数学奥林匹克模拟试卷（答案）
第［1］道题答案：
2
因为每个人至少有1个朋友,至多有99个朋友,将有1个朋友的人,2个朋友的人，…,99个朋友的人分成99类，在100个人中,总有两个人属于同一类,他们的朋友个数相同?
第［2］道题答案：
（1）3 ;（2） 636
因为1999年有365天，故在1999年出生的孩子至少有1000 T =3（个）孩IL
365
子的生日相同；
又因为1000-（365-1）=363,即至少有363个孩子将来不单独过生日.
第［3］道题答案：
91
当摸出的2个球颜色相同时，可以有4种不同的结果；当摸出的2个球颜色不同时,最多可以有3+2+仁6（种）不同结果.一共有10种不同结果?
将这10种不同结果看作10个抽屉,因为要求10次摸出结果相同，故至少要摸9 10+1=91（次）.
第［4］道题答案：
4；7
将三种不同颜色看作3个抽屉,对于第一问中为保证一次取到2颗相同颜色的珠子,一次至少要取1 3+仁4（颗）珠子.
对于第二问为了保证一次取到两种不同颜色珠子各2颗，一次至少要取
4+（1 2+1）=7（颗）珠子.
第⑸道题答案：
1
将1~12这十二个数组成可,7『2,8】^3,9?4,10?「5,11：「6,12^这六对两数差为6 的数组.任取7个数,必定有两个数差在同一组中，这一对数的差为6.
第⑹道题答案：
267
将4千万人按头发的根数进行分类:0根,1根,2根…,150000根共150001 类.
因为40000000=（266 150001）+99743>266 150001,故至少有一类中的人数不少于266+1=267（个）,即该省至少有267个人的头发根数一样多?
第［7］道题答案:
7
将每10块颜色相同的木块算作一类，共3类.把这三类看作三个抽屉，而现在要保证至少有三块同色木块在同一抽屉中,那么至少要有2 3+1=7（块）.
第［8］道题答案：
29
将4种花色看作4个抽屉,为了保证取出3张同色花,那么应取尽2个抽屉由的2 13张牌及大、小王与一张另一种花色牌?计共取2 13+2+1=29（张）才行. 第［9］道题答案：
将5个同学投进的球作为抽屉，将41个球放入抽屉中，至少有一个抽屉中放
了9个球,（否则最多只能进5 8=40个球）.
第［10］道题答案：
订阅报刊的种类共有7种：单订一份3种，订二份3种,订三份1种.将37名学生依他们订的报刊分成7类，至少有6人属于同一类，否则最多只有6 6=36（人）.
第［11］道题答案：
将整数的末位数字（0 ~9）分成6类：〈0駅5门,9注2,8注3,7沐4&
在所给的7个整数中,若存在两个数，其末位数字相同，则其差是10的倍数；若此7数末位数字不同，则它们中必有两个属于上述6类中的某一类，其和是10 的倍数?
第［12］道题答案：
将边长为1的正方形分成25个边条为1 2的正方形，在51个点中，一定有5 "3（个）点属于同一个小正方形
E,
1
不妨设A、B、C三点边长为-的小正方形EFGH内，由于三角形ABC的面
5
1 1
积不大于小正方形面积EFGH的—,又EFGH的面积为一.故三角形ABC的面
2 25
1
积不大于—.
第［13］道题答案：
考虑最极端的情况,有3个小朋友分到1本,有3个小朋友分到2本,…,有3 个小朋友分到16本,最后两个小朋友分到17本,那么一共至少要
3（1+2+3+…+16）+2 17=442（本）,而442>420,故一定有4个小朋友分了同样多的书?
第［14］道题答案：
注意到8行、8列及两对角线共有18条“线”，每条线上有8个数字,要使每条线上的数字和不同，也就是需要每条线上的数字和有18种以上的可能.
但我们填入的数只有1、2、3三种,因此在每条线上的8个数字中,其和最小是8,最大是24,只有24-8+1=17（种）.
故不可能使得每行，每列及两条对角线上的各个数字之和互不相等?
一.数阵问题 1.下面的数阵, 第14行第11个数是（180），2012位于第（45 ）行第（ 76）个 解：n*2-1=14*2-1=27 1+3+5+...+27=196 196-（27-11)=180 45*45=2025 2025-2012=13 45*2-1-13=76 2.将自然数按下列顺序排列，2012在（59）行（5）列。 解：n*(n-1)/2 63*64/2=2016 2016-2012+1=5 64-5=59 3.将奇数列1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，…按下表排列．其中第11行第l0列的数为（401）． 解：n*n+n-1 n=行+列-1 11+10-1=20 20*20+(20-1)=419 419-2*（20-11）=401 4.下列各数，第15行最左边的数是（393）？第17行第11个数是(533），1001位于第（23）行第（17）个。 解：n*n*2-1 14*14*2-1+2=393 16*16*2-1+11*2=533 22*22*2-1=967 (1001-967)/2=17 5.自然数按如下方式排列，则401在第（39 ）拐弯处。第36次拐弯是（343）。700到2012之间有( 38 )个拐角数. 解：1+1+1+2+2+3+3...... 401-1=400=20*20 20*2-1=39 36/2=18 （1+2+3+...+18）*2+1=343 26*27=702 44*45=1980 （44-26+1）*2=38 二.计数问题 1.上体育课时,我们几个同学站成一排,从1开始顺序 报数,除我以外的其他同学报的数之和减去我报的数 恰好等于500, 问:共有多少个同学? 我报的数是几? 解：（1+32）*32/2=528（个） （528-500）/2=14 32人 14 2.一本书中间的某一张被撕掉了，余下的各页码数之 和是1133，这本书有多少页． 解：1+2+3+...+48=1176（页） 48页 3..把从1开始的自然数依次写出来,得到1234567… 将它从左至右每四个数码分为一组成为一个四位数,1234，5678,9101,1121,3141..第120个四位数是（5126）。 解：120*4=480 （480-9-90）/3-1=126 4.有一串数字,任何相邻的4个数码之和都是20,从左 往右起第102,1043,128个数码分别是1,3,9,求第1 个数码。 解：因为102/4余2,1043/4余3,128/4余0， 所以第一个数码是20-1-3-9=7. 7 5.一个六位数，它的个位上的数字是 6。如果把数字 6 移到第一位，所得的数是原数的 4倍。这个六位数是 __153846__．
学习好资料欢迎下载 十八抽屉原理(1) 年级班姓名得分 一、填空题 1.一个联欢会有 100 人参加 , 每个人在这个会上至少有一个朋友 . 那么这 100 人中至少有个人的朋友数目相同 . 2.在明年 ( 即 1999 年 ) 出生的 1000 个孩子中 , 请你预测 : (1) 同在某月某日生的孩子至少有个 . (2) 至少有个孩子将来不单独过生日 . 3.一个口袋里有四种不同颜色的小球 . 每次摸出 2 个 , 要保证有 10 次所摸的 结果是一样的 , 至少要摸次. 4.有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各 4 颗混放在口袋里 , 为了保证一次能取 到 2 颗颜色相同的珠子 , 一次至少要取颗 . 2 颗, 那么一定至少要取出 如果要保证一次取到两种不同颜色的珠子各 颗 . 5.从 1,2,3 ,12 这十二个数字中 , 任意取出 7 个数 , 其中两个数之差是 6 的 至少有对. 6.某省有 4 千万人口 , 每个人的头发根数不超过 15 万根 , 那么该省中至少有人 的头发根数一样多 . 7.在一行九个方格的图中 , 把每个小方格涂上黑、白两种颜色中的一种 , 那么 涂色相同的小方格至少有个. 8. 一付扑克牌共有54 张 ( 包括大王、小王 ), 至少从中取张牌,才能保证其中必有 3 种花色 . 9.五个同学在一起练习投蓝 , 共投进了 41 个球 , 那么至少有一个人投进了 个球 . 10.某班有 37 名小学生 , 他们都订阅了《小朋友》、《儿童时代》、《少年报》中的一种或几种 , 那么其中至少有名学生订的报刊种类完全相同. 二、解答题 11. 任给 7 个不同的整数 , 求证其中必有两个整数 , 它们的和或差是10 的倍数 . 12.在边长为 1 的正方形内任取 51 个点 , 求证 : 一定可以从中找出 3 点, 以它们为顶点的三角形的面积不大于 1/50. 13.某幼儿园有 50 个小朋友 , 现在拿出 420 本连环画分给他们 , 试证明 : 至少有4 个小朋友分到连环画一样多 ( 每个小朋友都要分到连环画 ). 2, 或 3, 要使每 14. 能否在 8 8 的棋盘上的每一个空格中分别填入数字1, 或 行、每列及两条对角线上的各个数字之和互不相同?请说明理由 .
小升初六年级奥数题及答案20道题（中等难度） 【题-001】抽屉原理 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。 【题-002】牛吃草：（中等难度） 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？ 【题-003】奇偶性应用：（中等难度） 桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。 【题-004】整除问题：（中等难度） 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？ 【题-005】填数字：（中等难度） 请在下图的每个空格内填入1至8中的一个数字，使每行、每列、每条对角线上8个数字都互不相同．
【题-006】灌水问题：（中等难度） 公园水池每周需换一次水．水池有甲、乙、丙三根进水管．第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的顺序轮流打开小1时，恰好在打开某根进水管1小时后灌满空水池．第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开1小时，比第一周多用了15分钟．第四周他三个管同时打开，灌满一池水用了2小时20分，第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用________小时． 【题-007】浓度问题：（中等难度） 瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克，现在又分别倒入100克和400克的A、B两种酒精溶液，瓶中的浓度变成了14%．已知A种酒精溶液浓度是B种酒精溶液浓度的2倍，那么A种酒精溶液的浓度是百分之几？ 【题-008】水和牛奶：（中等难度） 一个卖牛奶的人告诉两个小学生：这儿的一个钢桶里盛着水，另一个钢桶里盛着牛奶，由于牛奶乳脂含量过高，必须用水稀释才能饮用．现在我把A桶里的液体倒入B桶，使其中液体的体积翻了一番，然后我又把B桶里的液体倒进A桶，使A桶内的液体体积翻番．最后，我又将A桶中的液体倒进B桶中，使B桶中液体的体积翻番．此时我发现两个桶里盛有同量的液体，而在B桶中，水比牛奶多出1升．现在要问你们，开始时有多少水和牛奶，而在结束时，每个桶里又有多少水和牛奶？
六年级奥数题及答案-20道题 【题-001】抽屉原理 有5个小朋友；每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出中 3枚棋子?请你证明；这5个人至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。 【题-002】牛吃草：（中等难度） 一只船发现漏水时；已经进了一些水；水匀速进入船内?如果10人淘水；3小时淘完；如5人淘水8小时淘完?如果要求2小时淘完；要安排多少人淘水？ 【题-003】奇偶性应用：（中等难度） 桌上有9只杯子；全部口朝上；每次将其中6只同时翻转”请说明：无论经过多少次这样的翻转”;都不能使9只杯子全部口朝下。 【题-004】整除问题：（中等难度） 用一个自然数去除另一个整数；商40;余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933;求被除数和除数各是多少？ 【题-005】填数字：（中等难度） 请在下图的每个空格内填入1至8中的一个数字；使每行、每列、每条对角线上8个数字都 互不相同.
【题-006】灌水问题：（中等难度）公园水池每周需换一次水．水池有甲、乙、丙三根进水管．第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的顺序轮流打开小1时;恰好在打开某根进水管1小时后灌满空水池.第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时;灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲…… 的顺序轮流打开 1 小时;比第一周多用了15 分钟. 第 四周他三个管同时打开;灌满一池水用了 2 小时20 分;第五周他只打开甲管;那么灌满一池水需用 ____________ 小时. 题-007】浓度问题：（中等难度） 瓶中装有浓度为 1 5%的酒精溶液1000 克;现在又分别倒入100 克和400 克的A、 B 两种酒精溶液;瓶中的浓度变成了14%.已知A 种酒精溶液浓度是 B 种酒精溶液浓度的 2 倍;那么 A 种酒精溶液的浓度是百分之几？ 题-008】水和牛奶：（中等难度）一个卖牛奶的人告诉两个小学生：这儿的一个钢桶里盛着水 ;另一个钢桶里盛着牛奶; 由于牛奶乳脂含量过高;必须用水稀释才能饮用.现在我把 A 桶里的液体倒入 B 桶; 使其中液体的体积翻了一番;然后我又把 B 桶里的液体倒进 A 桶;使 A 桶内的液体体积翻番. 最后;我又将 A 桶中的液体倒进 B 桶中;使 B 桶中液体的体积翻番. 此时我发现两个桶里盛有同量的液体;而在 B 桶中;水比牛奶多出 1 升.现在要问你们;开始时有多少水和牛奶;而在结束时;每个桶里又有多少水和牛奶？ 【题-009】巧算：（中等难度） ll??x( T + ' +L 十' + ?)亠 计算：2x3 3x4x5 Sx9xlO 9xlQ xl 1
1．在一只口袋里有红色、黄色小球若干个，现在有4个小朋友，如果每个小朋友从中任意拿出两个小球，至少有________个小朋友，他们取出的小球颜色情况相同． 来源：2015·乐乐课堂·练习 难度：简单 类型：填空题 答案：2 2．在一只口袋里有红色、黄色小球若干个，现在有7个小朋友，如果每个小朋友从中任意拿出两个小球，至少有________个小朋友，他们取出的小球颜色情况相同． 来源：2015·乐乐课堂·练习 难度：简单 类型：填空题 答案：3 3．在一只口袋里有红色、黄色小球若干个，现在有10个小朋友，如果每个小朋友从中任意拿出两个小球，至少有________个小朋友，他们取出的小球颜色情况相同． 来源：2015·乐乐课堂·练习 难度：中等 类型：填空题 答案：4 4．体育中心有篮球、足球、排球三种球，一个班级35名学生去借球，每人最少借1个，最多可以借2个，那么至少有________名学生借到的球的数量和种类完全一样． 来源：2015·乐乐课堂·练习
难度：中等 类型：填空题 答案：4 5．体育中心有篮球、足球、排球三种球，一个班级50名学生去借球，每人最少借1个，最多可以借2个，那么至少有________名学生借到的球的数量和种类完全一样． 来源：2015·乐乐课堂·练习 难度：中等 类型：填空题 答案：6 6．体育中心有篮球、足球、排球三种球，一个班级60名学生去借球，每人最少借1个，最多可以借2个，那么至少有________名学生借到的球的数量和种类完全一样． 来源：2015·乐乐课堂·练习 难度：中等 类型：填空题 答案：7 7．幼儿园买来很多玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少要有________个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的． 来源：2015·乐乐课堂·练习 难度：中等 类型：填空题 答案：4 8．幼儿园买来许多牛、马、羊、狗玩具，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少有
1 十八 抽屉原理(2) 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1.半步桥小学六年级(一)班有42人开展读书活动.他们从学校图书馆借了212本图书,那么其中至少有一人借 本书. 2.今天参加数学竞赛的210名同学中至少有 名同学是同一个月出生的. 3.学校五(一)班40名学生中,年龄最大的是13岁,最小的是11岁,那么其中必有 名学生是同年同月出生的. 4.有红、黄、蓝、白四色小球各10个,混合放在一个暗盒里,一次至少摸出 个,才能保证有2个小球是同色的. 5.有红、黄、蓝、白四色小球各10个,混合放在一个暗盒中,一次至少摸出 个,才能保证有6个小球是同色的. 6.布袋中有60个形状、大小相同的木块,每6块编上相同的号码,那么一次至少取出 块,才能保证其中至少有三块号码相同. 7.某商店有126箱苹果,每箱至少有120个苹果,至多有144个苹果.现将苹果个数相同的箱子算作一类.设其中箱子数最多的一类有n 个箱子,则n 的最小值为 . 8.有形状、大小、材料完全相同的黑筷、白筷、红筷各4双,混杂在一起,要求闭着眼睛,保证从中摸出不同颜色的2双筷子,则至少要摸出 根. 9.袋子里装有红色球80只,蓝色球70只,黄色球60只,白色球50只.它们的大小与质量都一样,不许看只许用手摸取,要保证摸出10对同色球,至少应摸出 只. 10.有红笔、蓝笔、黄笔、绿笔各2支,让一位小朋友随便抓2支,这位小朋友至少抓 次才能确保他至少有两次抓到的笔的种类完全相同.(每抓一次后又放回再抓另一次) 二、解答题 11.某游旅团一行50人,随意游览甲、乙、丙三地,问至少有多少人浏览的地方完全相同. 12.从一列数1,5,9,13,…,93,97中,任取14个数.证明:其中必有两个数的和等于102. 13.在一个边长为1的正三角形内,任给5个点,证明:其中必有两个点之间的距离不大于1/2. 14.设,,21x x …,12x 是任意互异的12个整数,试证明其中一定存在8个整数,,21x x …,8x ,使得:)()()()(87654321x x x x x x x x -?-?-?-恰是1155的倍数.
一、工程问题 1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还要多少小时？ 解： 1/20+1/16＝9/80表示甲乙的工作效率 9/80×5＝45/80表示5小时后进水量 1-45/80＝35/80表示还要的进水量 35/80÷（9/80-1/10）＝35表示还要35小时注满 答：5小时后还要35小时就能将水池注满。 2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？ 解： 由题意得，甲的工效为1/20，乙的工效为1/30，甲乙的合作工效为 1/20*4/5+1/30*9/10＝7/100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。 又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。 设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天 1/20*（16-x）+7/100*x＝1 x＝10 答：甲乙最短合作10天 3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？ 解： 由题意知，1/4表示甲乙合作1小时的工作量，1/5表示乙丙合作1小时的工作量 （1/4+1/5）×2＝9/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。 根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。 所以1－9/10＝1/10表示乙做6-4＝2小时的工作量。 1/10÷2＝1/20表示乙的工作效率。 1÷1/20＝20小时表示乙单独完成需要20小时。 答：乙单独完成需要20小时。
数学奥林匹克模拟试卷（答案） 第［1］道题答案： 2 因为每个人至少有1个朋友,至多有99个朋友,将有1个朋友的人,2个朋友的人，…,99个朋友的人分成99类，在100个人中,总有两个人属于同一类,他们的朋友个数相同? 第［2］道题答案： （1）3 ;（2） 636 因为1999年有365天，故在1999年出生的孩子至少有1000 T =3（个）孩IL 365 子的生日相同； 又因为1000-（365-1）=363,即至少有363个孩子将来不单独过生日. 第［3］道题答案： 91 当摸出的2个球颜色相同时，可以有4种不同的结果；当摸出的2个球颜色不同时,最多可以有3+2+仁6（种）不同结果.一共有10种不同结果? 将这10种不同结果看作10个抽屉,因为要求10次摸出结果相同，故至少要摸9 10+1=91（次）. 第［4］道题答案： 4；7 将三种不同颜色看作3个抽屉,对于第一问中为保证一次取到2颗相同颜色的珠子,一次至少要取1 3+仁4（颗）珠子. 对于第二问为了保证一次取到两种不同颜色珠子各2颗，一次至少要取 4+（1 2+1）=7（颗）珠子. 第⑸道题答案： 1 将1~12这十二个数组成可,7『2,8】^3,9?4,10?「5,11：「6,12^这六对两数差为6 的数组.任取7个数,必定有两个数差在同一组中，这一对数的差为6. 第⑹道题答案： 267 将4千万人按头发的根数进行分类:0根,1根,2根…,150000根共150001 类. 因为40000000=（266 150001）+99743>266 150001,故至少有一类中的人数不少于266+1=267（个）,即该省至少有267个人的头发根数一样多?
中小学数学概率与统计中的抽屉原理 基本介绍 抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。 抽屉原理- 表述 抽屉原理的一种更一般的表述为： “把多于kn+1个东西任意分放进n个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少k+1个东西。” 利用上述原理容易证明：“任意7个整数中，至少有3个数的两两之差是3的倍数。”因为任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可能，所以7个整数中至少有3个数除以3所得余数相同，即它们两两之差是3的倍数。 如果问题所讨论的对象有无限多个，抽屉原理还有另一种表述： “把无限多个东西任意分放进n个空抽屉（n是自然数），那么一定有一个抽屉中放进了无限多个东西。” 抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。 应用抽屉原理解题 例1：同年出生的400人中至少有2个人的生日相同。 解：将一年中的365天视为365个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：至少有2人的生日相同. 400/365=1…35,1+1=2又如：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同。 “从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。” “从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。” 例2：幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理. 解：从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原理1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同. 上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题，不错，这正是抽屉原则的主要
十八抽屉原理(1) 年级班姓名得分 一、填空题 1.一个联欢会有100人参加,每个人在这个会上至少有一个朋友.那么这100人中至少有个人的朋友数目相同. 2.在明年(即1999年)出生的1000个孩子中,请你预测: (1)同在某月某日生的孩子至少有个. (2)至少有个孩子将来不单独过生日. 3.一个口袋里有四种不同颜色的小球.每次摸出2个,要保证有10次所摸的结果是一样的,至少要摸次. 4.有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各4颗混放在口袋里,为了保证一次能取到2颗颜色相同的珠子,一次至少要取颗. 如果要保证一次取到两种不同颜色的珠子各2颗,那么一定至少要取出颗. 5.从1,2,3…,12这十二个数字中,任意取出7个数,其中两个数之差是6的至少有对. 6.某省有4千万人口,每个人的头发根数不超过15万根,那么该省中至少有 人的头发根数一样多. 7.在一行九个方格的图中,把每个小方格涂上黑、白两种颜色中的一种,那么涂色相同的小方格至少有个. 8.一付扑克牌共有54张(包括大王、小王),至少从中取张牌,才能保证其中必有3种花色. 9.五个同学在一起练习投蓝,共投进了41个球,那么至少有一个人投进了个球. 10.某班有37名小学生,他们都订阅了《小朋友》、《儿童时代》、《少年报》中的一种或几种,那么其中至少有名学生订的报刊种类完全相同. 二、解答题 11.任给7个不同的整数,求证其中必有两个整数,它们的和或差是10的倍数. 12.在边长为1的正方形内任取51个点,求证:一定可以从中找出3点,以它们为顶点的三角形的面积不大于1/50. 13.某幼儿园有50个小朋友,现在拿出420本连环画分给他们,试证明:至少有4个小朋友分到连环画一样多(每个小朋友都要分到连环画). 14.能否在8 8的棋盘上的每一个空格中分别填入数字1,或2,或3,要使每行、每列及两条对角线上的各个数字之和互不相同?请说明理由.
抽屉原理的综合运 最不利原则： 所谓“最不利原则”是指完成某一项工作先从最不利的情况下考虑，然后研究任意情况下可能的结果。由此得到充分可靠的结论。 抽屉原理，又称鸽巢原理： 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则。抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用。许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原理后，能很快使问题得到解决。 第一抽屉原理： 一、将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件； 二、将多于mn件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于m＋1件。 第二抽屉原理： 一、将少于n件的物品任意放到n个抽屉中，其中必有一个抽屉中没有物体。 二、把mn－1个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有m－1个物体。 平均值原理： 如果n个数的平均值为a，那么其中至少有一个数不大于a，也至少有一个不小于a。 运用抽屉原理求解的较为复杂的组合计算与证明问题。这里不仅“抽屉”与“苹果”需要恰当地设计与选取，而且有时还应构造出达到最佳状态的例子。 抽屉原理的解题方案 一、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数 余数：⑴余数＝1 结论：至少有(商＋1)个苹果在同一个抽屉里 ⑵余数＝x(1＜x＜(n－1)) 结论：至少有(商＋1)个苹果在同一个抽屉里 ⑶余数＝0 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 二、利用最值原理解题 将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法。
抽屉原理的综合运用 经典精讲 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则。抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用。许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原理后，能很快得到解决。 抽屉原理推广到一般情形，有以下两种表现形式： 抽屉原理一：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件； 抽屉原理二：将多于mn件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于m＋1件。 有些问题中没有明显的“苹果”与“抽屉”，在解决问题时，需要从问题的最差状态入 例1 23人，有一个同学在某一天对大家宣布一个猜想：“我们中间必定有两个人生日处在同一个月份”，你知道他是怎么知道的吗？ ⑵某小学有420名学生，证明其中必定有两名学生是同一天的生日。 ⑶有个小朋友特别勤奋，在暑假里每天都会做奥数题，已知他一共做了47道，妈妈说 假期中他过生日那天不止做了一道数学题。问他这个假期最多有多少天？ 例2 ⑴一副扑克牌，共54张，问至少从中摸出多少张牌才能保证有5张牌的花色相同？ ⑵一副54张的扑克牌，至少需要摸出多少张，才可以保证所有花色的牌都有？ ⑶一副54张的扑克牌，至少需要摸出多少张，才可以保证有2张梅花和3张红桃？ 例3 3，…，1988，1989这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个 数的差不等于4？ 例4 3整除
个同学参加数学竞赛，已知将参赛同学任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必定有男生，求参赛的男生人数是多少？ 证明：任给12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数。 测试题 1．在边长为3米的正方形中，任意放入28个点，求证：必定有四个点，以它们为顶点的 四边形的面积不超过1平方米。 2．有9个人，每人至少与另外5个人互相认识。试证明：可以从中找3个人，他们彼此互 相认识。 3．8位小朋友围着一张圆桌坐下，在每位小朋友面前都放着一张纸条，上面分别写着这8位小朋友的名字。开始时，每位小朋友发现自己面前所对的纸条上写的都不是自己的名字，请证明：经过适当转动圆桌，一定能使至少两位小朋友恰好对准自己的名字。 答案 1．【解析】 将大正方形分成9个边长为1米的小正方形，则9个小正方形为“抽屉”，有：28931÷=，必有一个小正方形里(上)至少有314+=(个)点，若这四个点恰好落在这个小正方形的四个顶点，那么以这4个点为顶点的四边形的面积为1平方米；若有一个点落在正方形的内部或边上，则面积将小于1平方米。综上所述，不论怎么放，必定有四个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米。 2．【解析】 设9个人分别是A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I 。因为每个人至少与另外5个人认识，那么，假设与A 互相认识的是B ，C ，D ，E ，F 。再考虑B ，他除了与A 互相认识以外，
1、有一个6位数, 它的个位数字是6, 如果将6移至第一位前面时, 得到的新数是原数的4倍. 求这个数。（答案153846，解答：4xABCDE6=6ABCDE,可知E=4，D=8，C=3，B=5，A=1) 2、今年前5个月,小明每月平均存钱4.2元,从6月起他每月储蓄6元,那么从哪个月起小明的平均储蓄超过5元? （解答6-4.2=1.8，1.8x5=9，6-5=1，9÷1=9,9+5+1=15） 3.A、B、C、D四个数,每次去掉一个数,将其余下的三个数求平均数,这样计算了4次,得到下面4个数. 23, 26, 30, 33 。A、B、C、D 4个数的平均数是多少？ （23+26+30+33）÷4=27.5 抽屉原理的一种更一般的表述为： “把多于kn个东西任意分放进n个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少k+1个东西。” 至少和最少的意思是一样的，并没有本质的区别。在抽屉原理中，“至少”和“最少”通常要和“保证”联系在一起看。 例如： 箱子中有黑白两种棋子，最少要拿多少颗棋子才能有2颗一样的颜色？ 箱子中有黑白两种棋子，至少要拿多少颗棋子才能有2颗一样的颜色？ 两题的答案都是2(因为没有保证，所以只需要考虑最好的情况就行了) 再例如： 箱子中有黑白两种棋子，最少要拿多少颗棋子才能保证有2颗一样的颜色？ 箱子中有黑白两种棋子，至少要拿多少颗棋子才能保证有2颗一样的颜色？ 两题的答案都是3(应用抽屉原理) 例如：某次数学、英语测试，所有参加测试者的得分都是自然数，最高得分198，最低得分169，没有得193分、185分和177分者，并且至少有6人得同一分数，参加测试的至少人？ ”这道题的答案应该是27×5+1=136呢？还是27+5=32呢？ 3、同样是上面这道题，把“至少”改为“最少”？ 4、同样是上面这道题，把最后两句倒一下，改为“参加测试的至少人，才能保证至少有6人得同一分数”，答案应该可以肯定为136了吧？
小学奥数题80道 六年综合奥数题工程问题 1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？ 解：1/20+1/16＝9/80表示甲乙的工作效率 9/80×5＝45/80表示5小时后进水量 1-45/80＝35/80表示还要的进水量 35/80÷（9/80-1/10）＝35表示还要35小时注满 答：5小时后还要35小时就能将水池注满。 2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？ 解：由题意得，甲的工效为1/20，乙的工效为1/30，甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/10＝7/100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。 又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。 设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天 1/20*（16-x）+7/100*x＝1 x＝10 答：甲乙最短合作10天 3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？ 解：由题意知，1/4表示甲乙合作1小时的工作量，1/5表示乙丙合作1小时的工作量 （1/4+1/5）×2＝9/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。 根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。 所以1－9/10＝1/10表示乙做6-4＝2小时的工作量。 1/10÷2＝1/20表示乙的工作效率。 1÷1/20＝20小时表示乙单独完成需要20小时。 答：乙单独完成需要20小时。 4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？
第39讲抽屉原理 一、专题简析： 把12个苹果放到11个抽屉中去，那么，至少有一个抽屉中放有两个苹果，这个事实的正确性是非常明显的。把它进一步推广，就可以得到数学里重要的抽屉原理。 用抽屉原理解决问题，小朋友一定要注意哪些是“抽屉”，哪些是“苹果”，并且要应用所学的数学知识制造抽屉，巧妙地加以应用，这样看上去十分复杂，甚至无从下手的题目才能顺利地解答。 二、精讲精练 例1：敬老院买来许多苹果、橘子和梨，每位老人任意选两个，那么，至少应有几位老人才能保证必有两位或两位以上老人所选的水果相同？ 练习一 1、学校图书室买来许多故事书、科技书和连环画，每个同学任意选两本。那么，至少应有几个同学，才能保证有两个或两个以上同学所选的书相同？
2、布袋中有红、黄、橙三种颜色的木块若干块，每个小朋友任意摸两块木块。那么，至少有多少个小朋友，才能保证有两个或两个以上小朋友所选的木块相同？ 例2 ：幼儿园大班有41个小朋友，老师至少拿几件玩具随便分给大家，才能保证至少有一个小朋友能得两件玩具？ 练习二 1、小明家有5口人，小明妈妈至少要买几个苹果分给大家，才能保证至少有一人能得两个苹果？ 2、某学校共有15个班级，体育室至少要买几个排球分给各班，才能保证至少有一个班能得两个排球？
例3：盒子里混装着5个白色球和4个红色球，要想保证一次能拿出两个同颜色的球，至少要拿出多少个球？ 练习三 1、箱子里装着6个苹果和8个梨，要保证一次能拿出两个同样的水果，至少要拿出多少个水果？ 2、书箱里混装着3本故事书和5本科技书，要保证一次能拿出两本同样的书，至少要拿出多少本书？ 例4：一个布袋里装有红、黄、蓝袜子各5只，问一次至少取出多少只，才能保证每种颜色至少有一只？
十八抽屉原理(2) 年级班姓名得分 一、填空题 1.半步桥小学六年级(一)班有42人开展读书活动.他们从学校图书馆借了212本图书,那么其中至少有一人借本书. 2.今天参加数学竞赛的210名同学中至少有名同学是同一个月出生的. 3.学校五(一)班40名学生中,年龄最大的是13岁,最小的是11岁,那么其中必有名学生是同年同月出生的. 4.有红、黄、蓝、白四色小球各10个,混合放在一个暗盒里,一次至少摸出 个,才能保证有2个小球是同色的. 5.有红、黄、蓝、白四色小球各10个,混合放在一个暗盒中,一次至少摸出 个,才能保证有6个小球是同色的. 6.布袋中有60个形状、大小相同的木块,每6块编上相同的号码,那么一次至少取出块,才能保证其中至少有三块号码相同. 7.某商店有126箱苹果,每箱至少有120个苹果,至多有144个苹果.现将苹果个数相同的箱子算作一类.设其中箱子数最多的一类有n个箱子,则n的最小值为 . 8.有形状、大小、材料完全相同的黑筷、白筷、红筷各4双,混杂在一起,要求闭着眼睛,保证从中摸出不同颜色的2双筷子,则至少要摸出根. 9.袋子里装有红色球80只,蓝色球70只,黄色球60只,白色球50只.它们的大小与质量都一样,不许看只许用手摸取,要保证摸出10对同色球,至少应摸出只. 10.有红笔、蓝笔、黄笔、绿笔各2支,让一位小朋友随便抓2支,这位小朋友至少抓次才能确保他至少有两次抓到的笔的种类完全相同.(每抓一次后
又放回再抓另一次) 二、解答题 11.某游旅团一行50人,随意游览甲、乙、丙三地,问至少有多少人浏览的地方完全相同. 12.从一列数1,5,9,13,…,93,97中,任取14个数.证明:其中必有两个数的和等于102. 13.在一个边长为1的正三角形内,任给5个点,证明:其中必有两个点之间的距离不大于1/2. 14.设,,21x x …,12x 是任意互异的12个整数,试证明其中一定存在8个整数 ,,21x x …,8x ,使得:)()()()(87654321x x x x x x x x -?-?-?-恰是1155的倍数. ———————————————答 案—————————————————————— 1. 6 将42名同学看成42个抽屉,因为212=542+1,故至少有一个抽屉中有6本 或6本以上的书. 2. 18 因210=1712+16,故一定有18个或18个以上同学在同一月出生. 3. 2 这40名同学的年龄最多相差36个月(三年)因40=136+4,故必有2人是同 年、同月出生的. 4. 5 从极端考虑:即使先取走取的4个球都是不同色的,那么取第5个球时就必有二球同色了. 5. 21
五年级奥数题及答案：抽屉原理问题1 编者小语：奥数题往往从结构到解法都填塞着奇特的魅力，易于小学生尝到探索的欢乐，而在探索解题方法的过程中，小学生又亲身体验到数学思想的博大精深和数学方法的创造力，因此对学习数学产生进一步的向往。查字典数学网为大家准备了小学五年级奥数题，希望整理的五年级奥数题及参考答案：抽屉原理问题，可以帮助到你们，助您快速通往高分之路!! 把3个苹果任意放到两个抽屉里，可以有哪些放置的方法呢?一个抽屉放一个，另一个抽屉放两个;或3个苹果放在某一个抽屉里.尽管放苹果的方式有所例外，但是总有一个共同的规律：至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.如果把5个苹果任意放到4个抽屉里，放置的方法更多了，但仍有这样的结果.由此我们可以想到，只要苹果的个数多于抽屉的个数，就一定能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.道理很简单：如果每个抽屉里的苹果都不到两个(也就是至多有1个)，那么所有抽屉里的苹果数的和就比总数少了.由此得到： 抽屉原理：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。 如果把苹果换成了鸽子，把抽屉换成了笼子，同样有类似的结论，所以有时也把抽屉原理叫做鸽笼原理.不要小看这个 “原理”，利用它可以解决一些表面看来似乎很难的数学问题。 比如，我们从街上随便找来13人，就可以断定他们中至少有两个人属相(指鼠、牛、虎、兔、…等十二种生肖)相同.怎样证明这个结论是正确的呢?只要利用抽屉原理就很简易把道理讲清楚.事实上，由于人数(13)比属相数(12)多，因此至少有两个人属相相同(在这里，把13人看成13个“苹果”，把12种属相看成12个“抽屉”)。 应用抽屉原理要注意识别“抽屉”和“苹果”，苹果的数目一定要大于抽屉的个数。
第二十九周抽屉原理（一） 专题简析： 如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。 基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x+k（k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。（2）如果把m×x×k（x＞k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。 利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按以下步骤解答：a、构造抽屉，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屉。C、说明理由，得出结论。 本周我们先来学习第（1）条原理及其应用。 练习1： 1、某校有370名1992年出生的学生，其中至少有2个学生的生日是同一天，为什么？ 2、某校有30名学生是2月份出生的，能否至少有两个学生的生日是在同一天？ 3、15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？
练习2： 1、某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。买书的情况是：有买一本、二本、三本或四本的。，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？ 2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。每个学生从中任意借两本，那么至少要几个同学才能保证一定有两人所借的图书属于同一种？ 3、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、黄三种，问最少要取出多少个珠子才能保证有2个同色的？ 练习3： 1、一只袋中装有许多大小相同、颜色不同的手套。颜色有黑、红、蓝、黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有4副各自同色的？ 2、布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只。颜色有白、黑、蓝三种。问：最少要摸出多少只袜子，才能保证有3双各自同色的？
十八 抽屉原理(2) 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1.半步桥小学六年级(一)班有42人开展读书活动.他们从学校图书馆借了212本图书,那么其中至少有一人借 本书. 2.今天参加数学竞赛的210名同学中至少有 名同学是同一个月出生的. 3.学校五(一)班40名学生中,年龄最大的是13岁,最小的是11岁,那么其中必有 名学生是同年同月出生的. 4.有红、黄、蓝、白四色小球各10个,混合放在一个暗盒里,一次至少摸出 个,才能保证有2个小球是同色的. 5.有红、黄、蓝、白四色小球各10个,混合放在一个暗盒中,一次至少摸出 个,才能保证有6个小球是同色的. 6.布袋中有60个形状、大小相同的木块,每6块编上相同的号码,那么一次至少取出 块,才能保证其中至少有三块号码相同. 7.某商店有126箱苹果,每箱至少有120个苹果,至多有144个苹果.现将苹果个数相同的箱子算作一类.设其中箱子数最多的一类有n 个箱子,则n 的最小值为 . 8.有形状、大小、材料完全相同的黑筷、白筷、红筷各4双,混杂在一起,要求闭着眼睛,保证从中摸出不同颜色的2双筷子,则至少要摸出 根. 9.袋子里装有红色球80只,蓝色球70只,黄色球60只,白色球50只.它们的大小与质量都一样,不许看只许用手摸取,要保证摸出10对同色球,至少应摸出 只. 10.有红笔、蓝笔、黄笔、绿笔各2支,让一位小朋友随便抓2支,这位小朋友至少抓 次才能确保他至少有两次抓到的笔的种类完全相同.(每抓一次后又放回再抓另一次) 二、解答题 11.某游旅团一行50人,随意游览甲、乙、丙三地,问至少有多少人浏览的地方完全相同. 12.从一列数1,5,9,13,…,93,97中,任取14个数.证明:其中必有两个数的和等于102. 13.在一个边长为1的正三角形内,任给5个点,证明:其中必有两个点之间的距离不大于1/2. 14.设,,21x x …,12x 是任意互异的12个整数,试证明其中一定存在8个整数 ,,21x x …,8x ,使得:)()()()(87654321x x x x x x x x -?-?-?-恰是1155的倍数.
1 十八抽屉原理(1) 年级班姓名得分 一、填空题 1.一个联欢会有100人参加,每个人在这个会上至少有一个朋友.那么这100 人中至少有个人的朋友数目相同. 2.在明年(即1999年)出生的1000个孩子中,请你预测: (1)同在某月某日生的孩子至少有个. (2)至少有个孩子将来不单独过生日. 3.一个口袋里有四种不同颜色的小球.每次摸出2个,要保证有10次所摸的结果是一样的,至少要摸次. 4.有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各4颗混放在口袋里,为了保证一次能取到2颗颜色相同的珠子,一次至少要取颗. 如果要保证一次取到两种不同颜色的珠子各2颗,那么一定至少要取出颗. 5.从1,2,3…,12这十二个数字中,任意取出7个数,其中两个数之差是6的至少有对. 6.某省有4千万人口,每个人的头发根数不超过15万根,那么该省中至少有 人的头发根数一样多. 7.在一行九个方格的图中,把每个小方格涂上黑、白两种颜色中的一种,那么涂色相同的小方格至少有个. 8.一付扑克牌共有54张(包括大王、小王),至少从中取张牌,才能保证其中必有3种花色. 9.五个同学在一起练习投蓝,共投进了41个球,那么至少有一个人投进了个球. 10.某班有37名小学生,他们都订阅了《小朋友》、《儿童时代》、《少年报》中的一种或几种,那么其中至少有名学生订的报刊种类完全相同. 二、解答题 11.任给7个不同的整数,求证其中必有两个整数,它们的和或差是10的倍数. 12.在边长为1的正方形内任取51个点,求证:一定可以从中找出3点,以它们为顶点的三角形的面积不大于1/50. 13.某幼儿园有50个小朋友,现在拿出420本连环画分给他们,试证明:至少有4个小朋友分到连环画一样多(每个小朋友都要分到连环画). 14.能否在8 8的棋盘上的每一个空格中分别填入数字1,或2,或3,要使每行、每列及两条对角线上的各个数字之和互不相同?请说明理由.