一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）
1．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等.类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作
“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作a?，读作“a的圈n次方”.
（1）（【初步探究】
直接写出计算结果：2③=________，（- ）⑤=________；
（2）【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
Ⅰ.试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式.
（﹣3）④=________；5⑥=________；(- ) ⑩=________.
Ⅱ.想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________；
Ⅲ.算一算：
122÷(- )④×(-2)⑤－(- )⑥÷33.________
【答案】（1）；-8
（2）；；；；解：
【解析】【解答】解：（1）【初步探究】
，
故答案为：，-8；
（ 2 ）【深入思考】
Ⅰ.
；
；
故答案为：；；；
Ⅱ.
【分析】
（1）①按除方法则进行计算即可；②按除方法则进行计算即可；
（2）①把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果；
②结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为，则a?＝a×(）n?1= ；
③将第二问的规律代入计算，注意运算顺序．
2．阅读下面的材料：
如图1，在数轴上A点衰示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB.线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB﹣b﹣a.
请用上面的知识解答下面的问题：
如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B 点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm.
（1）请你在数轴上表示出A.B.C三点的位置：
（2）点C到点人的距离CA=________cm；若数轴上有一点D，且AD=4，则点D表示的数为________；
（3）若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为________；（用代数式表示）（4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A.C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动.设移动时间为t秒，
试探索：CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由.
【答案】（1）解：如图所示：
（2）5；﹣5或3
（3）﹣1+x
（4）解：CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化，理由如下：
根据题意得：CA=（4+4t）﹣（﹣1+t）=5+3t，AB=（﹣1+t）﹣（﹣3﹣2t）=2+3t，
∴CA﹣AB=（5+3t）﹣（2+3t）=3，
∴CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化
【解析】【解答】（2）CA=4﹣（﹣1）=4+1=5（cm）；
设D表示的数为a，
∵AD=4，
∴|﹣1﹣a|=4，
解得：a=﹣5或3，
∴点D表示的数为﹣5或3；
故答案为5，﹣5或3；
（ 3 ）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为﹣1+x；
故答案为﹣1+x；
【分析】（1）根据题意容易画出图形；（2）由题意容易得出CA的长度；设D表示的数为a，由绝对值的意义容易得出结果；（3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为-1+x；（4）表示出CA和AB，再相减即可得出结论.
3．如图，AB=12cm，点C在线段AB上，AC=3BC，动点P从点A出发，以4cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以4cm/s的速度向左运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以1cm/s的速度向左运动．设它们同时出发，运动时间为t秒，当第二次重合时，P、Q两点停止运动．
（1）AC=________cm，BC=________cm；
（2）当t=________秒时，点P与点Q第一次重合；当t=________秒时，点P与点Q第二次重合；
（3）当t为何值时，AP=PQ？
【答案】（1）9；3
（2）3；
（3）解：在点P和点Q运动过程中，当AP=PQ时，存在以下三种情况：
①点P与点Q第一次重合之前，可得：2×4t=9+t，解得t= ；
②点P与点Q第一次重合后，P、Q由点B向点A运动过程中，
可得：2×[12-（4t-12）]=12-（t-3），解得t= ；
③当点P运动到点A，继续由点A向点B运动，点P与点Q第二次重合之前，
可得：2×（4t-24）=12-（t-3），解得t=7．
故当t为秒、秒或7秒时，AP=PQ．
【解析】【解答】（1）∵AB=12cm，AC=3BC
∴AC= AB=9，BC=12-9=3．
故答案为：9；3．（2）设运动时间为t，则AP=4t，CQ=t，
由题意，点P与点Q第一次重合于点B，
则有4t-t=9，解得t=3；
当点P与点Q第二次重合时有：
4t+t=12+3+24，解得t= ．
故当t=3秒时，点P与点Q第一次重合；当t= 秒时，点P与点Q第二次重合．
故答案为：3；．
【分析】（1）由题目中AB=12cm，点C在线段AB上，AB=3BC，可直接求得；（2）根据运动过程，两点重合时他们走过距离之间的关系列方程即可求得；（3）满足AP=PQ，则2AP=AQ，在整个运动过程中正确的位置存在三处，依次分析列出方程即可求得．
4．对于有理数，定义一种新运算“ ”，观察下列各式：
，，
.
（1）计算： ________， ________.
（2）若，则 ________ (填入“ ”或“ ”).
（3）若有理数，在数轴上的对应点如图所示且，求
的值.
【答案】（1）19；
（2）
（3）解：由数轴可得，
，，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
.
【解析】
【解答】（1），
；
（2）∵，，，
∴
，
或
综上可知，
【分析】（1）根据定义计算即可；
（2）分别根据定义计算a b和b a，判断是否相等；
（3）由定义计算得到|a+b|=5，再根据数轴上点的位置关系判断a+b<0，再计算[（a+b）（a+b）][a+b]
5．[背景知识]数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离AB=|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB=a﹣b；线段AB的中点M表示的数为
．
[问题情境]
已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣10，8，点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
[综合运用]
（1）运动开始前，A、B两点的距离为________；线段AB的中点M所表示的数________．
（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为________；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为________；（用含t的代数式表示）
（3）它们按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？（4）若A，B按上述方式继续运动下去，线段AB的中点M能否与原点重合？若能，求出运动时间，并直接写出中点M的运动方向和运动速度；若不能，请说明理由．（当A，B 两点重合，则中点M也与A，B两点重合）
【答案】（1）18；-1
（2）﹣10+3t；8﹣2t
（3）解：设它们按上述方式运动，A、B两点经过x秒会相遇，根据题意得﹣10+3x=8﹣2x，
解得x= ，
﹣10+3x= ．
答：A、B两点经过秒会相遇，相遇点所表示的数是；
（4）解：由题意得， =0，
解得t=2，
答：经过2秒A，B两点的中点M会与原点重合．M点的运动方向向右，运动速度为每秒
个单位长度．
故答案为18，﹣1；﹣10+3t，8﹣2t．
【解析】【解答】解：（1）运动开始前，A、B两点的距离为8﹣（﹣10）=18；线段AB
的中点M所表示的数为 =﹣1；（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为﹣10+3t；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为8﹣2t；
【分析】（1）根据A，B两点之间的距离AB=|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB=a﹣b及线
段AB的中点M表示的数为即可求解；（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数=运动开始前A点表示的数+点A运动的路程，点B运动t秒后所在位置的点表示的数=运动开始前B点表示的数﹣点B运动的路程；（3）设它们按上述方式运动，A、B两点经过x秒会相遇，等量关系为：点A运动的路程+点B运动的路程=18，依此列出方程，解方程即可；（4）设A，B按上述方式继续运动t秒线段AB的中点M能否与原点重合，根据线段AB的中点表示的数为0列出方程，解方程即可．
6．阅读下列材料：
我们给出如下定义：数轴上给定两点，以及一条线段，若线段的中点在线段上（点可以与点或重合），则称点与点关于线段径向对称.下图为点与点关于线段径向对称的示意图.
解答下列问题：
如图1，在数轴上，点为原点，点表示的数为-1，点表示的数为2.
（1）①点，，分别表示的数为-3，，3，在，，三点中，________与点关于线段径向对称；
②点表示的数为，若点与点关于线段径向对称，则的取值范围是________；（2）在数轴上，点，，表示的数分别是-5，-4，-3，当点以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，线段同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动.设移动的时间为（）秒，问为何值时，线段上至少存在一点与点关于线段
径向对称.
【答案】（1）点C和点D；1≤x≤5
（2）解：移动时间t（t>0）秒时，点H，K，L表示的数分别是-5+t，-4+3t，-3+3t，
此时，线段HK的中点设为R1，表示的数为，
线段HL的中点设为R2，表示的数为，
当线段R1R2，在线段OM上运动时，线段KL上至少存在一点与点H关于线段OM径向对称，
当R2经过点O时，2t-4=0时，t=2,
当R1经过点M时，时，，
所以当时，线段R1 R2在OM上运动，
所以当时，线段KL上至少存在一点与点H关于线段OM径向对称.
【解析】【解答】解：（1）①与点A点关于线段径向对称需要满足：这个点与A点的中点在线段OM上，点B表示的数是-3，与点A表示的-1的中点是-2，不在线段OM上，
所以点B不是；点C表示的数，与点A表示的-1的中点是，在线段OM上，所以点C 是；点D表示的3与点A表示的-1的中点是1，在线段OM上，所以点D是；
综上，答案为点C，点D；②
结合数轴可知当点x与点A的中点落在点O与点M之间时（包括端点O与M）正确，即
，解得，故答案为；
【分析】（1）根据题干中给出的径向对称的定义，进行验证解答即可；（2）根据题干中给出的径向对称的定义，列出点x与点A中点的取值范围，即可求出答案；（3）用含t的代数式分别表示出点H，K，L和线段HK与线段HL的中点列式计算即可.
7．已知数轴上点A、B分别表示的数是、 ,记A、B两点间的距离为AB
（1）若a=6,b=4,则AB=________；若a=-6,b=4,则AB=________；
（2）若A、B两点间的距离记为，试问和、有何数量关系？
（3）写出所有符合条件的整数点P，使它到5和-5的距离之和为10，并求所有这些整数的和.
（4）|x-1|+|x+2|取得的值最小为________，|x-1|-|x+2|取得最大值为________.
【答案】（1）2；10
（2）解：d和a、b之间的数量关系：d=|a-b|
（3）解：∵5-（-5）=5+5=10，
∴点P在5和-5之间
∴符合条件的整数点P表示的数为-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5，
∴这些整数的和=-5-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5=0
（4）3；3
【解析】【解答】解：（1）若a=6,b=4,则AB=6-4=2；
若a=-6,b=4,则AB=4-（-6）=10；
（ 4 ）设|x-1|表示点C到1的距离，|x+2|表示点C到-2的距离，
∵1到-2的距离是1-（-2）=3，
∴当点C在-1到2（含-1和2）之间时，|x-1|+|x+2|取得的值最小，最小值是3；
当点C在2的左边（含2）时，|x-1|-|x+2|取得的值最大，最大值是3.
【分析】（1）根据各数据分别计算即可得解；（2）根据计算结果列出算式即可；（3）求出-5到5的距离正好等于10,可知-5到5之间的所有整数点都可以，然后求解即可；（4）设|x-1|表示点C到1的距离，|x+2|表示点C到-2的距离，则|x-1|+|x+2|表示两个距离的和，|x-1|-|x+2|表示两个距离的差，根据此意义即可求得.
8．已知：是最大的负整数，且、b、c满足（c﹣5）2+| +b|=0，请回答问题.
（1）请直接写出、b、c的值： =________，b=________，c=________.
（2）、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到1之间运动时（即0≤x≤1时），请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x-5|（请写出化简过程）. （3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和8个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】（1）-1；1；5
（2）解：当0≤x≤1时x+1＞0，x﹣1≤0，x-5 0
则|x+1|﹣|x﹣1|+2|x-5|
=x+1﹣(1﹣x）+2(5-x）
=x+1﹣1+x+10-2x
=10
（3）解：BC﹣AB的值不随的变化而改变，总为2
秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，
此时，BC=（）-（）= ，
AB=（）-（）= ，
所以BC-AB=（）-（）=2
∴BC﹣AB的值不随着时间t的变化而改变，总为2.
【解析】【解答】解：（1）∵是最大的负整数，
∴ =﹣1
∵（c﹣5）2+| +b|=0
∴c-5=0;a+b=0
∴b=1；c=5
【分析】（1）根据绝对值和完全平方式的非负性求值即可；（2）由0≤x≤1得出x+1＞0；x﹣1≤0；x-5 0，然后根据绝对值的意义进行化简；（3）分别表示出t秒后，点A,B,C 所表示的数，然后根据两点间的距离求得BC,AB的长度，然后进行计算并化简.
9．阅读材料：求的值.
解：设
将等式两边同时乘以2，得
将下式减去上式，得
即
请你仿照此法计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：根据材料，设M= ①，
∴将等式两边同时乘以3，则3M= ②，
由② ①，得：，
∴；
∴ .
（2）解：根据材料，设N= ③，
∴将等式两边同时乘以5，④，
由④ ③，得：，
∴；
∴ .
【解析】【分析】（1）设M= ，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案；（2）设N=
，将等式两边同时乘以5，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案.
10．已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为6，0，-4，动点P从A出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动．
（1）当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数是________；
（2）另一动点R从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多少时间追上点R？
（3）若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度．【答案】（1）1
（2）解：设点P运动x秒时，在点C处追上点R（如图）
则：AC＝6x BC＝4x AB＝10
∵AC－BC＝AB
∴ 6x－4x＝10
解得，x＝5
∴点P运动5秒时，追上点R
（3）解：线段MN的长度不发生变化，理由如下：
分两种情况：
点P在A、B之间运动时：
MN＝MP＋NP＝AP＋BP＝（AP＋BP）＝AB＝5
点P运动到点B左侧时：
MN＝MP－NP＝AP－BP＝（AP－BP）＝AB＝5
综上所述，线段MN的长度不发生变化，其长度为5.
【解析】【解答】解：（1）∵A，B表示的数分别为6，-4，
∴AB=10，
∵PA=PB，
∴点P表示的数是1，
【分析】（1）由已知条件得到AB=10，由PA=PB，于是得到结论；（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点R，于是得到AC=6x BC=4x，AB=10，根据AC-BC=AB，列方程即可得到结论；（3）线段MN的长度不发生变化，理由如下分两种情况：①当点P在A、B之间运动时②当点P运动到点B左侧时，求得线段MN的长度不发生变化．
11．如图，数轴上点A，B分别对应数a，b.其中a＜0，b＞0.
（1）当a＝﹣2，b＝6时，求a-b=________,线段AB的中点对应的数是________；（直接填结果）
（2）若该数轴上另有一点M对应着数m.
①当a＝﹣4，b＝8,点M在A，B之间，且AM＝3BM时，求m的值.
②当m＝2，b＞2，且AM＝2BM时，求代数式a+2b+20的值.
【答案】（1）-8；2
（2）解：①∵AM＝3BM
②∵AM＝2BM
整理得
【解析】【解答】（1）
，所以线段AB的中点对应的数是2
故答案为-8,2
【分析】（1）直接利用有理数的减法即可求出的值；即为中点对应的
数；（2）①根据AM＝3BM，可得出 ,利用a,b两点可求出AB之间的距离，进而可求AM的长度，则m的值可求.②可根据AM＝2BM之间的关系式，找到a,b之间的一个等式，然后整体代入a+2b+20中即可求值.
12．阅读理解：
若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是（A，B）的好点（点C在线段AB上）．
例如，如图1，点A表示的数为-1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是（A，B）的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是（A，B）的好点，但点D是（B，A）的好点．
知识运用：如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为4．
（1）数________所表示的点是（M，N）的好点；
（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为-20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？
【答案】（1）2
（2）解：设点P表示的数为y，分两种情况：
①P为【A，B】的好点．
由题意，得y﹣（﹣20）=2（40﹣y），
解得y=20，
t=（40﹣20）÷2=10（秒）；
②P为【B，A】的好点．
由题意，得40﹣y=2[y﹣（﹣20）]，
解得y=0，
t=（40﹣0）÷2=20（秒）；
综上可知，当t为10秒或20秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点
【解析】【解答】（1）设所求数为x，由题意得
x﹣（﹣2）=2（4﹣x），
解得x=2
【分析】（1）设所求数为x，根据好点的定义列出方程x-（-2）=2（4-x），解方程即可（2）根据好点的定义可知分两种情况：①P为【A，B】的好点；②P为【B，A】的好点．设点P表示的数为y，根据好点的定义列出方程，解得t值即可．