苏教版 七年级数学《有理数》
正数和负数
负数：以前学过的0以外的数前面加上负号“－”的数叫做负数。 正数：以前学过的０以外的数叫做正数。
０既不是正数也不是负数，０是正数与负数的分界。 在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义 注：-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数； 有理数：
凡能写成
)0,(≠p q p p
q
为整数且形式的数，都是有理数。 (1)正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.
(2)有理数的分类:① ???
?
?????
????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零
正整数
整数有理数 注意：
1) 0不是正数，也不是负数；
2) π不是有理数；无限不循环小数不是有理数。无限循环小数是有理数； 3) 小数也归为分数。
4) 自然数? 0和正整数；
5) a ＞0 ? a 是正数；a ＜0 ? a 是负数； 6) a ≥0 ? a 是正数或0 ? a 是非负数； 7) a ≤ 0 ? a 是负数或0 ? a 是非正数.
数轴：
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。
注意事项：⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。
⑵同一根数轴，单位长度不能改变。
一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示数－a 的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度。 相反数：
只有符号不同的两个数叫做相反数。
注意：(1)一般地，a 和-a 互为相反数，特别地，0的相反数还是0；
(2) a-b+c 的相反数是-a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ； (3)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数.
一般地，设a 是一个正数，数轴上与原点的距离是a 的点有两个，它们分别在原点左右，表示-a 和a ，我们说这两点关于原点对称 绝对值：
一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值。
（1）一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 注：绝对值的意义是数轴上表示某数的点到原点的距离。
(2) 绝对值可表示为：???
??<-=>=)
0()0(0)
0(a a a a a a 或??
?<-≥=)0()0(a a a a a ；
（3）绝对值的问题经常分类讨论；
01>?=a a
a ；
a 1a
a
(4) |a|是重要的非负数，即|a|≥0；注意：|a|·|b|=|a ·b|,
b
a
b
a =
. (5）有理数比大小：
①正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数和0。 ②两个负数，绝对值大的反而小。
③正数的绝对值越大，这个数越大； ④大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0；
⑤在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，所以左边的数永远小于右边的数。即数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大
补充：
倒数：乘积为1的两个数互为倒数； 注（1）0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是
a
1； （2）倒数是本身的数是±1；
（3）若ab=1? a 、b 互为倒数；若ab=-1? a 、b 互为负倒数.
有理数加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的饿异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用 较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 （3）一个数与0相加，仍得这个数.
有理数加法的运算律：
（1）加法的交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。a+b=b+a
（2）加法的结合律：三个数相加，先把前面两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
（a+b ）+c=a+（b+c ）.
补充：去括号法则：
（1）括号前是“＋”，把括号和括号前的“＋”去掉，括号里各项都不改 变符号。 （2）括号前是“－”，把括号和括号前的“－”去掉，括号里各项都改变
符号。
（3）括号外的因数是正数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相同；
括号外的因数是负数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。 有理数减法法则：（有理数的减法可以转化为加法来进行） 减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.
有理数乘法法则：
（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零；
（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，
积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。 （4）乘积是1的两个数互为倒数。 有理数乘法的运算律：
（1）乘法的交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。ab ＝ba
（2）乘法的结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
（ab ）c ＝a （bc ）
（3）乘法的分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相
加。 a （b ＋c ）＝ab ＋ac 有理数除法法则：
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。a ÷b ＝a ·
b
1
(b ≠0) 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。 因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算。乘除混合运算往往 先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
注：零不能做除数，无意义即0
a
.
有理数乘方的法则：
求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在a n 中，a 叫做底数，叫做指数，当a n 看作a 的n 次方的结果时，也可以读作a 的n 次幂。 （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。 （3）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；
注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或
(a-b)n =(b-a)n .
有理数混合运算的运算顺序： ⑴先乘方，再乘除，最后加减； ⑵同极运算，从左到右进行；
⑶如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 （4）a 2是重要的非负数，即a 2≥0；若a 2+|b|=0 ? a=0,b=0；
（5）据规律 ????
????
???????????===100101101.01.022
2底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位.
科学记数法：
把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学
记数法.
注：用科学记数法表示一个n 位整数，其中10的指数是n －1。 近似数和有效数字
接近实际数目，但与实际数目还有差别的数叫做近似数。 精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位。
从一个数的左边第一个非0 数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。 对于用科学记数法表示的数a ×10n ，规定它的有效数字就是a 中的有效数字。 补充：（1）混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减； 注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.
（2）特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.
知识点1.负数代表相反意义的量
例：（1）下列有正数和负数表示相反意义的量，其中正确的是（ ） A. 一天凌晨的气温是—50C ，中午比凌晨上升100C ，所以中午的气温是+100C B. 如果生产成本增加12%，记作+12%，那么—12%表示生产成本降低12% C. 如果+米表示比海平面高米，那么—6米表示比海平面低—6米
D. 如果收入增加10元记作+10元，那么—8表示支出减少8元
（2）某粮店出售三种品牌的面粉，袋上分别标有质量为（50±）kg 、（50±）kg 、（50±）kg 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相 差 . 知识点2.有理数的定义
例：把下列各数填在相应的大括号内
-7，，1
2，
,0，3
π
，+29,…,，… 非负数集合{ }； 整数集合{ }； 负分数集合{ }； 有理数集合{ }。 知识点3.数轴与相反数
1.（1）数轴上到-2点的距离是3的点是
（2）在数轴上表示数a 的点到原点的距离为3，则._________3=-a 的相反数是 ，3-π的相反数是 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，a+b -cd=
4.比较大小45-
8
9- 5.（1） 有理数a 对应点在数轴上的位置如下图所示，则a ，-a ，1的大小关系是
。
（2）有理数a 、b 在数轴上的对应的位置如图所示： 则（ ）
A ．a + b ＜0
B ．a + b ＞0;
C ．a －b = 0
D ．a －b ＞
0 0
-1
1
a
b
知识点4.绝对值
1.若∣a ∣=-a ，则a ，若∣a ∣=a ，则a
若a 为有理数，且
1,a b c a b c ++==1，则a 0，若a ∠0，则1,a b c a b c
++== 2. ∣3-π∣=
若用A 、B 、C 分别表示有理数a ，b ，c ，O 为原点，如下图所示：
化简
= 。
3.绝对值为2的数是 ，绝对值小于6的所有整数是
4.若∣x ∣=3，∣-y ∣=3，则x+y=
5.若∣a ∣=3,∣b ∣=5, 且ab>0，则∣a+b ∣=
若|X|=2，则X=______,若|X —3|=0，则X=______，|X —3|=6，则X=______ 若∣a ∣=∣b ∣，则a 与b ，即 。 6. ∣a+2∣+∣b-3∣=0，a+b= 知识点5.加减运算
1.加减混合运算：先去括号，再把同号的相加，最后异号两数相加
例：38+（－22）+（+62）+（－78） （－8）+（－10）+2+（－1）
+（－41
）－（－）+21 （+）－（－4）+（－）－（+4）
知识点6：有理数乘除运算法则
乘法运算法则
a ：只要有一个因数为0，则积为0。
b
：几个不为零的数相乘，积的符号由负数的个数决定，当负数的个数为奇数，则积为负，当负数的个||||||2a c b c b a c ---+++
数为偶数，则积为正。
例1、计算：（1）
()()
3275
-?-?-?
（2）
541
1511
654
????
?-??-
? ?
????
除法是乘法的逆运算
1、有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
任何数与零相乘都得零。
2、有理数除法法则(1)：除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数；
0除以任何一个不等于0的数都等于0 有理数除法法则（2）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
例3、 (1)(-1155)÷[(-11)×(+3)×(-5)]; (2)375÷
23
32????-÷-
? ?????
;
(3)
12
13(5)6(5)
33
????
-÷-+-÷-
? ?
????
. （4）
11
13
82
????
-÷--÷-
? ?
????
;
知识点7：有理数的乘方
1．有理数乘方运算法则：
当a＞0时，a n＞0(n是正整数)；当a<0时，
0(n)
0()
n
n
a
a n
??
?
??
＞是偶数
＜是奇数
；
当a=0时，a n=0(n是正整数)
例题一计算：（1
3
-
1
5
）×52÷|-
1
3
|+（-
1
5
）0+（）2003×42003
知识点8：有理数混合运算
1. 32
2
)43(6)12(7311-???????÷-+-- 2. |97|-÷2)4(31)5132(-?--
3. 3323
200213471113()[0.25()](5 1.254)[(0.45)(2
)](1)81634242001-?+----÷++-
4.有理数混合运算提高
题一 （1）若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++-
（2）若0x ，化简
|||2|
|3|||
x x x x ---
题二：设0a ，且||
a
x a ≤
，试化简|1||2|x x +--