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新定义函数-重庆中考新题型

实数b的取值范围．

变式

如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．

(1)若一个函数的特征数为[-2，1]，求此函数图象的顶点坐标．

(2)探究下列问题：

①若一个函数的特征数为[4，-1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．

②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？

例3．如图1，抛物线y =ax 2

+bx +c （a ＞0）的顶点为M ，直线y =m 与x 轴平行，且与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶，点M 到线段AB 的距离称为碟高．

（1）抛物线2

y x =

对应的碟宽为；抛物线y =4x 2对应的碟宽为；抛物线y =ax 2（a ＞0）对应的碟宽为；抛物线y =a (x -2)2

+3（a ＞0）对应的碟宽为；

（2）抛物线2

543

y ax ax =--（a ＞0）对应的碟宽为6，且在x 轴上，求a 的值；

（3）将抛物线y =a n x 2+b n x +c n （a n ＞0）的对应准蝶形记为F n （n =1，2，3…），定义F 1，

F 2，…，F n 为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若F n 与F n ﹣1的相似比为1

，且F n 的碟顶

是F n ﹣1的碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为y 1，其对应的准蝶形记为F 1． ①求抛物线y 2的表达式；

②若F 1的碟高为h 1，F 2的碟高为h 2，…F n 的碟高为h n ，则h n = ，F n 的碟宽有端点横坐标为2；若F 1，F 2，…，F n 的碟宽右端点在一条直线上，请直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由。

例4．如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB 绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l 叫做P的关联直线．

（1）若l：y=-2x+2，则P表示的函数解析式为；若P：y=-x2-3x+4，则l 表示的函数解析式为．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y=-2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；

（4）如图③，若l：y=mx-4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连

接OM．若OM l，P表示的函数解析式．

求出点P的坐标.

试题解析：（1）根据题意，得，

∵，∴.∴.

根据定义，是“奇特函数”.

（2）①由题意得，.

易得直线OB解析式为，直线CD解析式为，

由解得.∴点E（3，1）.

将B（9，3），E（3，1）代入函数，得，整理得，解得.∴这个“奇特函数”的解析式为.

②∵可化为，

∴根据平移的性质，把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移2个单位就可得到.∴关于点（6，2）对称.

∵B（9，3），E（3，1），∴BE中点M（6，2），即点M是的对称中心.

∴以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP.

由勾股定理得，.

设点P到EB的距离为m，

∵以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为，

∴.

∴点P在平行于EB的直线上.

∵点P在上，

∴或.

解得.

∴点P的坐标为或或或.

考点：1.新定义和阅读理解型问题；2.平移问题；3.反比例函数的性质；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.勾股定理；6.中心对称的性质；7.平行四边形的判定和性质；8.分类思想的应用.

例2【解析】

（1）根据函数“特征数”写出函数的解析式，再根据平移后一次函数的变化情况写出函数图象向下平移2个单位的新函数的解析式．

（2）判断以A、B、C、D四点为顶点的四边形形状，可根据一次函数图象向下平移2个单位与原函数图象的关系，得出AB=2，并确定为平行四边形，由直线相交计算交点坐标后，求出线段BC=2，再根据菱形的判定（邻边相等的平行四边形是菱形）得出，其周长=2×4=8；

（3）根据函数“特征数”写出二次函数的解析式，化为顶点式为y=（x-b）2+，确定二次函

数的图象不会经过点B和点C，再将菱形顶点A（0，1），D（）代入二次函数解析式得出实数b的取值范围．

【解析】

（1）y=（1分）“特征数”是的函数，

即y=+1，

该函数图象向下平移2个单位，得y=．

（2）由题意可知y=向下平移两个单位得y=

∴AD∥BC，AB=2．

∵，

∴AB∥CD．

∴四边形ABCD为平行四边形．

，

得C点坐标为（，0），

∴D（）

由勾股定理可得BC=2

∵四边形ABCD为平行四边形，AB=2，BC=2

∴四边形ABCD为菱形．

∴周长为8．

（3）二次函数为：y=x2-2bx+b2+，化为顶点式为：y=（x-b）2+，

∴二次函数的图象不会经过点B和点C．

设二次函数的图象与四边形有公共部分，

当二次函数的图象经过点A时，将A（0，1），代入二次函数，

解得b=-，b=（不合题意，舍去），

当二次函数的图象经过点D时，

将D（），代入二次函数，

解得b=+，b=（不合题意，舍去），

所以实数b的取值范围：．

例3【解析】

试题分析：（1）根据定义可算出y=ax2（a＞0）的碟宽为、碟高为，由于抛物线

可通过平移y=ax2（a＞0）得到，得到碟宽为、碟高为，由此

可得碟宽、碟高只与a有关，与别的无关，从而可得．

（2）由（1）的结论，根据碟宽易得a的值．

（3）①根据y1，容易得到y2．

②结合画图，易知h1，h2，h3，…，h n﹣1，h n都在直线x=2上，可以考虑h n∥h n﹣1，且都过

F n﹣1的碟宽中点，进而可得．画图时易知碟宽有规律递减，由此可得右端点的特点．对于“F1，F2，…，F n的碟宽右端点是否在一条直线上？”，我们可以推测任意相邻的三点是否在一条

直线上，如果相邻的三个点不共线则结论不成立，反之则成立，所以可以考虑基础的几个图形关系，利用特殊点求直线方程即可．

试题解析：（1）4；1；；．

∵a＞0，

∴y=ax2的图象大致如下：

其必过原点O，记AB为其碟宽，AB与y轴的交点为C，连接OA，OB．

∵△DAB为等腰直角三角形，AB∥x轴，

∴OC⊥AB，∴∠OCA=∠OCB=∠AOB=×90°=45°，

∴△ACO与△BCO亦为等腰直角三角形，

∴AC=OC=BC，

∴x A=-y A，x B=y B，代入y=ax2，

∴A（﹣，），B（，），C（0，），

∴AB=，OC=，

即y=ax2的碟宽为．

①抛物线y=x2对应的a=，得碟宽为4；

②抛物线y=4x2对应的a=4，得碟宽为为；

③抛物线y=ax2（a＞0），碟宽为；

④抛物线y=a(x﹣2)2+3（a＞0）可看成y=ax2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的图形，

∵平移不改变形状、大小、方向，

∴抛物线y=a(x﹣2)2+3（a＞0）的准碟形与抛物线y=ax2的准碟形全等，

∵抛物线y=ax2（a＞0），碟宽为，

∴抛物线y=a(x﹣2)2+3（a＞0），碟宽为．

（2）∵y=ax2﹣4ax﹣，

∴由（1），其碟宽为，

∵y=ax2﹣4ax﹣的碟宽为6，

∴=6，解得A=，

∴y=x2﹣x﹣=(x﹣2)2﹣3

（3）①∵F1的碟宽：F2的碟宽=2：1，∴=，

∵a1=，∴a2=．

∵y=(x﹣2)2﹣3的碟宽AB在x轴上（A在B左边），

∴A（﹣1，0），B（5，0），

∴F2的碟顶坐标为（2，0），∴y2=(x﹣2)2．

②∵F n的准碟形为等腰直角三角形，

∴F n的碟宽为2h n，

∵2h n：2h n﹣1=1：2，

∴h n=h n﹣1=()2h n﹣2=()3h n﹣3=…=()n+1h1，

∵h1=3，∴h n=．

∵h n∥h n﹣1，且都过F n﹣1的碟宽中点，

∴h1，h2，h3，…，h n﹣1，h n都在一条直线上，

∵h1在直线x=2上，

∴h1，h2，h3，…，h n﹣1，h n都在直线x=2上，

∴F n的碟宽右端点横坐标为2+．

另，F1，F2，…，F n的碟宽右端点在一条直线上，直线为y=﹣x+5．

分析如下：

考虑F n﹣2，F n﹣1，F n情形，关系如图2，

F n﹣2，F n﹣1，F n的碟宽分别为AB，DE，GH；C，F，I分别为其碟宽的中点，都在直线x=2上，连接右端点，BE，EH．

∵AB∥x轴，DE∥x轴，GH∥x轴，

∴AB∥DE∥GH，

∴GH平行且等于FE，DE平行且等于CB，

∴四边形GFEH，四边形DCBE都为平行四边形，

∴HE∥GF，EB∥DC，

∵∠GFI=∠GFH=∠DCE=∠DCF，

∴GF∥DC，∴HE∥EB，

∵HE，EB都过E点，∴HE，EB在一条直线上，

∴F n﹣2，F n﹣1，F n的碟宽的右端点是在一条直线，

∴F1，F2，…，F n的碟宽的右端点是在一条直线．

∵F1：y1=(x﹣2)2﹣3准碟形右端点坐标为（5，0），

F2：y2=(x﹣2)2准碟形右端点坐标为（2+，），

∴待定系数可得过两点的直线为y=﹣x+5，

∴F1，F2，…，F n的碟宽的右端点是在直线y=﹣x+5上．

考点：1、等腰直角三角形；2、二次函数的性质；3多点共线例4解析：

（1）求A、B两点的坐标；

（2）“蛋线”在第四象限内是否存在一点P，使得?PBC的面积最大？若存在，求出?PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当?BDM为直角三角形时，请直接写出m的值.(参考公式：在平面直角坐标系中，若M(x1,y1)，N(x2,y2)，则M、N两点间的距离为MN=.

（1）A（-1，0），B（3，0）；（2）存在，；（3）-1或-.

【解析】

试题分析：（1）将y=mx2-2mx-3m化为交点式，即可得到A、B两点的坐标；（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，用待定系数法得到直线BC的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到△PBC面积的最大值；

（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①DM2+BD2=MB2时；

②DM2+MB2=BD2时，讨论即可求得m的值．

试题解析：（1）y=mx2-2mx-3m=m（x-3）（x+1），

∵m≠0，

∴当y=0时，x1=-1，x2=3，

∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）设C1：y=ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：

，解得，

故C1：y=x2-x-．

依题意，设点P的坐标为（n，n2-n-）(0

则S?PBC=S?POC+S?BOP-S?BOC=××n+×3×(-n2+n+)-×3×

=-(n-)2+

∵-＜0,

∴当n=时S?PBC的最大值是

（3）y=mx2-2mx-3m=m（x-1）2-4m，顶点M坐标（1，-4m），

当x=0时，y=-3m，

∴D（0，-3m），B（3，0），

∴DM2=（0-1）2+（-3m+4m）2=m2+1，

MB2=（3-1）2+（0+4m）2=16m2+4，

BD2=（3-0）2+（0+3m）2=9m2+9，

当△BDM为Rt△时有：DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2．

①DM2+BD2=MB2时有：m2+1+9m2+9=16m2+4，

解得m=-1（∵m＜0，∴m=1舍去）；

②DM2+MB2=BD2时有：m2+1+16m2+4=9m2+9，

解得m=-（m=舍去）．

综上，m=-1或-时，△BDM为直角三角形．

2．对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点的坐标为（，）（其中k为常数，且），则称点为点P的“k属派生点”．

例如：P（1，4）的“2属派生点”为（1+，），即（3，6）．

（1）①点P的“2属派生点”的坐标为____________；

②若点P的“k属派生点”的坐标为（3，3），请写出一个符合条件的点P的坐标____________；

（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点，且△为等腰直角三角形，则k的值为____________；

（3）如图, 点Q的坐标为（0，），点A在函数的图象上，且

点A是点B的“属派生点”，当线段B Q最短时，求B点坐标．

（1）①；②（1，2）（答案不唯一）；（2）；（3）.

中考数学新定义题型专题复习

新定义型专题（一）专题诠释所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力（二）解题策略和解法精讲 “新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．的差倒数是 111(1)2 =--．已知a 1＝－1 3，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2009＝．考点二：运算题型中的新定义例2.对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算如下，*0a b a b a b = +（＞）﹣，如： 3*2= =6*（5*4）= ．例3.我们定义ab ad bc cd =-，例如23 45 =2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2，若x ，y 均为整数，且满足1＜ 14x y ＜3，则x+y 的值是．考点三：探索题型中的新定义例4.定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图 1，PH=PJ ，PI=PG ，则点P 就是四边形ABCD 的准内点．（1）如图2，∠AFD 与∠DEC 的角平分线FP ，EP 相交于点P ．求证：点P 是四边形ABCD 的准内点．（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”． ①任意凸四边形一定存在准内点．（） ②任意凸四边形一定只有一个准内点．（） ③若P 是任意凸四边形ABCD 的准内点，则PA+PB=PC+PD 或PA+PC=PB+PD ．（）考点四：阅读材料题型中的新定义阅读材料我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物；比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形（继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等）来逐步认识四边形；

2019-2020年中考数学专题复习新定义问题

2019-2020年中考数学专题复习新定义问题【专题点拨】新定义运算、新概念问题一般是介绍新定义、新概念，然后利用新定义、新概念解题，其解题步骤一般都可分为以下几步：1.阅读定义或概念，并理解；2.总结信息，建立数模； 3.解决数模，回顾检查．“新概念”试题，其设计新颖，构思独特，思维容量大，既能考查学生的阅读、分析、推理、概括等能力，又能考查学生知识迁移的能力和数学素养，同时还兼具了区分选拔的功能 . 【解题策略】具体分析新颖问题→弄清问题题意→向已知知识点转化→利用相关联知识查验→转化问题思路解决【典例解析】类型一：规律题型中的新定义例题1：（2015?永州，第10题3分）定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（） A．[x]=x（x为整数） B．0≤x﹣[x]＜1 C．[x+y]≤[x]+[y]D．[n+x]=n+[x]（n为整数）【解析】：根据“定义[x]为不超过x的最大整数”进行计算【解答】：解：A、∵[x]为不超过x的最大整数， ∴当x是整数时，[x]=x，成立； B、∵[x]为不超过x的最大整数，∴0≤x﹣[x]＜1，成立； C、例如，[﹣5.4﹣3.2]=[﹣8.6]=﹣9，[﹣5.4]+[﹣3.2]=﹣6+（﹣4）=﹣10，∵﹣9＞﹣10， ∴[﹣5.4﹣3.2]＞[﹣5.4]+[﹣3.2]， ∴[x+y]≤[x]+[y]不成立， D、[n+x]=n+[x]（n为整数），成立；故选：C．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是理解新定义．新定义解题是近几年中考常考的题型．

中考新定义专题

中考新定义专题 1．设平面内一点到等边三角形中心的距离为d，等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足r≤d≤R的点叫做等边三角形的中心关联点。在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC . (1) ，在D，E， F 中，是等边△ABC的中心关联点的是；（2）如图1 ①过点A作直线交x轴正半轴于点M，使∠AMO=30°。若线段AM上存在等边△ABC的中心关联点P（m，n）,求m的取值范围； ②将直线AM向下平移得到直线y=kx+b，当b满足什么条件时,直线y=kx+b上总存在．．．等边△ABC的中心关联点；（直接写出答案，无须过程）（3）如图2，点Q为直线y=-1上一动点，圆Q的半径为. 当点Q从点（-4，-1）出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t秒,是否存在某一时刻，使得圆Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t的值；如果不存在，请说明理由. 图1 图2 1 2

2．在平面直角坐标系xOy 中，若点P 和点P 1关于y 轴对称，点P 1和点P 2关于直线l 对称，则称点P 2是点P 关于y 轴，直线l 的二次对称点．（1）如图1，点A （-1 , 0）． ①若点B 是点A 关于y 轴，直线l 1: x =2的二次对称点，则点B 的坐标为； ②若点C （-5 , 0）是点A 关于y 轴，直线l 2: x = a 的二次对称点，则a 的值为； ③若点D （2 , 1）是点A 关于y 轴，直线l 3的二次对称点，则直线l 3的表达式．若⊙O 上存在点M ，使得点M ＇是点M 关于y 轴，直线l 4: x = b 的二次对称点，且点M ＇在射线（3）E （t ，0）是x 轴上的动点，⊙E 的半径为2，若⊙E 上存在点N ，使得点N ＇是点N 关于y 轴，直线l 5:的二次对称点，且点N ＇在y 轴上，求t 的取值范围． (0)3 y x x =≥1y =+ 图1 图2

上海中考数学新定义类型题专项训练

中考阅读理解类新定义类题型专项姓名_______________ [代数类] 1．（本题10分）设A 是含有根式的代数式，若存在另一个不恒等于零的代数式B ，使乘积AB 不含根式，则称B 为A 的共扼根式。（1 ）设A =，写出它的一个共轭根式：B =；（2）对于（1）中的A 和B ，计算：2211 A B A B +++ 2. 将关于x 的一元二次方程02=++q px x 变形为q px x --=2，就可将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知 012=--x x ，可用“降次法”求得134--x x 的值是 3. 下表是六年级学生小林的学期成绩单，由于不小心蘸上了墨水，他的数学平时成绩看不到，小林去问了数学课代表，课代表说他也不知道小林的平时成绩，但他说：“我知道老师核算学期总成绩的方法，就是期中成绩与平时成绩各占30%，而期末成绩占40%.”小林核对了语文成绩：77%3070%4080%3080=?+?+?，完全正确，他再核对了英语成绩，同样如课代表所说，那么按上述方法核算的话，小林的数学平时成绩是分. [几何类] 4．我们把四边形两条对角线中点的连线段称为“奇异中位线”。现有两个全等三角形，边长分别为3cm 、4cm 、5cm 。将这两个三角形相等的边重合拼成凸四边形，如果凸四边形的“奇异中位线”的长不为0，那么“奇异中位线”的长是cm 。

5. 当两个圆有两个公共点，且其中一个圆的圆心在另一圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”.如果⊙1O 、⊙2O 半径分别3和1，且两圆“内相交”，那么两圆的圆心距d 的取值范围是. 6．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．在 Rt △ABC 中，∠C =90°，若Rt △ABC 是“好玩三角形”，则tanA = ． 7．如果一个三角形的一边长等于另一边长的两倍，我们把这样的三角形称为“倍边三角形”，如果一个直角三角形是倍边三角形，那么这个直角三角形的较小的锐角的正切值为． 8．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”.已知Rt △ABC 中，∠C =90°，较短的一条直角边边长为1，如果Rt △ABC 是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于. 9．我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比，如果某一等腰梯形腰长为5，底差等于6，面积为24，则该等腰梯形的纵横比等于； 10.三角形的三条高或其延长线相交于一点，这点称为三角形的垂心．边长为2的等边三角形的垂心到这个三角形各顶点之间的距离之和为 ___________． 11．将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n 倍得△AB′ C′，即如图①， ∠BAB′＝θ，AB B C AC n AB BC AC '''' ===，我们将这种变换记为[θ，n ] ．如图②，在△DEF 中，∠DFE =90°，将△DEF 绕点D 旋转，作变换[60°,n ]得△DE ′F ′，如果点E 、F 、F ′恰好在同一直线上，那么n =． 12．我们假设把两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．如果Rt △ABC A B C B′ C ′ D E ′ F ′ F 图① 图②

中考数学专题复习新定义题型(学生版)

小康老师中考数学专题复习--新定义型问题一、中考专题诠释所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力。近几年日照命题情况来看，该类题型为必考型，一般一道选择或填空再加一道答题，占12到18分。二、解题策略和解法精讲 “新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．三、中考典例剖析考点一：规律题型中的新定义例1 （2013?湛江）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题： sin30°=1 2 ，cos30°= 3 2 ，则sin230°+cos230°= ；① sin45°= 2 2 ，cos45°= 2 2 ，则sin245°+cos245°= ；② sin60°= 3 2 ，cos60°= 1 2 ，则sin260°+cos260°=．③ … 观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=．④ （1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；（2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA=3 5 ，求cosA．

1．（2013?绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明： 2 3 AO AD =；（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足 2 3 AO AD =，试判断O 是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC 的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究BCHG AGH S S 四边形的最大值．考点二：运算题型中的新定义例2 （2013?河北）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a-b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2-5）+1=2×（-3）+1=-6+1==-5。（1）求（-2）⊕3的值；（2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来．

2019年北京中考数学习题精选：新定义型问题

一、选择题 1、(2018北京昌平区初一第一学期期末) 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b = ab 2 + a .如：1☆3=1×32 +1=10. 则（-2）☆3的值为 A ．10 B ．-15 C. -16 D ．-20 答案：D 二、填空题 3、（2018北京西城区七年级第一学期期末附加题）1．用“△”定义新运算：对于任意有理数a ，b ，当 a ≤ b 时，都有2a b a b ?=；当a ＞b 时，都有2a b ab ?=．那么， 2△6 = ， 2 ()3 -△(3)-= ．答案：24，-6 4．（2018北京海淀区第二学期练习）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1， AB 和BC 组成圆的折弦，AB BC >，M 是弧ABC 的中点， MF AB ⊥于F ，则AF FB BC =+．如图2，△ABC 中，60ABC ∠=?，8AB =，6BC =，D 是AB 上一点，1BD =，作D E A B ⊥交△ABC 的外接圆于E ，连接EA ，则EAC ∠=________°．答案60 5、(2018北京交大附中初一第一学期期末)如图,在平面内，两条直线l 1，l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若p 、q 分别是点M 到直线l 1，l 2的距离，则称(p ，q )为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点共有______个．三、解答题图2 图1 E A

6、（2018北京平谷区初一第一学期期末）阅读材料：规定一种新的运算：a c =b ad bc d -．例如： 1214-23=-2.34 ××= （1）按照这个规定，请你计算 562 4 的值．（2）按照这个规定，当 52 12 2 4 2=-+-x x 时求x 的值．答案（1）5 62 4 =20-12=8 (2) （2）由 5 2 122 4 2=-+-x x 得 522422 1 =++-)()(x x ...............................................................4 解得，x = 1 (5) 7、（2018北京海淀区七年级第一学期期末）对于任意四个有理数a ，b ，c ，d ，可以组成两个有理数对（a ，b ）与（c ，d ）.我们规定：（a ，b ）★（c ，d ）=bc －ad . 例如：（1，2）★（3，4）=2×3－1×4=2．根据上述规定解决下列问题：（1）有理数对（2，－3）★（3，－2）= ; （2）若有理数对（－3，2x －1）★（1，x +1）=7，则x = ; （3）当满足等式（－3，2x －1）★（k ，x ＋k ）=5＋2k 的x 是整数时，求整数k 的值．答案. 解：（1）﹣5……………………..２分（2）1 ……………………..４分（3）∵等式（－3，2x －1）★（k ，x ＋k ）=5＋2k 的x 是整数 ∴（2x ﹣1）k ﹣（﹣3）（x ﹢k ）=5﹢2k ∴（2k ﹢3）x =5

中考数学新定义题型解析专题

新定义型专题第一部分讲解部分（一）专题诠释所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力（二）解题策略和解法精讲 “新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．（三）考点精讲考点一：规律题型中的新定义例1.（2009山东枣庄，18，4分）定义：a 是不为1的有理数，我们把 1 1a -称为a 的差倒数．如：2的差倒数是 1 112 =--，－1的差倒数是 111(1)2=--．已知a 1＝－13，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2009＝．【分析】：理解差倒数的概念，要根据定义去做．通过计算，寻找差倒数出现的规律，依据规律解答即可．【解】：解：根据差倒数定义可得：21113 114 13 a a = ==-+， 3211 43 114a a = ==-- 43111 1143 a a = ==---．显然每三个循环一次，又2009÷3＝669余2，故a 2009和a 2的值相等．【评注】：此类题型要严格根据定义做，这也是近几年出现的新类型题之一，同时注意分析循环的规律．考点二：运算题型中的新定义例2.（2011毕节地区，18，3分）对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算如下， *0a b a b a b a b += +（＞） ﹣，如：323*2532+==﹣，那么6*（5*4）= ．【分析】：本题需先根据已知条件求出5*4的值，再求出6*（5*4）的值即可求出结果．【解】：∵*0a b a b a b a b += +（＞） ﹣，

2020届中考数学(真题版)专项练习：新定义与阅读理解题(含答案)

新定义与阅读理解题 1．（2019自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S=1+2+22+…+22017+22018①，则2S=2+22+…+22018+22019②， ②–①得2S–S=S=22019–1， ∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019–1. 请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+…+29=__________；（2）3+32+…+310=__________；（3）求1+a+a2+…+a n的和（a＞0，n是正整数），请写出计算过程．解：（1）设S=1+2+22+…+29①，则2S=2+22+…+210②， ②–①得2S–S=S=210–1， ∴S=1+2+22+…+29=210–1；故答案为：210–1；（2）设S=3+3+32+33+34+…+310①，则3S=32+33+34+35+…+311②， ②–①得2S=311–1，所以S= 11 31 2 -，即3+32+33+34+ (310) 11 31 2 -；故答案为： 11 31 2 -；

（3）设S =1+a +a 2+a 3+a 4+…+a n ①，则aS =a +a 2+a 3+a 4+…+a n +a n +1②， ②–①得：（a –1）S =a n +1–1， a =1时，不能直接除以a –1，此时原式等于n +1； a ≠1时，a –1才能做分母，所以S =11 1n a a +--，即1+a +a 2 +a 3 +a 4 +…+a n =11 1 n a a +--. 2．（2019随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m ，n ，我们可将这个两位数记为mn ，易知mn =10m +n ；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如abc =100a +10b +c ．【基础训练】（1）解方程填空： ①若2x +3x =45，则x =__________； ②若7y –8y =26，则y =__________； ③若93t +58t =131t ，则t =__________；【能力提升】（2）交换任意一个两位数mn 的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm ，则mn +nm 一定能被__________整除， mn –nm 一定能被__________整除，mn ?nm –mn 一定能被__________整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）【探索发现】（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数

2020湖南省中考数学专题复习新定义阅读理解题含答案

新定义阅读理解题 1. 材料：解形如(x ＋a )4＋(x ＋b )4＝c 的一元四次方程时，可以先求常数a 和b 的均值a ＋b 2 ，然后设y ＝x ＋a ＋b 2 ，再把原方程换元求解．用这种方法可以成功地消去含未知数的奇次项，使方程转化成易于求解的双二次方程，这种方法叫做“均值换元法”．例：解方程：(x －2)4＋(x －3)4＝1 解：∵－2和－3的均值为－52，∴设y ＝x －52，原方程可化为(y ＋12)4＋(y －12 )4＝1. 去括号得(y 2＋y ＋14)2＋(y 2－y ＋14 )2＝1. y 4＋y 2＋116＋2y 3＋12y 2＋12y ＋y 4＋y 2＋116－2y 3＋12y 2－12 y ＝1. 整理得2y 4＋3y 2－78 ＝0.(成功地消去了未知数的奇次项) 解得y 2＝14或y 2＝－74 (舍去)． ∴y ＝±12，即x －52＝±12 .∴x ＝3或x ＝2. (1)用阅读材料中这种方法解关于x 的方程(x ＋3)4＋(x ＋5)4＝1130时，先求两个常数的均值为________．设y ＝x ＋________．原方程转化为：(y －________)4＋(y ＋________)4＝1130； (2)用这种方法，求解方程(x ＋1)4＋(x ＋3)4＝706. 2. 求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个

正整数最大公约数的一种方法——更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也，以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差(或减数)即为这两个正整数的最大公约数．例如：求91与56的最大公约数解：91－56＝35， 56－35＝21， 35－21＝14， 21－14＝7， 14－7＝7，所以，91与56的最大公约数是7. 请用以上方法解决下列问题： (1)求108与45的最大公约数； (2)求三个数78、104、143的最大公约数． 3.材料一：若整数a和整数b除以整数m所得的余数相同，则称a和b对m同余．材料二：一个n位数如果满足相邻两位上的数字之差(高位数字减去低位数字)均为一个相同的整数，我

(完整版)北京中考数学新定义题目汇总

2018西城一模 28．对于平面内的⊙和⊙外一点，给出如下定义：若过点的直线与⊙存在公共点，记为点，，设，则称点（或点）是⊙的“相关依附点”，特别地，当点和点重合时，规定，（或）．已知在平面直角坐标系中，，，⊙的半径为．（1）如图，当时， ①若是⊙的“相关依附点”，则的值为__________． ②是否为⊙的“相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）．（2）若⊙上存在“相关依附点”点， ①当，直线与⊙相切时，求的值． ②当时，求的取值范围．（3）若存在的值使得直线与⊙有公共点，且公共点时⊙的附点”，直接写出的取值范围． C C Q Q C A B AQ BQ k CQ += A B C k A B AQ BQ =2AQ k CQ = 2BQ CQ xOy (1,0)Q -(1,0)C C r 1 r 1(0,1)A C k k 2(1A +C 2C k M 1r =QM C k k =r r y b =+C C b x

2018平谷一模 28. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为，点N 的坐标为，且，，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”. （1）已知点A （2,0），B （），则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为 _______；（ 2）若点C （1,2），点D 在直线y =5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O ，点P 的坐标为(3,m ) .若在⊙ O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围． 2018石景山一模 28．对于平面上两点A ，B ，给出如下定义：以点A 或B 为圆心， AB 长为半径的圆称为点A ，B 的“确定圆”．如图为点A ，B 的“确定圆”的示意图．．．．（1）已知点A 的坐标为，点的坐标为，则点A ，B 的“确定圆”的面积为_________；（2）已知点A 的坐标为，若直线上只存在一个点B ，使得点A ，B 的“确定圆”的面积为，求点B 的坐标；（3）已知点A 在以为圆心，以1为半径的圆上，点B 在直线上，若要使所有点A ，B 的“确定圆”的面积都不小于，直接写出的取值范围． ()11,x y ()22,x y 12x x ≠12y y ≠(1,0)-B (3,3)(0,0)y x b =+9π(0)P m ，y x =9πm

2018年中考压轴题--中考新定义题型

蓬街私立中学校本作业4 1.（2014?）研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定．定义：六个角相等的六边形叫等角六边形．（1）研究性质 ①如图1，等角六边形ABCDEF中，三组正对边AB与DE，BC与EF，CD与AF分别有什么位置关系？证明你的结论 ②如图2，等角六边形ABCDEF中，如果有AB=DE，则其余两组正对边BC与EF，CD与AF 相等吗？证明你的结论 ③如图3，等角六边形ABCDEF中，如果三条正对角线AD，BE，CF相交于一点O，那么三组正对边AB与DE，BC与EF，CD与AF分别有什么数量关系？证明你的结论．（2）探索判定三组正对边分别平行的六边形，至少需要几个角为120°，才能保证六边形一定是等角六边形？ 2.定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是

一个直角三角形，则称点M ，N 是线段AB 的勾股分割点（1）已知点M ，N 是线段AB 的勾股分割点，若AM =2，MN =3求BN 的长；（2）如图2，在△ABC 中，FG 是中位线，点D ，E 是线段BC 的勾股分割点，且EC >DE ≥BD ，连接AD ，AE 分别交FG 于点M ，N ，求证：点M ，N 是线段FG 的勾股分割点（3）已知点C 是线段AB 上的一定点，其位置如图3所示，请在BC 上画一点D ，使C ，D 是线段AB 的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）（4）如图4，已知点M ，N 是线段AB 的勾股分割点，MN >AM ≥BN ，△AMC ，△MND 和△NBM 均是等边三角形，AE 分别交CM ，DM ，DN 于点F ，G ，H ，若H 是DN 的中点，试探究AMF S ?，BEN S ?和MNHG S 四边形的数量关系，并说明理由 3.（本题12分）

中考数学专题训练(附详细解析)：材料阅读题、定义新

中考数学专题训练（附详细解析）材料阅读题、定义新 1、（专题潍坊市）对于实数x ，我们规定[]x 表示不大于x 的最大整数，例如[]12.1=， []33=，[]35.2-=-，若5104=?? ? ???+x ，则x 的取值可以是（）. A.40 B.45 C.51 D.56 答案：C ．考点:新定义问题. 点评:本题需要学生先通过阅读掌握新定义公式，再利用类似方法解决问题.考查了学生观察问题，分析问题，解决问题的能力. 2、（专题东营中考）若定义：(,)(,)f a b a b =-， (,)(,)g m n m n =-，例如 (1,2)(1,2)f =-，(4,5)(4,5)g --=-，则((2,3))g f -=（） A ．(2,3)- B ．(2,3)- C ．(2,3) D ．(2,3)-- 6.B.解析：由题意得f(2,3)=(-2,-3),所以g(f(2,-3))=g(-2,-3)=(-2,3),故选B. 3、（专题四川宜宾）对于实数a 、b ，定义一种运算“?”为：a ?b =a 2+ab ﹣2，有下列命题：①1?3=2； ②方程x ?1=0的根为：x 1=﹣2，x 2=1； ③不等式组的解集为：﹣1＜x ＜4； ④点（，）在函数y =x ?（﹣1）的图象上．其中正确的是（） A ．①②③④ B ．①③ C ．①②③ D ．③④ 考点：二次函数图象上点的坐标特征；有理数的混合运算；解一元二次方程－因式分解法；解一元一次不等式组；命题与定理．专题：新定义．分析：根据新定义得到1?3=12+1×3﹣2=2，则可对①进行判断；根据新定义由x ?1=0得到x 2+x ﹣2=0，然后解方程可对②进行判断；根据新定义得，解得﹣1＜x ＜4，可对③进行判断；根据新定义得y =x ?（﹣1）=x 2﹣x ﹣2，然后把x =代入计算得到对应的函数值，则可对④进行判断．

中考数学复习新定义题型

新定义题类型一新运算型 1.我们根据指数运算，得出了一种新的运算，下表是两种运算对应关系的一组实例：根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216＝4，②log 5 25＝5，③log 2 ＝－1.其中正确的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 2.阅读材料：设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，如果∥，则x1·y2＝x2·y1.根据该材料填空：已知＝(2，3)，＝(4，m)，且∥，则m＝________. 3.对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1.因此，min{－，－}＝________；若min{(x－1)2，x2}＝1，则x＝______． 4.阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于－1，记为i2＝－1，这个数i叫做虚数单位，把形如a＋ bi(a，b为实数)的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：(2－i)＋(5＋3i)＝(2＋5)＋(－1＋3)i＝7＋2i； (1＋i)×(2－i)＝1×2－i＋2×i－i2＝2＋(－1＋2)i＋1＝3＋i；根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：i3＝________，i4＝________； (2)计算：(1＋i)×(3－4i)； (3)计算：i＋i2＋i3＋ (i2017) 类型二新概念型 5.已知点A在函数y1＝－(x＞0)的图象上，点B在直线y2＝kx＋1＋k(k为常数，且k≥0)上，若A，B两点关于原点对称，则称点A、B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为( )

中考新定义题型

新概念题目类型一?解答题（共8小题） 1. （2012?绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念. 定义：至三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心. 举例：如图1，若PA=PB，则点P ABC的准外心. 应用：如图2, CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=—AB，求/ APB 2 的度数. 探究：已知△ ABC为直角三角形，斜边BC=5 , AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA 的长. 2. （2012?舟山）将△ ABC绕点A按逆时针方向旋转B度，并使各边长变为原来的n倍，得厶AB'C',即如图①，我们将这种变换记为［0, n］. （1）如图①，对△ ABC作变换［60 ° 诉］得厶ABC',则AB C：ABC = ；直线BC与直线B'C所夹的锐角为_______________ 度；（2）如图②，△ ABC 中，/ BAC=30 ° / ACB=90 ° 对厶ABC 作变换［0,门］得厶AB C 使点B、C、C'在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求0和n的值；（3）如图③，△ ABC 中，AB=AC , / BAC=36 ° BC=1 ,对厶ABC 作变换［0,门］得厶AB 'C', 使点B、C、B'在同一直线上，且四边形ABB C为平行四边形，求0和n的值. 第1页（共10页）图①

4. ( 2013?仙桃)一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形.如图1,矩形ABCD中，若AB=2 , BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形. (1)判断与操作：如图2,矩形ABCD长为5，宽为2,它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由. (2)探究与计算：已知矩形ABCD的一边长为20,另一边长为a ( a v 20),且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值. (3)归纳与拓展：已知矩形ABCD两邻边的长分别为b, c ( b v c),且它是4阶奇异矩形，求b: c (直接写出结果). 5. ( 2014?舟山)类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形”. (1)已知：如图1,四边形ABCD是等对角四边形”，/ A立C,/ A=70 ° / B=80 °求 / C，/ D的度数. (2)在探究等对角四边形”性质时： ①小红画了一个等对角四边形” ABCD (如图2),其中/ ABC= / ADC , AB=AD，此时她发现 CB=CD成立.请你证明此结论； ②由此小红猜想：对于任意等对角四边形'当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”.你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例. (3)已知：在等对角四边形”ABCD中，/ DAB=60 ° / ABC=90 ° AB=5 , AD=4 .求对角线AC 的长.

北京中考数学29题新定义综合练习

寒假作业之新定义 1．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）（x≥0）的每一个整数点，给出如下定义：如果P也是整数点，则称点'P为点P的“整根点”．例如：点（25，36）的“整根点”为点（5，6）. （1）点A（4，8），B（0，16），C（25，－9）的整根点是否存在，若存在请写出整根点的坐标；（2）如果点M对应的整根点' M的坐标为（2，3），则点M的坐标；（3）在坐标系内有一开口朝下的二次函数24(0 y ax x a =+≠），如果在第一象限内的二次函数图像内部（不在图像上），若存在整根点的点只有三个请求出实数a的取值范围.

2..如图，对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和线段AB ，给出如下定义：如果线段AB 上存在两个点M ，N ，使得∠MPN =30°，那么称点P 为线段AB 的伴随点．（1）已知点A （-1，0），B （1，0）及D （1，-1），E ?? ? ??-32 5 , ，F （0， 32+）， ①在点D ，E ，F 中，线段AB 的伴随点是_________； ②作直线AF ，若直线AF 上的点P （m ，n ）是线段AB 的伴随点，求m 的取值范围；（2）平面内有一个腰长为1的等腰直角三角形，若该三角形边上的任意一点都是某条线段 a 的伴随点，请直接写出这条线段a 的长度的范围．

3. 若抛物线L ：()02≠++=abc c b a c bx ax y 是常数，且，，与直线l 都经过y 轴上的同一点，且抛物线L 的顶点在直线l 上，则称此抛物线L 与直线l 具有“一带一路”关系，并且将直线l 叫做抛物线L 的“路线”，抛物线L 叫做直线l 的“带线”. (1) 若“路线”l 的表达式为42-=x y ，它的“带线”L 的顶点在反比例函数x y 6=(x ＜0)的图象上，求“带线”L 的表达式； (2)如果抛物线122-+-=m mx mx y 与直线1+=nx y 具有“一带一路”关系，求m ,n 的值； (3)设(2) 中的“带线”L 与它的“路线”l 在 y 轴上的交点为A . 已知点P 为“带线”L 上的点，当以点P 为圆心的圆与“路线”l 相切于点A 时，求出点P 的坐标. 备用图

新定义函数-中考新题型

函数图形变换方法总结： 1．掌握函数平移的规律，包括一次函数、反比例函数和二次函数； 2．确定函数的特征点为基准移动函数，并确定移动后的解析式； 3．根据题目要求结合函数性质解决问题。例1．我们规定：形如()ax k y a b k k ab x b +=≠+、、为常数，且的函数叫做“奇特函数”.当0a b ==时，“奇特函数”ax k y x b +=+就是反比例函数(0)k y k x =≠. （1）若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x 和y 后，得到的新矩形的面积为8 ，求y 与x 之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；（2）如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D 是OA 的中点，连结OB ， CD 交于点E ，“奇特函数”6ax k y x +=-的图象经过B ，E 两点. ①求这个“奇特函数”的解析式； ②把反比例函数3y x =的图象向右平移6个单位，再向上平移个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象.过线段BE 中点M 的一条直线l 与这个“奇特函数”的图象交于P ，Q 两点，若以B 、

E、P、Q为顶点组成的四边形面积为1610 ，请直 3 接写出点P的坐标．例2．定义{a，b，c}为函数y=ax2+bx+c的“特征数”．如：函数y=x2-2x+3的“特征数”是{1，-2，

3}，函数y =2x +3的“特征数”是{0，2，3}，函数y =-x 的“特征数”是{0，-1，0} （1）将“特征数”是30,,13????? ??? ? ? 的函数图象向下平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是313y x =-；（2）在（1）中，平移前后的两个函数分别与y 轴交于A 、B 两点，与直线3x =分别交于D 、C 两点，判断以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形形状，请说明理由并计算其周长；（3）若（2）中的四边形与“特征数”是2 11,2b,b 2?? -+???? 的函数图象的有交点，求满足条件的实数b 的取值范围．

2019年全国中考数学真题分类汇编(新定义型)

一、选择题 1.（2019·岳阳）对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点．如果二次函数y =x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是（） A ．c ＜－3 B ．c ＜－2 C ．1 4 c

4y x =-的距离就是两平行直线y x =与4y x =- 之间的距离．d = = =． 16．（2019·常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M 、N 的坐标分别为(0，1)，(0，－1)，P 是二次函数y ＝x 2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线y ＝－1于点Q ，则四边形PMNQ 是广义菱形．其中正确的是．（填序号）【答案】①④ 【解析】正方形和菱形满足一组对边平行，一组邻边相等，故都是广义菱形，故①正确；平行四边形虽然满足一组对边平行，但是邻边不一定相等，因此不是广义菱形，故②错误；对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形的对边不一定平行，邻边也不一定相等，因此不是广义菱形，故③错误；④中的四边形PMNQ 满足MN ∥PQ ，设P (m ，0)（m ＞0），∵PM ＋1， PQ ＝－(－1)＝＋1，∴PM ＝PQ ，故四边形PMNQ 是广义菱形．综上所述正确的是①④． 17．（2019·陇南）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC 中，∠A ＝80°，则它的特征值k ＝．【答案】 85或1 4 ．【解析】当∠A 是顶角时，底角是50°，则k= 808505=；当∠A 是底角时，则底角是20°，k=201 804 =，故答案为：85或1 4 ．三、解答题 1.（2019·重庆A 卷）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数—“纯数”．定义：对于自然数n ，在计算n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n 为“纯数”，例如：32是”纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23 ＋24＋25时，个位产生了进位．（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；（2）求出不大于100的“纯数”的个数．解：（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”，理由如下： ∵在计算2019＋2020＋2021时，个位产生了进位，而计算2020＋2021＋2022时，各数位都不产生进位， ∴2019不是“纯数”，2020是“纯数”．（2）由题意可知，连续三个自然数的个位不同，其他位都相同，并且连续的三个自然数个位为0、1、2 时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位．现分三种情况讨论如下： ①当这个数为一位自然数时，只能是0、1、2，共3个； 1 4 214m 214m 2 14 m

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