特殊的平行四边形
知识点一：矩形的定义
要点诠释：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。（嘿嘿嘿）
知识点二：矩形的性质
要点诠释：矩形具有平行四边形所有的性质。此外，它还具有如下特殊性质：
1.矩形的四个角都是直角；
2.矩形的对角线相等；推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3.矩形是轴对称图形也是中心对称图形。
知识点三：矩形的判定方法
要点诠释：1. 用矩形的定义：一个角是直角的平行四边形是矩形；
2.有三个角是直角的四边形是矩形；
3.对角线相等的平行四边形是矩形；
4.对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
知识点四：菱形的定义
要点诠释：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
知识点五：菱形的性质
要点诠释：菱形具有平行四边形一切性质，此外，它还具有如下特殊性质：
1.菱形的四条边相等。
2.菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。
3.菱形是轴对称图形也是中心对称图形，两条对角线所在的直线是它的两条对称轴。
知识点六：菱形的判定办法
要点诠释：1.用菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2.四条边都相等的四边形是菱形；
3.对角线垂直的平行四边形是菱形；
4.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
知识点七：正方形的定义
要点诠释：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
知识点八：正方形的性质
要点诠释：1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等；
2.正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
3.正方形既是轴对称图形也是中心对称图形。
知识点九：正方形的判定方法
要点诠释：1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2.有一组邻边相等的矩形是正方形；
3.有一个角是直角的菱形是正方形.
归纳整理，形成认知体系1．复习概念，理清关系
2．集合表示，突出关系
S=
类型一：矩形
1．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，已知AC=6 cm ，∠BOC=120°． 求：（1）∠ACB 的度数；（2）求AB 、BC 的长度．
思路点拨：本题是对矩形性质的考查（1）要求∠ACB 的度数，而已知∠BOC ＝120°，在△BOC 中，由矩形的性质，知OB ＝OC ，从而∠OBC=∠ACB ．由此可求出∠ACB ．（2）在Rt △ACB 中，对角线AC=6cm ，第（1）问已求出∠ACB=30°，因此AB 即可求出．然后利用勾股定理求出BC 的长．
总结升华：矩形问题通常通过对角线将其转化为等腰三角形或直角三角形来解决．
举一反三： 【变式1】已知□ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，△ABO 是等边三角形，AB ＝4cm ，求这个平行四边形的面积。
思路点拨：（1）先判定□ABCD 为矩形。（2）求出Rt △ABC 的直角边BC 的长度。（3）计算矩形ABCD 的面积为AB ·BC
解析：∵四边形ABCD 是平行四边形。 ∴△ABO ≌△DCO
又∵△ABO 是等边三角形
∴△DCO 也是等边三角形，即AO ＝BO ＝CO ＝DO ∴AC ＝BD
∴ □ABCD 为矩形。
∵AB ＝4cm ，AC ＝AO+CO ∴AC ＝8cm
在Rt △ABC 中，由勾股定理得：
BC＝cm
∴矩形ABCD的面积为：AB·BC＝16cm2
【变式2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于E，则：（1）图中与∠BAE相等的角有__________；
（2）若∠AOB=60°，则AB：BD＝_________。图中△DOC是___________三角形（按边分）．
类型二：菱形
2．如图，BD是△ABC中∠ABC的平分线，DE//BC交AB于E，DF//AB交BC 于F.试判断四边形BFDE的形状并说明理由.
思路点拨:此题条件中有角分线有平行线，一般会有等腰三角形存在.
解析：∵DE//BC，DF//AB
∴DE//BF，DF//EB，∠2=∠3.
∴四边形EBFD是平行四边形
又∵BD平分∠ABC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴BE=ED
∴四边形BFDE是菱形.
总结升华：菱形的四条边都相等，对角线互相垂直且平分一组对角。在解决菱形的有关问题时，经常要用到菱形的这些特殊性质。
举一反三：
【变式1】已知如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F。试判断四边形AFCE的形状并说明理由.
【答案】：∵EF是AC的垂直平分线
∴AE=EC，∠1=∠2
∵平行四边形ABCD可得AE//FC
∴∠1=∠3
∴∠3=∠2
在直角三角形EOC和FOC中，∠OEC=∠OFC
∴CE=CF
∴AE=CF
∵AE=FC且AE//FC
∴四边形AFCE是菱形
【变式2】(贵州贵阳)如图，在平行四边形ABCD中，分别为边的中点，连接．
（1）求证：．
（2）若，则四边形是什么特殊四边形？
请证明你的结论．
解：（1）在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，AD＝CB，
AB＝CD．
∵E，F分别为AB，CD的中点
AE=CF
∴．
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形．
证明：，
是，且是斜边（或）
是的中点，
．
由题意可知且，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
【变式3】已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE、BD交于M，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE，求证：AM=BE。
【答案】设∠BAE为x度，∠EAD为2x度，
由菱形ABCD可知AD//BC且BD平分∠ABC，
则∠AEB=∠EAD=（2x）°，∠ABD=∠DBC=x°
在三角形ABE中，x+2x+2x=180°
x=36°
△ABM中，∠ABM=∠BAM=36°，∴AM=BM
△EBM中，∠BME=∠BEM=72°，∴BM=BE
∴AM=BE
类型三：正方形
3.（黄冈中考）已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点
作交的延长线于点。求证：．
思路点拨：证明两条线段相等的方法有很多种，而本题中DE, DF分别在△DAE与△DCF中，结合正方形的性质，我们可以证明△DAE与△DCF全等，利用全等三角形的对应边相等来说明。
举一反三：
【变式1】（青岛市中考）已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC 到E，使CE＝CG，连接BG并延长交DE于F．
（1）求证：△BCG≌△DCE；
（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形？并说明理由。
【答案】（1）证明：∵四边形为正方形
∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90°
∵CG＝CE，
∴△BCG≌△DCE
（2）答：四边形E′BGD是平行四边形
理由：
∵△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′
∴CE＝AE′
∵CG＝CE
∴CG＝AE′
∵AB＝CD，AB∥CD，
∴BE′＝DG，BE′∥DG，
∴四边形E′BGD是平行四边形
【变式2】如图B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，连接BG、DE.
（1）观察猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论.
（2）在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不
存在，请说明理由.
【答案】（1）BG=DE
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴GC=CE，BC=CD，∠BCG=∠DCE=90°
∴△BCG≌△DCE
∴BG=DE
（2）存在. △BCG和△DCE
△BCG绕点C顺时针方向旋转90°与△DCE重合
【变式3】如图2，在梯形纸片ABCD中，AD//BC，AD>CD。将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点处，折痕DE交BC于点E，连接。
（1）求证：四边形是菱形
（2）若BC=CD+AD，试判断四边形ABED的形状，并加以证明。
解析：（1）根据题意可知CD=，∠=∠CDE，∠=∠CED。
因为AD//BC，所以∠=∠CED，所以∠CDE=∠CED, 所以CD=CE 同理=，
故CD=CE==，
所以四边形是菱形。
（2）当BC=CD+AD时，四边形ABED为平行四边形。
证明：由（1）知CE=CD，而BC=CD+AD，则BE=AD，又因AD//BE。
所以四边形ABED为平行四边形。
【变式4】如图3所示，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O。若不添加辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是_________。
【答案】此题为开放性题目，答案不唯一。由“AB=BC=CD=DA”可以判断出四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可得出需增加的条件为：AC=BD或∠BAD=90°或∠ABC=90°或∠BCD=90°或∠CDA=90°等。
总结升华：特殊四边形主要根据其特有性质来判定，做题时，一定要找准边、角、对角线三个要素的特殊关系。
类型四：添加辅助线构造特殊图形
4．证明：（1）等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于腰上的高。
（2）等腰三角形底边延长线上任一点到两腰的距离差等于腰上的高。
思路点拨:本题是一道文字题，要先画图，并由图形写出已知、求证、要证一条线段是另两条线段的和或差经常使用的是“截长补短”的方法。
解析：（1）命题等价于：如图，已知ΔABC中,AB=AC,P是BC上任一点，PE⊥AB于E, PF⊥AC于F,
BD⊥AC于D,求证：PE+PF=BD.
证明：过B作BG⊥FP交FP的延长线于G,
∵∠BDF=∠DFG=∠BGF=90°,
∴四边形BGFD为矩形。
∴BD=FG=PF+PG.且BG∥DF.
∴∠C=∠PBG,又因为AB=AC,所以∠ACB=∠ABC,
∴∠PBG=∠ABC,又因为∠PEB=90°=∠BGP,PB为公共边,
∴PG=PE
∴PE+PF=PG+PF=GF=BD
即PE+PF=BD
（2）命题等价于：如图，已知ΔABC中,AB=AC,P为BC延长线上一点,PE⊥AB于E, PF⊥AC交AC的延长线于F,CD⊥AB于D, 求证PE-PF=CD
证明：连接AP,由PF⊥AC,PE⊥AB,CD⊥AB
知,
又因为
所以，
所以CD+PF=PE,即PE-PF=CD
总结升华：根据题意适当作出辅助线是解决问题的关键。
举一反三：
【变式1】如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P 为CE上任意一点,PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（）.
A. B. C. D.
【答案】A.
解：如图，过点C作CH⊥BD,则PQ+PR=CH（等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高）。
因为CB=CD，CH⊥BD,∠BCD=90°.
所以CH=BD（在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）。
因为,
所以.
所以PQ+PR=.故选A.
【变式2】正方形ABCD的边长是4厘米，长方形DEFG的长DG=5厘米，问长方形的宽DE为多少厘米？
【答案】因为长方形面积=长×宽，现在已知长方形DEFG的长，要求宽，所以先求长方形DEFG的面积.而正方形ABCD面积已知，能找出正方形ABCD面积与长方形EFGD面积之间的关系即可.观察两个图形的重叠部分发现，如果连结AG，如图2，那么在正方形ABCD中，三角形AGD的底和高分别为正方形边长AD和CD，所以它的面积是正方形ABCD 面积的一半.同样在长方形EFGD中，三角形AGD的底为长方形的长DG，高为长方形的宽DE，所以它的面积也是长方形DEFG面积的一半.这样就找到了长方形DEFG与正方形ABCD面积之间的关系.连结辅助线AG，因为三角形AGD的面积是正方形ABCD面积的一半，也是长方形DEFG面积的一半.所以长方形DEFG面积=正方形ABCD面积=4×4=16（平方厘米）长方形DEFG的宽DE=16÷5=3.2（厘米）
学习成果测评
基础达标：
一、填空题
1．用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是____________．
2．如果边长分别为4cm和5cm的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm．
3．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是____________cm2．
4．如图1，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，图中共有_______个平行四边形．
5．若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件____________(写一个即可)，使四边形ABCD是菱形．
6．如图2，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△ABO的周长为17，AB＝6，那么对角
线AC＋BD＝___________．
7．以正方形ABCD的边BC 为边做等边△BCE，则∠AED的度数为____________．
8．如图3，延长正方形ABCD的边AB到E，使BE＝AC，则∠E＝___________°．
9．已知菱形ABCD的边长为6，∠A＝60°，如果点P是菱形内一点，且PB＝PD＝2那么AP的长为____.
10．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限
内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是____________．
二、选择题
11．如图4在平行四边形ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连结EF，则∠E＋∠F＝( )
A．110°B．30°C．50°D．70°
12．菱形具有而矩形不具有的性质是( )
A．对角相等B．四边相等C．对角线互相平分D．四角相等
13．如图5，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3 cm，则AB的长为( )
A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm
14．已知：如图6，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．若AB＝2，AD＝4，则
图中阴影部分的面积为( )
A．8 B．6 C．4D．3
15．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、
正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形( )
A．①③⑤B．②③⑤C．①②③D．①③④⑤
16．如图7是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周
长是( )
图7
A．88 mm B．96 mm C．80 mm D．84 mm
17．四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，使得ABCD是平行四边形，一共有多少种不同的组
合？（）
AB∥CD；BC∥AD；AB=CD；BC=AD。
A．2组B．3组C．4组D．6组
18．下列说法错误的是（）
A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形。
B．每组邻边都相等的四边形是菱形。
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形。
D．四个角都相等的四边形是矩形。
三、阅读理解题
19．如图8，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，阅读下列材料，
⑴连结AC、BD，由三角形中位线的性质定理可证四边形EFGH是____________。
⑵对角线AC、BD满足条件____________时，四边形EFGH是矩形。
⑶对角线AC、BD满足条件____________时，四边形EFGH是菱形。
⑷对角线AC、BD满足条件____________时，四边形EFGH是正方形。
图8
四、解答题
20．如图9，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm , BD＝6cm, DH⊥AB于H，求：DH的长
图9
21．已知：如图10，菱形ABCD的周长为16cm，∠ABC＝60°，对角线AC和BD相交于点O，
求AC和BD的长。
五、证明题
22．如图11，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PE⊥BC，垂足为E，PF⊥CD，垂足为F，
求证：EF＝AP
23．如图12，在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
⑴试说明:DE=DF
⑵只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线,无
需证明
24．如图□ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，EF∥AB交AD于F，试问：四边形ABEF是什么图形吗？请说明
理由。
25．以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形,即△ABD、△BCE、△ACF,请回答下列问题：
（1）四边形ADEF是什么四边形？并说明理由
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？
（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．
答案与解析：
基础达标：
一、填空题
1、先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等。
2、2（提示：用面积相等列方程）
3、20 （提示：菱形面积等于对角线乘积的一半）
4、3 （提示：两组对边平行的的四边形是平行四边形）
5、AC⊥BD （提示：根据菱形的判定方法填写一个即可）
6、22 （提示：平行四边形对边相等对角线互相平分）
7、150°或30°（提示：分向正方形内部或外部做等边三角形两种情况）
8、22.5°（提示：连接BD，由等腰三角形性质得出）
9、4或2（提示：由菱形的性质P在AC上）
10、（2 ，5）（提示：画图，应用平行四边形对边相等的性质即可）
二、选择题
11、D（提示：用三角形内角和是180度及平行四边形对角相等）
12、B（提示：菱形的边有特性）
13、B（提示：OE是三角形的中位线）
14、C（提示：阴影部分是菱形）
15、A（提示：分短直角边、长直角边及斜边重合；还要考虑翻转后重合）
16、B（提示：分割成若干个矩形）
17、C（提示：根据平行四边形的判定定理）
18、C（提示：菱形）
三、阅读填空
19、⑴平行四边形⑵AC⊥BD ⑶AC＝BD ⑷AC⊥BD且AC＝BD
四、解答题
20、4.8 cm
21、AC＝4cm , BD＝4cm
五、证明题
22、证明：连结PC
∵正方形ABCD
∴AB＝BC ，∠ABD＝∠DBC =45°∠BCD＝90°
∵BP＝BP
∴△ABP≌△CBP
∴AP = CP
∵PE⊥BC，PF⊥DC
∴四边形PECF为矩形
∴EF＝PC
∴EF＝AP
23、证明：⑴连结AD
∵AB＝AC，D为BC的中点
∴AD为∠BAC的平分线
∵DE⊥AB ，DF⊥AC
∴DE＝DF
⑵∠BAC＝90°, DE⊥DF
24、菱形
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC ，∠2＝∠3
∵AB∥EF
∴四边形ABEF为平行四边形
∵∠2＝∠1
∴∠1＝∠3
∴AB＝BE
∴四边形ABEF为菱形
25、解析：⑴四边形ADEF是平行四边形；
⑵若四边形ADEF为菱形，AD＝AF，所以AB＝AC．所以当△ABC满足AB＝AC 时，四边形ADEF是菱形；
⑶由（1）得∠BAC＝∠BDE＝60°＋∠ADE，当∠ADE＝0°时，以A、D、E、F 为顶点的四边形不存
时，此时，∠BAC＝60°．所以当∠BAC＝60°时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．
能力提升：
一、选择题
1、下列命题中错误的是（）
A．平行四边形的对边相等B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线相等D．对角线相等的四边形是矩形
2、顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是（）
A.菱形
B.正方形
C.矩形
D.等腰梯形
3、如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，
△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是（）
A．10 B．16C．18 D．20
4、如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（）
①②③④
A．①③B．②③C．③④D．①②③
5、下列命题正确的是（）
A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形B．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D．对角线相等的四边形是等腰梯形
6、如图，分别为正方形的边，，，上的点，且
，则图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为（）
A．B．C．D．
7、如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周
长为（）
A．B．C．D．
二、填空题
1、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知，AB=2.5，则AC的长为_______。
2、四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个
“赵爽弦图”（如图）。如果小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较小锐角为θ，
那么长直角边与斜边的比值=____________。
3、将一张等边三角形纸片沿着一边上的高剪开，可以拼成不同形状的四边形，试写出其中一种四边形
的名称____________．
4、如图，在的矩形方格图中，不包含阴影部分的矩形个数是____________个．
5、如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则∠ACP度数是____________．
6、如图，在三角形中，＞，、分别是、上的点，△
沿线段翻
折，使点落在边上，记为．若四边形是菱形，则是△的___________
7、如图，梯形中，，，且，分别以
为边向梯形外作正方形，其面积分别为，则
之间的关系
是____________．
三、解答题
1、宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协
调、匀称的美感。现将同学们在教学活动中，折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤
（如图所示）：
第一步：作一个任意正方形ABCD；
第二步：分别取AD、BC的中点M、N，连接MN；
第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；
第四步：过E作交AD的延长线于F ，
请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形，（可取AB=2）。
2、如图,已知:在四边形ABFC中，=90的垂直平分线EF交BC于点D,交
AB于点E,且CF=AE
(1)试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形;
(2)当的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?请回答并证明你的结论.
(特别提醒:表示角最好用数字)
答案与解析：
一、选择题
1、D （应该将四边形改为平行四边形）
2、A （平行四边形再加上一组邻边相等）
3、A （根据特殊点的值求边长）
4、A （根据菱形的判定定理进行判断）
5、C （菱形、矩形、等腰梯形的对角线具有不同的特点）
6、A （可以确定三角形全等后再求面积）
7、B （连接AC得到两个等腰三角形，用三线合一即可）
二、填空题
1、5 （用矩形的性质以及含有30度的直角三角形的特性）
2、0.8 （用勾股定理、正方形的性质求出各边的长）
3、平行四边形（或矩形或菱形）
P M N A B C D R 特殊四边形的性质与判定练习题 1． 若矩形的一条角平分线分一边为3cm 和5cm 两部分，则矩形的周长为 （ ） A ．22 B ．26 C ．22或26 D ．28 2．已知一矩形的周长是24cm ，相邻两边之比是1:2，那么这个矩形的面积是 （ ） A ．24cm 2 B ．32cm 2 C ．48cm 2 D ．128cm 2 3．由矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为1：3两部分，则该垂线与另一条对 角线的夹角为（ ） A 、22.5° B 、45° C 、30° D 、60° 4．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC,∠ADE= ∠CDE,那么∠BDC 等于（ ） A ．60° B ．45° C ．30° D ．22.5° 5．如图，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点R 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ，那么图中矩形AMRP 的面积S 1，与矩形QCNR 的面积S 2的大小关系是 ( ) A. S 1> S 2 B. S 1= S 2 C. S 1< S 2 D. 不能确定 6.平行四边形的一边长是10cm ，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（） A.4cm 和6cm B.6cm 和8cm C.8cm 和10cm D.10cm 和12cm 7.在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( ) A.AC ＝BD ，AB ＝CD ，AB ∥CD B.AD //BC ，∠A ＝∠C C.AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BD D.AO ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC 8．下列命题中，真命题是（ ） A 、有两边相等的平行四边形是菱形 B 、对角线垂直的四边形是菱形 C 、四个角相等的菱形是正方形 D 、两条对角线相等的四边形是矩形 9.平行四边形各内角平分线若围成一个四边形，则这个四边形一定是（ ） A 、矩形 B 、平行四边形 C 、菱形 D 、正方形
特殊 的平行四边形 一、知识回顾 矩形、菱形、正方形 1、菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角． ③具有平行四边形所有性质． 2．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形． ③四条边都相等的四边形是菱形． 3．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质． 4．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形． ③有三个角是直角的四边形是矩形． 5．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等． ②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 6．正方形的判定：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形． ③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形． 课前练习: 1．已知平行四边形ABCD 的周长是28cm ，CD-AD=2cm ，那么AB=______cm ，BC=______cm ． 2．菱形的两条对角线分别是6cm ，8cm ，则菱形的边长为_____，一组对边的距离为_____ 3．在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则BD ：AC 等于________ 4．已知正方形的边长为a ，则正方形内任意一点到四边的距离之和为_____． 5．矩形ABCD 被两条对角线分成的四个小三角形的周长之和是86cm ，对角线长是13cm ， 则矩形ABCD 的周长是_____________ 6．如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD ，BC 边的中点， 将C 点折叠至MN 上，落在P 点的位置，折痕为BQ ，连结PQ ，则PQ 二、例题讲解 矩形 例1．如图，已知矩形ABCD 的纸片沿对角线BD 折叠，使C 落在C ’处，BC ’边交AD 于E ，AD=4，CD=2 （1）求AE 的长 （2）△BED 的面积 巩固练习： 1．如图，矩形ABCD 中，AD=9，AB=3，将其折叠，使其点D 与点B 重合，折痕为 EF,求DE 和EF 的长。 2．如图，已知将矩形ABCD 沿EF 所在直线翻折，使点A 与C 重合，AB=6，AD=8,求折痕EF 的长 Ｍ Ｄ Ｑ ＢＡC ’ D A B C E F D A B C E C ’ E A D
H G F E D C B A H G F E D C B A 特殊的平行四边形复习 探究一：中点四边形 1、探究证明： （1）如图，四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，且AC=BD ，点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，猜想四边形EFGH 是什么样的图形，并证明； （2）如图，四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，且AC ⊥BD ，点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，猜想四边形EFGH 是什么的图形，并证明；
探究二、矩形的折叠问题 一、求角度 例1、如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C D ，分别落在C D ''，的位置上，EC '交AD 于点G ．已知58EFG ∠=°，那么BEG ∠= °． 例2、将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为( )．(A)60° (B)75° (C)90° (D)95° 二、求线段长度 例3、如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ） （A ）34 （B ）33（C ）2 4 （D ）８ 三、求图形面积 例4、如图，将长为20cm ，宽为2cm 的长方形白纸条，折成右图并在其一面着色，则着色部分的面积为（ ） A ．234cm B ．236cm C ．238cm D ．240cm 【折叠问题练习】 1．如图，四边形ABCD 为矩形纸片，把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF 。若CD=6，则AF=（ ）. A ． B ． C ． D ．8 A B C D E F
九年级数学上册《特殊平行四边形》 一、填空题： 1.判定一个四边形是矩形，可以先判定它是__________，再判定这个四边形有一个__________或再判定这个四边形的两条对角线__________. 2.菱形的面积为24cm 2，边长为5cm ，则该菱形的对角线长分别为 。 3.正方形以对角线的交点为中心，在平面上旋转最少_______度可以与原图形重合. 4.正方形的对角线长为10 cm ，则正方形的边长是_________. 5.矩形的两条对角线的一个交角是60°,一条对角线与较短边 的和是12 cm ，则对角线长是_ __. 6.如图，矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边上，如果 ∠BAE=50°，则∠DAF=_______. 7.顺次连接四边形各边中点，所得的图形是 ；顺次连接平行四边形各边中点，所得的图形是 ；顺次连结矩形四边中点所得四边形是_________；顺次连结菱形四边中点所得四边形是_________；顺次连结等腰梯形四边中点所得四边形是_________。由此猜想：顺次连结___ ____的四边形四边中点所得四边形是矩形，顺次连结_ _ _______的四边形四边中点所得四边形是菱形。即新四边形的形状与原四边形的____ _____有关。 8.已知菱形ABCD 的两条对角线长分别是6 cm 和8 cm ，则菱形的周长是_________. 9.如图，正方形ABCD ，以AB 为边分别在正方形内、外作等边△ABE 、△ABF ，则∠CFB=_______，若AB=4，则AFBE 四边形S =_________. 10.如图，E 为正方形ABCD 边BC 延长线上一点，且CE=BD ，AE 交DC 于F ，则∠AFC=________. 11.如图，把两个大小完全相同的矩形拼成“L ”型图案， 则FAC ∠= ，FCA ∠= 。 12.边长为a 的正方形，在一个角剪掉一个边长为的b 正方形， 则所剩余图形的周长为 。 13.已知菱形一个内角为120，且平分这个内角的一条对角线 长为8cm ，则这个菱形的周长为 。 14.如图，矩形纸片ABCD ，长AD ＝9cm ，宽AB ＝3 cm ，将其折 叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长为 ，折痕EF 的长为 。 二、选择题： 1.能判定一个四边形是菱形的题设是（ ） A.有一组邻边相等 B.对角线互相垂直 C.有三边相等 D.四条边都相等 2.□ABCD 是正方形需增加的条件是（ ） A.邻边相等 B.邻角相等 C.对角线互相垂直 D.对角线互相垂直且相等 3.矩形边长为10cm 和15cm ，其中一个内角的角平分线分长边为两部份，这两部份的长为（ ） A.6cm 和9cm B. 5cm 和10cm C. 4cm 和11cm D. 7cm 和8cm 4.从菱形的钝角顶点，向对角的两边条垂线，垂足恰好在该边的中点， 则菱形的内角中钝角的度数是（ ） A.150 B. 135 C. 120 D.100 5.如图，在矩形ABCD 中，O 是BC 的中点，∠AOD=90°， 若矩形ABCD 的周长为30 cm ，则AB 的长为( ) A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.7.5 cm 6.矩形各内角的平分线若能围成一个四边形，则这个四边形一定是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形 7.若菱形ABCD 的周长为16，∠A ∶∠B=1∶2，则菱形的面积为（ ） A.23 B.33 C.43 D.83 8.在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，能够找到一个点， 使该点到各顶点距离相等的图形是（ ） A.平行四边形和菱形 B.菱形和矩形 C.矩形和正方形 D.菱形和正方形 9.如图，过矩形ABCD 的顶点A 作对角线BD 的平行线交CD 的延长线于E ，则△AEC 是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.等腰直角三角形 10.矩形的对角线长10 cm ，顺次连结矩形四边中点所得四边形的周长为（ ） A.40 cm B.10 cm C.5 cm D.20 cm 11.如图，正方形ABCD 的对角线AC 是菱形AEFC 的一边， 则∠FAB 等于( ) A.135° B.45° C.22.5° D.30° 12.如图矩形ABCD 中,AB=2AD,E 是CD 上一点,AE=AB,则∠CBE 等于( ) A F D C B E B D A F 9题图 E B C D A F 10题图 E B C D A G F 11题图 14题图 D C B A F E G 5题图 A C B D A D C B E 9题图 11题图 12题图
H G F E D C B A H G F E D C B A 图 特殊的平行四边形复习 探究一：中点四边形 1、探究证明： （1）如图，四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，且AC=BD ，点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，猜想四边形EFGH 是什么样的图形，并证明； （2）如图，四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，且AC ⊥BD ，点 E 、 F 、 G 、 H 分别为边AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，猜想四边形EFGH 是什么的图形，并证明； 探究二、矩形的折叠问题 一、求角度 例1、如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C D ，分别落在C D ''，的位置上，EC '交AD 于点G ．已知58EFG ∠=°，那么BEG ∠= °． 例2、将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为( )．(A)60° (B)75° (C)90° (D)95° 二、求线段长度 例3、如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ） （A ）34 （B ）33（C ）2 4 （D ）８ 三、求图形面积 例4、如图，将长为20cm ，宽为2cm 的长方形白纸条，折成右图并在其一面着色，则着色部分的面积为（ ） A ．234cm B ．236cm C ．238cm D ．240cm 【折叠问题练习】 1．如图，四边形ABCD 为矩形纸片，把纸片 ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF 。若CD=6，则AF=（ ）. A B D E F
特殊平行四边形综合练习题 考点综述： 特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是四边形的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。 典型例题：（基础简单题） 例1：在下列命题中，正确的是（ ） A ．一组对边平行的四边形是平行四边形 B ．有一个角是直角的四边形是矩形 C ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 例2：如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若OA ＝2，则BD 的长为（ ）。 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 例3：如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O E ，为AB 的中点，且OE a =，则菱形ABCD 的周长为（ ） A ．16a B ．12a C ．8a D ．4a 例4：已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并延长交DE 于F ． （1）求证：BCG DCE △≌△； （2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90o 得到DAE '△，判断四边形E BGD '是什么特殊四边 形？并说明理由． 实战演练：（中档题） 1.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ） A .等腰梯形 B .正方形 C .平行四边形 D .矩形 笔记：中点四边形（补充知识点） （1）连接四边形各边中点： （2）连接平行四边形各边中点： （3）连接矩形各边中点： （4）连接菱形各边中点： （5）连接正方形各边中点： A 、顺次连接对角线相等的四边形各边的中点所得到的图形是： ． B 、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点所得到的图形是： ． C 、顺次连接对角线垂直且相等的四边形各边的中点所得到的图形是 ： ． A B C D E F E ' G
特殊的四边形有关的计算与证明： 学习目标： 1．掌握矩形，菱形，正方形的判定及性质； 2．综合运用菱形，矩形知识解决实际问题能力； 热身训练 1. . 如图，四边形ABCD是菱形. 对角线AC=8 ㎝，D B=6 ㎝，D H⊥AB与H. 求D H的 长. D C A O H B A 模拟练习2．（2017 海淀一模）如图，在□ABCD中，过 D 点A作AE ⊥BC F 于点E ，AF ⊥DC 于点F ，AE AF ． （1）求证：四边形ABCD是菱形；B C E （2）若EAF 60°，CF 2，求AF 的长．
3．如图，在已知平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，与BC相交于点 E，EF//AB，与AD相交于点 F. 求证: 四边形ABEF是菱形. 拓展提高： 4.（西城2017 一模）如图，在□ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC，过点 A 作AE∥BD，交 CD 的延长线于点E，过点 E 作EF⊥BC，交BC 延长线于点 F. （1）求证：四边形ABCD 是菱形； E （2）若∠ABC=45°，BC= 2，求E F 的长. A D B F C
1. 如图，已知AD平分∠BAC，DE// AC ，DF// AB ，试说明EF与AD互相垂直平分 A E F B C D 2. 已知：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点 E 是AD 的中点；过点 A 作AF∥BC 交 A F BE 的延长线于F，连接CF． E （1）求证：四边形ADC F 是平行四边形； D C （2）填空： B ①如果AB =AC，四边形ADCF 是形； ②如果∠BAC =90°，四边形ADCF 是形；． 3．如图所示，在矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm 、点P 从点 D 出发向点 A 运动， 同时点Q 从点B 出发向点 C 运动，点P、Q 的速度都是1cm/s． （1）在运动过程中，四边形AQCP 可能是菱形吗？ 如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP 是菱形？ （2）分别求出菱形AQCP 的周长、面积．
特殊的平行四边形 知识点一：矩形 1、概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2、性质定理（1）矩形的四个角是直角 （2）矩形的对角线相等且互相平分 （3）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形 直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 特殊运用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3、判定定理 （1）有一个角为直角的平行四边形叫矩形 （2）对角线相等平行四边形为矩形 （3）有三个角是直角的四边形是矩形 推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 归纳补充： 1、矩形是对称图形，对称中心是，矩形又是对称图形，对称轴有条 2、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题 3、矩形的面积S矩形=长×宽=ab
知识点二：菱形 1、定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2、性质定理： （1）菱形的四条边都相等 （2）菱形的对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 （3）菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是都是它的对称轴 菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心 2、判定定理： （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 （3）四条边都相等的四边形是菱形 ※注意：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，对角线互相垂直平分的四边形才是菱形 归纳补充: 1、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形 2、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算 3、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决题目知识点三：正方形 1、定义：有一组邻边相等的矩形叫正方形 2、性质定理 （1）正方形的四条边都相等，四个角是直角。 （2）正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角 （3）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形 3、判定定理 （1）有一组邻边相等的矩形是正方形 （2）对角线相互垂直的矩形是正方形 （3）对角线相等的菱形是正方形 （4）有一个角是直角的菱形是正方形 方法总结： （1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： 先证它是矩形，再证有一组邻边相等。先证它是菱形，再证有一个角是直角。
特殊四边形证明题（正方形） 1．如图，四边形ABCD 是正方形, 点G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F . 求证：DE －BF = EF ． 2．如图 ，ABCD 是正方形．G 是 BC 上的一点，DE ⊥AG 于 E ，BF ⊥AG 于 F ． （1）求证：ABF DAE △≌△； (2）求证：DE EF FB =+． 3．如图，在正方形ABCD 中，CE DF ⊥．若10cm CE =，求DF 的长． 4．正方形ABCD 中，MN ⊥GH ，求证：MN=HG 。 5．在正方形ABCD 的边CD 上任取一点E ，延长BC 到F ，使CF=CE ， 求证：BE ⊥DF 6．在正方形ABCD 的CD 边上取一点G ，在CG 上向原正方形外作正方形GCEF ， 求证：DE ⊥BG ，DE=BG 。 F C B E A _ D _ C _ B _ A _ M _ N _ G _ H A D E F C G B _ C _ D _ A _ B _ F _ E _ F _ G _ C _ D _ A _ B _ E _ H
7．已知如图，四边形ABCD 是正方形，F 、E 分别为BC 、CD 上的点，且EF=BF+DE ，AM ⊥EF ，垂足为M ，求证：(1)AM=AB ；(2)连AF ，连AE ，求∠FAE ． 8．正方形ABCD 中，∠EAF=45?.求证：BE+DF=EF 。 9．若分别以三角形ABC 的边AB 、AC 为边，在三角形外作正方形ABDE 、ACFG ， 求证：BG=EC ，BG ⊥EC 。 10．若以三角形ABC 的边AB 、AC 为边 向三角形外作正方形ABDE 、ACFG ， 求证：S AEG ?=S ABC ?。 11．若以三角形ABC 的边AB 、BC 为边向 三角形外作正方形ABDE 、BCFG ，N 为AC 中点，求证：DG=2BN ，BM ⊥DG 。 12．正方形ABCD 的边AD 上有一点E ，满足BE=ED+DC ，如果M 是AD 的中点， 求证：∠EBC=2∠ABM ， M E F B C A D _ H _ F _ G _ E _ D _ A _ B _ C _ F _ G _ E _ D _ A _ B _ C _ F _ G _ D _ E _ B _ A _ C _ N _ M _ C _ D _ A _B _ E _ F _ C _ D _ A _ B _ E _ M
平行四边形 一、平行四边形 1.平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2.平行四边形的判定定理： （1）判定定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （3）判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （4）判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 （5）判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 3.平行四边形的性质： （1）平行四边形的邻角互补，对角相等。 （2）平行四边形的对边平行且相等。 （3）夹在两条平行线间的平行线段相等。 （4）平行四边形的对角线互相平分。 （5）平行四边形是中心对称图形。 4.平行四边形的面积： 面积=底边长×高= ah（a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对边的距离。） 二、矩形 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。 2.矩形的判定定理： （1）判定定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。 （2）判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。 （3）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 3.矩形的性质： （1）具有平行四边形的一切性质。 （2）矩形的四个角都是直角。 （3）矩形的对角线相等。 （4）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。 4.矩形的面积： 矩形的面积=长×宽 三、菱形 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.菱形的判定定理： （1）判定定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）判定定理（1）：四边都相等的四边形是菱形。 （3）判定定理（2）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3.菱形的性质： （1）具有平行四边形的一切性质。 （2）菱形的四条边都相等。 （3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 （4）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。
特殊四边形经典例题 ①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形； ②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； ③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形； 于点M，N．给出下列结论： ①△ABM≌△CDN；②AM=AC；③DN=2NF；④S四边形BFNM=S平行四边形ABCD． 其中正确的结论有（） MNQP，分别内接于△BCD和△ABD，设矩形EFCH，MNQP的周长分别为m1，m2，则 m1，m2的大小关系为（） 6．如图，已知AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A与点D重合，给出下列判断： ①EF是△ABC的中位线； ②△DEF的周长等于△ABC周长的一半； ③若四边形AEDF是菱形，则AB=AC； ④若∠BAC是直角，则四边形AEDF是矩形， 其中正确的是（）
7．如图，已知A1，A2，A3，…A n是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1，分别过点A1，A2，A3，…A n作x轴的垂线交反比例函数y=（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…B n， 过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△B n P n B n+1的面积为S n，则S1+S2+S3+…+S n=_________．8．如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1D1C1；在等腰直角三角形OA1B1中作内接正方形A2B2D2C2；在等腰直角三角形OA2B2中作内接正方形 A3B3D3C3；…；依次做下去，则第n个正方形A n B n D n C n的边长是_________． 9．已知如图，在线段BG同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，其中BG=10，BC：CG=2：3，则S△ECG=_________，S△AEG=_________． 10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始，沿边AC向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒个单位长 度的速度运动，且恰好能始终保持连结两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）． （1）当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的？ （2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； （3）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．
特殊平行四边形之证明题 题型一：菱形的证明 1、如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( ) A. DE 是△ABC 的中位线 B. AA '是BC 边上的中线 C. AA '是BC 边上的高 D. AA '是△ABC 的角平分线 2．已知：如图，在ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △． （1）求证：BE DG =； （2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论． 3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ． （1）求证：△ABE ≌△AD ′F ； （2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论． A B C D E A ' A D G C B F E A B C D E F D ′
4.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点O ，CE ∥AB 交MN 于E ，连结AE 、CD ． （1）求证：AD ＝CE ； （2）填空：四边形ADCE 的形状是 ． 5.两个完全相同的矩形纸片ABCD 、BFDE 如图7放置，AB BF =，求证：四边形BNDM 为菱形． 6.如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE . （1）求证：△ABE ≌△ ACE （2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由. 7.如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把ACD △沿CA 方向平移得到A C D '''△． （1）证明A AD CC B '''△≌△； （2）若30ACB ∠=°，试问当点C '在线段AC 上的什么位置时，四边形ABC D ''是菱 形，并请说明理由． C D E M A B F N D A E N M O C B A D A ' C ' （第19题） D '
矩形、菱形、正方形性质及判定 【知识梳理】： 考点一、 1、矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2、矩形的性质： 3、矩形的判定 （1）对边平行且相等。（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）四个角都是直角。（2）有三个角是直角的四边形是矩形 （3）矩形的对角线相等且互相平分。（3）对角线相等的平行四边形是矩形 考点二、菱形 1、菱形的概念:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2、菱形的性质: 2、菱形的判定： （1）四条边相等，对边平行（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）对角相等，邻角互补（2）四边都相等的四边形是菱形 （3）菱形的对角线互相垂直平分，并且（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 每一条对角线平分一组对角。 4、菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半 考点三、正方形： 1、正方形的概念：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2、正方形的性质：（1）四个角都是直角，四条边都相等 （3）正方形的对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 3、正方形的判定：（1）先证它是矩形，再证有一组邻边相等。 （2）先证它是菱形，再证有一个角是直角。 矩形、菱形、正方形既是轴对称又是中心对称图形。 【典例精析】考点一、矩形的性质与判定 1、在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥ BF，连接BE、CF． （1）求证：△BDF≌△CDE； （2）若DE=BC，试判断四边形BFCE是怎样的四边形，并证明你的结论． 2、如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于 点E，交∠ACB的外角平分线于点F （1）求证：EO=FO；
知识点 知识点1、平行四边形 1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2、性质： （1）平行四边形两组对边分别平行。 （2）平行四边形的对边相等。 （3）平行四边形的对角相等。 （4）平行四边形的两条对角线互相平分。 （5）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。 3、判定： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 （5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 知识点2、矩形 1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2、性质： （1）矩形的四个角都是直角。 （2）矩形的两条对角线相等。 （3）矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形。 3、判定： （1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形。 （2）有三个内角是直角的四边形是矩形。 （3）对角线相等的平行四边形是矩形。 知识点3、菱形 1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2、性质： （1）菱形的四条边都相等。 （2）菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角。（3）菱形是轴对称图形，也是中心对称图形。 3、判定： （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 （2）四条边都相等的四边形是菱形。 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 知识点4、正方形 1、定义：有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形叫做正方形 2、性质： （1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
（2）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直，每条对角线平分一组对角。 （3）矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形。 3、判定： （1）有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形是正方形。 （2）有一组邻边相等的矩形是正方形。 （3）有一个内角是直角的菱形是正方形。 例题 一、选择题 1、下列说法不正确的是（ ） （A ）一组邻边相等的矩形是正方形 （B ）对角线相等的菱形是正方形 （C ）对角线互相垂直的矩形是正方形 （D ）有一个角是直角的平行四边形是正方形 2、如图，在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则 BD ：AC 等于（ ）． （A ）3：2 （B ）1：3 （C ）1：2 （D ）3：1 3、矩形的边长为10 cm 和15 cm ，其中一内角平分线分长边为两部分，这两部分的长为（ ） （A ）6 cm 和9 cm （B ）5 cm 和10 cm （C ）4 cm 和11 cm （D ）7 cm 和8 cm 4、如图，四边形ABCD 是菱形，过点A 作BD 的平行线交CD 的延长线于点E ，则下列式子不成立的是（ ） （A ）DB=AE （B ）BD=CE （C ） 90=∠EAC （D ） E ABC ∠=∠2 5、菱形周长为20 cm ，它的一条对角线长6 cm ，则菱形的面积为（ ） （A ）6 （B ）12 （C ）18 （D ）24 6、矩形长是8cm ，宽是6cm ，和它面积相等的正方形的对角线的长是（ ）
特殊四边形的证明与计算 1．如图，△ABC 是等边三角形，点E 在线段AC 上，连接BE ，以BE 为边作等边三角形BEF ，将线段CE 绕点C 顺时针旋转60°，得到线段CD ，连接AF 、AD 、ED . (1)求证：△BCE ≌△ACD ； (2)求证：四边形ADEF 是平行四边形． 第1题图 证明：(1)∵△ABC 是等边三角形， ∴BC ＝AC ，∠BCE ＝60°， 由题意得CE ＝CD ，∠ECD ＝60°. 在△BCE 和△ACD 中， ?????BC ＝AC ∠BCE ＝∠ACD ＝60° CE ＝CD ， ∴△BCE ≌△ACD (SAS)； (2)∵△BCE ≌△ACD ， ∴AD ＝BE ，∠DAE ＝∠CBE ， ∵△BEF 是等边三角形，
∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°， ∴AD＝EF， ∵△ABC与△BEF均是等边三角形， ∴∠BCE＝∠BEF＝60°， ∵∠BCE＋∠CBE＝∠BEF＋∠AEF， ∴∠CBE＝∠AEF， ∴∠DAE＝∠AEF，∴AD∥EF， ∴四边形ADEF是平行四边形． 2．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE 平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC. (1)求证：四边形BDEF是平行四边形； (2)线段BF、AB、AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论． 第2题图 (1)证明：如解图，延长CE交AB于点G， 第2题解图
∵AE ⊥CE ， ∴∠AEG ＝∠AEC ＝90°， ∵AE 平分∠BAC ， ∴∠GAE ＝∠CAE ， 在△AGE 和△ACE 中， ?????∠GAE ＝∠CAE AE ＝AE ∠AEG ＝∠AEC ， ∴△AGE ≌△ACE (ASA)， ∴GE ＝EC . ∵点D 是边BC 的中点， ∴BD ＝CD ，DE 为△CGB 的中位线， ∴DE ∥BF . 又∵EF ∥BC ， ∴四边形BDEF 是平行四边形； (2)解：BF ＝12(AB －AC )． 理由如下： 由(1)可知，△AGE ≌△ACE ，四边形BDEF 是平行四边形， ∴AG ＝AC ，BF ＝DE ＝12BG ， ∴BF ＝12BG ＝12(AB －AG )＝12(AB －AC )．
九（上）第一章特殊平行四边形重点题目 菱形的性质 1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（） A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 2、菱形的周长为100cm，一条对角线长为14cm，它的面积是（） A. 168cm2 B. 336cm2 C. 672cm2 D. 84cm2 3、下列语句中，错误的是（） A. 菱形是轴对称图形，它有两条对称轴 B. 菱形的两组对边可以通过平移而相互得到 C. 菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到 D. 菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到 4、菱形的两条对角线分别是6 cm，8 cm，则菱形的边长为_____，面积为______． 5、四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，已知AB＝5, AO＝4，求对角线BD 和菱形ABCD的面积. 6、如图，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，则BD：AC等于（）． （A：2 （B 3 （C）1：2 （D 1 7、菱形ABCD的周长为20cm，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积。 8、如左下图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC＝16cm，BD＝12cm， 求菱形ABCD的高DH。 9、如右上图，在菱形ABCD中,∠BAD＝ 80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF的度数为． 10、在菱形ABCD中，∠A与∠B的度数比为1：2，周长是48cm．求： （1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积． 11、如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分 别是（） A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4） 12、（2010?襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（） A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1 13、如左下图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为 H，则点0到边AB的距离OH= _________ ． 14、如右上图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB 的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2． 15、【提高题】如图，在菱形ABCD中，顶点A到边BC、CD的距离AE、AF都为5，
特殊四边形证明题(正方形)
特殊四边形证明题（正方形） 1．如图，四边形ABCD 是正方形, 点G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F . 求证：DE －BF = EF ． 2．如图 ，ABCD 是正方形．G 是 BC 上的一点，DE ⊥AG 于 E ，BF ⊥AG 于 F ． （1）求证：ABF DAE △≌△； (2 ）求证：DE EF FB =+． 3．如图，在正方形ABCD 中，CE DF ⊥．若10cm CE =，求DF 的长． F C B E A A D E F C G B
4．正方形ABCD中，MN⊥GH，求证：MN=HG。5．在正方形ABCD的边CD上任取一点E，延长 CF=CE， 求证：BE⊥DF 6．在正方形ABCD的CD边上取一点G，在 外作正方形GCEF， 求证：DE⊥BG，DE=BG。 _C _B_E
7．已知如图，四边形ABCD 是正方形，F 、E 分别为BC 、 CD 上的点，且EF=BF+DE ，AM ⊥EF ，垂足为 (1)AM=AB ；(2)连AF ，连AE ，求∠FAE ． 8．正方形ABCD 中，∠EAF=45?.求证： 9．若分别以三角形ABC 的边AB 、AC 为边，在三角形外作正方形ABDE 、ACFG 求证：BG=EC ，BG ⊥EC 。 E F _B _C _ B _E _ F
10．若以三角形ABC 的边AB 、AC 为边 向三角形外作正方形ABDE 、ACFG ， 求证：S AEG ?=S ABC ?。 11．若以三角形ABC 的边AB 、BC 为边向 三角形外作正方形ABDE 、BCFG ，N 为AC 中点，求证：DG=2BN ，BM ⊥DG 。 12．正方形ABCD 的边AD 上有一点E ，满足 果M 是AD 的中点， 求证：∠EBC=2∠ABM ， _ B _ C _A _C _N _ C _B
①
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 ⑴四边形中基本图形 （2）梯形问题中作辅助线的常用方法(基本图形)
做证明题的一些思想方法： ⑴方程思想：运用方程思想将一个几何问题化为一个方程的求解问题。 ⑵化归思想方法：解四边形问题时，常通过辅助线把四边形问题转化归为三角形问题来解决。梯形问题化为三角形、平行四边形来解决。 ⑶分解图形法:复杂的图形都是由简单的基本图形组成，故可将复杂图形分解成几个基本图形，从而使问题简单化。 ⑷构造图形法：当直接证明题目有困难时，常通过添加辅助线构造基本图形以达到解题的目的。 ⑸解证明题的基本方法：①从已知条件出发探索解题途径的综合法；②从结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直至已知条件的分析法；③两头凑的方法，就是综合运用以上两种方法找到证明的思路（又叫分析—综合法）。 ⑹转化思想：就是将复杂问题转化，分解为简单的问题，或将陌生的问题转化成熟悉的问题来处理的一种思想。 【经典题目】 1.从平行四边形四边形ABCD的各顶点作对角线的垂线AE、BF、CG、DH，垂足分别是E、F、G、H，求证：EF∥GH. 2.平行四边形ABCD的对角线交于O，作OE⊥BC，AB=37cm, BE=26cm, EC=14cm,求：平行四边形ABCD的面积. 第1题图第2题图 3.如图△ABC中，∠ACB=90度，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于点E，CF//AB交直线DE于F．设CD=x． （1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由； （2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2 ？ 4. 在直角三角形ABC中，CD是斜边AB的高，∠A的平分线AE交CD于F，交BC于E，EG⊥AB 于G，求证：CFGE是菱形。 第3题图第4题图 5.已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交
平行四边形矩形菱形正方形图形 性质①对边且； ②对角；邻角； ③对角线； ④对称性：平行四边形不是轴对称图形. ①对边且； ②对角且四个角都是； ③对角线； ④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直 线，2条）． ①对边且四条边都； ②对角； ③对角线且每条对角 线； ④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2 条） ①对边且四条边都； ②对角且四个角都是； ③对角线且每条对角线 （即与边的夹角 度）； ④对称性：轴对称图形（4条） 判定方法 ①的 四边形是平行四边形； ②的 四边形是平行四边形； ③的 四边形是平行四边形； ④的 四边形是平行四边形； ⑤的 四边形是平行四边形； ①是矩形； ②是矩形； ③是矩形； ①是菱形； ②是菱形； ③是菱形； ①有一组的矩形是正方形； ②对角线的矩形是正方形； ③有一个角是的菱形是正方形； ④对角线的菱形是正方形.； ⑤有一组且有一个角是的 平行四边形是正方形； ⑥对角线且的 平行四边形是正方形.?????? 正方形的判定方法很多，所有以平行四边形， 矩形，菱形三者的判定作为条件的四边形都是 正方形. 面积
一、本章知识框架图 正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关系有怎样的包含关系？请填入下图中. 平行四边形 二、几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析 （1）判定矩形的常用方法（3种） ①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的有一个角为直角． ②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等． ③说明四边形ABCD的三个角是直角． （2）判定菱形的常用方法（3种）