利用导数研究不等式

利用导数研究不等式

利用导数证明不等式)()(x g x f >在区间上恒成立的基本方法：

（1） 构造函数)()()(x g x f x h -=

（2） 根据函数的单调性，或函数的值域、最值证明0)(>x h

注意：

（1） 适用于不等式两边都含有单个变量x 时，证明不等式D

x x g x f ∈>),()( （2） 不适用于不等式两边分别是两个不相关的变量的情况，

如：max min 2121)()(,),()(x g x f D x x x g x f >?∈>

（如果不存在最值则使用值域的端点值比较）

1、教材99页B 组

利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：

(1)),0(,sin π∈

（2）)1,0(,02

∈>-x x x

（3）0,1≠+>x x e x

（4）0,ln ><

2、设a 为实数，函数a x e x f x 22)(+-=，R x ∈

(1) 求)(x f 的单调区间与极值.

(2) 求证：当12ln ->a 且0>x 时，

122+->ax x e x

附加题：

1、（2011新课标文）（21）（本小题满分12分）

已知函数

ln

()

1

a x b

f x

x x

=+

+

，曲线()

y f x

=在点(1,(1))

f处的切线方程为230

x y

+-=。

（Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1x

f x x >-.

利用导数研究方程解（函数零点）的情况

研究函数)(x f 的零点问题常常与研究对应方程0)(=x f 的实根问题相互转化：