求ααcos sin +的值;(Ⅱ)求αααcos sin 2sin -的值.｡【解析】:(Ⅰ) m 与n 为共线向量, 0sin )1(1)32(cos =⨯--⨯-∴αα, 即32cos sin =+αα(Ⅱ) 92)cos (sin 2sin 12=+=+ααα ,972sin -=∴α2)cos (sin )cos (sin 22=-++αααα ,916)32(2)cos (sin 22=-=-∴αα 又]0,2[πα-∈ ,0cos sin <-∴αα,34cos sin -=-αα 因此,127cos sin 2sin =-ααα15．如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶｡测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为075,030,于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为060,AC=0.1km ｡试探究图中B,D 间距离与另外哪两点距离相等,然后求B,D 的距离(计算结果精确到0.01km,2≈1.414,6≈2.449)【解析】:在ACD ∆中,DAC ∠=30°,ADC ∠=60°-DAC ∠=30°, 所以CD=AC=0.1又BCD ∠=180°-60°-60°=60°,故CB 是CAD ∆底边AD 的中垂线,所以BD=BA 在ABC ∆中,ABCACBCA AB ∠=∠sin sin ,即AB=2062351sin 60sin +=︒︒AC因此,km 33.020623≈+=BD故 B ．D 的距离约为0.33km ｡ 16．已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈(其中0,0,02A πωϕ>><<)的图象与x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为2π,且图象上一个最低点为2(,2)3M π-. (Ⅰ)求()f x 的解析式;(Ⅱ)当[,]122x ππ∈,求()f x 的值域. 【解析】： (1)由最低点为2(,2)3M π-得A=2. 由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2π,即T π=,222T ππωπ=== 由点2(,2)3M π-在图像上的242sin(2)2,)133ππϕϕ⨯+=-+=-即sin( 故42,32k k Z ππϕπ+=-∈ 1126k πϕπ∴=- 又(0,),,()2sin(2)266f x x πππϕϕ∈∴==+故(2)7[,],2[,]122636x x πππππ∈∴+∈ 当26x π+=2π,即6x π=时,()f x 取得最大值2;当7266x ππ+=即2x π=时,()f x 取得最小值-1,故()f x 的值域为[-1,2]17．如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C 三点进行测量,已知50AB m =,120BC m =,于A 处测得水深80AD m =,于B 处测得水深200BE m =,于C 处测得水深110CF m=,求∠DEF 的余弦值｡【解析】:作//DMAC 交BE 于N ,交CF 于M .22223017010198DF MF DM =+=+=, 222250120130DE DN EN =+=+=,2222()90120150EF BE FC BC =-+=+=在DEF ∆中,由余弦定理,2222221301501029816cos 2213015065DE EF DF DEF DE EF +-+-⨯∠===⨯⨯⨯ 18．已知51cos sin =+θθ，),2(ππθ∈， 求（1）sin cos θθ-（2）33sin cos θθ-（3）44sin cos θθ+【解析】：（1）3344791337sin cos (2)sin cos (3)sin cos 5125625θθθθθθ-=-=+= 19．已知函数)sin(ϕω+=x A y （0>A ， 0ω>，πϕ<||）的一段图象如图所示，（1）求函数的解析式；（2）求这个函数的单调递增区间。

高中数学函数典型例题【例1】 已知函数),,( 1)(2Z c b a cbx ax x f ∈++=是奇函数，又3)2(,2)1(<=f f ，求a 、b 、c 的整数值。

【例2】 设()x x x x x f --+-=10101010。

（1）证明()f x 在()∞+∞-，上是增函数；（2）求()x f 1-及其定义域【例3】 定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数,m n ，总有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，()01f x <<． （1）试求()0f 的值；（2）判断()f x 的单调性并证明你的结论；（3）设()()()(){}()(){}22,1,,21,A x y f x f y f B x y f ax y a R =⋅>=-+=∈，若A B ⋂=∅，试确定a 的取值范围．（4）试举出一个满足条件的函数()f x ．三、解答题2．设两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 有一公共根，问：⑴a 与b 之间有什么关系；⑵当]0,1[-∈a ，]0,1[-∈b 时，求22b a +的最大值与最小值。

【例1】 设)(x f 是定义在[]1,1-上的奇函数，)(x g 的图象与)(x f 的图象关于直线1=x 对称，而当[]3,2∈x 时，c x x x g ++-=4)(2（c 为常数）。

（1）求)(x f 的表达式；（2）对于任意1x ，[]1,02∈x 且21x x ≠，求证：12122)()(x x x f x f -<-；（3）对于任意1x ，[]1,02∈x 且21x x ≠，求证：≤-)()(12x f x f 1.【例2】 设函数f (x )的定义域关于原点对称，且满足①121221()()1()()()f x f x f x x f x f x +-=- ②存在正常数a ，使f (a ) = 1，求证：（1）f (x )为奇函数；（2）f (x )为周期函数，且一个周期为4a 。

函数及其图像典型例题例1、已知点()p x y ,的坐标满足方程x y ++-=120，则点p 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限分析：这道题首先考察了平面内点的坐标，在各象限内的横纵坐标的特点，其次是绝对值，算术平方根，互为相反数的性质与概念的理解。

由x y ++-=120，可知：x y =-=12,，所以点()p x y ,，在第二象限，应选（B ）。

例2、已知点M m -⎛⎝ ⎫⎭⎪123,关于原点对称的点在第一象限，那么m 的取值范围是 ；分析：这道题考查对称点的特点，关于原点对称的点，它们的横纵坐标互为相反数，与点M关于原点对称的点在第一象限，说明点M 在第三象限，则30m <,，即m <0例3、求函数自变量的取值范围 （1）函数y xx =--532自变量x 的取值范围是 ；（2）函数y x x =++-25自变量x 的取值范围是 ；分析：由解析式给出的函数表达式，自变量x 的取值范围应使解析式有意义，即二次根式的被开方式要大于等于零，分式的分母不能等于零，等。

解：（1） 50320235-≥->⎧⎨⎩∴<<x x x（2） x x x +≥-≥⎧⎨⎩∴-≤≤205025例4、平行四边形相邻的两边长是x y ,，它的周长是30，则y 关于x 的函数关系式是 。

解：平行四边形对边相等，所以周长为2230x y +=，得到x y +=15，则y 关于x 的函数关系式为：()y x x =-+<<15015例5、已知，如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的点，F 是CD 边上的点，且AE =AF ，AB =4，设三角形AEF 的面积为y ，EC 为x ，求y 与x 之间的函数关系式，并在直角坐标系中画出这个函数的图象。

简解： ABCD AB AD B D 是正方形,,∴=∠=∠=∠Rtx FC EC CD BC DF BE ADF ABE AF AE ==∴==∆≅∆∴=,,,, 且 BE DF x ==-4则正方形S S S S AEF ABE CEF ∆∆∆∆=--2即()y x x =-⨯⨯⨯--1621244122整理合并为：y x x =-+1242，因为E 点在BC 上，F 是CD 上的点，当E 与C 点重合时三角形AEF 不存在，所以x 的取值范围是()04<≤x （图象略）例6、已知：y －1与x 成正比例，当x =2时，y =9那么y 与x 之间的函数关系是 。

初二关于函数的10题典型例题初二数学中关于函数的典型例题有很多，下面列举了其中的10题，并进行了解答。

1. 已知函数 f(x) = 2x + 1，求 f(3) 的值。

解答：将 x 替换为 3，计算得 f(3) = 2 * 3 + 1 = 7。

2. 已知函数 g(x) = x^2 + 3x，求 g(-2) 的值。

解答：将 x 替换为 -2，计算得 g(-2) = (-2)^2 + 3 * (-2) = 4 - 6 = -2。

3. 已知函数 h(x) = 4x^3 + 2x^2 + x，求 h(0) 的值。

解答：将 x 替换为 0，计算得 h(0) = 4 * 0^3 + 2 * 0^2 + 0 = 0。

4. 已知函数 f(x) = 3x - 2，求 f(1/2) 的值。

解答：将 x 替换为 1/2，计算得 f(1/2) = 3 * (1/2) - 2 = 1/2 - 2 = -3/2。

5. 已知函数 g(x) = 2x + 3，求使得 g(x) = 7 的 x 的值。

解答：将 g(x) = 7，解方程得 2x + 3 = 7，即 2x = 4，x = 2。

6. 已知函数 h(x) = 5x^2 + 4x + 1，求使得 h(x) = 0 的 x 的值。

解答：将 h(x) = 0，解方程得 5x^2 + 4x + 1 = 0，该方程可以因式分解为 (5x + 1)(x + 1) = 0，得到 x = -1 或 x = -1/5。

7. 已知函数 f(x) = 2x^2 + 5x + 3，求 f(-1) 的值。

解答：将 x 替换为 -1，计算得 f(-1) = 2 * (-1)^2 + 5 * (-1) + 3 = 2 - 5 + 3 = 0。

8. 已知函数 g(x) = 3x^2 + 2x + 1，求 g(2) 的值。

解答：将 x 替换为 2，计算得 g(2) = 3 * 2^2 + 2 * 2 + 1 = 12 + 4 + 1 = 17。

例1. 已知a=91,b=9.求： （1）;315383327a a a a ⋅÷-- （2）111)(---+ab b a .解：（1）原式=3127⨯a.3123⨯-a÷［a21)38(⨯-·21315⨯a］ = 2167-a )2534(+--=a 21-.∵a=91，∴原式=3.（2）方法一 化去负指数后解..1111)(111b a abab b a ab b a ab b a +=+=+=+---∵a=,9,91=b ∴a+b=.982 方法二 利用运算性质解..11)(11111111111a b ab b a b b a a ab b a +=+=+=+----------- ∵a=,9,91=b ∴a+b=.982变式训练1：化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1）;)(65312121132ba ba b a ⋅⋅⋅⋅--（2）.)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a解：（1）原式=.100653121612131656131212131=⋅=⋅=⋅-+-+--b a baba b a b a（2）原式=-.4514545)(45)·2(252331331361331361ab abab b a b a b a b a b a -=⋅-=⋅-=÷-=÷--------例2. 函数f(x)=x 2-bx+c 满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则f(b x)与f(c x)的大小关系是 （ ）A.f(b x )≤f(c x )B.f(b x )≥f(c x)C.f(b x )＞f(c x) D.大小关系随x 的不同而不同 解：A变式训练2：已知实数a 、b 满足等式ba)31()21(=，下列五个关系式： ①0＜b ＜a;②a ＜b ＜0;③0＜a＜b;④b ＜a ＜0;⑤a=b. 其中不可能成立的关系式有 （ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 解：B例3. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间： （1）f(x)=3452+-x x ; （2）g(x)=-(5)21(4)41++xx.解：（1）依题意x 2-5x+4≥0, 解得x ≥4或x ≤1, ∴f （x ）的定义域是（-∞，1］∪［4，+∞）.令u=,49)25(4522--=+-x x x ∵x ∈（-∞，1］∪［4，+∞）， ∴u ≥0，即452+-x x ≥0，而f(x)=3452+-x x ≥30=1,∴函数f(x)的值域是［1，+∞）. ∵u=49)25(2--x ,∴当x ∈（-∞，1］时，u 是减函数， 当x ∈［4，+∞）时，u 是增函数.而3＞1,∴由复合函数的单调性可知，f （x ）=3452+-x x 在（-∞，1］上是减函数，在［4，+∞）上是增函数. 故f （x ）的增区间是［4，+∞），减区间是（-∞，1］. （2）由g(x)=-(,5)21(4)21(5)21(4)412++-=++xxxx∴函数的定义域为R ，令t=()21x (t ＞0),∴g(t)=-t 2+4t+5=-(t-2)2+9, ∵t ＞0,∴g(t)=-(t-2)2+9≤9,等号成立的条件是t=2,即g(x)≤9,等号成立的条件是(x)21=2，即x=-1，∴g （x ）的值域是（-∞，9］.由g(t)=-(t-2)2+9 (t ＞0),而t=(x)21是减函数，∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间， 求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间. ∵g （t ）在（0，2］上递增，在［2，+∞）上递减， 由0＜t=(x)21≤2,可得x ≥-1, 由t=(x)21≥2,可得x ≤-1.∴g （x ）在［-1，+∞）上递减，在（-∞，-1］上递增， 故g(x)的单调递增区间是（-∞，-1］，单调递减区间是［-1，+∞）. 变式训练3：求下列函数的单调递增区间： （1）y=(226)21x x -+;(2)y=262--x x .解：（1）函数的定义域为R. 令u=6+x-2x 2,则y=(u )21.∵二次函数u=6+x-2x 2的对称轴为x=41, 在区间［41，+∞）上，u=6+x-2x 2是减函数，又函数y=()21u是减函数，∴函数y=(226)21x x -+在［41，+∞）上是增函数. 故y=(226)21x x -+单调递增区间为［41，+∞）.（2）令u=x 2-x-6,则y=2u , ∵二次函数u=x 2-x-6的对称轴是x=21,在区间［21，+∞）上u=x 2-x-6是增函数.又函数y=2u为增函数， ∴函数y=262--x x 在区间［21，+∞）上是增函数.故函数y=262--x x 的单调递增区间是［21，+∞）.例4．设a ＞0,f(x)=x x aa ee +是R 上的偶函数.（1）求a 的值； （2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.（1）解： ∵f （x ）是R 上的偶函数，∴f （-x ）=f （x ）， ∴,ee e e x x x x a a a a +=+--∴（a-)e1e )(1x x a -=0对一切x 均成立，∴a-a1=0，而a ＞0,∴a=1. （2）证明 在（0，+∞)上任取x 1、x 2，且x 1＜x 2,则f(x 1)-f(x 2)=1e x +1e 1x-2e x -2e 1x =)e e (12x x - ().1e 121-+x x ∵x 1＜x 2,∴,e e 21xx <有.0e e 12>-x x∵x 1＞0,x 2＞0,∴x 1+x 2＞0,∴21ex x +＞1,21e1x x +-1＜0.∴f(x 1)-f(x 2)＜0,即f(x 1)＜f(x 2),故f(x)在（0,+∞）上是增函数.变式训练4：已知定义在R 上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f(x)=142+x x. （1）求f （x)在［-1，1］上的解析式； （2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数. （1）解： 当x ∈(-1,0)时，-x ∈(0,1).∵f （x ）是奇函数，∴f （x ）=-f （-x ）=-.142142+-=+--x xx x由f(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),得f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在区间［-1，1］上，有 f （x ）={}⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-∈-∈+-∈+1,0,10)0,1(142)1,0(142x x x xxx x(2)证明 当x ∈(0,1)时，f(x)=.142+x x设0＜x 1＜x 2＜1,则f(x 1)-f(x 2)=,)14)(14()12)(22(1421422121122211++--=+-++x x x x x x x x x x∵0＜x 1＜x 2＜1,∴1222x x -＞0，221x x +-1＞0,∴f(x 1)-f(x 2)＞0,即f(x 1)＞f(x 2),故f(x)在（0，1）上单调递减. 例1 计算：（1）)32(log 32-+（2）2(lg 2)2+lg 2·lg5+12lg )2(lg 2+-;（3）21lg4932-34lg 8+lg 245. 解：（1）方法一 利用对数定义求值 设)32(log32-+=x, 则(2+3)x=2-3=321+=（2+3）-1,∴x=-1.方法二 利用对数的运算性质求解)32(log 32-+=32log +321+=32log+(2+3)-1=-1.（2）原式=lg 2（2lg 2+lg5）+12lg 2)2(lg 2+-=lg 2(lg2+lg5)+|lg 2-1| =lg 2+(1-lg 2)=1.（3）原式=21（lg32-lg49）-34lg821+21lg245=21 (5lg2-2lg7)-34×2lg 23+21(2lg7+lg5)=25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5=21lg2+21lg5 =21lg(2×5)= 21lg10=21. 变式训练1：化简求值. （1）log 2487+log 212-21log 242-1;（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;（3）(log 32+log 92)·(log 43+log 83). 解：(1)原式=log 2487+log 212-log 242-log 22=log 2.232log 221log 242481272322-===⨯⨯⨯-（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=(.452lg 63lg 5·3lg 22lg 3)2lg 33lg 2lg 23lg (·)3lg 22lg 3lg 2lg ==++ 例2 比较下列各组数的大小.（1）log 332与log 556; （2）log 1.10.7与log 1.20.7;（3）已知log 21b ＜log 21a ＜log 21c,比较2b ,2a ,2c的大小关系.解：（1）∵log 332＜log 31=0, 而log 556＞log 51=0,∴log 332＜log 556.(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2, ∴0＞2.1log 1.1log 7.00.7>,∴2.1log 11.1log 17.07.0<,即由换底公式可得log 1.10.7＜log 1.20.7. 方法二 作出y=log 1.1x 与y=log 1.2x 的图象.如图所示两图象与x=0.7相交可知log 1.10.7＜log 1.20.7. (3)∵y=x 21log 为减函数，且c a b 212121log log log <<,∴b ＞a ＞c,而y=2x 是增函数，∴2b ＞2a ＞2c.变式训练2：已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a bb bba1log ,log ,1的大小关系是 （ ）A.log a bb bba1log log 1<< B.b b b baa1log 1log log << C.b b b a b a 1log 1log log << D.b bb a a b log 1log 1log <<解： C例3已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立， 试求a 的取值范围.解：当a ＞1时，对于任意x ∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x 在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x ∈［3，+∞），有f(x)≥log a 3.因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立. 只要log a 3≥1=log a a 即可，∴1＜a ≤3. 当0＜a ＜1时，对于x ∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x).∵f （x ）=log a x 在［3，+∞）上为减函数， ∴-f （x ）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x ∈［3，+∞）都有 |f(x)|=-f(x)≥-log a 3.因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立， 只要-log a 3≥1成立即可， ∴log a 3≤-1=log a a1,即a 1≤3,∴31≤a ＜1. 综上，使|f(x)|≥1对任意x ∈［3，+∞）都成立的a 的取值范围是：(1，3］∪［31，1）. 变式训练3：已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞, 1-3］上是单调递减函数.求实数a的取值范围. 解：令g(x)=x 2-ax-a,则g(x)=（x-2a ）2-a-42a , 由以上知g(x ）的图象关于直线x=2a 对称且此抛物线开口向上.因为函数f(x)=log 2g(x)的底数2＞1, 在区间（-∞,1-3］上是减函数，所以g(x)=x 2-ax-a 在区间（-∞,1-3］上也是单调减函数，且g(x)＞0.∴⎪⎩⎪⎨⎧>-----≥⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-0)31()31(3220)31(2312a a a g a ，即解得2-23≤a ＜2.故a 的取值范围是{a|2-23≤a ＜2}.例4 已知过原点O 的一条直线与函数y=log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y 轴的平行与函数y=log 2x 的图象交于C 、D 两点. （1）证明:点C 、D 和原点O 在同一直线上； （2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标. （1）证明 设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,由题设知x 1＞1,x 2＞1,则点A 、B 的纵坐标分别为log 8x 1、log 8x 2. 因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1)、(x 2,log 2x 2), 由于log 2x 1=2log log 818x =3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2, OC 的斜率为k 1=118112log 3log x x x x =, OD 的斜率为,log 3log 2282222x x x x k ==由此可知k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一直线上.（2）解： 由于BC 平行于x 轴，知log 2x 1=log 8x 2，即得log 2x 1=31log 2x 2,x 2=x 31, 代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2，得x 31log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1＞1,知log 8x 1≠0,故x 31=3x 1, 又因x 1＞1,解得x 1=3,于是点A 的坐标为（3，log 83). 变式训练4：已知函数f(x)=log 211-+x x +log 2(x-1)+log 2(p-x).（1）求f(x)的定义域； （2）求f(x)的值域.解：（1）f(x)有意义时，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->-+,③0,②01,①011x p x x x 由①、②得x ＞1,由③得x ＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p ＞1,f(x)的定义域是(1,p).（2）f(x)=log 2［(x+1)(p-x)］ =log 2［-（x-21-p ）2+4)1(2+p ］ (1＜x ＜p), ①当1＜21-p ＜p ，即p ＞3时， 0＜-(x-4)1(4)1()21222+≤++-p p p , ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ≤2log 2(p+1)-2. ②当21-p ≤1，即1＜p ≤3时，∵0＜-(x-),1(24)1()2122-<++-p p p ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ＜1+log 2(p-1).综合①②可知：当p ＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log 2(p+1)-2］; 当1＜p ≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log 2(p-1)). 例1 作出下列函数的图象.（1）y=21(lgx+|lgx|); （2）y=112--x x ; （3）y=)21(|x|. 解：（1）y=⎩⎨⎧≥<<).1(lg ).10(0x x x（2）由y=112--x x ,得y=11-x +2. 作出y=x 1的图象，将y=x1的图象向右平移一个单位，再向上平移2个单位得 y=11-x +2的图象.（3）作出y=（21）x 的图象，保留y=（21）x 图象中x ≥0的部分，加上y=（21）x的图象中x ＞0的部分关于y 轴的对称部分，即得y=（21）|x|的图象.其图象依次如下：变式训练1：作出下列各个函数的图象：（1）y=2-2x； （2）y=|log 21（1-x ）|；（3）y=112+-x x . 解：（1）由函数y=2x的图象关于x 轴对称可得到y=-2x的图象，再将图象向上平移2个单位，可得y=2-2x的图象.如图甲.（2）由y=log 21x 的图象关于y 轴对称，可得y=log 21（-x ）的图象，再将图象向右平移1个单位，即得到y=log 21(1-x).然后把x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，可得到y=|log 21（1-x ）|的图象.如图乙.（3）y=132112+-=+-x x x . 先作出y=-x3的图象，如图丙中的虚线部分，然后将图象向左平移1个单位，向上平移2个单位，即得到所求图象.如图丙所示的实线部分.例2 函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是 （ ）解： A变式训练2：设a ＞1,实数x,y 满足|x|-log a y1=0,则y 关于x 的函数的图象形状大致是 ( )解： B例3设函数f(x)=x 2-2|x|-1 (-3≤x ≤3).（1）证明：f(x)是偶函数； （2）画出函数的图象；（3）指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数； （4）求函数的值域.（1）证明 f(-x)=(-x)2-2|-x|-1 =x 2-2|x|-1=f(x), 即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.（2）解： 当x ≥0时，f(x)=x 2-2x-1=(x-1)2-2,当x ＜0时，f(x)=x 2+2x-1=(x+1)2-2,即f(x)=,)03(2)1()30(2)1(22⎩⎨⎧<≤--+≤≤--x x x x根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图所示. （3）解： 函数f(x)的单调区间为［-3，-1），［-1，0），［0，1），［1，3］. f （x ）在区间［-3，-1）和［0，1）上为减函数，在［-1，0），［1，3］上为增函数.（4）解：当x ≥0时，函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2,最大值为f(3)=2;当x ＜0时，函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2,最大值为f(-3)=2; 故函数f(x)的值域为［-2，2］.变式训练3：当x ∈(1,2)时,不等式(x-1)2＜log a x 恒成立,则a 的取值范围为 .解： (1,2］例1.写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：（1）3y x = （2）12y x = （3）2y x -=（4）22y x x -=+ （5）1122y x x -=+ （6）1124()3()f x x x =+- 解：（1）此函数的定义域为R ，33()()()f x x x f x -=-=-=-∴此函数为奇函数．（2）12y x ==∴此函数的定义域为[0,)+∞ 此函数的定义域不关于原点对称 ∴此函数为非奇非偶函数． （3）221y xx-==∴此函数的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞ 2211()()()f x f x x x -===- ∴此函数为偶函数（4）22221y x xx x-=+=+∴此函数的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞222211()()()()f x x x f x x x -=-+=+=- ∴此函数为偶函数（5）1122y x x-=+= ∴此函数的定义域为[0,)+∞此函数的定义域不关于原点对称 ∴此函数为非奇非偶函数（6）1124()3()f x x x =+-=x x ≥⎧∴⎨-≥⎩ 0x ∴= ∴此函数的定义域为{0}∴此函数既是奇函数又是偶函数变式训练1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：（1）5y x = （2）43y x -= （3）54y x =（4）35y x -=（5）12y x -= 分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式． 解：（1）定义域R ，值域R ，奇函数，在R 上单调递增．（2）定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，值域(0,)+∞，偶函数，在(,0)-∞上单调递增， 在(0,)+∞ 上单调递减．（3）定义域[0,)+∞，值域[0,)+∞，偶函数，非奇非偶函数，在[0,)+∞上单调递增． （4）定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，值域(,0)(0,)-∞⋃+∞，奇函数，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递减．（5）定义域(0,)+∞，值域(0,)+∞，非奇非偶函数，在(0,)+∞上单调递减． 例2比较大小：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)-- （3）1125.25,5.26,5.26--- （4）30.530.5,3,log 0.5解：（1）∵12y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴11221.5 1.7< （2）∵3y x =在R 上是增函数，1.2 1.25->-，∴33( 1.2)( 1.25)->-（3）∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴115.25 5.26-->；∵ 5.26xy =是增函数，12->-，∴125.265.26-->； 综上，1125.25 5.26 5.26--->>（4）∵300.51<<，0.531>，3log 0.50<，∴30.53log 0.50.53<<变式训练2：将下列各组数用小于号从小到大排列： （1）2223332.5,( 1.4),(3)-- （2）3338420.16,0.5,6.25--（3）11121333322253(),(),(),3,()3532--解：（1）222333( 1.4) 2.5(3)-<<- （2）3338246.250.50.16,--<<（3）11211333322523()()()()35332--<<<<例3已知幂函数223m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．分析：幂函数图象与x 轴、y 轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合m Z ∈，便可逐步确定m 的值．解：∵幂函数223m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，∴2230m m --≤，∴13m -≤≤；∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =．变式训练3：证明幂函数12()f x x =在[0,)+∞上是增函数． 分析：直接根据函数单调性的定义来证明． 证明：设120x x ≤<， 则11221212()()f x f x x x -=-==12x x <120x x ∴-<0>12()()0f x f x ∴-< 即12()()f x f x < ∴此函数在[0,)+∞上是增函数例1.（1）若xx x f 1)(-=，则方程x x f =)4(的根是( ) A ．21 B ．－21 C ．2D ．－2解：A ．（2）设函数()f x 对x R ∈都满足(3)(3)f x f x +=-,且方程()0f x =恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（ ）A ．0B ．9C ．12D ．18解：由(3)(3)f x f x +=-知()f x 的图象有对称轴3x =，方程()0f x =的6个根在x 轴上对应的点关于直线3x =对称，依次设为1231233,3,3,3,3,3t t t t t t ---+++，故6个根的和为18，答案为D ．（3）已知155=-acb ，（a 、b 、c ∈R ），则有（ ） A ．ac b 42> B ．ac b 42≥ C ．ac b 42< D ．ac b 42≤ 解法一：：依题设有50a b c ⋅-=∴5是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的一个实根； ∴△＝ac b 42-≥0 ∴ac b 42≥，答案为B ．解法二：去分母，移项，两边平方得：22252510b a ac c =++≥10ac ＋25a c ⋅⋅＝20ac ． ∴ac b 42≥，答案为B ．（4）关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 1232x x <<，则实数m 的取值范围解：设22()(28)16f x x m x m =--+-，则239()3(4)160216f m m =--+-<， 即：241270m m --<，解得：1722m -<<． （5）若对于任意[1,1]a ∈-，函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零, 则x 的取值范围是解：设2()(2)44g a x a x x =-+-+，显然，2x ≠则22(1)2440(1)2440g x x x g x x x ⎧-=-+-+>⎪⎨=-+-+>⎪⎩，即3221x x x x ><⎧⎨><⎩或或，解得：x>3或x<1． 变式训练1： 当01x ≤≤时，函数1y ax a =+-的值有正值也有负值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a < B ．1a > C ．112a a <>或 D ．112a << 解：D例2.设123,,x x x 依次是方程12log 2x x +=,2log (2)x +22xx +=的实数根，试比较123,,x x x 的大小 ．解：在同一坐标内作出函数2y x =-，12log y x =，2x y =-的图象从图中可以看出，310x x << 又20x <，故231x x x <<变式训练2：已知函数()()y f x x R =∈满足(3)(1)f x f x +=+，且x ∈[－1,1]时，()||f x x =，则()y f x =与5log y x =的图象交点的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 解：由(3)(1)f x f x +=+知(2)()f x f x +=故()f x 是周期为2的函数，在同一坐标系中作出()y f x =与5log y x =的图象，可以看出，交点个数为4．例 3. 已知二次函数2()(,f x ax bx a b =+为常数，且0)a ≠ 满足条件：(1)(3)f x f x -=-，且方程()2f x x =有等根. （1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数m 、n ()m n <，使()f x 定义域和值域分别为［m ，n ］和［4m ，4n ］，如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由. 解：（1）∵方程22ax bx x +=有等根，∴2(2)0b ∆=-=，得b=2 ． 由(1)(3)f x f x -=-知此函数图象的对称轴方程为12bx a=-=，得1a =-， 故2()2f x x x =-+ ．（2）2()(1)11f x x =--+≤，∴4n ≤1，即14n ≤而抛物线22y x x =-+的对称轴为1x = ∴14n ≤时，()f x 在［m ，n ］上为增函数. 若满足题设条件的m ，n 存在，则⎩⎨⎧==n n f mm f 4)(4)(，⎩⎨⎧-==-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-2020424222n n m m n n n m m m 或或即又14m n <≤， ∴2,0m n =-=，这时定义域为［–2，0］，值域为［–8，0］. 由以上知满足条件的m 、n 存在， 2,0m n =-=．变式训练3：已知函数11()f x a x=- ((0,0)a x >>.（1）求证：()f x 在(0,+∞)上是增函数；（2）若()2f x x ≤在(0,+∞)上恒成立，求a 的取值范围；（3）若()f x 在［m ，n ］上的值域是［m ，n ］(m ≠n)，求a 的取值范围. 解：（1）证明 任取120x x >>1212122112111111()()()()x xf x f x a x a x x x x x --=---=-=∵120x x >>，∴120x x ⋅>，120x x ->，∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，故()f x 在(0,+∞)上是增函数.（2）解： ∵112x a x-≤在(0,+∞)上恒成立，且a ＞0,∴112a x x≥+在（0，+∞）上恒成立， 令421221121)(=⋅≤+=xx xx x g ，当且仅当12(0)x x x =>即x=22时取等号 要使112a x x≥+在(0,+∞)上恒成立，则a ≥故a 的取值范围是［42,+∞)． （3）解： 由（1）()f x 在定义域上是增函数. ∴(),()m f m n f n ==，即2110m m a-+=，2110n n a-+= 故方程2110x x a -+=有两个不相等的正根m ，n ，注意到1m n ⋅=，10m n a +=> 故只需要(21()40a ∆=->,由于0a >，则102a << ．例4．若函数|1|()2x f x m --=-的图象与x 轴有交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．01m <≤B ．01m ≤≤C ．10m m ≥<或D ．10m m ><或解：令()0f x =，得：|1|1()2x m -=，∵ |1|0x -≥，∴ |1|10()12x -<≤，即01m <≤． 变式训练4：对于函数()f x ，若存在0x ∈R,使00()f x x ＝成立，则称0x 为()f x 的不动点.已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠ （1）当1,2a b ==-时，求()f x 的不动点；（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；解：（1）当1,2a b ==-时，2()3f x x x =-- 由题意可知23x x x =--，得121,3x x =-= 故当当1,2a b ==-时，()f x 的不动点 1,3-．（2）∵2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠恒有两个不动点， ∴2(1)1x ax b x b =+++-，即210ax bx b ++-=恒有两相异实根∴2440()b ab a b R ∆=-+>∈恒成立.于是2(4)160a a '∆=-<解得故当b ∈R ，()f x 恒有两个相异的不动点时，01a <<.。

(每日一练)人教版高中数学必修一函数及其性质典型例题单选题1、已知函数f(x)=x2−|x2−a2x−4|在区间(−∞,−2)，(√3,+∞)上都单调递增，则实数a的取值范围是（）A．0<a≤2√3B．0<a≤4C．0<a≤4√3D．0<a≤8√3答案：D解析：设g(x)=x2−a2x−4的零点为x1，x2且x1<x2，讨论区间范围写出f(x)的分段函数形式，讨论参数a结合f(x)各区间的函数性质判断单调性，根据已知区间的单调性求参数范围即可.设g(x)=x2−a2x−4，其判别式Δ=a24+16>0，∴函数g(x)一定有两个零点，设g(x)的两个零点为x1，x2且x1<x2，由x2−a2x−4=0，得x1=a2−√a24+162，x2=a2+√a24+162，∴f(x)={a2x+4,x<x12x2−a2x−4,x1≤x≤x2a 2x+4,x>x2，①当a≤0时，f(x)在(−∞,x1)上单调递减或为常函数，从而f(x)在(−∞,−2)不可能单调递增，故a>0；②当a>0时，g(−2)=a>0，故x1>−2，则−2<x1<0，∵f(x)在(−∞,x1)上单调递增，∴f(x)在(−∞,−2)上也单调递增，g(√3)=−√32a −1<0，√3<x 2， 由f(x)在[a 8,x 2]和(x 2,+∞)上都单调递增，且函数的图象是连续的，∴f(x)在[a 8,+∞)上单调递增，欲使f(x)在(√3,+∞)上单调递增，只需a 8≤√3，得a ≤8√3，综上：实数a 的范围是0<a ≤8√3.故选：D.小提示：关键点点睛：先研究绝对值部分的零点，进而写出f(x)的分段函数表达式，再讨论参数a ，根据函数性质及已知区间单调性求参数的范围.2、对于函数f (x )=x|x|+x +1,下列结论中正确的是（ ）A ．f (x )为奇函数B ．f (x )在定义域上是单调递减函数C ．f (x )的图象关于点(0,1)对称D ．f (x )在区间(0,+∞)上存在零点答案：C解析：把f (x )=x|x|+x +1转化为分段函数f (x )={−x 2+x +1,x ⩽0x 2+x +1,x >0 ，画出图像，即可得解.如图，f(x)={−x 2+x+1,x⩽0x2+x+1,x>0由图象可知，图象关于点(0,1)对称，因此不是奇函数，在定义域内函数为增函数，在(−∞,0)上有零点，故选：C．小提示：本题考查了利用函数解析式求函数相关性质，考查了分类讨论思想和数形结合思想，本题主要是数形结合，根据函数图像，直观的看出函数相关性质，属于简单题.3、若f(x)=|sinx|⋅e|x|，x,y∈[−π2,π2]且f(x)>f(y)，则下列不等式一定成立的是（）A．|x|>|y|B．|x|<|y| C．x<y D．x>y答案：A解析：利用奇偶性定义可证f(x)在x∈[−π2,π2]上是偶函数，应用导数研究f(x)在x∈(0,π2]上的单调性，进而可得x∈[−π2,0)上的单调性，根据题设条件即可得结论.∵f(−x)=|sin(−x)|⋅e|(−x)|=|sinx|⋅e|x|=f(x)，∴在x∈[−π2,π2]上f(x)是偶函数.当x∈(0,π2]时，f(x)=e x sinx，则f′(x)=e x(sinx+cosx)>0，故f(x)单调递增；∴当x∈[−π2,0)时，f(x)单调递减；由x,y∈[−π2,π2]且f(x)>f(y)，则必有|x|>|y|.故选：A填空题4、函数f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(π2−x)=f(π2+x)，且当x∈[0,π)时，f(x)=sinxx2−πx+π，给出下列四个结论：① f(π)=0；② π是函数f(x)的周期；③ 函数f(x)在区间(−1,1)上单调递增；④ 函数g(x)=f(x)−sin1(x∈[−10,10])所有零点之和为3π. 其中，正确结论的序号是___________.答案：① ③ ④解析：由f(π2−x)=f(π2+x)可得f(π)=f(0)直接计算f(0)即可判断① ；根据函数f(x)的奇偶性和对称性即可求得周期，从而可判断② ；先判断f(x)在(0,1)的单调性，再根据奇函数关于原点对称的区间单调性相同即可判断③ ；根据对称性以及函数图象交点的个数即可判断④.对于①：由f(π2−x)=f(π2+x)可得f(π)=f(0)=sin0π=0，故①正确；对于② ：由f(π2−x)=f(π2+x)可得f(x)关于直线x=π2对称，因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(π+x)=f(−x)=−f(x)所以f(2π+x)=−f(x+π)=f(x)，所以函数f(x)的周期为2π，故② 不正确；对于③ ：当0<x<1时，y=sinx单调递增，且y=sinx>0，y=x2−πx+π=(x−π2)2+π−π24在0<x<1单调递减，且y>1−π+π=1，所以f(x)=sinxx2−πx+π在0<x<1单调递增，因为f(x)是奇函数，所以函数f(x)在区间(−1,1)上单调递增；故③ 正确；对于④ ：由f(π2−x)=f(π2+x)可得f(x)关于直线x=π2对称，作出示意图函数g(x)=f(x)−sin1(x∈[−10,10])所有零点之和即为函数y=f(x)与y=sin1两个函数图象交点的横坐标之和，当x∈[−π2,3π2]时，两图象交点关于x=π2对称，此时两根之和等于π，当x∈(3π2,10]时两图象交点关于x=5π2对称，此时两根之和等于5π，当x∈[−5π2,−π2)时两图象交点关于x=−3π2对称，此时两根之和等于−3π,x∈[−10,−5π2)时两图象无交点，所以函数g(x)=f(x)−sin1(x∈[−10,10])所有零点之和为3π.故④ 正确；所以答案是：① ③ ④小提示：求函数零点的方法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数，ℎ(x)和g(x)的形式，根据f(x)=0⇔ℎ(x)=g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y=ℎ(x)和y=g(x)的图象交点个数；零点之和即为两个函数图象交点的横坐标之和.5、已知定义域为R的偶函数f(x)在(−∞,0]上是减函数，且f(1)=2，则不等式f(log2x)>2的解集为__________.答案：(0,12)∪(2,+∞)解析：根据函数奇偶性，以及已知区间的单调性，先确定f(x)在(0,+∞)上单调递增，将所求不等式化为log2x>1或log2x<−1，求解，即可得出结果.因为定义域为R的偶函数f(x)在(−∞,0]上是减函数，且f(1)=2，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(−1)=f(1)=2，因此不等式f(log2x)>2可化为f(log2x)>f(1)，，所以log2x>1或log2x<−1，解得x>2或0<x<12)∪(2,+∞).即不等式f(log2x)>2的解集为(0,12)∪(2,+∞).所以答案是：(0,12。

函数基本性质综合应用典型例题1、已知函数()f x 的定义域为()1,1-，且同时满足下列条件：（1）()f x 是奇函数；（2）()f x 在定义域上单调递减；（3）2(1)(1)0,f a f a -+-<求a 的取值范围 选题理由：本题属于函数单调性和奇偶性的综合应用问题，对于学生更深更好的理解函数定义域、函数单调性和函数奇偶性有好的思维帮助。

22222(1)(1)0(1)(1)()(1)(1)11111101a f a f a f a f a f x f a f a a a a a a -+-<-<---<-⎧-<⎪-<⎨⎪->-⎩<<解：即：又函数为奇函数所以：又函数定义域为（-1，1）且在定义域上单调递减-1<所以：-1<解得：所以的取值范围为（0，1）变式：若)(x f 是偶函数，其定义域为()+∞∞-,，且在[)+∞,0上是减函数，则)252()23(2++-a a f f 与的大小关系是（ ） A )23(-f >)252(2++a a f B )23(-f <)252(2++a a f C )23(-f ≥)252(2++a a f D )23(-f ≤)252(2++a a f2、函数f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a 的取值范围．选题理由：主要考察常见函数的单调性（逆向思维问题）。

本题是学生易犯错的题目类型，往往误认为是二次函数从而出现错误；此题要求学生对于此类问题应首先确定函数的类型，即体现分类讨论思想。

解 当a ＝0时，f(x)＝x 在区间[-1，＋∞)上是增函数．若a>0，则 3111,025a a a -≤-<≤即：若a ＜0时， 311,02a a a -≥-<即：∴a 的取值范围是15a ≤．变式：已知函数[]2()22,5,5f x x ax x =++∈-① 当1a =-时，求函数的最大值和最小值；② 求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数3、当]1,0[∈x 时，求函数223)62()(a x a x x f +-+=的最小值 选题理由：本题隶属于二次函数在闭区间的最值问题，属于基本题型，要求学生熟练掌握。

函数的图象一、典型例题例1 设函数2()45f x x x =-- （1）在区间[2,6]-上画出函数()f x 的图像；（2）设集合{}()5,(,2][0,4][6,)A x f x B =≥=-∞-+∞ ，试判断集合A 和B 之间的关系，并给出证明；（3）当2k >时，求证：在区间[1,5]-上，3y kx k =+的图像位于函数()f x 图像的上方。

例2（1）若把函数()y f x =的图像作平移，可以使图像上的点()1,0P 变换成点()2,2Q ，则函数()y f x =的图像经此变换后所得图像对应的函数为 ( )A .(1)2y f x =-+ B.(1)2y f x =--C . (1)2y f x =++D . (1)2y f x =+-（2）己知函数33(),()232x f x x x -=≠-,若(1)y f x =+的图像是1C ,它关于直线y x =对称图像是22,C C 关于原点对称的图像为33,C C 则对应的函数解析式是__________（3）作出下列函数的大致图象： ①()21y x x =-+；② 21x y x -=+； ③ lg 1y x =-④ 11xy x -=-例3 (1)设函数()x f 的定义域为R ,它的图像关于直线1x =对称,且当1≥x 时()13-=x x f 则（ ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛322331A.f f f ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛312332B.f f f ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛233132C.f f f ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛313223D.f f f (2)已知()f x 是定义域为(-∞，0)∪(0,+∞)的奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增, ()f x 的图象如图所示,若[]()()0x f x f x --<,则x 的取值范围是__________________例3 已知函数()()()()1212()211xx f x x x x ⎧⎛⎫-≤-⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-->-⎩，如果方程()f x a =有四个不同的实根，求实数a 的取值范围。

高考数学复习----《函数的奇偶性的综合应用》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 在(],3−∞上单调递增，且()3f x +为偶函数，则不等式()()12f x f x +>的解集为（ ）A ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()5,1,3⎛⎫−∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(),1−∞D ．()1,+∞【答案】B【解析】∵()3f x +为偶函数， ∴()()33f x f x −+=+，即函数()f x 关于3x =对称，又函数()f x 在(],3−∞上单调递增，∴函数()f x 在[)3,+∞上单调递减，由()()12f x f x +>，可得1323x x +−<−，整理得，23850x x −+>，解得1x <或53x >． 故选：B ．例2、（2023·全国·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，不等式()()24f x f x ≥的解集为（ ）A ．(][),04,−∞+∞UB ．[]0,4C ．(][),02,−∞⋃+∞D ．[]0,2【答案】C 【解析】根据题意，当0x ≥时，()2f x x =，所以()f x 在[0,)+∞上为增函数，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在R 上为增函数，因为20x ≥，所以24()f x x =，24124x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以221()42x f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以不等式()()24f x f x ≥可化为2()2x f f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以22x x ≥，解得0x ≤或2x ≥， 所以不等式()()24f x f x ≥的解集为(][),02,−∞⋃+∞，故选：C例3、（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数()f x 的定义域为R ，且当0x ≥时，()11x f x x −=+，则使不等式()2122f a a −<成立的实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3−B ．()3,3−C ．()1,1−D ．(),3−∞【答案】A 【解析】当0x ≥时，()()12121111x x f x x x x +−−===−+++，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增， 且()132f =，不等式()2122f a a −<即为()()223f a a f −<． 又因为()f x 是偶函数，所以不等式()()223f a a f −<等价于()()223f a a f −<， 则223a a −<，所以，222323a a a a ⎧−<⎨−>−⎩，解得13a −<<． 综上可知，实数a 的取值范围为()1,3−，故选：A ．例4、（2023·全国·高三专题练习）定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]−∞上单调递增，且(2)2f −=−，则不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫−> ⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．10,100⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(0,100)D ．(100,)+∞【答案】D【解析】因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x −=−，又(2)2f −=−，(2)2f =， 所以不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫−> ⎪⎝⎭，可化为()2(lg )422f x f >=， 即()(lg )2f x f >，又因为()f x 在(,0]−∞上单调递增，所以()f x 在R 上单调递增，所以lg 2x >，解得100x >．故选：D ．例5、（2023春·广西·高三期末）()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则()()20232022f f +−=（ ）A ．－1B ．12−C ．12D ．1【答案】A 【解析】()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则 1111111222222f x f x f x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−++=−++⇒−+++=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． ∴()()40451404512023202212222f f f f ⎛⎫⎛⎫+−=++−+=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：A 例6、（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）若函数f （x ）=e e sin x x x x −−+−，则满足()()22ln 102x f a x f ⎛⎫−++≥ ⎪⎝⎭恒成立的实数a 的取值范围为（ ）A ．12ln 2,2⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭B ．1(ln 2,)4−+∞C ．[7,)4+∞D ．[3,)2+∞ 【答案】A 【解析】因为()e e sin ()x x f x x x f x −−−=−+=−，所以()f x 是R 上的奇函数，由()e +e cos 1x x f x x −'=+−cos 11cos 0x x ≥−=+≥ ，所以()f x 是R 上的增函数， 所以2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫−++≥ ⎪⎝⎭等价于： 22(2ln(1))22x x f a x f f ⎛⎫⎛⎫−+≥−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即22ln(1)2x a x −+≥−， 所以22ln(1)2x a x ≥−++， 令2()2ln(1)2x g x x =−++， 则问题转化为：max ()a g x ≥，因为()()g x g x −=且定义域为R ，所以()g x =22ln(1)2x x −++是R 上的偶函数， 所以只需求()g x 在()0,∞+上的最大值即可．当[)0,x ∈+∞时，2()2ln(1)2x g x x =−++， ()()22122()111x x x x g x x x x x +−−−+'=−+==−+++， 则当()0,1x ∈时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<； 所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，可得：max 1()(1)2ln 22g x g ==−， 即12ln 22a ≥−， 故选：A ． 本课结束。

高中《函数》典型例题例1下面变量之间的关系是不是函数关系？为什么？（1）矩形的面积一定，它的长与宽；（2）任意三角形的高与底；（3）矩形的周长与面积；（4）正方形的周长与面积．例2下面的表分别给出了变量x与y之间的对应关系，判断y是x的函数吗？如果不是，说明出理由.x12345y3691215x12345y71181215x12321y2510-5-2x12345y99999例3判断下列关系是不是函数关系？（1）长方形的宽一定时，其长与面积；（2）等腰三角形的底边长与面积；（3）某人的年龄与身高；（4）关系式|y|=x中的y与x.例4汽车由北京驶往相距850千米的沈阳，它的平均速度为80千米/小时，求汽车距沈阳的路程S（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系式，写出自变量的取值范围.例5如图，是某个篮球运动员在五场比赛中的得分情况，依据图回答：（1）该运动员第一场球得多少分；（2）哪场球得分比前一场得分少？（3）在五场比赛中最高得分是多少？最低得分是多少？（4）从这五场比赛中的得分情况分析，该运动员的竞技状态怎么样？参考答案例1解：（1）矩形的面积确定时，它的宽取一个值，就有惟一确定的y的值与宽对应，因此这是一个函数关系．（2）当一个三角形的底取一个值时，它的高并不能确定，因此“三角形的高与底”不是函数关系．（3）当矩形的周长是一个确定的值时，由于长、度不能确定，它的面积也不确定，这也不是函数关系．（4）当正方形的周长确定了，它的边长也确定，因此面积也确定，这是函数关系．例2解：（1）y是x的函数；（2）y是x的函数；（3）y不是x的函数，因为对于变量x=1，变量y有1与-1两个值与它对应；（4）y是x的函数说明：对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应.第四个是常数函数它符合函数的定义.例3分析：判断一个关系是不是函数关系，第一要看是不是一个变化过程；第二要看在这个变化过程中，是不是有两个变量；第三要看自变量每取一个确定值，函数是不是都有唯一确定的值与它对应.解：（1）长方形的宽一定时，其长所取的每一个确定的值，面积都有唯一确定的值与它对应，所以长与面积是函数关系.（2）因为三角形的面积受底和高两个因素的影响，当等腰三角形的底取一个定值时，它的面积又受高的影响，不能有唯一确定的值和底相对应，所以底边长与面积不是函数关系.（3）人的任意一个确定的年龄，都有唯一确定的身高与之相对应，所以某人的年龄与身高是函数关系.（4）x每取一个正值，y都有两个值与它对应，所以|y|=x不是函数关系.说明：年龄与身高的变化不按某种规律，但某人每一个确定的年龄，必有唯一确定的身高和它相对应，因此函数关系是一定的，所以不要以为存在一定比例关系或一定规律，能用解析式表示的才是函数关系.例4分析：北京距沈阳850千米，汽车距沈阳的路程等于全程减去已行驶的路程，已行驶的路程等于速度乘以时间.解：85080S t=-00S t ≥⎧⎨≥⎩ 得850800t t -⎧⎨≥⎩850.8t ∴≤≤于是汽车距沈阳的路程S 与时间t 的函数关系式为85080S t =-，自变量t 的取值范围是850.8t ≤≤例5解：（1）这个运动员在第一场比赛中得21分.（在场次栏中找到“1”，然后在得分栏中找到相应的得分）（2）第二场球比第一场球得分少，竞技状态趋下.（图形向下）（3）第五场比赛得分最高为36分，第一场比赛得分最低21分.（4）从这五场的比赛得分情况看，该运动员目前的竞技状态是向前发展，其趋势是良好的.（从第二场球之后图形全部向上.）说明：本题考查学生的识图能力。

专题13：函数的定义域与值域求法典型例题（解析版）函数定义域的常见其一、已知函数解析式型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例1、求函数yx 2 2x 15的定义域。

x 3 82 x 5或x3 x 2x 15 0解：要使函数有意义，则必须满足即 x 5且x 11 x 3 8 0解得x 5或x 3且x 11即函数的定义域为x x 5或x 3且x 11 。

二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况。

（一）已知f (x )的定义域，求f g (x ) 的定义域。

其解法是：已知f (x )的定义域是[a ,b ]求f g (x ) 的定义域是解a g (x ) b ，即为所求的定义域。

例2、已知f (x )的定义域为[ 2,2]，求f (x 1)的定义域。

2解： 2 x 2， 2 x 1 2，解得 3 x 23即函数f (x 1)的定义域为x 3 x 3（二）已知fg (x ) 的定义域，求f (x )的定义域。

2其解法是：已知f g (x ) 的定义域是[a ,b ]求f (x )的定义域的方法是：a x b ，求g (x )的值域，即所求f (x )的定义域。

例3、已知f (2x 1)的定义域为[1,2]，求f (x )的定义域。

解： 1 x 2， 2 2x 4， 3 2x 1 5。

即函数f (x )的定义域是x |3 x 5 。

三、逆向思维型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。

特别是对于已知定义域为R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例4、已知函数ymx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。

22分析：函数的定义域为R ，表明mx 6mx m 8 0，使一切x R 都成立，由x 项的系数是m ，所以应分m 0或m 0进行讨论。

函数的单调性一、典型例题例1、讨论函数(,0)b y ax a b x=+>的单调性.例2、若()f x 为R 上的奇函数，且(2)0f -=，若()f x 在(,0)-∞上是减函数，则0≤)(x xf 的解集为_______________；变式、已知定义域为()(),00,-∞+∞的偶函数()g x 在(),0-∞内为单调递减函数，且()()()g x y g x g y ⋅=+对任意的,x y 都成立，()21g =。

①求()4g 的值；②求满足条件2)1()(++>x g x g 的x 的取值范围。

例3、已知(31)4(1)()log (1)a a x a x f x xx -+<⎧=⎨≥⎩ 是R 上的减函数，试求a 的取值范围。

例4、已知()f x 是定义在[-1，1]上的奇函数，且(1)1f =。

若,[1,1],0a b a b ∈-+≠有()()0f a f b a b+>+ （1）判断()f x 在[-1，1]上的增减性【增函数】（2）解不等式11()()21f x f x +<- （3）若2()21f x m am ≤-+对所有[1,1],[1,1]x a ∈-∈-恒成立，求m 的取值范围。

例5、定义在R 上的函数)(,2),4()()(x f x x f x f x f 时当满足>+-=-单调递增，如果 )()(,0)2)(2(,4212121x f x f x x x x +<--<+则且的值（ ）A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负例6、已知函数b ax c x x f ++=2)(为奇函数，)3()1(f f <，且不等式23)(0≤≤x f 的解集是[2,1][2,4]--（1）求,,a b c 。

（2）是否存在实数m 使不等式23)sin 2(2+≤+-m f θ对一切R ∈θ成立？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由。

高等数学第一章 函数、极限、连续§1．1 函数一．求函数的定义域例1．求函数()2100ln ln ln x x x f -+=的定义域 例2．求5ln 1-+-=x x x y 的定义域例3．设()x f 的定义域为[]()0,>-a a a ，求()12-x f 的定义域 例4．设()⎩⎨⎧≤≤<≤=42 ,220 ,1x x x g 求()()()12-+=x g x g x f 的定义域，并求⎪⎭⎫ ⎝⎛23f 。

二．求函数的值域 例1．求3311-=x ey 的值域例2．求()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤---<-==2,2122,52,323x x x x x x x f y 的值域，并求它的反函数 三．求复合函数有关表达式 1．已知()x f 和()x g ，求()[]x g f 例1．已知()1-=x xx f ，求()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11x f f 例2．设()21x x x f +=，求()()[]()重复合n x f x f f f n =例3．设()⎩⎨⎧>≤-=2,02,42x x x x f ，求()[]x f f 2．已知()x g 和()[]x g f ，求()x f 例1．设()x e e e f x xx++=+21，求()x f例2．已知()xxxee f -='，且()01=f ，求()x f例3．设()x x fsin =，求()x f '例4．已知()x x f 2cos 3sin -=，求证()x x f 2cos 3cos += 3．已知()x f 和()[]x g f ，求()x g例．已知()()x x f +=1ln ，()[]x x g f =，求()x g 解：()[]x fx g 1-=实际上为求反函数问题()[]()[]x x g x g f =+=1ln ，()x e x g =+1 ()1-=x e x g 4．有关复合函数方程 例．设()x x f x x f 2311-=⎪⎭⎫⎝⎛-+，求()x f 四．有关四种性质例1．设()()x f x F ='，则下列结论正确的是[ ]（A ）若()x f 为奇函数，则()x F 为偶函数。

高考数学复习----《抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数()f x 对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+成立．有以下结论：①()00f =；②()f x 是R 上的偶函数；③若()22f =，则()11f =；④当0x >时，恒有()0f x <，则函数()f x 在R 上单调递增．则上述所有正确结论的编号是________【答案】①③【解析】对于①令0x y ==，则()()()0000f f f +=+，解得()00f =，①正确；对于②令y x =−，则()()()00f f x f x =+−=，∴()()f x f x −=−，∴()f x 是R 上的奇函数，②错误；对于③令1x y ==，则()()()()211212f f f f =+==，∴()11f =，③正确；对于④设12x x >，则120x x −>，∴()()()12120f x x f x f x −=+−<，则()()()122f x f x f x <−−=，∴()f x 在R 上单调递减，④错误．故答案为：①③．例2、（2022·山东聊城·二模）已知()f x 为R 上的奇函数，()22f =，若对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x >时，都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤−−<⎢⎥⎣⎦，则不等式()()114x f x ++>的解集为（ ） A ．()3,1−B ．()()3,11,1−−−C ．()(),11,1−∞−− D ．()(),31,−∞−⋃+∞ 【答案】B【解析】由()()121221()[]0f x f x x x x x −−<，得()()11221212()[]0x f x x f x x x x x −−<， 因为121200x x x x −>>，，所以()()11220x f x x f x −<，即()()1122x f x x f x <，设()()g x xf x =，则()g x 在()0,∞+上单调递减，而()()()()()1114222g x x f x f g +=++>==，则012x <+<，解得：11x −<<；因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()()g x xf x xf x g x −=−−==，则()g x 为R 上的偶函数，故()g x 在(,0)−∞上单调递增，()()()()11142g x x f x g +=++>=−，则210x −<+<，解得：31x −<<−；综上，原不等式的解集为(),111)3(,−−−．故选：B ．例4、（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =−，12b f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】C【解析】 由函数()f x 的图像关于直线1x =对称可得()()31f f =−，结合奇函数的性质可知 ()3a f =−()()()311f f f =−=−−=，()()200c f f ===．由奇函数的性质结合()y f x =在[]0,1上单调递增可得()y f x =在[]1,1−上单调递增， 所以()()1012f f f ⎛⎫−<< ⎪⎝⎭， 所以b c a <<．故选：C例5、（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R 的偶函数满足()()2f x f x −=，当01x ≤≤时，()1e 1x f x −=−，则方程()11f x x =−在区间[]3,5−上所有解的和为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】A【解析】 解：因为函数()f x 满足()()2f x f x −=，所以函数()f x 的图像关于直线1x =对称， 又函数()f x 为偶函数，所以()()()2−==−f x f x f x ，所以函数()f x 是周期为2的函数， 又1()1g x x =−的图像也关于直线1x =对称， 作出函数()f x 与()g x 在区间[]3,5−上的图像，如图所示：由图可知，函数()f x 与()g x 的图像在区间[]3,5−上有8个交点，且关于直线1x =对称， 所以方程。

∴a
的取值范围是
，，，
1U

1
2 3

U
4
.
解法 2：画出 y x2 的图象，认真观察图象，可得:越接近 y 轴，y 值越大，即
小，y 值越大，
a 1 0
∴ 要使 a 1 2 3 2a2 ，
即 3 2a 0
，
解得:
总以结上升两华种：方法都是运用函数的单调性，但显然第| a二种1方||法3 更 2好a.|而这种方法的应
f (x) 是 R 上的奇函数．
（3）Q
1
0 ，且 m2 m 1 是正奇数，
m2 m 1
函数 f (x) 在 (∞，∞ ) 上单调递增．
3
4
5
，
2
又∵函数图象过(0，0)和(1，1)点，∴m2-2m-3>0，得 m>3 或 m<-1，
|x|越
，，，
1
U


用， 要途
2
5 5
5 5
∴ m=
(舍去) 即:m=
.
2
2
类型四、讨论函数性质
1
(x 2) 2
例 5.求函数 y=
的定义域.
2
(3 x) 3
x2
解:原函数可化为 y=
3 (3 x)2
x 3

2 x

0 0
∴x
[-2，3)∪(3，+∞).
总结升华：正确判断函数的定义域是完成函数的图象，讨论函数的性质的前提，必须加以重视.
例
6.讨论函数
y

(x2

2x


3)

函数知识点一.图像及性质 1.一次函数 ①图像：y=kx+b(k≠0) y=kx(k ≠0,b=0)①k>0 增 k<0 减 ②b ≠0一次函数，b=0正比例函数 2.二次函数 ①图像：②a>0 开口向上，a<0开口向下 ③a>0最小值，a<0最大值 ④X 对称=-b2a⑤顶点坐标：（-b2a，244ac a b -）⑥三种表达形式222(1)(2)4()24y a x x x x b ac b y a x a a y ax bx c =--⎧⎫⎪⎪-⎪⎪=++⎨⎬⎪⎪⎪⎪=++⎩⎭两点式顶点式一般式3指数函数①图像：y=x a （a>0且a ≠1）②0<a<1 增函数,a 越小越靠近y 轴，a>1 减函数，a 越大越靠近y 轴,0a =1（a ≠0）③必过（0,1）④y>04对数函数①图像：y=lo x a g （a>0且a ≠1）②0<a<1 增函数，a 越小越靠近x 轴，a>1 减函数，a 越大越靠近x 轴 ③必过（1,0）④x>0 5幂函数①图像：y=a x （a ∈R ）②a<0 减函数，a>0 增函数 ③0<a<1下凸，a>1上凸 ④必过（1,1）6对勾函数①图像:y=x+ px(p>0)②顶点坐标-二.定义域1.给定解析式（1）12x-（2）2()x xy-=（3）cosl xy g=2.已知f（x）定义域，求f（g（x））定义域（1）已知f（x）定义域为[-12,12],求y=f(2x-x-12)定义域3.已知f(g(x))的定义域。

求f(x)的定义域（1）若f(2x)的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域（一）求函数定义域例：(21)f x-的定义域为[]0,1,求(13)f x-的定义域1.求下列函数定义域①xxxy--+=2)1(2②)45(log)1(xxy-=+2.已知6lg)3(222-=-xxxf，则()f x的定义域是3．（2013陕西理1）设全集为R，函数21)(xxf-=的定义域为M，则MCR为( ).A]1,1[-.B)1,1(-.C),1[]1,(+∞--∞.D),1()1,(+∞--∞4．（2013江西理2）函数)1ln(xxy-=的定义域为( ).A)1,0(.B)1,0[.C ]1,0( .D ]1,0[5.（2013山东文5）函数3121)(++-=x x f x的定义域为( ).A ]0,3(-.B ]1,3(-.C ]0,3()3,(---∞ .D ]1,3()3,(---∞6.（2013重庆文3）函数)2(log 12-=x y 的定义域为( ).A )2,(-∞ .B ),2(+∞ .C ),3()3,2(+∞ .D ),4()4,2(+∞7.（2013安徽文11）函数1l n (11y x=++的定义域为_____________.（二）利用定义域求参数范围例.)1lg(2++=ax x y 的定义域为R ，求a 的范围？练1.82)(2--=x x x f 的定义域为A ,mx x g --=11)(的定义域为B ，Φ=⋂B A ,求m 的取值范围？练2.341)(2++=ax ax x f 的定义域为R ，求a 的范围练3.2(1),1()41x x f x x +<⎧⎪=⎨≥⎪⎩ ；使1)(≥x f 的x取值范围？三.求函数的解析式1.拼凑法:例1.已知f(x+1x )=3x +31x ,求f(x)例2：2(1)()f x x f x -=,求例3：，求2换元法：例1：已知f （2x+1）=lgx,求f(x)的解析式564)12(2+-=+x x x f )(x f例2：2)1(x x f =-，求f （x ）例3：，求例4：x x x f 2)1(-=-3.待定系数法：例1:已知二次函数f(x)满足f （2+x ）=f(2-x),且f(x)=0的两实根平方和为10，f(x)的图像过点（0,3），求f(x)例2：若()[]12-=x x f f ，则一次函数=例3：二次函数满足，且。

1．某商店出售A 、B 两种价格不同的商品，由于商品A 连续两次提价20%，同时商品B 连续两次降价20%，结果都以每件23元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降时的情况比较，商店盈利情况是( ) A ．多赚约6元 B ．少赚约6元 C ．多赚约2元 D ．盈利相同答案 B解析 设A 、B 两种商品的原价为a 、b ，则a (1＋20%)2＝b (1－20%)2＝23⇒a ＝23×2536，b ＝23×2516，a ＋b －46≈6(元)．2．今有一组数据如下：A ．v ＝log 2tB ．v ＝12log tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －2答案 C解析 将自变量的值代入各选项，易知C 成立．3．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元答案 A解析 设A 种方式对应的函数解析式为S ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为S ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.4．已知光线每通过一块玻璃板，光线的强度要失掉10%，要使通过玻璃板的光线的强度减弱到原来强度的13以下，则至少需要重叠玻璃板数为(lg 3＝0.477 1)( )A ．8块B ．9块C ．10块D ．11块 答案 D解析 设至少需要n 块玻璃板， 由已知得(1－10%)n ＜13.即(910)n ＜13，所以lg(910)n ＜lg 13， 即n (2lg 3－1)＜－lg 3， －0.045 8n ＜－0.477 1，n ＞4 771458≈10.4， 故选D.5．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝y 0e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 0表示初始病毒数，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个． 答案 2ln 2 1 024解析 当t ＝0.5时，y ＝2y 0， ∴2＝12e k ， ∴k ＝2ln 2，∴y ＝y 0e 2t ln 2，当t ＝5，y 0＝1时， ∴y ＝e 10ln 2＝210＝1 024.6．2012年我国人均国民生产总值约为a 美元，若按年平均增长率8%的速度增长． (1)计算2014年我国人均国民生产总值；(2)经过多少年可达到翻一番？(lg1.08≈0.033 4，lg 2≈0.301 0) 解 (1)设经过x 年后，人均国民生产总值为y 美元， 由题意y ＝a ×(1＋0.08)x .所以，2014年我国的人均国民生产总值为y ＝a ×(1＋0.08)2＝1.166 4a (美元)． (2)由题意：1.08x ≥2⇒x ≥lg 2lg 1.08≈9.012.故经过10年可达到翻一番．题型一二次函数模型的应用例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：解由表中可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元，在此情况下的日均销售量为480－40(x－1)＝520－40x(桶)．由于x＞0,520－40x＞0，即0＜x＜13.y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200,0＜x＜13.易知，当x＝6.5时，y有最大值．所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润．反思与感悟对于二次函数模型，根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．利用二次函数求最值时特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．跟踪训练1某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日租金增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？解设客房日租金每间提高2x元，则每天客房出租数为300－10x，由x＞0，且300－10x＞0得0＜x＜30，设客房租金总收入y元，则有：y＝(20＋2x)(300－10x) ＝－20(x－10)2＋8 000(0＜x＜30)由二次函数性质可知当x＝10时，y max＝8 000.所以当每间客房日租金提高到20＋10×2＝40元时，客房租金总收入最高，为每天8 000元．题型二选择函数的拟合问题例2某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式．(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？思考1上表提供的数据对应的散点图大致如何？答以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．思考2根据这些点的分布情况，可以选用怎样的函数模型进行拟合，使它符合题目要求？答根据点的分布特征，可用y＝a·b x刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系．思考3怎样确定拟合函数中参数a，b的值？答由于函数y＝a·b x含有两个参数a，b，所以取表中的两组数据代入函数解析式，解方程组求出．思考4如何检验思考3中得到的函数拟合程度？答将已知数据中的身高数代入得到的函数解析式，如果得出的y值和表中体重的数据相等或比较接近，则说明拟合的程度好，否则拟合的程度不好．思考5写出例2的解题过程．答(1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图(见思考1)．根据点的分布特征，可考虑以y＝a·b x作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．如果取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y＝a·b x得：{7.9＝a·b7047.25＝a·b160，用计算器算得a≈2，b≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x.将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．(2)将x＝175代入y＝2×1.02x得y＝2×1.02175, 由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22＞1.2, 所以，这个男生偏胖．反思与感悟依据问题给出的数据，建立反映数据变化规律的函数模型的探索方法：(1)首先建立直角坐标系，画出散点图；(2)根据散点图设出比较接近的可能的函数模型的解析式；(3)利用待定系数法求出各解析式；(4)对模型拟合程度进行检验，若拟合程度差，重新选择拟合函数，若拟合程度好，符合实际问题，就用这个函数模型解释实际问题．跟踪训练2为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示．(1)(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，可以灌溉土地多少公顷？解(1)利用计算机几何画板软件，描点如图甲．(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝a＋bx.取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，得{21.1＝a＋10.4b，45.8＝a＋24.0b，用计算器可得a≈2.4，b≈1.8.这样，我们得到一个函数模型：y＝2.4＋1.8x.作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪深度与灌溉面积的关系． (3)由y ＝2.4＋1.8×25，求得y ＝47.4，即当积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地47.4公顷． 题型三 对数函数模型的应用例3 1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前． (1)世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？(2)我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？ 以下数据供计算时使用：解 (1)设每年人口平均增长率为x ，n 年前的人口数为y ，则y ·(1＋x )n ＝60，则当n ＝40时，y ＝30，即30(1＋x )40＝60，∴(1＋x )40＝2， 两边取对数，则40lg (1＋x )＝lg 2， 则lg (1＋x )＝lg 240≈0.007 525，∴1＋x ≈1.017，得x ≈1.7%. 故每年人口平均增长率约为1.7%. (2)依题意，y ≤12.48(1＋1%)10， 得lg y ≤lg 12.48＋10×lg 1.01≈1.139 2， ∴y ≤13.78，故人口至多有13.78亿．答 每年人口平均增长率为1.7%,2008年人口至多有13.78亿．反思与感悟 (1)解决应用题的基础是读懂题意，理顺数量关系，关键是正确建模，要注意数学模型中元素的实际意义．(2)对数函数模型的一般表达式为：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，a >0，a ≠1)． 跟踪训练3 燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解 (1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得0＝5log 2Q10.解得Q ＝10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位． (2)将耗氧量Q ＝80代入公式得： v ＝5log 28010＝5log 28＝15 (m/s)，即当一只燕子耗氧量为80个单位时，速度为15 m/s. [呈重点、现规律]1．函数模型的应用实例主要包括三个方面 (1)利用给定的函数模型解决实际问题； (2)建立确定的函数模型解决问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题． 2．函数拟合与预测的一般步骤(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．一、基础过关1．汽车经过启动、加速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )答案 A2．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( ) A ．75,25 B ．75,16 C ．60,25 D ．60,16答案 D解析 由函数解析式可以看出，组装第A 件产品所需时间为cA＝15，故组装第4件产品所需时间为c 4＝30，解得c ＝60，将c ＝60代入cA＝15，得A ＝16. 3．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2011年的湖水量为m ，从2011年起，经过x 年后湖水量y 与x 的函数关系为( ) A ．500.9x y ＝ B ．y ＝(1－500.1x )m C ．y ＝500.9x m D ．y ＝(1－0.150x )m答案 C解析 设某淡水湖的湖水原有量为b ，每年减少a %，所以y ＝b (1－a %)x ，由已知，x ＝50时，y ＝0.9b ，代入解析式，得a %＝1－0.9150.又∵2011年湖水量为m ，所以经过x 年后湖水量为y ＝m (1－a %)x＝m (1－1＋1500.9)x ＝m ·500.9x . 4．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e －kt .已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( )A ．125B ．100C ．75D ．50答案 C解析 由已知，得49a ＝a ·e －50k ，∴e －k ＝1504()9.设经过t 1天后，一个新丸体积变为827a ，则827a ＝a ·e －kt 1，∴827＝(e －k )t 1＝1504()9t，∴t 150＝32，t 1＝75. 5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2010年以80万元的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2020年，这所房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是________． 答案 y ＝80(1＋x )10解析 一年后的价格为y ＝80＋80·x ＝80(1＋x )． 二年后的价格为y ＝80(1＋x )＋80(1＋x )·x ＝80(1＋x )(1＋x )＝80(1＋x )2，由此可推得10年后的价格为y ＝80(1＋x )10.6．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元． 答案 2 500解析 L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120Q 2＋30Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2 500当Q ＝300时，L (Q )的最大值为2 500万元．7．设某企业每月生产电机x 台，根据企业月度报表知，每月总产值m (万元)与总支出n (万元)近似地满足下列关系：m ＝92x －14，n ＝－14x 2＋5x ＋74，当m －n ≥0时，称不亏损企业；当m －n <0时，称亏损企业，且n －m 为亏损额．(1)企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？ (2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？ 解 (1)由已知得，m －n ＝92x －14－(－14x 2＋5x ＋74)＝14x 2－12x －2. 由m －n ≥0，得x 2－2x －8≥0，解得x ≤－2或x ≥4. 据题意，x >0，所以x ≥4.故企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机． (2)若企业亏损最严重，则n －m 取最大值． 因为n －m ＝－14x 2＋5x ＋74－92x ＋14＝－14[(x －1)2－9]＝94－14(x －1)2. 所以当x ＝1时，n －m 取最大值94，此时m ＝92－14＝174.故当月总产值为174万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为94万元．二、能力提升8．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是( ) A ．100(0.9576)x y =B ．y ＝(0.957 6)100xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫0.957 6100x D ．1001(0.0424)x y =-答案 A解析 设镭一年放射掉其质量的t %， 则有95.76%＝1·(1－t %)100，t %＝1－110095.76()100， ∴y ＝(1－t %)x ＝100(0.9576)x .9．某地区植被破坏、土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则下列函数中与沙漠增加数y 万公顷关于年数x 的函数关系较为相似的是( )A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x )C ．y ＝2x 10D ．y ＝0.2＋log 16x答案 C解析 将(1,0.2)，(2,0.4)，(3,0.76)与x ＝1,2,3时，选项A 、B 、C 、D 中得到的y 值做比较，y ＝2x 10的y 值比较接近，故选C.10．如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y (m 2)与时间t (月)的关系y ＝a t ，有以下几种说法：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m 2；③浮萍从4 m 2蔓延到12 m 2需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等．其中正确的命题序号是________．答案 ①②解析 由图象知，t ＝2时，y ＝4，∴a 2＝4，故a ＝2，①正确．当t ＝5时，y ＝25＝32>30，②正确，当y ＝4时，由4＝2t 1知t 1＝2，当y ＝12时，由12＝2t 2知t 2＝log 212＝2＋log 23.t 2－t 1＝log 23≠1.5，故③错误；浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误．11．一片森林原来的面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22， (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则 a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－1101()2.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则 a (1－x )m ＝22a ，即101()2m ＝121()2，m 10＝12， 解得m ＝5，故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年开始，再砍伐n 年，则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， 101()2n ≥321()2，n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．12．根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f (t )与时间t 满足关系f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12t ＋11，0≤t ＜20，－t ＋41，20≤t ≤40(t ∈N )，销售量g (t )与时间t 满足关系g (t )＝－13t ＋433(0≤t ≤40，t ∈N )．求这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值．解 据题意，商品的价格随时间t 变化，且在不同的区间0≤t ＜20与20≤t ≤40上，价格随时间t 的变化的关系式也不同，故应分类讨论．设日销售额为F (t )．①当0≤t ＜20，t ∈N 时，F (t )＝(12t ＋11)(－13t ＋433) ＝－16(t －212)2＋16(4414＋946)， 故当t ＝10或11时，F (t )max ＝176.②当20≤t ≤40，t ∈N 时，F (t )＝(－t ＋41)(－13t ＋433)＝13(t －42)2－13， 故当t ＝20时，F (t )max ＝161.综合①②知当t ＝10或11时，日销售额最大，最大值为176.三、探究与拓展13.据预测，我国在“十二五”期间内某产品关税与市场供应量P 的关系近似地满足：P (x )＝2(1)()2kt x b －－(其中t 为关税的税率，且t ∈⎣⎡⎦⎤0，12，x 为市场价格，b ，k 为正常数)，当t ＝18时的市场供应量曲线如图所示： (1)根据图象求k ，b 的值；(2)若市场需求量为Q ，它近似满足Q (x )＝111-22x .当P ＝Q 时的市场价格称为均衡价格，为使均衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t 的最小值．解 (1)由图可知t ＝18时，有 22(1)(5)8(1)(7)821,22,kb k b ----⎧=⎪⎨⎪=⎩解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6，b ＝5. (2)当P ＝Q 时，得2(1－6t )(x －5)2＝111-22x ，解得t ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22－x 2(x －5)2＝－112⎣⎢⎡⎦⎥⎤17(x －5)2－1x －5－2. 令m ＝1x －5，∵x ≥9. ∴m ∈⎝⎛⎦⎤0，14，在t ＝－112(17m 2－m －2)中，对称轴为直线m ＝134，134∈⎝⎛⎦⎤0，14，且图象开口向下．∴m ＝14时，t 取得最小值19192，此时，x ＝9.。