课时提升作业(五)函数的单调性与最值
(45分钟100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2013·沈阳模拟)下列函数在(0,+∞)上是增函数的是( )
A.y=ln(x-2)
B.y=-
C.y=x-x-1
D.y=
【解析】选C.函数y=ln(x-2)在(2,+∞)上为增函数,y=-在[0,+∞)上为减函数,y=x-x-1=x-在(0,+∞)上为增函数,y=在[0,+∞)上为减函数,故C正确.
2.(2014·衢州模拟)下列函数中,值域为(-∞,0)的是( )
A.y=-x2
B.y=3x-1
C.y=
D.y=-
【解析】选B.函数y=-x2的值域为(-∞,0];
y=3x-1的值域为y<3×-1=0,
即y∈(-∞,0);
y=的值域为(-∞,0)∪(0,+∞);
y=-∈(-∞,0].
3.(2014·珠海模拟)若函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,则y=ax2+bx在(0,+∞)上是( )
A.增函数
B.减函数
C.先增后减
D.先减后增
【解析】选B.因为y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,所以a<0,b<0,
所以y=ax2+bx的对称轴x=-<0,
所以y=ax2+bx在(0,+∞)上为减函数.
4.已知奇函数f(x)对任意的正实数x1,x2(x1≠x2),恒有(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0,则一定正确的是( )
A.f(4)>f(-6)
B.f(-4) C.f(-4)>f(-6) D.f(4) 【解析】选C.由(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0知f(x)在(0,+∞)上递增, 所以f(4) 5.(2014·杭州模拟)设函数f(x)=-,[x]表示不超过x的最大整数,则函数y=[f(x)]的值域是( ) A.{0,1} B.{0,-1} C.{-1,1} D.{1,1} 【思路点拨】先求f(x)的值域,再据[x]的规定求[f(x)]的值域. 【解析】选B.因为0<<1, 所以f(x)=-∈. 又[x]表示不超过x的最大整数, 所以y=[f(x)]∈{0,-1}. 6.(2013·天津模拟)设函数f(x)=则不等式f(x)>f(1)的解集是( ) A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3) 【解析】选A.当x≥0时,f(x)>f(1)=3,即x2-4x+6>3,解得0≤x<1或x>3;当x<0时,f(x)>f(1)=3,即x+6>3,解得-3 +∞). 【加固训练】已知f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递增函数,且满足f(3x-2) A.(-∞,1) B. C. D.(1,+∞) 【解析】选B.因为f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递增函数,且满足f(3x-2) 所以??x∈, 所以实数x的取值范围是,故选B. 7.(2014·厦门模拟)定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,2)上是增函数,且f(x+2)的图象关于x=0对称,则( ) A.f(-1) B.f(0)>f(3) C.f(-1)=f(3) D.f(0)=f(3) 【思路点拨】由已知得到f(x)的对称性,进而作出图象大致形状,数形结合求解. 【解析】选A.因为f(x+2)的图象关于x=0对称,所以f(x)的图象关于x=2对称,又f(x)在区间(-∞,2)上是增函数,则其在(2,+∞)上为减函数,作出其图象大致形状如图所示. 由图象知,f(-1) 8.(能力挑战题)(2013·金华模拟)设函数g(x)=x2-2(x∈R), f(x)=则f(x)的值域是( ) A.∪(1,+∞) B.[0,+∞) C. D.∪(2,+∞) 【思路点拨】明确自变量的取值范围,先求每一部分的函数值范围,再取并集求值域. 【解析】选D.由x 当x<-1或x>2时,f(x)=+>2. 当-1≤x≤2时,f(x)=-, 且f(-1)=f(2)=0, 所以-≤f(x)≤0. 由以上可得f(x)的值域是∪(2,+∞). 二、填空题(每小题5分,共20分) 9.(2014·台州模拟)如果函数f(x)=ax2-3x+4在区间(-∞,6)上单调递减,则实数a的取值范围是. 【解析】(1)当a=0时,f(x)=-3x+4,函数在定义域R上单调递减,故在区间(-∞,6)上单调递减. (2)当a≠0时,二次函数f(x)的对称轴为直线x=. 因为f(x)在区间(-∞,6)上单调递减, 所以a>0,且≥6,解得0 综上所述,0≤a≤. 答案: 【误区警示】本题易忽视a=0的情况而失误. 10.函数f(x)=在R上是减函数,则实数a的取值范围是. 【思路点拨】由于f(x)为R上的减函数,所以当x<-1时,恒有f(x)>f(-1),由此可求得a的取值范围. 【解析】因为f(x)为R上的减函数,所以必有f(-1)≤,即1+a≤-1,所以a≤-2. 答案:a≤-2 【加固训练】(2013·保定模拟)已知函数f(x)=在R上单调递减,则实数a的取值范围是. 【解析】因为函数f(x)=在R上单调递减, 所以g(x)=x2+ax在(-∞,1]上单调递减,且h(x)=ax2+x在(1,+∞)上单调递减,且g(1)≥h(1), 所以 解得a≤-2. 答案:a≤-2 11.(2014·宁波模拟)规定符号“”表示一种两个正实数之间的运算,即ab=+a+b,a,b是正实数,已知1k=3,则函数f(x)=kx的值域是. 【解析】由题意知1k=+1+k=3,解得k=1, 所以f(x)=kx=1x=+1+x =(+)2+, 因为>0,所以f(x)>1. 答案:(1,+∞) 12.函数f(x)的定义域为A,若x1,x2∈A且f(x1)=f(x2)时总有x1=x2,则称f(x)为单函数.例如,函数f(x)=2x+1(x∈R)是单函数,下列命题: ①函数f(x)=x2(x∈R)是单函数; ②指数函数f(x)=2x(x∈R)是单函数; ③若f(x)为单函数,x1,x2∈A且x1≠x2,则f(x1)≠f(x2); ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中的真命题是(写出所有真命题的编号). 【解析】对于①,x1=2,x2=-2时,f(x1)=f(x2),而x1≠x2,故函数f(x)=x2不为单函数,故①错;对于②,因为y=2x在定义域内为单调增函数,故②正确;对于③,假设f(x1)=f(x2),由f(x)为单函数,故x1=x2,这与x1≠x2矛盾,故原命题成立,故③正确;对于④,因函数在定义域上具有单调性,即满足f(x)为单函数的定义,故④正确. 答案:②③④ 三、解答题(13题12分,14～15题各14分) 13.(2014·温州模拟)已知函数f(x)=log a(1-x)+log a(x+3)(0 (1)求函数f(x)的定义域. (2)若函数f(x)的最小值为-4,求实数a的值. 【解析】(1)要使函数有意义:则有, 解之得-3 所以函数的定义域为{x|-3 (2)函数可化为f(x)=log a(1-x)(x+3)=log a(-x2-2x+3)=log a[-(x+1)2+4]. 因为-3 因为0 即f(x)min=log a4. 由log a4=-4,得a-4=4,所以a==. 故实数a的值为. 14.已知函数f(x)=a-. (1)求证:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数. (2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围. 【解析】(1)当x∈(0,+∞)时, f(x)=a-, 设0 f(x2)-f(x1)=- =-=>0, 所以f(x)在(0,+∞)上是增函数. (2)由题意a-<2x在(1,+∞)上恒成立,设h(x)=2x+, 则a 任取x1,x2∈(1,+∞)且x1 h(x1)-h(x2)=(x1-x2). 因为1 所以2->0,所以h(x1) 所以h(x)在(1,+∞)上单调递增. 故a≤h(1)即a≤3, 所以a的取值范围是(-∞,3]. 15.(能力挑战题)(2014·绍兴模拟)已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),且满足f(xy)=f(x)+f(y),f=1,如果对于0 (1)求f(1). (2)解不等式f(-x)+f(3-x)≥-2. 【解析】(1)令x=y=1, 则f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0. (2)由题意知f(x)为(0,+∞)上的减函数, 且所以x<0, 因为f(xy)=f(x)+f(y), x,y∈(0,+∞)且f=1. 所以f(-x)+f(3-x)≥-2, 可化为f(-x)+f(3-x)≥-2f, f(-x)+f+f(3-x)+f≥0=f(1), f+f≥f(1), f≥f(1), 则 解得-1≤x<0. 所以不等式的解集为[-1,0). 1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析： (1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点； 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》（以下简称“新教材”）第一章节。 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质． 函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质． 函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画． 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位． 教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）． (2)教学内容的知识类型； 在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识. (3)教学内容的上位知识与下位知识； 在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识. (4)思维教学资源与价值观教育资源； 生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)= +1和函数 1 y x x =+，能引发 提出问题---分析问题----解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观. 二、教学目标设置： 本课教学以《普通高中数学课程标准（实验）》（以下统称为“课标”）为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。 “课标”数学1模块内容要求是：不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要用集合与对应的语言刻画函数，体会函数的思想方法与研究方法，结合实际问题，体会函数在数学和其他学科中的重要性。 “课标”对本课课堂教学内容要求是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.(第一课时) 为尽好达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下： (1)知识与技能： 理解函数单调性的概念，让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念； 能利用图象法直观判断函数的单调性； 一、选择题 1．若),(b a 是)(x f 的单调增区间，()b a x x ,,21∈，且21x x <，则有（ ） A ． ()()21x f x f < B ． ()()21x f x f = C ． ()()21x f x f > D ． ()()021>x f x f 2．函数()2 2-=x y 的单调递减区间为（ ） A ．[)+∞,0 B ．(]0,∞+ C ．),2[+∞ D ．]2,(-∞ 3．下列函数中，在区间)2,0(上递增的是（ ） A ．x y 1= B ．x y -= C ．1-=x y D ．122++=x x y 4. 若函数1 2)(-= x a x f 在()0,∞-上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,∞- B ．()+∞,0 C ．()0,1- D ．()+∞,1 5. 设函数x a y )12(-=在R 上是减函数，则有（ ） A ．2 1≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a 6. 如果函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]2,∞-上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．3≤a B ．3≥a C ．3-≥a D ．3-≤a 二、填空题 7．函数1-=x y 的单调递增区间是____________. 8．已知函数)(x f 在()+∞,0是增函数，则)2(f a =,)2(π f b =,)2 3 (f c =的大小关系是__________________________. 9．函数32)(2 +--= x x x f 的单调递增区间是_______. 10．若二次函数45)(2 ++=mx x x f 在区间]1,(--∞是减函数，在区间),1(+∞- 上是增函数，则=)1(f ________. 三、解答题 11. 证明函数x x f 11)(-=在 )0,(-∞ 上是增函数. 12．判断函数x x y 1+ =在区间),1[+∞上的单调性，并给出证明． 高考数学函数的单调性复习教案 考纲要求：了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法 。 函数单调性可以从三个方面理解 （1）图形刻画：对于给定区间上的函数()f x ，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。 （2）定性刻画：对于给定区间上的函数()f x ，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。 （3）定量刻画，即定义。 上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径 判断增函数、减函数的方法： ①定义法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 与之相等价的定义：⑴()()02121>--x x x f x f ，〔或都有()()02 121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于（或小于）0。 ⑵()()()[]02121>--x f x f x x ，〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 ②导数法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数；如果()0` 函数的单调性 1.函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2] D ．[2，＋∞) 2.已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．[1，＋∞) 3.函数f (x )＝x 1－x 在( ) A ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数 B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数 C ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数 D ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数 4.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A.y ＝x ＋1 B.y ＝(x －1)2 C.y ＝2－x D.y ＝log 0.5(x ＋1) 5.下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( ) A.f (x )＝x 12 B.f (x )＝x 3 C.f (x )＝? ????12x D.f (x )＝3x 6.已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2 －x 1)<0恒成立，设a ＝f ? ?? ??－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c 7.已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________. 8.已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________． 9.函数()f x 的定义域为Ｒ，(1)2f -=，对任意的x R ∈，'()f x 2>，则不等式()24f x x >+的解集为（ ） Ａ()1,1- Ｂ()1,-+∞ Ｃ(),1-∞- Ｄ(),-∞+∞ 10.函数()f x ()x ∈R 满足(1)1f =，1()2 f x '<，则不等式221()22x f x <+的解集为____ 11.函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13 ，则a ＋b ＝ 利用导数研究函数的单调性、极值、最值 一、选择题 1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T12)若函数f (x )=x-1 3sin2x+asinx 在(-∞,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是 ( ) A.[-1,1] B.11,3 ? ? -??? ? C.11,33??- ???? D.11,3? ? --???? 【解析】选C.方法一:用特殊值法: 取a=-1,f (x )=x-1 3 sin2x-sinx , f'(x )=1-23 cos2x-cosx , 但f'(0)=1-23-1=-23 <0,不具备在(-∞,+∞)上单调递增,排除A ,B ,D. 方法二:f'(x )=1-23 cos2x+acosx ≥0对x ∈R 恒成立, 故1-23 (2cos 2x-1)+acosx ≥0, 即acosx-43cos 2 x+53 ≥0恒成立, 令t=cosx ,所以-43t 2+at+53 ≥0对t ∈[-1,1]恒成立, 构造函数f (t )=- 43 t 2 +at+53 , 开口向下的二次函数f (t )的最小值的可能值为端点值, 故只需()()1f 1a 0,31f 1a 0,3 ?-=-≥????=+≥?? 解得-13≤a ≤13 . 2.(2016·四川高考理科·T9)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-<?图象上点P 1,P 2处的切 线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 【解题指南】设出两切点的坐标,两切线方程,从而求出点P 的坐标,表示出三角形的面积,进而求出取值范围. 【解析】选A.由题设知:不妨设P 1,P 2点的坐标分别为: P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),其中0 如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！ 一、教学内容分析: 函数的单调性是学生在掌握了函数的概念，函数的表示方法等基础知识后，学习的函数的第一个性质，主要刻画了函数在其定义域内某区间上图像（上升或下降）的变化趋势，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据，如在研究函数的值域、最大值、最小值等性质中有着重要应用，而且在解决比较数的大小、解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。 二、教学目标设置: （一）知识与技能： 1.用准确的数学语言归纳、抽象概括增函数和减函数的定义，并能正确理解单调性的定义； 2.利用图像和定义判断函数的单调性，能正确书写单调区间，并能用单调性定义证明函数在给定区间上的单调性； 3.培养学生抽象概括能力、类比化归能力及数形结合思想方法的运用能力。 （二）过程与方法： 1. 通过学生熟悉的现实问题创设情境，引出本节课题函数单调性，同时借助多媒体的直观演示，让学生观察图像（上升？下降？）变化趋势，过渡到在区间上用自变量x和相应函数f(x)的变化进行语言表述； 2.设置问题引导学生自主探究、尝试、归纳、总结，师生互相讨论交流，最终形成严格的数学概念； 3.形成概念后，引导学生自主探究，通过生生互动，师生互动，达到让学生从多种形式认识概念的本质含义，从而加深学生对概念的理解；巩固练习问题（1）为了加深学生对单调性定义中自变量取值“任意”性的理解，是一个很好的问题；问题（2）的变式题体现了“逆向思维”，深化对定义的理解；问题（3）通过教师的引导，针对于数学基础较好、思维较为活跃的一部分学生，对判断方法进行适当的深入和拓展，加深学生对单调性定义的更 2017年高考数学函数的单调性必考知识点2017年高考数学函数的单调性必考知识点 高中数学知识点：函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。 高中数学知识点：函数的单调区间 单调区间是指函数在某一区间内的函数值Y，随自变量X 增大而增大(或减小)恒成立。如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间。 高中数学知识点：函数的单调图像 高中数学知识点：求函数单调性的基本方法 解：先要弄清概念和研究目的,因为函数本身是动态的，所以判断函数的单调性、奇偶性，还有研究函数切线的斜率、极值等等，都是为了更好地了解函数本身所采用的方法。其次就解题技巧而言，当然是立足于掌握课本上的例题，然后再找些典型例题做做就可以了，这部分知识仅就应付解题而言应该不是很难。最后找些考试试卷题目来解，针对考试会出的题型强化一下，所谓知己知彼百战不殆。1、把握好函数单调性的定义。证明函数单调性一般(初学最好用定义)用定义(谨防循环论证)，如果函数解析式异常复杂或者具有某种特殊形式，可以采用函数单调性定义的等价形式证明。另外还请注意函数单调性的定义是[充要命题]。 2、熟练掌握基本初等函数的单调性及其单调区间。理解并 掌握判断复合函数单调性的方法：同增异减。 3、高三选修课本有导数及其应用，用导数求函数的单调区间一般是非常简便的。还应注意函数单调性的应用，例如求极值、比较大小，还有和不等式有关的问题。 高中数学知识点：例题 判断函数的单调性y = 1/ x的平方-2x-3。 设x -2x-3=t， 令x -2x-3=0， 解得：x=3或x=-1， 当x 3和x -1时，t 0， 当-1 所以得到x -2x-1对称轴是1。 根据反比例函数性质： 在整个定义域上是1/t是增函数。 当t 0时，x 3时， t是增函数，1/t是减函数， 所以(3，+ )是减区间， 而x -1时，t是减函数， 所以1/t是增函数。 因此(- ，-1)是增区间， 当x 0时， -1 函数的单调性 课题2.3.1函数的单调性 授课类型新授课 课时安排1课时 教具多媒体、实物投影仪 教学目标 （1）了解单调函数、单调区间的概念；理解增函数、减函数的概念；掌握利用函数的单调性定义证明简单函数的单调性的基本方法 （2）能用自已的语言表述概念；能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间；能把文字描述、图像特征、数学语言结合起来准确地表述、判断、证明函数的单调性；学 会利用函数的单调性解决诸如不等式、函数最值（值域）的问题（本节课只设置引导目标）（3）通过数形互助培养学生直观判断与严格证明相结合、形象与抽象相结合的思维习惯；渗透联系与变化的认识观 教学重点函数的单调性（增函数、减函数）的概念 教学难点对函数单调的定义中数学语言的准确理解和灵活运用 教材开发点对函数的单调性的应用引导 教材与学情 函数的单调性是函数重要性质之一，也是今后研究函数时涉及最多的性质之一，如函数值域与最值、比较大小与解不等式、函数图像等问题均与函数的单调性相关；同时函数的单调性也是高考考查的重点内容。 学生在初中学过一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数，已有一些具体函数的知识，在学生的现有认知结构中，一方面能用描点法画出简单函数的图像，另一面可以根据函数的图象观察出“图像上升（或下降）”、“随着自变量的增大函数值增大”等 变化趋势，同时在此之前，刚刚学习抽象的函数概念，所以对函数的单调性的认识首先依赖于函数图象的直观性，然后才能逐步过渡抽象的数学语言理解层面。 本节课的教学应以函数的单调性的概念为主线设计材料、设计问题、设计活动，一方面设计几个比较性、思辨性好的问题，另一面要充分利用证明函数单调性的例题加深学生对单调性概念的准确（严谨性）理解。考虑到学生将来还要学习导数的知识，函数单调性的判断会变得比较容易，因此，在教学中，应该适当减少用定义判断证明单调性的问题，注意引导学生主动地应用函数的单调性去解决问题。 教学过程 一、复习引入: 1.复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法，也学习了一次函数、二次函数和反比例函数。为了研 2.3函数的单调性 ●知识梳理 1.增函数、减函数的定义 一般地，对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）〔或都有f（x1）＞f（x2）〕，那么就说f（x）在这个区间上是增函数（或减函数）. 如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数（或减函数），就说f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做f（x）的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间. 2.函数单调性可以从三个方面理解 （1）图形刻画：对于给定区间上的函数f（x），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减. （2）定性刻画：对于给定区间上的函数f（x），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减. （3）定量刻画，即定义. 上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径. ●点击双基 1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是 A.y =－x +1 B.y =x C.y =x 2－4x +5 D.y =x 2 答案：B 2.函数y =log a （x 2＋2x －3），当x =2时，y ＞0，则此函数的单调递减区间是 A.（－∞，－3） B.（1，＋∞） C.（－∞，－1） D.（－1，＋∞） 解析：当x =2时，y =log a 5＞0，∴a ＞1.由x 2＋2x －3＞0 x ＜－3或x ＞1，易见函数t ＝x 2＋2x －3在（－∞，－3）上递减，故函数y =log a （x 2＋2x －3）（其中a ＞1）也在（－∞，－3）上递减. 答案：A 3.（2003年北京朝阳区模拟题）函数y =log 2 1|x －3|的单调递减区间是 __________________. 解析：令u =|x －3|，则在（－∞，3）上u 为x 的减函数，在（3，+∞）上 u 为x 的增函数.又∵0＜2 1 ＜1，∴在区间（3，＋∞）上，y 为x 的减函数. 答案：（3，+∞） 4.有下列几个命题： 《函数的单调性》教学设计 安徽省亳州市第一中学史嘉 一、教学内容解析 1．教材内容及地位 本节课是北师大版《数学》（必修1）第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言（不等式）刻画函数的变化趋势（上升或下降）及简单应用．它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础．如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用．因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地． 2．教学重点 函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性． 3．教学难点 函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证． 二、学生学情分析 1．教学有利因素 学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“随的增大而增大（减小）”描述函数图象的上升（下降）的趋势．亳州一中实验班的学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力． 2．教学不利因素 本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度．而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强．另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱．这些都容易产生思维障碍． 三、课堂教学目标 1．理解函数单调性的相关概念．掌握证明简单函数单调性的方法． 2．通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法． 3．通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量． 4．引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力． 四、教学策略分析 在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“随的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证．对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度． 为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料： 1．指导思想．充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示．在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成．2．在“创设情境”阶段．观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中已学函数的图象，让学生直观感受函数单调性，明确相关概念． 3．在“引导探索”阶段．首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”，借助多媒体引导学生对“随的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越． 4．在“学以致用”阶段．首先通过3个判断题帮助学生从正、反两方面辨析，逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识．然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法．接着请学生板演实践． 五、教学过程 （一）创设情境，引入课题 实例科考队对沙漠气候进行科学考察，下图是某天气温随时间的变化曲线．请 高中数学函数单调性的判断方法 单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢？ 方法一：定义法 对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x （1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数； （2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。 例如：根据函数单调性的定义，证明：函数 在 上是 减函数。 要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则 33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为 0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24 x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。 方法二：性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： 1. f(x)与c?f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； 2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； 3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。 这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。 方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题） 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)， 可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中， 若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数； 函数的单调性 一、基础知识梳理: 1.函数的单调性定义： 2.单调区间： 3.一些基本函数的单调性 （1）一次函数b kx y += （2）反比例函数x k y = （3）二次函数c bx ax y ++=2 （4）指数函数x a y =()1,0≠>a a （5）对数函数x y a log =()1,0≠>a a 二、基础能力强化： 1.下列函数中，在），（0∞-内是减函数的是（ ） A.21x y -= B.x x y 22+= C.21x y = D.1-=x x y 2.x x x f -=1)(在（ ） A.），（），（∞+∞-11 上是增函数 B.），（），（∞+∞-11 是减函数 C.），）和（，（∞+∞-11是增函数 D.），）和（，（∞+∞-11是减函数 3.函数3)1(22+--=x a x y 在区间(]1，∞-内递减，在），（∞+1内递增，则a 的值是 （ ） A.1 B.3 C.5 D.-1 4.函数54)(2+-=mx x x f 在区间[)∞+-，2上是增函数，在区间(]2-∞-，上是减函数，则)1(f =（ ） A.-7 B.1 C.17 D.25 5.函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间4，（∞-]上是减函数，那么实数a 的取值范围 是（ ） 3-≤a B.3-≥a C.5≤a D.3≥a 6.设函数b x a x f +-= ）（12)(是R 上的增函数，则有（ ） A.21>a B.21≤a C.21->a D .2 1 7.已知函数???≥+-<=) 0(4)3()0()(x a x a x a x f x ，满足对任意21x x ≠，都有0)()(2121<--x x x f x f 成立，则a 的取值范围是（ ） A.??? ??41,0 B.）（,10 C.?? ????141， D.）（3,0 三、课堂互动讲练： 考点一、函数单调性的证明方法： （1）定义法： （2）求导法： （3）定义的两种等价形式： 例1:证明：函数)(x f =x x -+12在定义域上是减函数. 例2：求函数()m x x x x f ++=9-6-23的单调区间. 例3：试讨论函数)(x f =)0(>+a x a x 的单调性. 考点二、复合函数的单调性： 例1：求下列函数的单调区间，并指出其增减性。 （1）)4(log 221x x y -= （2）322 12-+= x x y 练习： 1.函数322)21(-+=x x y 的单调递减区间是 ；函数)23(log 23 1x x y --=的单调递增区间是 2.已知)2(log ax y a -=在[],10上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A.()1,0 B.()1,2 C.()2,0 D.[)∞+， 2 《函数单调性》教案 教学目标 (1)知识与技能目标： ①理解函数单调性的概念； ②能指出一些简单基本初等函数的单调区间。 (2)过程与方法： 通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，理解单调性概念的形成过程，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观，并进一步感受数形结合的思想。(3)情感态度与价值观： 通过对单调性的研究和应用培养学生对数学知识形成实事求是的科学态度和勇于探索敢于创新的钻研精神；领会局部与整体的辨证关系，崇尚数学的理性精神。 教学重点：函数单调性概念的理解及应用 教学难点：函数单调性的判定与证明 授课类型：新授课 课时安排：2课时;第一课时：单调性的概念与判定；第二课时：单调性的应用 教学方法：讨论、讲授 教学过程 一、创设情景，引入课题 1、课件演示：展示已绘制的NBA球星姚明四个赛季的得分、篮板数据表 赛季赛季 注：图象是由点构成的，连线是为了体现变化趋势。 问：你还能举出生活中有哪些利用图象进行分析的实例吗？ 2、分析一组成语： 蒸蒸日上一落千丈跌宕起伏 3、能否用图象表示以上成语？ (二)、归纳探索、形成概念问题1：画出下列函数的图象，并且观察当自变量X 变化时，函数值有什么变化规律？ (1) y=x+1 (2) y=-x+1 （1）当自变量x 增大时，因变量y 也增大，图象呈上升趋势 （2）当自变量x 增大时，因变量y 反而减小，图象呈下降趋势 问题2：下图是函数)0(2 >+=x x x y 的图象，能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？ 2019高考数学函数的单调性与最值 2019高考各科复习资料 2019年高三开学已经有一段时间了，高三的同学们是不是已经投入了紧张的高考一轮复习中，数学网高考频道从高三开学季开始为大家系列准备了2019年高考复习，2019年高考一轮复习，2019年高考二轮复习，2019年高考三轮复习都将持续系统的为大家推出。 1. 描点法作图 方法步骤：(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势);(4)描点连线，画出函数的图象. 2. 图象变换 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y=f(x) —————→y=-f(x);②y=f(x) —————→y=f(-x); ③y=f(x) —————→y=-f(-x); ④y=ax (a0且a≠1) —————→y=logax(a0且a≠1) (3)翻折变换 ①y=f(x) —————→ y=|f(x)|.②y=f(x) —————→ y=f(|x|) (4)伸缩变换 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清 时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。 ①y=f(x) ————→ y=f(ax);②y=f(x) ————→y=a f(x). 教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。 2020年精品试题 芳草香出品 课时作业 A 组——基础对点练 1.函数f (x )的导函数f ′(x )的图像是如图所示的一条直线l ，l 与x 轴 的交点坐标为(1,0)，则f (0)与f (3)的大小关系为( ) A ．f (0) 解析：当x ＝－π2时，f (－π2)＝sin (－π2)2e －π2＝－12e π2＜0，排除D ；当x ＝－π4时，f (－π4)＝sin (－π4)2e －π4 ＝－24e π4＜0，排除C ；又f ′(x )＝cos x －sin x 2e x ＝2cos (x ＋π4)2e x ，当x ∈(0，π4 )时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数，当x ∈(π4，π2 )时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数，所以B 错误．故选A. 答案：A 5．若函数f (x )＝x 3－2ax 2＋6x ＋5在x ∈[1,2]上是增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0，322 ] B ．(0，322) C ．(－∞，322) D ．(－∞，322 ] 解析：因为f (x )＝x 3－2ax 2＋6x ＋5，所以f ′(x )＝3x 2－4ax ＋6，又f (x )在x ∈ [1,2]上是增函数，所以f ′(x )≥0在x ∈[1,2]上恒成立，即3x 2－4ax ＋6≥0,4ax ≤3x 2＋6在x ∈[1,2]上恒成 立，因为x ∈[1,2]，所以4a ≤ (3x ＋6x )min ，又3x ＋6x ≥23x ·6x ＝62，当且仅当3x ＝6x ，即x ＝2时取“＝”，所以4a ≤62，即a ≤322 . 答案：C 6．已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f ′(x )(x ln x 2)＞2f (x )，则( ) A ．6f (e)＞2f (e 3)＞3f (e 2) B ．6f (e)＜3f (e 2)＜2f (e 3) C ．6f (e)＞3f (e 2)＞2f (e 3) D ．6f (e)＜2f (e 3)＜3f (e 2) 解析：设F (x )＝f (x )ln x 2，x ＞0且x ≠1，因为f ′(x )(x ln x 2)＞2f (x )，所以F ′(x )＝f ′(x )·ln x 2－f (x )·2x (ln x 2)2 ＝f ′(x )·(x ln x 2)－2f (x )x (ln x 2) 2＞0，所以F (x )在(0,1)，(1，＋∞)上单调递增，所以F (e)＜F (e 2)＜F (e 3)，故f (e )ln e 2＜f (e 2)ln e 4＜f (e 3)ln e 6，即f (e )2＜f (e 2)4＜f (e 3)6 ，所以6f (e)＜3f (e 2)＜2f (e 3)．选B. 答案：B 7．(2018·成都模拟)f (x )是定义域为R 的函数，对任意实数x 都有f (x )＝f (2－x )成立．若当x ≠1 §2.2函数的单调性 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 概念方法微思考 1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？ 提示 对?x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2) x 1－x 2>0?f (x )在D 上是增函数；对?x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1) －f (x 2)]>0?f (x )在D 上是增函数．减函数类似． 2．写出函数y ＝x ＋a x (a >0)的增区间． 提示 (－∞，－a ]和 [a ，＋∞)． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1) 2.如图是函数y ＝f (x )，x ∈[－4,3]的图象，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )在[－4，－1]上是减函数，在[－1,3]上是增函数 B ．f (x )在区间(－1,3)上的最大值为3，最小值为－2 C ．f (x )在[－4,1]上有最小值－2，有最大值3 D ．当直线y ＝t 与f (x )的图象有三个交点时－1人教版高中数学《函数的单调性与最值》教学设计全国一等奖
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