第十一讲 数论之同余（选讲）
一、 余数定理：若A x ÷余a ，B x ÷余b ，则有
① ()A B x ?÷的余数=()a b x ?÷的余数；
② 当,A B a b >>时，()A B x ±÷的余数=()a b x ±÷的余数；
③ 当,A B a b ><时，()A B x -÷的余数=()x a b x +-÷的余数；
④ ()()A B a b x +-+÷????的余数为0；
⑤ 若a 、b 相等，则()A B x -÷的余数为0
【例 1】 一个两位奇数除1477，余数是49，那么，这个两位奇数是多少？
【巩固】 2024除以一个两位数，余数是22．求出符合条件的所有的两位数．
【例 2】 求4373091993??被7除的余数．
【巩固】 一个数被7除，余数是3，该数的3倍被7除，余数是多少？
【例 3】 20032与22003的和除以7的余数是多少？
【巩固】 2008222008+除以7的余数是多少？
【例 4】 19977
77777???个除以41的余数是多少？
【巩固】 已知20082008
200820082008a =个，问：a 除以13所得的余数是多少？
【例 5】
若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同
且为两位数，除数和余数的和是多少？
【巩固】 有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整
数是多少？
【例 6】 六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华
书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3
人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词
典》的定价是多少元？
【巩固】 商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中
的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量
是多少千克？
【例7】著名的斐波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2013个数除以3所得的余数为多少？
【巩固】有一列数：1，3，9，25，69，189，517，…其中第一个数是1，第二个数是3，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加上1，那么这列数中的第2013个数除以6，得到的余数是．
【例8】5年级3班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6排多5人，问上体育课的同学最少有多少人？
【巩固】有一个自然数，除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，则这个数最小是多少？
【例9】将七位数“1357924”重复写287次组成一个2009位数“13579241357924…”。
删去这个数中所有位于奇数位上的数字；按上述方法一直删除下去直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是多少？
【巩固】30粒珠子依8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色…的次序串成一圈，一只蚂蚱从第2粒黑珠子起跳，每次跳过6粒珠子落在下一粒珠子上，这只蚂蚱至少要跳次才能落到黑珠子上？
【例10】有5000多根牙签,可按6种规格分成小包.如果10根一包,那么最后还剩9根.如果9根一包,那么最后还剩8根.第三、四、五、六种的规格是,分别以8,7,6,5根为一包,那么最后也分别剩7,6,5,4根.原来一共有牙签多少根?
【巩固】五只猴子找到一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意去睡觉，明天再说。夜里，一只猴子偷偷起来，吃掉一只桃子，剩下的桃子正好平分五等份，它拿走自己的一份，然后去睡觉；第二只猴子起来，也吃掉一只桃子，剩下的桃子也正好分成五等份，它也拿走了自己的一份，然后去睡觉。第三、四、五只猴子也都这样做。问：最初至少有多少个桃子？
课后作业
1.一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是多少？
2.三个数：23，51，72，各除以大于1的同一个自然数，得到同一个余数，则这个
除数是多少？
3.有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍。且这个三位数除以5余4，
除以11余3。这个三位数是多少？
4.一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，
5. 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是1
6.被除数、除数、商、余数的和是933，
求这2个自然数各是多少
6. 用某自然数a 去除1992，得到商是46，余数是r ，求a 和r ．
7. 号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?
8. 将13579111315171921......依次写到第2013个数字，组成一个2013位数，那么此数除以9的余数是多少？
9. 小朋友们做游戏，若3人分成一组，则最后余下2人；若4人分成一组，则最后余下3人；若5人分成一组，则最后余下4人。那么一起做游戏的小朋友至少有多少人？
10. 求
2007200720072007 (2007)
个除以9、99、999、的余数分别是多少?