《微分几何》课程教学大纲
课程名称：《微分几何》
课程编码：074112303
适用专业及层次：数学与应用数学（本科）
课程总学时：72学时
课程总学分：4
一、课程的性质、目的与任务等。
1、微分几何简介及性质
微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间----流形。微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。
2、教学目的：
通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。
3、教学内容与任务：
本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式。重点让学生把握理解本教材的前二章。
二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求
第一章曲线论
教学要点：
本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对
空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题
教学时数：22学时。
教学内容：
第一节向量函数
1.1 向量函数的极限
1.2 向量函数的连续性
1.3 向量函数的微商
1.4 向量函数的泰勒（TayLor）公式
1.5 向量函数的积分
第二节曲线的概念
2.1 曲线的概念
2.2 光滑曲线、曲线的正常点
2.3 曲线的切线和法面
2.4 曲线的弧长、自然参数
第三节空间曲线
3.1 空间曲线的密切平面
3.2 空间曲线的基本三棱形
3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式
3.4 空间曲线在一点邻近的结构
3.5 空间曲线论的基本定理
3.6 一般螺线
考核要求：
1、理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（TayLor）公式和积分等概念，能
推导和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。了解这些内容与平行的数学分析内容之间的区别和联系。
2、理解和熟记简单曲线、光滑曲线、曲线的切线和法面、曲线的弧长和曲线的自然参数等基本概念，能理解和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。
3、理解和熟记空间曲线的密切平面、基本三棱形、曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式等重要概念和理论。理解空间曲线论的基本定理。重点是掌握曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式等内容，能够论证和计算有关问题。
第二章曲面论
教学要点：
本章主要研究曲面概念，曲线坐标网，曲面的切平面和法线。引入曲面的第一、第二基本形式，由第一基本形式计算曲面上曲线的弧长，曲面域的面积和曲面间的等距及保角变换；由第二基本形式讨论曲面上曲线的曲率，曲面的法曲率，曲面上的方向，曲面上的各种曲线和各种曲率之间的关系。介绍本章唯一的整体理论——高斯崩尼公式。通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题
教学时数：50学时。
教学内容：
第一节曲面的概念
1.1 简单曲面及其参数表示
1.2 光滑曲面、曲面的切平面和法线
1.3 曲面上的曲线族和曲线网
第二节曲面的第一基本形式
2.1 曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长
2.2 曲面上两方向的交角
2.3 正交曲线族和正交轨线
2.4 曲面域的面积
2.5 等距变换
2.6 保角变换
第三节曲面的第二基本形式
3.1 曲面的第二基本形式
3.2 曲面上曲线的曲率
3.3 迪潘(Dupin)指标线
3.4 曲面的渐近方向和共轭方向
3.5 曲面的主方向和曲率线
3.6 曲面的主曲率、高斯（Gauss）曲率和平均曲率
3.7 曲面在一点邻近的结构
3.8 高斯曲率的几何意义
第四节直纹面和可展曲面
4.1 直纹面
4.2 可展曲面
4.3 线汇
第五节曲面论的基本定理
5.1 曲面的基本方程和克里斯托斐耳符号
5.2 曲面的黎曼曲率张量和高斯－科达齐－迈因納尔迪公式
5.3 曲面论的基本定理
第六节曲面上的测地线
6.1 曲面上曲线的测地曲率
6.2 曲面上的测地线
6.3 曲面上的半测地坐标网
6.4 曲面上测地线的短程性
6.5 高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式
6.6 ﹡极小曲面
第七节常高斯曲率曲面
7.1 常高斯曲率曲面
7.2 伪球面
7.3 罗氏几何
考核要求：
1、理解和熟记简单曲面、光滑曲面、曲面上的曲线网、曲面的切平面和法线等基本概念，理解和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。
2、理解和掌握曲面的第一基本形式，计算曲面上曲线的弧长，曲面域的面积和曲面间的等距及保角变换等有关问题。
3、理解和掌握曲面的第二基本形式，由第二基本形式讨论曲面上曲线的曲率，曲面的法曲率，曲面上的方向，曲面上的各种曲线和各种曲率之间的关系。
4、理解和掌握直纹面、特别是可展曲面的概念、理论、方法和应用背景。
5、初步认知张量符号, 理解曲面论的基本定理。
6、理解和掌握曲面上曲线的测地曲率、测地线及其短程性。了解本章唯一的整体理论——高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式。
7、了解常高斯曲率曲面、伪球面及罗氏几何的概念和有关内容。
三、教学章节及学时分配
教学时数具体分配：
四、教学方法与教学手段说明：
本课程以教师为主导、学生为主体，采用适当的教学方法，有效地调动学生的学习积极性，促进学生积极思考，激发学生潜能，打破传统的满堂灌的教学模式，增加课程讨论，充分发挥学生学习的主动性和自觉性。引导学生通过讨论、查阅资料等启发思维，加上教师适当的讲解，拓展知识面，达到了教与学相互促进的目的。
每次课前利用5-10分钟讲解上次作业当中难点，纠正错误。课后安排固定的答疑时间切实为学生解惑答疑。
五、考核方式
考核类型：考试
考核形式：闭卷
六、使用说明
对于不同层次的先修课程有具体的要求，微分几何在应用方面有很大的作用。本专业、本学期重点学习教材中的曲线、曲面论。
七、推荐教材和参考书目
1、《微分几何》，梅向明、黄敬之编，第三版，高等教育出版社，2003年12月。
2、《微分几何》，吴大任编，人民教育出版社。
3、《微分几何》，苏步青，胡和生等编，人民教育出版社，1980年。
大纲编写人：
教研室主任（审核）：
教学单位负责人：
“微分几何”课程教学大纲 英文名称： 课程编号： 学时：学分： 适用对象：理学院数学各专业本科生（二年级下） 先修课程：数学分析、高等代数与几何 使用教材及参考书： 陈维恒著，《微分几何初步》，北大出版社 梅向明著，《微分几何》 虞言林著，《微分几何》 一、课程性质、目的和任务 本课程主要介绍维芡氏空间中曲线和曲面的经典局部理论，使学生树立正确的几何观念，为进一步学习现代数学和物理提供基础和背景。 二、教学基本要求 本课程要求学生建立正确的几何概念、掌握描述和刻划曲线及曲面形状的方法和手段，会进行初步的曲率计算，并能理解绝妙定理的重要意义。 三、教学内容及要求 第一章预备知识 标架 向量值函数 第二章曲线论 参数曲线 曲线的弧长 曲线的曲率和标架 挠率和公式 曲线论基本定理 曲线在一点的标准展开 平面曲线 重点掌握：曲线的标架及公式 第三章曲面的第一基本形式 曲面的定义 切不面及切向量 曲面的第一基本形式 曲面上正交参数曲面网的存在性 保长对应和保角对应 可展曲面 重点掌握：第一基本形式的定义，计算及作用，可展曲面的三种基本形式。 第四章曲面的第二基本形式 第二基本形式 法曲率 映射和映射 主方向和主曲率的计算 标形和曲面在一点的近似展开 某些特殊曲面。
重点掌握：第二基本形式的定义，法曲率、主曲率、曲率、中曲率的计算。第五章曲面论基本定理 自然标架的运动公式 曲面一唯一性定理 曲面论基本议程 曲面的存在定理 定理。 重点掌握：自然标架的运动公司，曲面基本议程，曲率的内在计算（定理）。第六章测地曲率和测地线 测地曲率和测地挠率 测地线 测地坐标系 常曲率曲面 向量场的平行移动 公式 重点掌握：测地曲率的定义和测地线议程，平行移动和协变微分。 大纲制定者：李洪军执笔 大纲审定者：陈红斌 大纲批准者：张胜利 大纲校对者：李洪军 “数学分析”课程教学大纲 英文名称： 课程编号： 课程类型：必修课 学时：学分： 适用对象：理学院数学各专业一、二年级本科生 先修课程：高中数学 使用教材及参考书： ．陈传璋等，《数学分析》，高等教育出版社。 ．张筑生主编，《数学分析新讲》，北京大学出版社，年
第一部分：基本实验基础 1．（直、圆）游标尺、千分尺的读数方法。 答：P46 2．物理天平 1．感量与天平灵敏度关系。天平感量或灵敏度与负载的关系。 答：感量的倒数称为天平的灵敏度。负载越大，灵敏度越低。 2．物理天平在称衡中，为什么要把横梁放下后才可以增减砝码或移动游码。 答：保护天平的刀口。 3．检流计 1．哪些用途？使用时的注意点？如何使检流计很快停止振荡？ 答：用途：用于判别电路中两点是否相等或检查电路中有无微弱电流通过。 注意事项：要加限流保护电阻要保护检流计，随时准备松开按键。 很快停止振荡：短路检流计。 4．电表 量程如何选取？量程与内阻大小关系？ 答：先估计待测量的大小，选稍大量程试测，再选用合适的量程。 电流表：量程越大，内阻越小。 电压表：内阻=量程×每伏欧姆数 5．万用表 不同欧姆档测同一只二极管正向电阻时，读测值差异的原因？ 答：不同欧姆档，内阻不同，输出电压随负载不同而不同。 二极管是非线性器件，不同欧姆档测，加在二极管上电压不同，读测值有很大差异。 6．信号发生器 功率输出与电压输出的区别？ 答：功率输出：能带负载，比如可以给扬声器加信号而发声音。 电压输出：实现电压输出，接上的负载电阻一般要大于50Ω。 比如不可以从此输出口给扬声器加信号，即带不动负载。 7．光学元件 光学表面有灰尘，可否用手帕擦试？ 答：不可以 8．箱式电桥 倍率的选择方法。 答：尽量使读数的有效数字位数最大的原则选择合适的倍率。 9．逐差法 什么是逐差法，其优点？ 答：把测量数据分成两组，每组相应的数据分别相减，然后取差值的平均值。 优点：每个数据都起作用，体现多次测量的优点。 10．杨氏模量实验 1．为何各长度量用不同的量具测？
第1章预备知识 §1。1基本概念与术语 1。1.1数学规划问题举例 例1食谱（配食）问题 假设市场上有n 种不同的食物，第j 种食物每个单位的销售价为),,2,1(n j c j =。 人体在正常生命活动过程中需要m 种基本的营养成分。为了保证人体的健康，一个人每天至少需要摄入第i 种营养成分),,2,1(m i b i =个单位。 第j 种食物的每个单位包含第i 种营养成分ij a 个单位. 食谱（配食)问题就是要求在满足人体基本营养需求的前提下,寻找最经济的配食方案（食谱)。 建立食谱的数学模型 引入决策变量i x ：食谱中第i 种食物的单位数量
i n i i x c ∑=1 min s 。t.m i b x a i j n j ij ,,2,1 ,1 =≥∑= n j x j ,,2,1 ,0 =≥ 例2选址与运输问题 ● 假设某大型建筑公司有m 个项目在不同的地点同时开工建设。记工地的位置分别为 m i b a P i i i ,,2,1 ),,( ==. ● 第i 个工地对某种建筑材料的日用量是已知的（比如水泥的日用量(单位:t ）为i D ）． ● 该公司准备分别在),(111y x T =和),(222y x T =两个地点建造临时料场，并且保证临时料 场对材料的日储量（单位:t ）分别为1M 和2M ． 如何为该公司确定临时料场的位置，并且制订每天的材料供应计划，使建筑材料的总体运输负担最小？ 建立选址与运输问题的数学模型 引入决策变量：位置变量),(k k y x ，从临时料场向各工地运送的材料数量 ),,2,1 ;2,1(m i k z ki ==. ∑∑-+-==211 22)()(min k m i i k i k ki b y a x z s 。t 。2 ,1 ,1 =≤∑=k M z k m i ki
A r r y r ? 第一章质点运动学主要内容 一. 描述运动的物理量 1. 位矢、位移和路程 由坐标原点到质点所在位置的矢量r 称为位矢 位矢r xi yj =+,大小 2r r x y ==+运动方程 ()r r t = 运动方程的分量形式() ()x x t y y t =???=?? 位移是描述质点的位置变化的物理量 △t 时间内由起点指向终点的矢量B A r r r xi yj =-=?+?△，2r x =?+△路程是△t 时间内质点运动轨迹长度s ?是标量。 明确 r ?、r ?、s ?的含义(?≠?≠?r r s ) 2. 速度（描述物体运动快慢和方向的物理量） 平均速度 x y r x y i j i j t t t u u u D D = =+=+D D r r r r r V V r 瞬时速度(速度) t 0r dr v lim t dt ?→?== ?(速度方向是曲线切线方向) j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x +=+==，2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=?? ? ??+??? ??== ds dr dt dt = 速度的大小称速率。 3. 加速度(是描述速度变化快慢的物理量） 平均加速度v a t ?= ? 瞬时加速度(加速度) 220lim t d d r a t dt dt υυ→?===?△ a 方向指向曲线凹向j dt y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x 2222+=+== 2 2222222 2 2???? ??+???? ??=? ?? ? ? ?+??? ??=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y x y x 二.抛体运动 运动方程矢量式为 2 012 r v t gt =+
B r ? A r B r y r ? 第一章质点运动学主要内容 一. 描述运动的物理量 1. 位矢、位移和路程 由坐标原点到质点所在位置的矢量r 称为位矢 位矢r xi yj =+,大小 2r r x y ==+运动方程 ()r r t = 运动方程的分量形式() ()x x t y y t =???=?? 位移是描述质点的位置变化的物理量 △t 时间内由起点指向终点的矢量B A r r r xi yj =-=?+?△，2r x =?+△路程是△t 时间内质点运动轨迹长度s ?是标量。 明确r ?、r ?、s ?的含义(?≠?≠?r r s ) 2. 速度（描述物体运动快慢和方向的物理量） 平均速度 x y r x y i j i j t t t 瞬时速度(速度) t 0r dr v lim t dt ?→?== ?(速度方向是曲线切线方向) j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x +=+==，2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=??? ??+??? ??== ds dr dt dt = 速度的大小称速率。 3. 加速度(是描述速度变化快慢的物理量） 平均加速度v a t ?=? 瞬时加速度(加速度) 220lim t d d r a t dt dt υυ→?===?△ a 方向指向曲线凹向j dt y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x 2222+=+== 2 2222222 2 2???? ??+???? ??=? ?? ? ??+??? ??=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y x y x 二.抛体运动
高斯曲率的意义与作用 1引言 在曲面论中,应用较多的是高斯曲率．高斯曲率是微分几何学发展的里程碑，开创了微分几何学的一个新纪元．正是高斯这一伟大发现启发我们对于抽象的曲面进行研究，也就是对于只给定第一基本形式的曲面研究其几何性质．同时高斯定理说明，曲面的度量性质本身蕴含着一定的弯曲性质，这是曲线所不具有的特点． 2 预备知识 2.1 主曲率 2.1.1 主曲率的定义 [1](99) p 曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在此点的主曲率. 由于曲面上一点处的主方向是过此点的曲率线的方向，因此主曲率也就是曲面上一点处沿曲率线方向的法曲率． 2.1.2 主曲率的计算公式 主曲率满足 0N N N N L k E M k F M k F N k G --=-- 即 222()(2)()N N EG F K LG MF NE K LN M ---++-=[1](102)0p 2.1.3 有关主曲率的一个命题 [1](102) p 曲面上的一点（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率的最大值和最小值. 2.2 高斯映射（球面表示） 设σ是曲面S ：(,)r r u v =r r 上一块不大的区域，另外再做一个单位球面．现在建立σ中的点和 单位球面的点的对应关系如下：σ中任取一点(,)P u v =，作曲面在P 点处的单位法向量 (,)n n u v =r r ，然后把n r 的始端平移到单位球的中心，则n r 的另一端点就在单位球面上，设该点为P '，这样对于曲面的小区域σ中的每一点(,)r u v r ，(,)u v σ∈与球面上向径为(,)n u v r 的点对应．因此， 曲面上所给出的小区域σ表示到单位球面的对应区域* σ上．也就是说，建立了曲面的小区域σ到单位球面上区域* σ的对应.我们把曲面上的点与球面上的点的这种对应称为曲面的球面表示，也称
大学物理实验复习资料 复习要求 1．第一章实验基本知识； 2．所做的十二个实验原理、所用的仪器（准确的名称、使用方法、分度值、准确度）、实验操作步骤及其目的、思考题。 第一章练习题（答案） 1．指出下列情况导致的误差属于偶然误差还是系统误差⑴读数时视线与刻度尺面不垂直。——————————该误差属于偶然误差。 ⑵将待测物体放在米尺的不同位置测得的长度稍有不同。——该误差属于系统误差。 ⑶天平平衡时指针的停点重复几次都不同。——————该误差属于偶然误差。 ⑷水银温度计毛细管不均匀。——————该误差属于系统误差。 ⑸伏安法测电阻实验中，根据欧姆定律R x=U/I，电流表内接或外接法所测得电阻的阻值与实际值不相等。———————————————该误差属于系统误差。 2．指出下列各量为几位有效数字，再将各量改取成三位有效数字，并写成标准式。 测量值的尾数舍入规则：四舍六入、五之后非零则入、五之后为零则凑偶 ⑴cm ——四位有效数字，×10cm 。 ⑵cm ——五位有效数字，， ⑶kg ——四位有效数字，×10－2kg ， ⑷——五位有效数字，×10－1m ， ⑸kg ——五位有效数字，， ⑹g ——五位有效数字，×103g ， ⑺s；——四位有效数字，×102s ， ⑻s ——四位有效数字，×10－1s ， ⑼ ×10－3 m. ——四位有效数字，×10－3m ⑽℃——四位有效数字，×10℃ 3．实验结果表示 ⑴精密天平称一物体质量，共称五次，测量数据分别为：，，，，，试求 ① 计算其算术平均值、算术平均误差和相对误差并写出测量结果。 ② 计算其测量列的标准误差、平均值标准误差和相对误差并写出测量结果。解：算术平均值 = m3 612 3 5 15 1 . ≈ ∑ =i i m （g） 算术平均误差m ? = - =∑ = 5 1 5 1 i i m m = 00003（g） 相对误差m m E m ? = ==≈ 用算术平均误差表示测量结果：m = ±（g） 测量列的标准误差 ()()()( 1 5 3 2 6123 3 6121 3 2 6123 3 6122 3 2 6123 3 6127 3 - + - + - + - =. . . . . . =（g） 经检查，各次测量的偏差约小于3σ，故各测量值均有 效。 平均值的标准误差 5 0003 0. = = n m σ σ ≈（g） 相对误差 % . % . . 0004 100 6123 3 00014 ≈ ? = = m E m m σ 用标准误差表示的测量结果= m±（g） ⑵有甲、乙、丙、丁四人，用螺旋测微器测量一铜球的 直径，各人所得的结果是： 甲：±cm；乙：±cm 丙：±cm；丁：±cm 问哪个表示得正确其他人的结果表达式错在哪里 参考答案：甲：±cm 测量结果的最后一 位要与误差所在位对齐。 其他三个的错误是测量结果的最后一位没有与误差所在 位对齐。 ⑶用级别为、量程为10mA的电流表对某电路的电流作 10次等精度测量，测量数据如下表所示。试计算测量结 果及标准误差，并以测量结果形式表示。 解：算术平均值 ≈ =∑ = 10 1 10 1 i i I I （mA）