对数及其运算（2）
编制人：李同顺 赵迎春 邹波 审核人： 领导签字： 【使
1、课前预习课本P 98- P 101，并完成预习学案的问题导学及例题；
2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探讨，答疑解惑。
【重点难点】重点：对数运算法则的理解和运用；难点：积、商、幂对数的证明以及换底公式的推导
一、学习目标
1.准确理解对数的运算性质以及换底公式，提高对数运算能力；
2.通过自主学习、合作探究，掌握对数运算的规律和方法；
3.以极度的热情投入到课堂学习中去，体会数学由特殊到一般的思想。 二、问题导学：
思考1：已知53log ,,5log ,3log 222?==表示化，用根据指数式、对数式互q p q p .
思考
2：已知l o g ,l o g a a
M
p N q ==你能仿照上例用p,q 表示l o g l o g l o g a
a a
M
M N M N
α
（），，吗？
1. 通过以上思考总结出对数运算法则：
【实战体验】：计算
：l = ；lg 2lg 5+= ；
()3
5
2l g 42
o ?= ；
思考3：若M=N>0,则成立吗？且)1a 0(log
log ≠>=a N M a
a
思考4：的值？怎样求若5log ,6990.05lg ,4771.03lg 3== 提示：设x =5log 3，根据指、对数式互化
2.根据思考4的求解过程，证明：a
b b c
c a
log
log log =
。
【实战体验】：1.27log 81= ；2.log log a b b a ?= ；
3.自然对数概念：__________________________ 其中e ≈2.71828…
用常用对数表示：N ln =
【实战体验】：2ln e = ；ln e e = ；拓展：=N e ln ___________ 三、合作探究 例1.求下列的值 （1）551log 3log 3
+ （2
）2log ?
?
?
（3）2(lg 5)lg 50lg 2+?
（4）()()()495log 3log 25log 8
小结：
例2.求证：（1）z z y x
y
x
log
log
log
=?
（2）求证：b b a
n
a
n
log
log
=
【拓展】：（1）求证：b n
m b
a
m
a
n
log
log =
（2）计算：（1）32
1
log 4
，（2）3log
27
1
小结：
四、深化提高
1.用log ,log ,log a a a x y z 表示下列各式 （1）log a
xy z
=
（2）()35log a x y = （3
）log a
yz （4
）log a
2.（1）已知8.07lg ,
3.02lg ==，求35lg
（2）已知99log 5,log 7a b ==，求35log 9
3.计算下列各题： （1）300700lg lg
lg 1007
3
++
（2）77
22log log 35
5
-
（*）（3
）419
log 8log 34--
（*）（4）24
52511log 5log log 2log 52?
???
++ ? ?????
（**）（5）12log 1
2-+=
（**）5.已知b a ==4log ,3log 5
5，求证)(2
112log
25
b a +=
注：*号B 层做，**号A 层做
五、小结（1）知识与方法方面 （2）数学思想及方法方面
创一教育学科教师辅导讲义
1．若2x ＝16，(13 )x ＝9，x 的值分别为多少？ 【提示】 4，－2 2．若2x ＝3，(13 )x ＝2，你现在还能求得x 吗？ 【提示】 不能． 1．对数 一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．常用对数 通常以10为底的对数称为常用对数，为了方便起见，对数log 10N ，简记为lg N . 3．自然对数 以e 为底的对数称为自然对数．其中e ＝2.718 28…是一个无理数，正数N 的自然对数log e N 一般简记为ln N . 一、指数式与对数式的互化 例1、 (1)将下列指数式化为对数式： ①3－3＝127；②843＝16；③5a ＝15. (2)将下列对数式化为指数式： ①log 3243＝5；②log 13127＝3；③lg 0.1＝－1. 【思路探究】 根据对数的定义a b ＝N (a >0，且a ≠1)?log a N ＝b (a >0且a ≠1)进行互化，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置． 【自主解答】 (1)①由3－3＝127，得log 3127＝－3. ②由843＝16，得log 816＝43. ③由5a ＝15得，log 515＝a . (2)①由log 3243＝5得35＝243. ②由log 13127＝3得(13)3＝127. ③由lg 0.1＝－1得10－1＝0.1.
1．并非所有指数式都可以直接化为对数式，如(－3)2＝9就不能直接写成log (－3)9＝2，只有a >0，a ≠1，N >0时，才有a x ＝N ?x ＝log a N . 2．对数式log a N ＝b 是由指数式a b ＝N 变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N 就是指数式中的幂的值，而对数值b 是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图： 下列指数式与对数式互化正确的一组是________． ①(－2)2＝4与log (－2)4＝2； ②8－13＝12与log 812＝－3； ③lg 5＝0.7与e 0.7＝5； ④log 77＝1与71＝7. 【解析】 ①错误，因为log (－2)4没有意义，在转化时应先化简再互化；②错误，将8－13＝12化成 对数式为log 812＝－13；③错误，将lg 5＝0.7化成指数式为100.7＝5；④正确．【答案】 ④ 二、求对数的值 计算下列各式的值： (1)lg 0.001；(2)log 48；(3)ln e. 【思路探究】 对数式化为指数式→化为同底的幂→列方程→结论 【自主解答】 (1)设lg 0.001＝x ，则10x ＝0.001，即10x ＝10－3 解得x ＝－3，所以lg 0.001＝－3. (2)设log 48＝x 则4x ＝8，即22x ＝23， 解得x ＝32，所以log 48＝32. (3)设ln e ＝x ，则e x ＝e ，即e x ＝e 12， 解得x ＝12，所以ln e ＝12 . 1．对数式的求值问题，一般是转化成指数式，解指数方程． 2．在b ＝log a N 中有三个量a ，b ，N ，知二求一的关键是实现对数式与指数式的互化． 求下列各式的值．
对数与对数运算（二） 自主学案 学习目标 1、 掌握对数的运算性质及其推导。 2、 能运用对数运算性质进行化简、求值和证明。 自学导引 1、 对数的运算性质：如果0,0,1,0>>≠>N M a a ，那么 （1）()=MN a log _________________； （2）=N M a log ____________________； （3）=n a M log ____________________()R n ∈. 2、对数换底公式：___________________________________________。 对点讲练 知识点一 正确理解对数运算性质 例1 若y x y x a a >>>≠>,0,0,1,0，下列式子中正确的个数有（ ） ①()y x y x a a a +=?log log log ②()y x y x a a a -=-log log log ③y x y x a a a log log log ÷= ④()y x xy a a a log log log ?= A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 规律方法 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式是公式成立的条件。 变式迁移1 （1）若*,0,1,0N n x a a ∈>≠>，则下列各式正确的是（ ） A ．x x a a 1log log -= B ．()x n x a n a log log = C ．()n a n a x x log log = D ．x x a a 1log log = （2）对于0>a 且1≠a ，下列说法正确的是（ ） ①若N M =，则N M a a log log = ②若N M N M a a ==则,log log ③若N M N M a a ==则,log log 22 ④若22log log .N M N M a a ==则 A ．①③ B ．②④ C ．② D ．①②③④ 知识点二 对数运算性质的应用 例2 计算： （1）8.1log 7log 37log 235log 555 5-+- （2）()()12lg 2lg 5lg 2lg 2lg 222+-+?+
张喜林制 3.2.1 对数及其运算 教材知识检索 考点知识清单 1．对数的概念 (1) -般地，如果),10(=/>=a a N a x 且那么 的对数，记作 ，其中a 叫做 ，N 叫 做 (2)由对数的定义可知：=y a a log (3)对数N a log （a>0且a ≠1）的性质：①零和负数 ，即N .=1log a ② . =a a log ③ . (4)特殊对数：以10为底的对数叫做____ ，记作 ，以e 为底的对数叫做 ，记作____． 2．对数的运算性质 如果a>0且,0,0,1>>=/N M a 则有： =?)(log )1(N M a =N M a log )2( =n a M log )3( 3．对数的换底公式 =N b log =m a b n log ; =/=/>>b a b a ,1,0,0()0,1=/n 要点核心解读 1．理解对数的概念，掌握指数式与对数式的互化 理解对数的概念要把握以下几点： (1)当a>0且1=/a 时，,0>b α这时指数式N a b =才可以写成对数式.log N b a =因此，对数的底数 要大于零且不等于l ，真数要大于零，即使N n log 有意义的条件是底数a >0且,1=/a 真数N>o ．
(2)对数N a log 的意义是底数为a ，幂为N 的幂指数，因此，求N a log 的值即为已知底数a 和幂N 求指数的问题． (3)指数式N a b =和对数式a b log =N 之间等价，即?=N a b .log N b a =这既是指数式和对数式之间互化的依据，也是指数问题转化为对数问题和对数问题转化为指数问题的出发点． 对数恒等式)0,1,0(>=/>=N a a N a N kg a 是由对数的概念直接得到的，但在应用时容易出现错误，要注意当幂的底数和对数的底数相同时才可以运用对数恒等式，同学们在应用时就往往不注意这一点，出现如,,5255log =这类错误． 2．掌握对数的运算性质及其应用 对数的运算性质有三方面，在前面我们已经给出，它是我们对一个对数式进行运算、变形的主要依据．要掌握它们需注意如下几点：第一，要会推导，要求每一条运算性质都要会证明，通过推导加深对对数概念的理解和对数运算性质的理解，掌握对数运算性质中三个公式的特征，以防止乱造公式，例如：式子=±)(log N M a ,log log log ,log log )(log ,log log N M N M N M N M N M a a a a a a a a =?=?± n a n a M M )(log log =都是错误的；第二，要注意对数运算性质成立的条件，也就是要把握各个字母的取值范围：,0,1,0>=/>M a a .0>N 例如，)]3)(2[(log 2--是存在的，但)2(log 2-和)3(log 2-却都不存在，因此不能得出=-?-)]3()2[(log 2),3(log )2(log 22-+-再如，2)10lg(-是存在的，但是)10lg(-却没有意义，因此不能得出);10lg(2)10lg(2-=-第三，由于对数的运算性质是三个公式，因此在应用时我们不仅要掌握公式的“正用”，还要掌握公式的“逆用”． 3．注意几个恒等式及其应用 恒等式：,log N a N a =换底公式,log log log b N N a a b =及=n a b m log ?=a b b m n b a a log 1log ,log 这几个公式在解题过程中应注意灵活运用． 典例分类剖析 考点1对数的基本运算 [例1](1)求下列各式中的x ． ;2327log =x ① ;32log 2-=x ② ;2)223(log -=+x ③ .16log 2 1=x ④ (2)求下列各式的值．
姓名_______ § 对数与对数运算 一、课前准备 1,。对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =l o g （a 是底数，N 是真数，lo g a N 是对数式。） 由于N a b =>0故lo g a N 中N 必须大于0。 2.对数的运算性质及换底公式. 如果 a > 0，a 1，b>0,M > 0， N > 0 ，则:（1）log ()a MN = ； （2）n m m n b a = log （3）log a M N = ；（4） log n a M = . （5） b a b a =log 换底公式log a b = . （6） b a b a =log （7）b a b a n n log 1log = 考点一： 对数定义的应用 】 例1：求下列各式中的x 的值； （1）23log 27=x ； （2）32log 2-=x ； （3）91 27log =x （4）162 1log =x 例2：求下列各式中x 的取值范围； （1）)10(2 log -x （2）22) x ) 1(log +-（x （3）2 1)-x ) 1(log （+x 例3：将下列对数式化为指数式（或把指数式化为对数式） （1）3log 3 =x （2）6log 64 -=x （3）9 132-= （4）1641=x ）（ | 考点二 对数的运算性质 1.定义在R 上的函数f(x ）满足f(x)=???>---≤-) 0(),2()1(log ) 0(),4(2x x f x f x x ，则f(3)的值为__________ 2.计算下列各式的值： （1）245lg 8lg 3 4 4932lg 21+- （2） 8.1lg 10lg 3lg 2lg -+ 3.已知)lg(y x ++)32lg(y x +-lg3=lg4+lgx+lgy,求x:y 的值 · 4.计算： （1）)log log log 5 825 41252++（)log log log 8 1254 252 5++（ （2） 3 4 7 3 1 59725log log log log ??+) 5353( 2log --+ （3）求0.32 52log ?? 的值 （4）：已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b ，用 a ，b 表示42log 56. 随堂练习：
4.1对数及其运算(教案) 江西省石城中学伊达东 一. 教学目标 1. 知识与技能 (1)理解对数的概念； (2)能熟练的进行对数式与指数式的互化： (3)能利用科学计算器进行数值分析，掌握对数的运算性质. 2. 过程与方法 经历由指数得到对数的过程，并引出对数运算性质的研究，在这个过程中进行猜想，得出规律，再进行证明. 3. 情感态度价值观 确立和增强成就意识且有正确的成就动机 二. 教学重点与难点 1. 重点：对数的概念，对数的运算性质及简单运用. 2. 难点: (1) 对数符号的理解；(2) 正确使用对数运算性质. 三. 学法与教法 1. 学法：探究交流、讲练结合. 2. 教法：讲授法、讨论法. 四. 教材分析 1. 教材以国民经济生产总值增长的实际问题引入，1.0822 x ,这是已知底数和幂的值，求指数的问题，因而要引入一种新的运算，即对数，从而引出本节的对数问题. 2. 对数的运算性质是本小节的重点之一，教材中“对数运算性质”的处理，是通过引导学生用科学计算器分析教材中给出的一系列数据中的等量关系，总结猜想出规律，再进行证明，并把在学习过程中，由于对公式辨认不清而常发生的错误，作为思考题让学生交流，这样处理，是为了让学生经历数学发现的过程. 五. 教学过程 (一) 创设情景 通过图片(从赣一中走出的快乐女生5强选手杨洋荣归母校，感恩母校)引出： 杨洋是一位非常受欢迎的歌手，她以柔美的声音和高贵的气质得到无数观众的肯定，在60强时的网上支持者就高达80000人，并以平均每日15%的速度递增. 问： (1) 10天后支持者为多少？ (2) 多少天后杨洋的支持者将变为60强时的10倍？ 得到： x 1.15=10如何求X？ 象上面的式子，已知底数和幂的值，求指数的问题，现实生活中许多问题都需要求指数：如国民经济增长、放射性物质的衰变等等，因而要引入一种新的运算，这就是我们这节课要学习的内容：对数及其运算. 设计意图：(1) 引用学生身边的例子，使学生更有兴趣； (2) 让学生体会对数形成的过程； (3) 德育教育——励志感恩. (二) 新课探析 1. 对数的概念
教材分析 1地位与作用：对数与对数运算是人教A 版，必修1第2.2.1节的内容，本节课是第一课时，主讲对数的性质。本节课是在学生学习了指数函数及其性质之后学习的，其主要内容是对数概念及指对数互化、对数运算等内容。本节学习内容蕴含转化化归数学思想，类比与对比等基本数学方法。对数与指数的互化是对指数函数及其性质的巩固，也是后面学习对数函数的基础。 2学情分析：学生在初中就已学习指数运算，在§2.1学习了指数函数的主要性质，对指数相关知识已很清晰；另外，学习函数时就已了解了反函数意义，对学习本课已具备条件。 3教学重难点 重点：对数概念的理解，对数基本运算性质的运用。 难点：灵活运用对数与指数的互化并用对数性质求值。 教学目标（根据我的教学内容与学情分析以及教学重难点，我制定了如下几点教学目标） 知识目标：理解对数与指数的关系，能进行指对数互化并可利用对数的简单性质求值。 能力目标：学生的对比分析、合情推理能力得到加强，体验转化化归思想。 情感目标：通过问题转化过程的引导培养学生敢于质疑、勇于开拓的创新精神。 教学法分析 教法：本节课采用启发式以及 “特殊到一般”的教学法。 学法：主要是小组讨论，师生互动。 教学过程 （一）复习引入 问题1：上节课学习了函数式：f(x)=3＋2*3x －9x ，这是什 么函数？（指数与二次函数的复合） 问题2：函数与方程、不等式的关系怎样？上节课用换元 方法求得了不等式3＋2*3x －9x >0的中间解：0＜ 3x <3+23，该如何进行下去？----为了解决这个问题，需 要引入新的知识：对数。 首先回顾这么几个方程： 2x =4=22，则x=2 2x =16=24，则x=4 问题3：2x =3的x 值呢？ 我们可以通过数形结合方法来判定范围，如图所示；也可能利用指数函数的单调性来判定，即2＜2x =3＜4=22，从而有1＜x ＜2。 （二）对数定义及基本性质 1．定义：若a x =N ，则称x 是以a 为底N 的对数。 记作：x=log a N 值 底 真数 2．从定义出发，结合指数函数图像，分析底、真数、值的要求 ①底a ：0＜a 且a ≠1 ②真数N ：N ＞0 即负数和零没有对数 ③log a 1=0 ④值：可以是全体实数 42 -2-4 -6 -852x 1
对数及其运算（2） 编制人：李同顺 赵迎春 邹波 审核人： 领导签字： 【使 1、课前预习课本P 98- P 101，并完成预习学案的问题导学及例题； 2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探讨，答疑解惑。 【重点难点】重点：对数运算法则的理解和运用；难点：积、商、幂对数的证明以及换底公式的推导 一、学习目标 1.准确理解对数的运算性质以及换底公式，提高对数运算能力； 2.通过自主学习、合作探究，掌握对数运算的规律和方法； 3.以极度的热情投入到课堂学习中去，体会数学由特殊到一般的思想。 二、问题导学： 思考1：已知53log ,,5log ,3log 222?==表示化，用根据指数式、对数式互q p q p . 思考 2：已知l o g ,l o g a a M p N q ==你能仿照上例用p,q 表示l o g l o g l o g a a a M M N M N α （），，吗？ 1. 通过以上思考总结出对数运算法则： 【实战体验】：计算 ：l = ；lg 2lg 5+= ； ()3 5 2l g 42 o ?= ； 思考3：若M=N>0,则成立吗？且)1a 0(log log ≠>=a N M a a 思考4：的值？怎样求若5log ,6990.05lg ,4771.03lg 3== 提示：设x =5log 3，根据指、对数式互化 2.根据思考4的求解过程，证明：a b b c c a log log log = 。 【实战体验】：1.27log 81= ；2.log log a b b a ?= ； 3.自然对数概念：__________________________ 其中e ≈2.71828… 用常用对数表示：N ln = 【实战体验】：2ln e = ；ln e e = ；拓展：=N e ln ___________ 三、合作探究 例1.求下列的值 （1）551log 3log 3 + （2 ）2log ? ? ? （3）2(lg 5)lg 50lg 2+? （4）()()()495log 3log 25log 8 小结： 例2.求证：（1）z z y x y x log log log =? （2）求证：b b a n a n log log =
姓名： 组别： 班别： 得分： 第1页 高 一 数学 《2.2.1-2对数的运算》导学案 编写：熊柳芝 审核：马庆高 唐晖 编号:005 [目标展示] 1、掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算； 2、了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数。 [重点难点] 重点： 1、利用对数的运算性质进行对数运算； 难点： 1、对数的运算性质的证明； 2、利用换底公式解题。 [课前预习] 1、复习指数式与对数式的互化 如果)10(≠>=a a N a x 且，那么=x 2、指数的运算性质 （1）=?n m a a （2）=÷n m a a （3）=n m a )( 3、对数的运算性质 如果10≠>a a ，，M>0，N>0，那么 （1）=?)(log N M a （2）=)(log N M a （3）=n a M log 4、换底公式 ______________________（1010≠>≠>c c a a ，且；，且） [达成目标] 1、用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式： （1）z xy a log ； （2）32log z y x a 2、求下列各式的值： （1）)24(log 572?； （2）5100lg ； 3、求下列各式的值： （1）8.1log 3 7 log 2-35log 555+； （2）42log 2 1 12log 487log 222 -+； （3）22)2(lg 20lg 5lg 8lg 3 2 5lg +?++ 4、利用对数的换底公式化简下列各式： （1）a c c a log log ?； （2）2log 5log 4log 3log 5432???； （3）（3l o g 3l o g 8 4 +）（2l o g 2l o g 9 3 +）. [我的疑问] 请将预习过程中未能解决的问题写在下面，准备课堂上与老师和同学们进行讨论交流解决。
高中数学对数与对数运算（二） 课 型：新授课 教学目标： 把握对数的运算性质，并能明白得推导这些法那么的依据和过程；能较熟练地运用法那么解决咨询题. 教学重点：运用对数运算性质解决咨询题 教学难点：对数运算性质的证明方法 教学过程： 一、复习预备： 1． 提咨询：对数是如何定义的？ → 指数式与对数式的互化：x a N =?log a x N = 2． 提咨询：指数幂的运算性质？ 二、讲授新课： 1. 教学对数运算性质及推导： ① 引例： 由p q p q a a a +=，如何探讨log a MN 和log a M 、log a N 之间的关系？ 设log a M p =, log a N q =，由对数的定义可得：M =p a ，N =a ∴MN =p a q a =q p a + ∴a log MN =p +q ，即得a log MN =a log M + a log N ② 探讨：依照上面的证明，能否得出以下式子？ 假如 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，那么 a a a log (MN)=log M +log N ; a a a M log =log M -log N N ； ()n a a log M =nlog M n R ∈ ① 讨论：自然语言如何表达三条性质？ 性质的证明思路？〔运用转化思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再依照对数定义将指数式化成对数式〕 ④ 运用换底公式推导以下结论：log log m n a a n b b m =；1log log a b b a = 1. 教学例题： 例1. 判定以下式子是否正确，〔a ＞0且a ≠1，x ＞0且a ≠1，x ＞0，x ＞y 〕， 〔1〕log log log ()a a a x y x y ?=+ 〔2〕log log log ()a a a x y x y -=- 〔3〕log log log a a a x x y y =÷ 〔4〕log log log a a a xy x y =- 〔5〕(log )log n a a x n x = 〔6〕1log log a a x x =- 〔71log a x n =
3.2.1 对数及其运算(二) 【学习要求】 1.加深对数的概念; 2.了解对数运算性质的推导过程,掌握对数的运算性质、换底公式; 3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值. 【学法指导】 通过对数运算性质的推导及对数式的运算、求值、化简,培养分析问题、解决问题的能力及数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.对数运算法则:log a (MN)＝ log a M ＋ log a N ,log a M N ＝ log a M － log a N , log a M n ＝ nlog a M . 2.log b N ＝log a N log a b 叫做换底公式,log a m b n ＝n m log a b,log a b ＝1log b a (或 log a b·log b a ＝1 ). 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境]我们已经知道,实数有加、减、乘、除、乘方、开方运算,集合有交、并、补运算,指数也有三种运算,那么,对数有怎样的运算？ 探究点一 积、商、幂的对数 问题1 指数的运算法则有哪些？ 答：a m ·a n ＝a m ＋n ;a m ÷a n ＝a m －n ;(a m )n ＝a mn ;m a n ＝a n m . 问题2 你能写出指数式与对数式的互化公式吗？ 答：指数式与对数式的互化公式为:a b ＝N ?log a N ＝b. 问题3 根据对数的定义及对数与指数的关系你能解答下列问题吗？ (1)设log a 2＝m,log a 3＝n,求a m ＋n ; (2)设log a M ＝m,log a N ＝n,试利用m 、n 表示log a (MN). 解：(1)由log a 2＝m,得a m ＝2,由log a 3＝n,得a n ＝3, 所以a m ·a n ＝a m ＋n ＝2×3＝6,即a m ＋n ＝6. (2)由log a M ＝m,得a m ＝M,由log a N ＝n,得a n ＝N. 所以a m ·a n ＝a m ＋n ＝M×N, 把指数式化为对数式得:log a (MN)＝m ＋n. 小结：在问题3中的第(2)题中,我们得到log a (MN)＝m ＋n,又由log a M ＝m,log a N ＝n,进行m,n 的代换后就得到对数的一条运算性质,即:log a (MN)＝log a M ＋log a N.因为同底数幂相乘,不论有多少因数,都是把指数相加,所以这个性质可推广到若干个正因数的积:log a (N 1N 2…N k )＝log a N 1＋log a N 2＋…＋log a N k . 问题4同样地,由a m ÷a n ＝a m －n 和(a m )n ＝a mn ,也得到对数运算的其他性质:log a M N ＝log a M －log a N;log a M n ＝nlog a M(n ∈R) (a>0,且a≠1,M>0,N>0).你能不能推导出呢？ 答:令M ＝a m ,N ＝a n ,则M N ＝a m ÷a n ＝a m －n , ∴m －n ＝log a M N .又由M ＝a m ,N ＝a n , ∴m ＝log a M,n ＝log a N, 即:log a M －log a N ＝m －n ＝log a M N ; 当n≠0时,令log a M ＝p,由对数定义可以得M ＝a p , ∴M n ＝(a p )n ＝a np , ∴log a M n ＝np,将log a M ＝p 代入,即证得log a M n ＝nlog a M. 当n ＝0时,显然成立.∴log a M n ＝nlog a M. 小结:上述证明是运用转化的思想,先通过假设,将对数式化成指数式,并利用幂的运算性质进行恒等变形;然后再根据对数定义将指数式化成对数式.对数运算性质可以用简易语言表达:“积的对数＝对数的和”,“商的对数＝对数的差”,“正数的n 次方的对数＝正数的对数的n 倍”.有时用逆向运算性质:如log 105＋log 102＝log 1010＝1. 例1 用log a x,log a y,log a z 表示下列各式: (1)log a xy z ; (2)log a (x 3y 5); (3)log a x yz ; (4)log a x 2y 3z . 解:(1)log a xy z ＝log a (xy)－log a z ＝log a x ＋log a y －log a z;
课题： 2.2.1 对数与对数运算 科目：数学教学对象：高一年级学生课时：第一课时 提供者：赵晓云单位：阳泉一中 一、教学内容分析 让学生在实际背景中认识对数概念，既是本节的重点又是难点。要通过适当的素材创设情境，使学生认识到引入对数的必要性，从而调动学生学习对数的积极性。 根据底数、指数与幂之间的关系，从已知底数和幂如何求指数入手，引导学生借助指数函数的图像，分析问题中幂指数的存在性，从而引出对数的概念。 通过对指数式与对数式中各字母进行对比分析，引导学生认识对数与指数的相互联系，利用指数式与对数式的互化，帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数运算中的作用。 二、教学目标 1、知识技能 理解对数的概念，了解对数与指数的关系；理解和掌握对数的性质；掌握对数式与指数式的关系。 2、过程与方法 通过与指数式的比较，引出对数的定义和性质；由易到难。 3、情感、态度、价值观 通过对数式与指数式的互化，培养学生分析、类比、归纳的能力；在学习过程中，培养学生探究的意识；培养学生了解事物间的联系，培养学生用已有知识解决未知问题的能力。 三、学习者特征分析 通过平时的观察发现，高一学生通过前段时间的学习，已经基本上学会了自学，并能自主学习，能够从课本中学习并总节所学知识点，但有部分学生只看不动笔，所以第一课时主要以书本内容为主。 四、教学策略选择与设计 利用多媒体：学生喜欢自己上网，并喜欢去了解未知的东西，所以提前布置任务，让学生阅读课本68页的阅读材料，并上网查找有关对数的介绍，了解对数的重要性。 采用“学案导学”的教学方法：高一学生通过前段时间的学习，已经基本上学会了自学，并能自主学习，所以学生完全可以学懂课本的有关知识，所以，以问题与练习的形式制成学案，让学生自学课本62页——63页后完成，达到进一步理解对数概念，并体会转化思想在对数运算中的目的。 小组讨论：对数恒等式的得出，即较难的对数求解问题，让学生讨论得出，培养学生合作学习的能力。 五、教学重点及难点 教学重点：指数式与对数式的互相转化，对数性质的推导。 教学难点：对数概念以及对数符号的理解,对数性质的 六、教学过程 教师活动学生活动设计意图 这些式子，都是已知底数和幂的值，求指数，而且我们不能根据熟悉的数据解出来。要解决这个问题，就要用到我们这节课将要 思考问题一：截止到1999年底，我国 人口约13亿,如果今后能将人口平均增长 率控制在1%,那么经过20年后我国人口数 最多为多少亿？ 让学生在实际背 景中认识对数概念，通 过适当的素材创设情 境，使学生认识到引入
第3讲：对数及其运算 【复习要求】 1、理解对数的意义，会熟练地将指数式与对数式互化； 2、初步学会换底公式的基本运用； 3、掌握积、商、幂的对数性质。会用计算器求对数。 【知识要点】 1、对数的定义：如果(01)a a a >≠且的b 次幂等于N ，那么b 称为以a 为底N 的对数，记作：log a b N =，其中a 称为底数，N 称为真数。 2、指数式与对数式的互化：log b a a N N b =?=； 3、对数恒等式：N a N a =log （0,01N a a >>≠且）。 4、换底公式及衍生性质： ()1 log log log m a m N N a = (0a >,1a ≠，0m > , 1m ≠,0N >) ()2a b b a log 1log = ，()3c c b a b a log log log =?， ()4b n m b a m a n l o g l o g = 5、对数的运算性质：如果0,1,0,0a a N M >≠>>有 log ()log log a a a MN M N =+； l o g l o g l o g a a a M M N N =-； log log n a a M n M =； 1 log log n a a M M n = 【基础训练】 1、如果2 (0,1)a b b b =>≠，则有 （ D ） （A ）2log a b = （B ）2log b a = （C ）log 2a b = （D ）log 2b a = 2、若2521 log 3log 3 m = +，则有 （ B ） （A ）12m << （B ）23m << （C ）34m << （D ）45m << 3、已知：25lg m =，则lg 2= 1 12 m - （用m 表示） 4、计算：（1）2 lg 4lg 92lg 6lg 361++-+= 2 （2）2234 1222 3log (8log 16)log log +-= 60
2.2.1对数与对数运算（一） （一）教学目标 1．知识技能： ①理解对数的概念，了解对数与指数的关系； ②理解和掌握对数的性质； ③掌握对数式与指数式的关系. 2.过程与方法： 通过与指数式的比较，引出对数定义与性质. 3．情感、态度、价值观 （1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力. （2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质. （3）在学习过程中培养学生探究的意识. （4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.（二）教学重点、难点 （1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质 （2）难点：推导对数性质的 （三）教学方法 启发式 启发学生从指数运算的需求中，提出本节的研究对象——对数，从而由指数
与对数的关系认识对数，并掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是 指数运算的逆运算. 引导学生在指数式与对数式的互化过程中，加深对于定义的理解，为下一节 学习对数的运算性质打好基础. （四）教学过程 教学 环节 教学内容师生互动设计意图 提出问题 1．提出问题 （P 72 思考题）13 1.01x y=?中，哪一 年的人口数要达到10亿、20亿、30 亿……，该如何解决？ 即： 182030 1.01, 1.01, 1.01, 131313 x x x === 在个式子中，x分别等于多少？ 象上面的式子，已知底数和幂的值， 求指数，这就是我们这节课所要学习的 对数（引出对数的概念）. 老师提出问题， 学生思考回答. 启发学生从指数运算 的需求中，提出本节的研 究对象——对数， 由实际 问题引入，激 发学生的学 习积极性.
3.2.1 对数及其运算(二) 一、基础过关 1．若a>0且a≠1，x>0，y>0，n∈N ＋，且n>1，下列命题正确的个数为 ( ) ①(log a x)2 ＝2log a x ，②log a (x ＋y)＝log a x ＋log a y ，③log a x log a y ＝log a x y ，④log a x n ＝log a n x. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．化简log 618＋2log 62的结果是 ( ) A ．－2 B ．2 C ．2 D ．log 62 3．已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为 ( ) A ．3 B ．8 C ．4 D ．log 48 4．已知3a ＝5b ＝A ，若1a ＋1b ＝2，则A 等于 ( ) A ．15 B.15 C ．±15 D ．225 5.lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 1.2 的值为________． 6．已知log a x ＝1，log b x ＝2，log c x ＝4，则log abc x ＝__________. 7．(1)计算：lg 12－lg 5 8 ＋lg 12.5－log 89·log 34； (2)已知3a ＝4b ＝36，求2a ＋1b 的值． 8．计算下列各式的值： (1)lg 5·lg 8 000＋(lg 2 3)2 ＋lg 1 6 ＋lg 0.06； (2)log 155·log 1545＋(log 153)2 . 二、能力提升 9．若log 72＝a ，log 75＝b ，则lg 5用a ，b 表示为 ( ) A ．ab B.b a ＋b C.1＋ab a ＋b D.ab 1＋ab 10．如果α，β是关于x 的方程lg(3x)·lg(5x)＝1的两实数根，则α·β等于 ( ) A.1 15 B ．lg 15 C ．lg 3·lg 5 D ．15 11．2log 510＋log 50.25＋(325－125)÷4 25＝________. 12．若a 、b 是方程2(lg x)2－lg x 4 ＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(log a b ＋log b a)的值． 三、探究与拓展 13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的 剩余量是原来的1 3 ？(结果保留1位有效数字)(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
对数的运算法则 教学目标 1．理解并掌握对数性质及运算法则，能初步运用对数的性质和运算法则解题． 2．通过法则的探究与推导，培养学生从特殊到一般的概括思想，渗透化归思想及逻辑思维能力．3．通过法则探究，激发学生学习的积极性．培养大胆探索，实事求是的科学精神． 教学重点是对数的运算法则及推导和应用难点是法则的探究与证明． 一. 引入新课 我们前面学习了对数的概念，那么什么叫对数呢?通过下面的题目来回答这个问题 如果看到这个式子会有何联想? 由学生回答(1)(2) (3)(4)． 也就要求学生以后看到对数符号能联想四件事．从式子中，可以总结出从概念上讲，对数与指数就是一码事，从运算上讲它们互为逆运算的关系．既然是一种运算，自然就应有相应的运算法则，所以我们今天重点研究对数的运算法则． 二．对数的运算法则(板书) 对数与指数是互为逆运算的，自然应把握两者的关系及已知的指数运算法则来探求对数的运算法则，所以我们有必要先回顾一下指数的运算法则． 由学生回答后教师让学生看：，，．
然后直接提出课题：若是 否成立? 由学生讨论并举出实例说明其不成立(如可以举而 )，教师在肯定结论的正确性的同时再提出 可提示学生利用刚才的反例，把5改写成应为，而32 =2，还可以让学生再找几个例子， ．之后让学生大胆说出发现有什么规律? 由学生回答应有成立． 现在它只是一个猜想，要保证其对任意都成立，需要给出相应的证明，怎么证呢? 你学过哪些与之相关的证明依据呢? 学生经过思考后找出可以利用对数概念，性质及与指数的关系，再找学生提出证明的基本思路，即对数问题先化成指数问题，再利用指数运算法则求解．找学生试说证明过程，教师可适当提示，然后板书． 证明：设则，由指数运算法则 得， 即．(板书) 法则出来以后，要求学生能从以下几方面去认识： (1) 公式成立的条件是什么?(由学生指出．注意是每个真数都大于零，每个对数式都有意义为使用前提条件)．
**（2）对数与对数运算（教学设计） 内容：对数运算法则 教学目标： 知识与技能： （1）通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能。 （2）运用对数运算性质解决有关问题。 （3）培养学生分析、综合解决问题的能力。 过程与方法： （1）让学生经历并推导出对数的运算性质。 （2）让学生归纳整理本节所学的知识。 情感态度与价值观： 让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性。 教学重点：对数运算的性质与对数知识的应用。 教学难点：正确使用对数的运算性质。 教学过程： 一、复习回顾，新课引入： （1）指数式与对数式的关系： （1）指数式与对数式的关系 log b a a N N b =?= （2）几个重要结论： 1）负数与零没有对数；2）“1”的对数等于0；3）底数的对数等于1； 4）对数恒等式：log a N a =N ；log N a a =N 二、师生互动，新课讲解： 1、问：从指数与对数的关系以及指数运算性质，你能得出相应的对数运算性质吗？ 回顾指数幂的运算性质： n m n m a a a +=?，n m n m a a a -=÷，mn n m a a =)(． 师生讨论：把指对数互化的式子具体化：设m a M =，n a N =，于是有 mn n n m n m a M a N M a MN ===-+,,．n N m M a a ==log ,log ． 根据对数的定义有：n m a n m a +=+log ，n m a n m a -=-log ，mn a mn a =log ． 于是有
2.2.1 对数与对数运算 1．对数的概念 (1)定义：一般地，如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 释疑点在对数log a N中规定a＞0，且a≠1，N＞0的原因 (1)若a＜0，则N为某些数值时，x不存在，如式子(－3)x＝4没有实数解，所以log(－3)4不存在，因此规定a不能小于0； (2)若a＝0，且N≠0时，log a N不存在；N＝0时，log a0有无数个值，不能确定，因此规定a≠0，N≠0； (3)若a＝1，且N≠1时，x不存在；而a＝1，N＝1时，x可以为任何实数，不能确定，因此规定a≠1； (4)由a x＝N，a＞0知N恒大于0． 当a＞0，且a≠1时．如图所示： 比如：43＝64?3＝log464；log525＝2?52＝25；以前无法解的方程2x＝3，学习了对数后就可以解得x＝log23． 谈重点对指数与对数的互化关系的理解(1)由指数式a b＝N可以写成log a N＝b(a＞0，且a≠1)，这是指数式与对数式互化的依据．从对数定义可知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．其关系如下表： (2)根据指数与对数的互化关系，可以得到恒等式a． 指数与对数的互化是解决指数式和对数式有关问题的有效手段． 【例1－1】下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是() A．100＝1与lg 1＝0 B． 1 3 1 27 3 - =与 27 1 log 3 ＝ 1 3 -
C．log39＝2与 1 2 9＝3 D．log55＝1与51＝5 解析：指数式与对数式的互化中，其底数都不变，指数式中的函数值与对数式中的真数相 对应，对于C，log39＝2→32＝9或 1 2 9＝3→log93＝ 1 2 ．故选C． 答案：C 【例1－2】 解析：(1)103＝1 000 (2)log210＝x?2x＝10． (3)e3＝x?ln x＝3． 答案：(1)lg 1 000＝3；(2)2x＝10；(3)ln x＝3．【例1－3】求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1； (3)log x27＝3 4 ；(4)x＝log84． 解：(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1．∴x＝51＝5．(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3．∴x＝103＝1 000． (3)∵log x27＝3 4 ，∴ 3 4 x＝27．∴x＝()34 27＝34＝81． (4)∵x＝log84，∴8x＝4．∴23x＝22．∴3x＝2，即x＝2 3 ． 2．对数的运算性质 (1)对数的运算性质 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①log a(M·N)＝log a M＋log a N； ②log a M N ＝log a M－log a N； ③log a M n＝n log a M(n∈R)． 谈重点对对数的运算性质的理解(1)对应每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立，如log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的． (2)巧记对数的运算性质：①两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的积；②两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差；③正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数． (2) 谈重点 利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．如“log a(MN)＝log a M＋log a N”的推导：设log a M＝m，log a N＝n，则a m ＝M，a n＝N，于是MN＝a m·a n＝a m＋n，因此log a(MN)＝log a M＋log a N＝m＋n．【例2－1】若a＞0，且a≠1，x＞y＞0，n∈N*，则下列各式：