法拉第电磁感应定律
10-1如图10-1所示，一半径a ＝0.10m ，电阻R ＝1.0×10-3Ω的圆形导体回路置于均匀磁场中，磁场方向与
回路面积的法向之间的夹角为π/3，若磁场变化的规律为
T 10)583()(4
2-?++=t t t B
求：（1）t ＝2s 时回路的感应电动势和感应电流；
（2）最初2s 通过回路截面的电量。
解：（1）θcos BS S B =?=Φ
V 10)86(6.110)86()3
cos(d d cos d d 642--?+?-=?+?-=-=Φ-
=t t a t B S t i π
πθε s 2=t ，V 102.35
-?-=i ε，A 10210
0.1102.323
5---?-=??-==R I ε 负号表示i ε方向与确定n 的回路方向相反
（2）422
123
112810 3.140.1()[(0)(2)]cos 4.410C 1102
i B B S q R R θ---???=Φ-Φ=-??==??? 10-2如图10-2所示，两个具有相同轴线的导线回路，其平面相互平行。大回路中有电流I ，小的回路在大
的回路上面距离x 处，x >>R ，即I 在小线圈所围面积上产生的磁场可视为是均匀的。若
v dt
dx
=等速率变化，（1）试确定穿过小回路的磁通量Φ和x 之间的关系；（2）当x ＝NR （N 为一正数），求小回路的感应电动势大小；（3）若v ＞0，确定小回路中感应电流方向。 解：（1）大回路电流I 在轴线上x 处的磁感应强度大小
2
02232
2()IR B R x μ=
+，方向竖直向上。
R x >>时，2
03
2IR B x μ=
，22
2
03
2IR r B S BS B r x πμπΦ=?==?=
（2）224032i d dx IR r x dt dt πμε-Φ=-=，x NR =时，2024
32i Ir v R N πμε=
（3）由楞次定律可知，小线圈中感应电流方向与I 相同。
动生电动势
10-3 一半径为R 的半圆形导线置于磁感应强度为B
的均匀磁场中，该导线以
速度v 沿水平方向向右平动，如图10-3所示，分别采用（1）法拉第电磁感应定律和（2）动生电动势公式求半圆导线中的电动势大小，哪一端电势高？ 解：（1）假想半圆导线在宽为2R 的U 型导轨上滑动，设顺时针方向为回路方向，
在x 处
2
1(2)2m
Rx R B π=+Φ，∴22m d dx RB RBv dt dt
εΦ=-=-=- 由于静止U 型导轨上电动势为零，所以半圈导线上电动势为
2RBv ε=- 负号表示电动势方向为逆时针，即上端电势高。
图10-2
（2）任取线元dl ，()sin 90cos cos d v B dl vB dl vB Rd εθθθ=??=??=?
2
2
cos 2d vBR d vRB π
π
εεθθ-
===??，由()v B ?指向知，上端电势高
10-4长为L 的铜棒NM ，以角速度 ω 绕支点O 在水平面上转动，支点距棒的一端点N 的距离为r ，设均匀磁场B
垂直向下，如图10-4所示。求棒两端的电势差。 解：在棒上距O 点l 处取线元dl ，方向N M →，则
()d v B dl vBdl Bldl εω=??==-
∴1
(2)2L r
NM NM r
d B ldl BL L r εωωε--==-=--??
负号表示电动势方向为M N →，)2(2
1
R L BL U NM NM -=
-=ωε 10-5两平行长直导线载有等量反向电流I ，金属棒CD 与两导线共面且垂直，
相对位置如图10-5所示。CD 棒以速度v
平行于导线电流运动时，求CD 棒中的动生电动势，哪端的电势高？
解：如图建立坐标系，在x 处（棒上）取线元dx ，方向C D →，该处
0022()
I I
B x x a μμππ=
--，方向垂直纸面向上。 ∴()i d v B dx vBdx ε=??=
200021122()[ln ln ]ln 22222()
a b CD i a Iv Iv Iv a b a b a b
d dx x x a a a a b μμμεεπππ++++==-
=-=??-+ 0CD ε<，∴C 端电势高。
10-6如图10-6所示，质量为m ，长为l ，电阻为R 的金属棒AB 放置在一个倾斜的光滑U 形框架上，并由
静止下滑，磁场B
垂直向上。求：（1）U 形框架为绝缘时，AB 棒的动生电动势与时间的函数关系；（2）
U 形框架为导体时（不计电阻），AB 棒下滑速度随时间的变化关系，最大速度为多少？ 解：（1）()sin cos i v B BA vB l vBl αθε=??=?=
在斜面上，sin mg ma θ=，∴sin a g θ=
sin v at gt θ==，∴1
sin cos sin 22i gt Bl Bglt θθθε=?=
（2）此时，在BADC 回路中产生感应电流，所以AB
22cos i
i B l F BlI Bl v R
R
εθ=
==，方向水平向右。
图10-6
图10-5
I
D
沿斜面 ，sin cos i dv
mg F ma m dt
θθ-==，即 222cos sin B l dv mg v m R dt θθ-
= 解得 )1(cos sin 222cos 222max t
mR
l B e
l B mgR v θ
θ
θ
-
-=
，θ
θ
2
22max cos sin l B mgR v =
。 感生电动势
10-7一长直导线有交变电流I ＝5.0sin100πt A ，在与其相距d ＝5.0cm 处放有一矩形线圈，共100匝，线圈
长l ＝4.0cm ，宽a ＝2.0cm ，如图10-7所示。求t 时刻：（1）线圈中的磁通链数是多少？（2）线圈中的感生电动势是多少？ 解：（1）取矩形线圈的回路方向为顺时针方向，在距长直电流为x 处取宽为dx 的小面元
02I
d B dS N
ldx x
μπΦ=?=?， ∴00ln 22d a d NIl NIl dx d a x d
μμππ++Φ==?
7267
210100410ln sin100 1.3510sin100Wb 5
t t ππ---=??????=?
（2）44.2410cos100V i d t dt
επ-Φ
=-
=? 10-8一半径为R 、单位长度上匝数为n 的通电长直螺线管，其横截面上的磁场如图10-8所示。若电流的变
化率为dI /dt （＞0），求：（1）管外的感生电场；（2）当电子分别置于a 点、O 点和b 点处时，电子所获得的瞬时加速度大小和方向各为何？ 解：（1）取以轴线为圆心，半径为r 的圆，回路方向为逆时针
()2k i k L d B S E dl r E dt επ?=?=?=-?
r R <时：2
2k dB r r E dt ππ?=，∴022k r dB r dI
n E dt dt μ==，方向逆时针方向。 a 点：102ka r dI
n E dt
μ=，电子受力1ka F e ma E =-=
∴1ka e
a E m =- 大小 0112ner dI a m dt
μ=，方向水平向右。
O 点：0ko E =，∴20a =
r R >时：2
2k dB
r R
E dt
ππ?=，∴22022k nR R dB dI E r dt r dt μ== b 点：2022kb nR dI
E r dt μ=
，∴3kb e
a E m =-，大小 20322neR dI a r dt
μ=，方向水平相左。
I
图10-7
图10-8
b
10-9在半径为R 的细长螺线管有
0>dt
dB
的均匀磁场，一等腰梯形金属框abcd 如图10-9放置。已知，ab ＝2R ，cd ＝R ，求：（1）各边产生的感生电动势；（2）线框的总电动势。 解：（1）径向上的电动势为零，即0ad cd εε==
在Odc ?中，以d c 为底，设1h 为高
2
1
11122R B R R B B h =?=?=Φ
∴121cd d dB
R
dt dt
εεΦ==
= 方向 d c → 在Oab ?中，2
216
R B π=?Φ，∴2226ab d R dB dt dt πεεΦ=== 方向 a b → （2）线框总电动势 221(
)6
4i dB
R dt
π
εεε=-=-
互感
10-10一螺绕环横截面的半径为a ，环中心线的半径R ，R >>a ，其上由表面绝缘导线均匀地密绕两个线圈，
一个为N 1匝，另一个为N 2匝，求两线圈的互感系数。 解：设线圈1有电流I 1，则螺绕环中的磁感应强度 11
1102I R
N I n B πμμ== 在线圈2中的全磁通 211
22122a I R
N N BS N ππμ==ψ R
a N N I M 22
210112μ=
ψ=∴ 10-11如图10-11所示，A 、C 为两同轴的圆线圈，半径分别为R 和r ，两线圈相距为l ，若r 很小，可认为
由A 线圈在C 中所产生的磁感应强度是均匀的，求两线圈的互感系数。若C 线圈匝数增加N 倍，则互感系数又为多少？ 解：设线圈A 有电流I ，在线圈C 的圆心处的磁感应强度 2
32220)(2l R I
R B +=
μ 23222202
232220)(2)(2l R r R I r l R I R I BS I M +=
?+==Φ=∴πμπμ 若C 线圈匝数增加N 倍，则 2
322220)
(2l R r R N I BS
N M +==∴πμ
图10-9
A
图10-11
10-12一长直导线旁，共面放置一长20cm 、宽10cm 、共100匝的密绕矩形线圈，长直导线与矩形线圈的
长边平行且与近边相距10cm ，如图10-12所示。求两电路的互感系数。 解：在距长直导线r 处，取一面元ldr dS =，则 ldr r
I
BdS d πμ20=
=Φ 2ln 2202.01.00πμπμIl r dr Il ==Φ∴?，H 1077.22ln 250-?==Φ=π
μNl
I N M 自感
10-13在长60cm 直径5.0cm 的纸筒上绕多少匝导线才能得到自感为6.0×10-3 亨的线圈？
解：螺线管的自感 V n L 2
0μ=，l R N l R l
N L 2202
220πμπμ=??=∴
有 12082
0==
R
Ll
N πμ （匝）
10-14管长l ，匝数N 的螺线管，管心是两个套在一起的同轴圆柱体，其截面积分别为S 1和S 2，磁导率分
别为μ1和μ2，如图10-14所示。求该螺线管的自感系数。 解：设通电流I ，则两介质中的磁场分别为 I l N B 1
1μ=，I l N B 22μ= 11111S l
NI
S B μ=
=Φ∴，22222S l
NI
S B μ=
=Φ
)()(2211221S S l I N N μμ+=Φ+Φ=ψ，)(22112
S S l
N I L μμ+=ψ=∴
10-15两根半径均为a 的平行长直导线，它们中心相距为d ，如图10-15所示。两导线以等值、反向的电流
I ，求单位长度上的自感系数。（设导线的磁通量忽略不计） 解：两导线间的磁感应强度 )
(2200r d I
r I B -+=
πμπμ 则穿过图中阴影部分的磁通量为 a
a
d Il Bldr S d B a d a S -==?=Φ??-ln 0πμ
单位长度上的自感系数 a
a d l I L -=Φ=
ln 0πμ
磁能
10-16 —个螺线管的自感为10 mH ，通过线圈的电流为4A ，求它所储存的磁能。 解：J 108410102
1
212232--?=???==LI W
S S 图10-14
图
10-12
I
图10-15
11221成，如图10-17所示。在金属圆柱与圆筒间充以磁导率为μ2的磁介质，电流I 由圆筒流去，由圆柱形导体流回。求单位长度的总磁能。 解：由安培环路定律
1R r <：2
1112R Ir B πμ=；21R r R <<：r
I
B πμ222=；2R r >时：03=B 。
πμππμμ162)21(212
10
2
1111
l I rldr R Ir
W R m =?=∴?
1
2
222222ln
42)2(21
2
1
R R l I rldr r I W R R m πμππμμ=?=?
单位长度总磁能 )ln 4(4)(1'1
221
221R R I W W l W m m m μμπ+=+=
位移电流
10-18试证：平行板电容器中的位移电流可以写为dt
dU
C I
D =。 证：dt d I D D Φ=
，DS D =Φ，d
U
E D r r εεεε00== )()(0S d U dt d DS dt d I r D ?==
∴εε。又 d S C r εε0=，dt
dU
C
CU dt d I D ==∴)( 得证。 10-19一平行板电容器的两板面积均为S 的圆形金属板，接于一交流电源时，板上的电荷随时间变化，即
q 0＝q m sin ω t 。（1）试求电容器中的位移电流密度；（2）试证两板之间某点的磁感应强度为
t S
r q B m ωωμcos 20
=
，其中r 为由圆板中心线到该点的距离。 解：（1）t q q m ωsin 0=，对平板电容器 t S q S q D m ωσsin 0==
=。t S
q t D j m D ωωcos =??=∴ （2）2
2r j I r H l d H D D ππ?==?=??
t S r
q r j H m D ωωcos 22==
∴，t S
r q H B m ωωμμcos 200== 2