动点问题专题训练
1、如图，已知A B C △中，10A B A C ==厘米，8B C =厘米，点D 为A B 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．
①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，B P D △与
CQP △是否全等，请说明理由；
②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使B P D △与CQP △全等？
（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿A B C △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在A B C △的哪条边上相遇？
2、直线364
y x =-
+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，
同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段O A 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标；
（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485
S =
时，求出点P 的坐标，并直接写出以点
O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M
的坐标．
3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B 两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.
（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是
正三角形？
4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A 的坐标为（－3，4），
点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
5在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀
速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．
（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ；
（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ
的面积S 与
t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）
（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成
为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接．．
写出t 的值．
6如图，在R t ABC △中，9060A C B B ∠=∠=°，°，2B C =．点O 是A C 的中点，过点O 的直线l 从与A C 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交A B 边于点D ．过点C 作C E A B ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形E D B C 是等腰梯形，此时A D 的长为 ；②当α= 度时，四边形E D B C 是直角梯形，此时A D
的长为 ；
（2）当90α=°时，判断四边形E D B C 是否为菱形，并说明理由．
P
图
16
（备用图）
7如图，在梯形A B C D
中，3545AD BC AD DC AB B ====?∥，，，∠．动点M 从B 点出发沿线段B C 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段C D 以每秒1个单位长度的速度向终点
D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求B C 的长．
（2）当M N A B ∥时，求t 的值． （3）试探究：t 为何值时，M N C △为等腰三角形．
8如图1，在等腰梯形A B C D 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作E F B C ∥交C D 于点F ．46A B B C ==，，60B =?∠. （1）求点E 到B C 的距离；
（2）点P 为线段E F 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交B C 于点M ，过M 作M N A B ∥交折线A D C 于点N ，连结P N ，设E P x =.
①当点N 在线段A D 上时（如图2），P M N △的形状是否发生改变？若不变，求
出P M N △的周长；若改变，请说明理由； ②当点N 在线段D C 上时（如图3），是否存在点P ，使P M N △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.
C M A
D
E B
F C
图4（备用）
A
D
E B
F C
图5（备用）
A D E B
F C
图1 图2
A D E
B
F C P
N M 图3
A
D E
B
F C
P
N M
（第25题）
9如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第
一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．
(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；
(2)求正方形边长及顶点C 的坐标；
(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标； (4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．
10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠= ，且EF 交正方形外角D C G ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证A M E E C F △≌△，所以A E E F =．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
A
D
F
C G
E B
图1
A
D
F
C G E B 图2
A
D
F
C G
E B
图3
11已知一个直角三角形纸片O A B，其中9024
°，，．如图，
A O
B O A O B
∠===
将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边O B交于点C，与边A B交于点D．
（Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；
'=，OC y
=，试写出y关Array于x的函数解析式，并确定y的取值范围；
（Ⅲ）若折叠后点B落在边O A上的点为B'，且使B D O B
'∥，求此时点C的坐
标．
12如图（1），将正方形纸片A B C D 折叠，使点B 落在C D 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕M N ．当12
C E C
D =
时，求A M B N 的值．
类比归纳
在图（1）中，若13C E C D =，
则A M B N
的值等于 ；若
14
C E C D
=
，
则A M B N
的
值等于 ；若
1C E C D
n
=（n 为整数），则A M B N
的值等于 ．（用含n
的式子表示） 联系拓广 如图（2），将矩形纸片A B C D 折叠，使点B 落在C D 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕M N ，设
()111A B C E m
B C
m
C D n =>=，，则
A M
B N
的值等
于 ．（用含m n ，的式子表示）
方法指导：
为了求得A M
B N
的值，可先求B N 、A M 的长，不妨设：A B =2
图（2）
N A
B
C
D E
F
M
图（1） A
B C
D
E
F
M N
12..如图所示，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A＝90°，AB＝12，BC＝21，AD=16。动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。
（1）设△DPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？
（3）分别求出出当t为何值时，①PD＝PQ，②DQ＝PQ ？
13.三角形ABC中，角C=90度，角CBA=30度，BC=20根号3。一个圆心在A点、半径为6的圆以2个单位长度/秒的速度向右运动，在运动的过程中，圆心始终都在直线AB上，运动多少秒时，圆与△ABC的一边所在的直线相切。
1.解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==?=厘米，
∵10A B =厘米，点D 为A B 的中点， ∴5B D =厘米．
又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835P C =-=厘米， ∴P C B D =． 又∵A B A C =， ∴B C ∠=∠，
∴BPD CQP △≌△． ························································································· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠，
又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间433
B P t ==秒，
∴51544
3Q C Q v t =
==厘米/秒． ············································································ （7分）
（2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得1532104
x x =+?，
解得803x =
秒．
∴点P 共运动了
80
3803?=厘米．
∵8022824=?+，
∴点P 、点Q 在A B 边上相遇， ∴经过
803
秒点P 与点Q 第一次在边A B 上相遇． ················································（12分）
2.解（1）A （8，0）B （0，6） ··············· 1分 （2）86O A O B == ，
10AB ∴=
点Q 由O 到A 的时间是881
=（秒）
∴点P 的速度是
61028
+=（单位/秒） ·· 1分
当P 在线段O B 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，
2
S t = ·························································································································· 1分
当P 在线段B A 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，,
如图，作P D O A ⊥于点D ，由
P D A P B O
A B
=
，得4865
t P D -=
， ·································· 1分
2
13242
55
S O Q P D t t ∴=
?=-
+
·
················································································· 1分 （自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）
（3）8245
5P ??
???
，··········································································································· 1分
123824122412
24555555I M M 2??????-- ? ? ???????
，，，，， ·
··························································· 3分 3.解：（1）⊙P 与x 轴相切.
∵直线y =－2x －8与x 轴交于A （4，0），
与y 轴交于B （0，－8），
∴OA =4，OB =8. 由题意，OP =－k ，
∴PB =P A =8+k .
在Rt △AOP 中，k 2+42=(8+k )2， ∴k =－3，∴OP 等于⊙P 的半径， ∴⊙P 与x 轴相切.
（2）设⊙P 与直线l 交于C ，D 两点，连结PC ，PD 当圆心P
在线段OB 上时,作PE ⊥CD 于E . ∵△PCD 为正三角形，∴DE =12
CD =
32
，PD =3，
∴PE 2
.
∵∠AOB =∠PEB =90°， ∠ABO =∠PBE ， ∴△AOB ∽△PEB ，
∴
2,
AO PE AB
PB
PB
=，
∴2
P B =
∴82
PO BO PB =-=-
∴8)2
P -，
∴82
k =
.
当圆心P 在线段OB 延长线上时,同理可得P (0,2
8)，
∴k =28，
∴当k 2
－8或k =2
8时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三
角形是正三角形.
4.
5.解：（1）1，8
；
5
（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP = t ，∴3AP
t
=-．
由△AQF ∽△ABC
，4BC ==， 得
45
Q F t =．∴45
Q F
t
=
．
∴14(3)2
5S t t
=-?， 即2
265
5S
t t
=-+
．
（3）能．
①当DE ∥QB 时，如图4．
∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP =90°． 由△APQ ∽△ABC ，得AQ AP AC
AB
=，
即
335
t t -=． 解得98
t
=
．
②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC ，得 AQ AP AB
AC
=，
即
353
t t -=． 解得158
t =
．
（4）52
t
=
或4514
t
=．
①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ． 连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6．
PC t
=，2
22
QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]
55
t t =-+--．
由22
PC QC
=，得2
2
2
3
4
[(5)][4(5)]
55
t t t =-+--，解得52
t =．
②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7．
222
34(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514
t =
】
6.解（1）①30，1；②60，1.5；
（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC //ED .
∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形. ……………………6分 在Rt △ABC 中，∠ACB =900
，∠B =600
,BC =2,
∴∠A =300.
∴AB =4,AC 图4
P
图5
∴AO =
12
A C
. ……………………8分
在Rt △AOD 中，∠A =300
，∴AD =2. ∴BD =2. ∴BD =BC .
又∵四边形EDBC 是平行四边形，
∴四边形EDBC 是菱形 ……………………10分
7.解：（1）如图①，过A 、D 分别作A K B C ⊥于K ，
D H B C ⊥于H ，则四边形AD H K 是矩形
∴3K H A D ==． ····························································································· 1分 在R t ABK △中，sin 4542AK AB =?== ．
cos 4542
BK AB =?==
·
·································································· 2分 在R t C D H △
中，由勾股定理得，3HC ==
∴43310BC BK K H H C =++=++=························································· 3分
（2）如图②，过D 作D G AB ∥交B C 于G 点，则四边形A D G B 是平行四边形 ∵M N A B ∥ ∴M N D G ∥ ∴3BG AD ==
∴1037G C =-= ························································································· 4分 由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102C N t C M t ==-，． ∵D G M N ∥ ∴N M C D G C =∠∠ 又C C =∠∠ ∴M N C G D C △∽△ ∴C N C M C D C G = ································································································ 5分 即
10257t t
-=
解得，5017
t =
································································································· 6分
（图①） A
D
C
B K
H
（图②） A
D
C
B
G M
N
（3）分三种情况讨论：
①当N C M C =时，如图③，即102t t =- ∴103
t = ········································································································ 7分
②当M N N C =时，如图④，过N 作N E M C ⊥于E
解法一：
由等腰三角形三线合一性质得()11102522
E C M C t t ==
-=-
在R t C EN △中，5cos E C
t
c N C t -=
=
又在R t D H C △中，3
cos 5
C H c C
D =
= ∴
535t t
-=
解得25
8
t =
····································································································· 8分
解法二：
∵90C C D H C N E C =∠=∠=?∠∠，
∴N EC D H C △∽△ ∴
N C E C
D C H C =
即553
t t -= ∴258
t =
········································································································ 8分
③当M N M C =时，如图⑤，过M 作M F C N ⊥于F 点.1122FC N C t ==
解法一：（方法同②中解法一）
1
3
2cos 1025t
FC
C M C t ===-
解得60
17
t =
解法二：
∵90C C M F C D H C =∠=∠=?∠∠， ∴M F C D H C △∽△ ∴
F C M C H C
D C
=
A
D
C
B M
N
（图③）
（图④）
A
D C
B
M N
H E
（图⑤）
A
D
C
B
H N M
F
即1
102235t
t -= ∴6017
t =
综上所述，当10
3
t =、258t =或6017t =时，M N C △为等腰三角形 ················· 9分
8.解（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． ······················ 1分
∵E 为A B 的中点，
∴122B E A B =
=．
在R t E B G △中，60B =?∠，∴30BEG =?∠．··············2分
∴112
B G B E E G =
==
=
， 即点E 到B C
···········································3分 （2）①当点N 在线段A D 上运动时，P M N △的形状不发生改变．
∵P M E F E G E F ⊥⊥，，∴P M E G ∥． ∵E F B C ∥，∴E P G M =
，PM EG ==
同理4M N A B ==． ······························································································ 4分 如图2，过点P 作P H M N ⊥于H ，∵M N A B ∥， ∴6030N M C B PM H ==?=?∠∠，∠．
∴122
PH PM =
=
∴3cos 302
M H P M =?= ． 则35422
N H M N M H =-=-
=．
在R t P N H △
中，PN ==
=
∴P M N △的周长
=4PM PN M N ++=． ············································ 6分
②当点N 在线段D C 上运动时，P M N △的形状发生改变，但M N C △恒为等边三角
形．
当PM PN =时，如图3，作P R M N ⊥于R ，则M R N R =． 类似①，32M R =
．
∴23M N M R ==． ································································································ 7分 ∵M N C △是等边三角形，∴3M C M N ==．
此时，6132x E P G M B C B G M C ===--=--=． ········································· 8分
图1
A D E B
F C
G
图2
A D E
B
F C
P
N
H
当M P M N =时，如图4
，这时M C M N M P ===
此时，615x EP G M ===--
=-
当N P N M =时，如图5，30N P M P M N ==?∠∠．
则120P M N =?∠，又60M N C =?∠， ∴180PN M M N C +=?∠∠．
因此点P 与F 重合，P M C △为直角三角形． ∴tan 301M C P M =?= ．
此时，6114x E P G M ===--=． 综上所述，当2x =或4
或(
5-
时，P M N △为等腰三角形． ·
·······················10分 9解：（1）Q （1，0） ·································································································· 1分 点P 运动速度每秒钟1个单位长度． ·········································································· 2分 （2） 过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，BE ⊥x 轴于点E ，则BF ＝8，4
OF BE ==．
∴1046AF =-=．
在Rt △AFB
中，10AB == 3分 过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，与FB 的延长线交于点H ． ∵90,A B C A B B C ∠=?= ∴△ABF ≌△BCH ． ∴6,8BH AF C H BF ====．
∴8614,8412O G FH C G ==+==+=． ∴所求C 点的坐标为（14，12）． 4分 （3） 过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ， 则△APM ∽△ABF ． ∴
AP AM M P AB
AF BF
==
． 10
6
8
t A M M P ∴
=
=
．
∴345
5AM
t PM t
==
，． ∴3410,5
5PN
OM t ON PM t
==-
==
．
设△OPQ 的面积为S （平方单位） ∴2
13473(10)(1)525
1010S
t t t t
=?-
+=+
-
（0≤t ≤10） ························································ 5分
说明:未注明自变量的取值范围不扣分．
∵310
a
=-
<0 ∴当47
471036
2()
10t
=-
=
?-
时， △OPQ 的面积最大． ····························· 6分
图3
A D E B
F
C
P
N M 图4
A D E
B
F C
P
M N 图5
A D E
B
F （P ）
C
M
N
G
G
R
G
此时P 的坐标为（9415，
5310
） ． ················································································ 7分
（4） 当 53
t =
或29513
t =
时， OP 与PQ 相等． ························································ 9分
10.解：（1）正确．·························································（1分） 证明：在A B 上取一点M ，使A M E C =，连接M E ． （2分） BM BE ∴=．45B M E ∴∠=°，135AM E ∴∠=°．
C F 是外角平分线， 45
D C F ∴∠=°， 135EC F ∴∠=°．
A M E E C F ∴∠=∠．
90AEB BAE ∠+∠= °，90A E B C E F ∠+∠=°，
∴B A E C E F ∠=∠．
AM E BC F ∴△≌△（ASA ）． ············································································· （5分）
AE EF ∴=． ·
······································································································ （6分） （2）正确． ····························································· （7分） 证明：在B A 的延长线上取一点N ． 使A N C E =，连接N E ． ········································ （8分）
B N B E ∴=．
45N P C E ∴∠=∠=°．
四边形A B C D 是正方形， AD BE ∴∥． D AE BEA ∴∠=∠．
N AE C EF ∴∠=∠．
AN E EC F ∴△≌△（ASA ）． ·············································································（10分） AE EF ∴=．
（11分）
11.解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点A 重合， 则A C D B C D △≌△.
设点C 的坐标为()()00m m >，. 则4BC O B O C m =-=-. 于是4A C B C m ==-.
在R t A O C △中，由勾股定理，得222
AC OC OA =+， 即()2
2
2
42m m -=+，解得32
m =
.
∴点C 的坐标为3
02?? ???
，
. ······························································································· 4分 （Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在O A 边上的点为B ', 则B C D B C D '△≌△. 由题设OB x OC y '==，，
A D
F C
G
E
B
M A
D
F
C G
E B
N
则4B C BC OB OC y '==-=-，
在R t B O C '△中，由勾股定理，得222B C OC OB ''=+.
()2
2
2
4y y x ∴-=+，
即2
128
y x =-
+ ·
········································································································· 6分 由点B '在边O A 上，有02x ≤≤，
∴ 解析式2
128
y x =-
+()02x ≤≤为所求.
∴ 当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小， y ∴的取值范围为
322
y ≤≤.·
··············································································· 7分 （Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在O A 边上的点为B ''，且B D O B ''∥. 则O C B C B D ''''∠=∠.
又C B D C B D O C B C B D ''''∠=∠∴∠=∠ ，
，有C B B A ''∥. R t R t C O B BO A ''∴△∽△. 有
O B O C O A
O B
''=，得2O C O B ''=. ············································································ 9分
在R t B O C ''△中，
设()00OB x x ''=>，则02O C x =. 由（Ⅱ）的结论，得200
1228x x
=-
+，
解得000808x x x =-±>∴=-+，∴点C
的坐标为()
016. ··············································································10分
12解：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE ，，．
由题设，得四边形A B N M 和四边形F E N M 关于直线M N 对称．
∴M N 垂直平分B E ．∴BM EM BN EN ==，．············································ 1分 ∵四边形A B C D 是正方形，∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,． ∵
112
C E C E
D
E C D
=∴==，．设B N x =，则N E x =，2N C x =-．
N 图（1-1）
A B
C E
F M
在R t C N E △中，222NE CN CE =+． ∴()2
2221x x =-+．解得54
x =
，即54
B N =
．
················································ 3分 在R t A B M △和在R t D E M △中，
222
AM AB BM +=， 222
DM DE EM +=，
∴2222
AM AB DM DE +=+．
······································································· 5分 设AM y =，则2DM y =-，∴()2
222221y y +=-+． 解得14y =，
即14
A M =．
················································································ 6分 ∴
15
A M
B N
=．
··································································································· 7分 方法二：同方法一，5
4
B N =
． ·········································································· 3分 如图（1－2），过点N 做N G C D ∥，交A D 于点G ，连接B E ．
∵A D B C ∥，∴四边形G D C N 是平行四边形．
∴N G C D BC ==．
同理，四边形A B N G 也是平行四边形．∴54A G B N ==
．
∵90M N B E E B C B N M ⊥∴∠+∠=，°．
90N G BC M N G BN M EBC M N G ⊥∴∠+∠=∴∠=∠ ，°，． 在B C E △与N G M △中
90EBC M N G BC N G C N G M ∠=∠??
=??∠=∠=?
，
，°．∴B C E N G M E C M G =△≌△，． ······························５分
∵114
A M A G M G A M =--=
5，=．4
······························································ 6分
∴
15
A M
B N
=．·································································································· 7分
类比归纳
25
（或
410
）；
917
；
()
2
2
11
n n -+············································································10分
联系拓广
N
图（1-2）
A B
C D
E
F
M
G
22
2
2
211
n m n n m -++ ····································································································12分
解1：依题意,得AQ=t,BP=2t,QD=16-t 。过点Q 作QF ⊥BP,又 ∵AQ ‖BF, ∴∠ABP=90° ∴四边形AQFB 是矩形
∴AQ=BF=t ∵BP=2t ∴FP=t, ∴在Rt △QFP 中,QP=√(122+t2) 又∵QD=QP=PD ∴√(122+t2)=16-t ∴122+t2=162-2*16*t+t2 ∴解得:t=7/2不知道对不对,错了别怪我。
解2：如图所示，
:这P 作PE 垂直AD 于E,垂足为E 点,则ABPE 为矩形.PE=AB=12;AE=BP (1).s=1/2×A B ×DQ=1/2×12×(AD-AQ)=6×(16-t)=96-6t;
(2).当 BC-2t=21-2t=PC=DQ=AD-t=16-t,即t=5时,四边形PCDQO 为平形四边形.
(3).①QE=AE-AQ=BP-AQ=2t-t=t,而ED=AD-AE=16-BP=16-2t;当QE=ED 时,PE 为QD 的垂直平分线时,PQ=PD,而此时t=16-2t; t=16/3;所以当t=16/3时,PD=PQ;
.②在
Rt △PEQ
中,PE=AB=12;
EQ=AE-AQ=PB-AQ=2t-t=t;
PQ2=QE2+PE2=t2+122;
QD2=(AD-AQ)2=(16-t)2; 所以当t2+122=(16-t)2,即:t=3.5时,DQ=PQ;
解：因为∠C=90°，∠CBA=30°，BC=20√3 所以可求出AB ＝40
如图，圆心从A 向B 的方向运动时，共有三个位置能使此圆与直线AC 或直线BC 相切
初中数学动点问题练习题 1、（宁夏回族自治区）已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在 ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒． 1、线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形 MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 2、如图，在梯形ABCD 中，3545AD BC AD DC AB B ====?∥，，，．动点 M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点 出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长． （2）当MN AB ∥时，求t 的值． （3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，OA ∥BC ，点A 的坐标为(6，0)，点B 的坐标为(4，3)，点C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在AB 上运动，从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t (秒)． (1)求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC ？ (2)设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式， 并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值？ C P Q B A M N C B
运动型问题 第17课时 几何图形中的动点问题 (58分) 一、选择题(每题6分，共18分) 1．[·安徽]如图6－1－1，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △ PAB ＝S 矩形ABCD ，则点P 到A ，B 两点距离之和PA ＋PB 的最小值为( D )13A. B. C.5 D. 2934241 图6－1－1 第1题答图 【解析】 令点P 到AB 的距离为h ，由S △PAB ＝S 矩形ABCD ，得×5h ＝×5131213 ×3，解得h ＝2，动点P 在EF 上运动，如答图，作点B 关于EF 的对称点B ′，BB ′＝4，连结AB ′交EF 于点P ，此时PA ＋PB 最小，根据勾股定理求得最小值为＝，选D. 52＋42412．如图6－1－2，在矩形ABCD 中，AB ＝2a ，AD ＝a ，矩 形边上一动点P 沿A →B →C →D 的路径移动．设点P 经 过的路径长为x ，PD 2＝y ，则下列能大致反映y 与x 的 函数关系的图象是 ( D )【解析】 ①当0≤x ≤2a 时，∵PD 2＝AD 2＋AP 2，AP ＝ x ，∴y ＝x 2＋a 2；② 图6－1－2
当2a ＜x ≤3a 时，CP ＝2a ＋a －x ＝3a －x ，∵PD 2＝CD 2＋CP 2，∴y ＝(3a －x )2＋(2a )2＝x 2－6ax ＋13a 2；③当3a ＜x ≤5a 时，PD ＝2a ＋a ＋2a －x ＝5a －x ， ∴PD 2＝y ＝(5a －x )2，y ＝∴能大致反映y {x 2＋a 2（0≤x ≤2a ），x 2－6ax ＋13a 2（2a 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。本专题原创编写单动点形成的面积问题模拟题。 在中考压轴题中，单动点形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。 原创模拟预测题1.某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8. 问题思考： 如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE. （1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值. （2）分别连接AD、DF、AF， AF交DP于点A，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由. 问题拓展： （3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中， PQ 的中点O所经过的路径的长。 A B C D E O l A ′ 中考动点专题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 例1(2005年·)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F. (1)求证: △ADE ∽△AEP. (2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于 x 的函数解析式,并写出它的定义域. (3)当BF=1时,求线段AP 的长. （二）线动问题 在矩形ABCD 中，AB ＝3，点O 在对角线AC 上，直线l 过点O ，且与AC 垂直交AD 于点E. (1)若直线l 过点B ，把△ABE 沿直线l 翻折，点A 与矩形ABCD 的对称中心A ＇重合，求BC 的长； (2)若直线l 与AB 相交于点F ，且AO ＝ 4 1 AC ，设AD 的长为x ，五边形BCDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值围； ②探索：是否存在这样的x ，以A 为圆心，以-x 4 3 长为半径的圆与直 线l 相切，若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由． (2)①92+=x AC ，9412+=x AO ，)9(121 2+=x AF ，x x AE 49 2+= ∴AF 2 1 ?=?AE S AEF x x 96)9(22+= ，x x x S 96)9(322+-= A 3(2) O 3(1) 动点及动图形的专题复习教案 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总 近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题． 最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）. 我们知道“对称、平移、旋转” 是三种保形变换。通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。 数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。 （1）去伪存真。刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。 （2）科学选择。捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。 （3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°。 （4）怎么求值？几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两点之间线段最 动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10 AB AC ==厘米，8 BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 2、直线 3 6 4 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O点出发， 同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度， 点P沿路线O→B→A运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ △的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （3）当 48 5 S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四 边形的第四个顶点M的坐标． 3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. （1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； （2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？ 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4）， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值． 中考动点专题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=3 2 NH=2132?OP=2. (2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴ 2362 1 21x OH MH -== . 在Rt △MPH 中, . 222223362 1 419x x x MH PH MP +=- +=+=H M N G P O A B 图1 x y 动点问题专题训练 1、（09包头）如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==?=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米． 又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ································································································· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间4 33 BP t ==秒， ∴515 443 Q CQ v t = ==厘米/秒． · ·················································································· （7分） （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得15 32104 x x =+?， 解得80 3 x = 秒． 动点问题专题训练 1、如图，已知A B C △中，10A B A C ==厘米，8B C =厘米，点D 为A B 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，B P D △与 CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使B P D △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿A B C △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在A B C △的哪条边上相遇？ 2、直线364 y x =- +与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发， 同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段O A 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点 O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B 两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. （1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； （2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是 正三角形？ 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A 的坐标为（－3，4）， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值． 初中数学几何动点问题专题训练 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。 例题1.梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始，沿AD边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边，以3厘米/秒的速度向B点运动。已知P、Q两点分别从A、C同时出发，，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。假设运动时间为t秒，问： （1）t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？ （2）t为何值时，四边形PQCD是直角梯形？ （3）在某个时刻，四边形PQCD可能是菱形吗？为什么？ （4）t为何值时，四边形PQCD是等腰梯形？ 练习1. 如右图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线A—B—C —D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，t 为何值时，四边形APQD也为矩形？ 动态问题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想数形结合思想转化思想 1、如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从 A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动， 如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。 当 t= 时，四边形是平行四边形；6 当t= 时，四边形是等腰梯形. 8 2、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任 意一点，则DN+MN的最小值为 5 3、如图，在Rt ABC △中，9060 ACB B ∠=∠= °，°，2 BC=．点O是AC的中点，过 点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作 CE AB ∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为α． （1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为； ②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为； （2）当90 α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由． 解：（1）①30，1；②60，1.5； （2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形 在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300. ∴AB=4,AC=2 3. ∴AO= 1 2 AC =3.在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2. ∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC是平行四边形， ∴四边形EDBC是菱形 4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E. O E C D A α l O C A （备用图）C B A E D 图1 N M A B C D E M A C B E D N M 图3 初中数学压轴题---几何动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==?=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米． 又∵厘米， ∴835PC =-=厘米8PC BC BP BC =-=，， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ············································································· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间4 33 BP t ==秒， ∴515 443 Q CQ v t = ==厘米/秒． · ································································· （7分） （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得 15 32104 x x =+?， 初中数学几何动点问题分类专题汇总全书近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题． 最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）. 我们知道“对称、平移、旋转” 是三种保形变换。通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。 数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。 （1）去伪存真。刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。 （2）科学选择。捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。 （3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°。 例1.如图，已知在矩形ABCD 中，AD =8，CD =4，点E 从点D 出发，沿线段DA 以每秒1 个单位长的速度向点A 方向移动，同时点F 从点C 出发，沿射线CD 方向以每秒2个单位长的速度移动，当B ，E ，F 三点共线时，两点同时停止运动．设点E 移动的时间为t （秒）． （1）求当t 为何值时，两点同时停止运动； （2）设四边形BCFE 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围； （3）求当t 为何值时，以E ，F ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形； （4）求当t 为何值时，∠BEC =∠BFC ． 例2. 正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点， 当M 点在 BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直， （1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△； （2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积； （3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求此时x 的值． 例3.如图，在梯形ABCD 中，3545AD BC AD DC AB B ====?∥，，，． 动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （09年济南中考） （1）求BC 的长。 （2）当MN AB ∥时，求t 的值． （3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 例1. 解：（1）当B ，E ，F 三点共线时，两点同时停止运动，如图2所示．………（1分） 由题意可知：ED =t ，BC =8，FD = 2t -4，FC = 2t ． ∵ED ∥BC ，∴△FED ∽△FBC ．∴ FD ED FC BC =． ∴ 2428 t t t -=．解得t =4． A B C D E F O C D M A B C N 图2 A B C D E F 例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2 1 32?OP=2. (2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴ 2362 1 21x OH MH -== . 在Rt △MPH 中, . ∴y =GP= 32MP=23363 1x + (0 初二几何动点问题专题 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 1. 梯形ABCD 中，AD∥BC ，∠B=90°，AD=24cm ，AB=8cm ，BC=26cm ，动点P 从点A 开始，沿AD 边，以1厘米/秒的速度向点D 运动；动点Q 从点C 开始，沿CB 边，以3厘米/秒的速度向B 点运动。已知P 、Q 两点分别从A 、C 同时出发，，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。假设运动时间为t 秒，问： （1）t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形 （2）t 为何值时，四边形PQCD 是直角梯形 （3）在某个时刻，四边形PQCD 可能是菱形吗为什么 （4）t 为何值时，四边形PQCD 是等腰梯形 2. 如右图，在矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=4cm ，点P 从A 开始沿折线A —B —C —D 以4cm/s 的速度运动，点Q 从C 开始沿CD 边1cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达点D 时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，t 为何值时，四边形APQD 也为矩形 3：如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC=4，OA ⊥BC 于O,点E 和点F 分别在边AB 、AC 上滑动并保持AE=CF,但点F 不与A 、C 重合，点E 不与B 、A 重合。 （1）判断?OEF 的形状，并加以证明。 （2）判断四边形AEOF 的面积是否随点E 、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值. （3）设AE=x ，?AEF 的面积为y ，求的y 与x 的关系式。 4：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点， （1）写出点O 到△ABC 的三个顶点 A 、B 、C 距离的大小关系。 （2）如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动，移动中保持AN ＝BM ， 请判断△ A B C D P Q F E O C B A 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双 （多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。本专题原创编写单动点形成的面积问题模拟题。 在中考压轴题中，单动点形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。 原创模拟预测题1. 某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8. 问题思考： 如图1，点P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP 、BP 为边在同侧作正方形APDC 与正方形PBFE. （1）在点P 运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值. （2）分别连接AD 、DF 、AF ， AF 交DP 于点A ，当点P 运动时，在△APK 、△ADK 、△DFK 中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由. 问题拓展： （3）如图2，以AB 为边作正方形ABCD ，动点P 、Q 在正方形ABCD 的边上运动，且PQ=8.若点P 从点A 出发，沿A→B→C→D 的线路，向D 点运动，求点P 从A 到D 的运动过程中， PQ 的中点O 所经过的路径的长。 图1 F E D C A B P 实用标准文档 初中数学动点问题练习题 1、（宁夏回族自治区）已知：等边三角形ABC 的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段MN 在△ABC 的边 AB上沿AB 方向以 1 厘米 / 秒的速度向 B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点 B 时运动终止），过点 M 、N 分别作 AB 边的垂线，与△ ABC 的其它边交于P、Q 两点，线段 MN 运 动的时间为 t 秒． 1、线段MN在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段 MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为 S，运动的时间为t．求四边形 MNQP 的面 C 积 S 随运动时间 t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． Q P A MN B 2、如图，在梯形ABCD 中， AD ∥ BC，AD 3， DC 5， AB 4 2，∠B 45． 动点 M 从 B 点出发沿线段BC 以每秒2 个单位长度的速度向终点 C 运动；动点 N 同时从 C 点出发沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC的长． （2）当MN∥AB时，求t的值． （3）试探究：t为何值时，△MNC 为等腰三角形． A D N B M C 3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形， OA∥BC，点 A 的坐标为(6，0)，点 B 的坐标为 (4 ， 3) ，点 C 在y 轴的正半轴上．动点在上运动，从O 点出发到 A 点；动点 M OA N在 AB上运动，从 A 点出发到 B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒 1 个单位长度，当 其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t (秒)． (1) 求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？ y (2) 设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式， B C 并指出自变量 t 的取值范围； S是否有最小值？ 若有最小值，最小值是多少？ N (2007年泰州市)如图5，Rt △ABC 中，∠B=90°，∠CAB=30°.它的顶点A 的坐标为(10，0)，顶点B 的坐标为(5，53)，AB=10，点P 从点A 出发，沿A→B→C 的方向匀速运动，同时点Q 从点D(0，2)出发，沿y 轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点C 时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒. (1)求∠BAO 的度数. (2)当点P 在AB 上运动时，△OPQ 的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分，(如图6)，求点P 的运动速度. (3)求(2)中面积S 与时间t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标. (4)如果点P ，Q 保持(2)中的速度不变，那么点P 沿AB 边运动时，∠OPQ 的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，∠OPQ 的大小随着时间t 的增大而减小，当点P 沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P 有几个?请说明理由. (2007年吉林省)如图9，在边长为82cm 的正方形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两个动点，它们分别从点A 、C 同时出发，沿对角线以1cm/s 的相同速度运动，过E 作EH 垂直AC 交Rt △ACD 的直角边于H ；过F 作FG 垂直AC 交Rt △ACD 的直角边于G ，连结HG 、EB.设HE 、EF 、FG 、GH 围成的图形面积为，AE 、EB 、BA 围成的图形面积为这里规定：线段的面积为0).E 到达C ，F 到达A 停止.若E 的运动时间为x(s)，解答下列问题： (1)当0初三数学动点问题
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